美国高中数学核心概念图

美国高中数学核心概念图

美国高中数学核心概念图

人民教育出版社宋莉莉章建跃（通讯作者）王嵘华东师范大学数学系周丹摘要：数学核心概念的确立、组织和呈现方式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点。从美国数学课程标准中析出高中核心概念集，结合课程标准的解释性文件，以教科书内容结构为线索绘制核心概念图，探讨了美国数学课程、教材在构建核心概念体系上的主要特点，并对我国高中数学课程、教材建设提出建议。

关键词：核心概念，概念图，高中数学，美国

目前，数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的关注。围绕核心概念的研究有三个基本问题：（1）怎样的概念具有“核心”地位；（2）哪些是核心概念；（3）核心概念是如何组织和呈现的。对于问题（1），国际上已有许多研究成果，人民教育出版社中学数学室牵头的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题也进行了较深

入的探讨。本文将以美国高中数学课程为例，讨论问题（2）和问题（3）。

美国国家数学教师理事会（NCTM）2000年发布的《学校数学教育的原则和标准》[1]（下文简称《原则和标准》）明确提出了“数与运算”“代数”“几何”“度量”和“数据分析与概率”五个领域的内容标准，旨在设立面向所有学生的课程核心[2]。2009年，NCTM又出版了《高中数学的焦点：推理和数学意识》（Focus in High School Mathematics : Reasoning and Sense Making[3]），探讨了《原则和标准》中高中阶段内容的焦点，将推理和数学意识作为高中数学课程的核心，希望以此来贯穿高中阶段所有内容的学习和教学。本文在研究《原则和标准》中9～12年级的内容标准，参考《高中数学的焦点：推理和数学意识》（下文简称《高中焦点》）以及美国芝加哥大学编写的UCSMP（University of Chicago School Mathematics Project）系列教科书（此套教科书体现了《原则和标准》的各项标准和教育理念）的基础上，试图析出一个美国高中数学的“核心概念图”，并探讨美国数学课程、

教材在处理核心概念上的特点，以期为我国高中数学的课程设置、教材建设提供有益的参考。

一、美国高中数学核心概念集

核心概念集是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系[4]，为了获得各领域的核心概念及其子概念，我们先对《原则和标准》中9～12年级五个领域的内容标准分别绘制了概念图，以明确概念之间的层次和联系。

概念图（Concept Map）是20世纪60年代美国康奈尔大学的诺瓦克(Joseph D.Novak)教授等根据奥苏贝尔(David P. Ausubel)的有意义学习理论提出的一种教学策略，其基本思路是用节点代表概念，用连线表示概念间的联系。这样就实现了以科学命题的形式显示概念之间的意义联系，从而把所有的基本概念有机地联系起来（梁竹，2010）。我们按照下面的步骤绘制概念图：

1.列举知识点。这里选取各领域中的基本知识作为绘制概念图的节点。（注：这里所说的“基

本知识”内容很广泛，包括概念、技能和思想方法等，基本知识的维度也不同，如“复数”与“整数间的关系”两个维度的知识可能同时被析出。用于描述基本知识的关键词是标准当下界定的具体知识点，如“度量”标准中“应用‘逐次逼近’‘上下界’‘极限’等概念”，说明本学段的重点不在于认识这些概念本身，而是在度量情境中使用它们。）

2.确定知识等级。根据知识的概括性和包容性确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的原则对知识进行分层。（注：每个知识点在概念图中只能出现一次。）

3.建立层级连接。用线条将相关概念连接起来，这种连接可以是建立在同一模块间的连接，也可以是建立在不同模块间的交叉连接。连线类型一般为单向，表示同一模块概念间的上下位从属关系或概念间的相关关系，必要时在连线上用连接词标明概念之间的关系。

在概念图中，我们规定领域名称（如图1中的“代数”）为“根”概念，属于第0层，与根概念直接连接的概念为第1层的概念。由于第1层的概念在概括性和包容性上是最高的，我们将其作为该领域的核心概念；与核心概念直接连接的概念，则看成由核心概念生长出的子概念。表1是完成上述步骤1、2而析出的五个领域的核心概念及其子概念集，我们将其作为美国高中数学核心概念集，它呈现了美国高中数学核心概念的纵向发展脉络。

表1 美国高中数学核心概念集

二、美国高中数学核心概念图

核心概念的强大生长力和深刻的思想性，决定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、

表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点[4]。为了进一步了解美国高中数学核心概念的发展脉络和联系通道，我们以《高中焦点》确定的《原则和标准》中的关键元素（key elements）为依据，并以UCSMP系列教科书内容结构为线索，重点探究了三个领域中概念的纵向发展主线和横向联系点，希望从中析出核心概念的关系网络，并绘出三个领域的核心概念图。由于“数与运算”和“度量”领域的内容不是美国高中数学的重点内容，我们重点对“代数”“几何”和“数据统计与概率”三个领域进行了分析，与此相关的教科书是Advanced Algebra[5]，Geometry [6]和Functions，Statistics，and Trigonometry [7]。

（一）代数领域核心概念图

图1是美国高中代数领域的核心概念图。由图可见，整个代数领域的概念构成了一张纵横交错的网，这张网中有4个明显的节点——“代数符号”“函数”“数学模型”和“各种情境中的变化关系”，其中“函数”处于整张网的核心位置。由函数生成了4个子概念，这些子概念通过

各种通道与其他核心概念及其子概念，以及其他领域产生联系。具体表现为：

1. 关系和函数①这个子概念说明美国高中数学将函数定位为一种特殊的关系，而由其中的“二次关系”出发讨论二次曲线和二次曲线的分类[5]，体现了代数与几何的联系。

2. 函数的各种表征形式②显示函数主要包括三种表征形式——符号、表格和图象，美国课程关注的用显示方式或递归方式定义的函数归纳模式属于函数的符号表征。而函数的符号表征与代数表达式和方程具有等价形式，这表明了函数与代数符号⑤的联系。这种等价形式也使得解方程成为“已知函数值求相应的自变量的值”的过程，并且为借助函数图象求解部分方程、方程组和不等式组等成为可能。函数的图象表征还可以用于理解逼近和变化率等概念，为分析变化关系提供了手段，而各种情境中的变化关系⑥中主要涉及两种变化关系，直接变化和反向变化[5]，它们都是函数关系，其中的反向变化关系是构建逆变化模型[5]的基础。在函数的各种表征形式②中