离散型随机变量及其分布律

图形演示
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示 泊松分布随机数演示
泊松分布的背景及应用 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 粒子个数的情况时, 与分析放射性物质放出的 α 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 服从泊松分布. 数X 服从泊松分布.
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x k ( k = 1,2,⋯), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X = x k } 的概率 , 为 P { X = x k } = pk , k = 1,2,⋯ . 称此式为离散型随机变 量 X 的分布律 .
其中
(1) pk ≥ 0, k = 1,2,⋯;
6. 几何分布
若随机变量 X 的分布律为
图形演示
k ⋯
, p + q = 1,
X pk
1 2 p qp
⋯
⋯
q k −1 p ⋯
服从几何分布 几何分布. 则称 X 服从几何分布
几何分布随机数演示 几何分布随机数演示
实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有 对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 的分布律. 数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律
2.1
离散型随机变量及其分布律(2) 离散型随机变量及其分布律(2)
一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
一、离散型随机变量的分布律
定义1 定义 1 若随机变量 X 的全部可能取值是有限个或 可列无限多个, 可列无限多个 , 则称这种随机变量为离散型随机 变量。 变量。 定义2 定义
如果随机变量 X 的分布律为 a1 a2⋯ an X 1 1 1 ⋯ pk n n n 其中 ( ai ≠ a j ), ( i ≠ j ) , 则称 X 服从均匀分布 . 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示 均匀分布随机数演示
在生物学、医学、工业统计、 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 泊松分布是常见的. 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 例如地震、火山爆发、特大洪水、 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 话呼唤次数等 都服从泊松分布 地震 火山爆发 特大洪水
在生物学、医学、工业统计、 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 泊松分布是常见的. 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的 例如地震、火山爆发、特大洪水、 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 话呼唤次数等 都服从泊松分布 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
= 1 − 0 . 9999
1000
1000 − ⋅ 0 . 0001 ⋅ 0 . 9999 1
999
可利用泊松定理计算
λ = 1000 × 0.0001 = 0.1,
e − 0 . 1 0 . 1 ⋅ e − 0 .1 P { X ≥ 2} ≈ 1 − − = 0 .0047 . 0! 1!
解
X 所取的可能值是 1, 2, 3,⋯.
设 Ai 表示 " 抽到的第 i 个产品是正品 " ,
P { X = k } = P ( A1 A2 ⋯ Ak −1 Ak )
= P ( A1 ) ⋅ P ( A2 ) ⋅ ⋯ ⋅ P ( Ak −1 ) ⋅ P ( Ak )
= (1 − p )(1 − p ) ⋅ ⋯ ⋅ (1 − p ) ⋅ p = q k −1 p.
1 − [λ + o(1)]k λ o(1) n 1(1 − n )⋯ (1 − kn 1 ) ] [1 − − = λ o(1) k k! n n [1 − − ] n n
当n → ∞ 时, lim P{ X = k } =
n→ ∞
λk
k!
e −λ
上面我们提到 二项分布 n很大 p 很小 很大, 泊松分布
λ
n! k n− k P{ X = k } = ( pn ) (1 − pn ) k!( n − k )!
n! λ 1 λ o(1) n− k k [ + o(1)] [1 − − ) = k ! ( n − k )! n n n n
[λ + o(1)]k λ o(1) n n( n − 1)⋯ ( n − k + 1) [1 − − ] = λ o(1) k k! n n k n [1 − − ] n n
( 2) ∑ pk = 1.
k =1 ∞
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
或
x2 ⋯ xn ⋯ p2 ⋯ pn ⋯
X
pk
x1 p1
x2 ⋯ xn ⋯ p2 ⋯ pn ⋯
离散型随机变量的分布函数
F( x) = P{X ≤ x} = ∑ pk = ∑ P( X = xk ).
它们都服从 (0 − 1) 分布并且相互独立 , 那末 X = X 1 + X 2 + ⋯ + X n 服从二项分布 , 参数为( n, p ).
以 n, p ( np = λ ) 为参数的二项分布 ,当 n → ∞ 时趋 于以 λ 为参数的泊松分布 ,即
k n k ( np ) − np n− k P { X = k } = p (1 − p ) ≈ e , k! k
4.二项分布 二项分布
的分布律为： 若X的分布律为： 的分布律为
P{X = k} = Ck p k q n − k , k = 0,1,2,⋯ n n
称随机变量X服从参数为n,p 二项分布。 n,p的 则 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 记为 X ~ B (n , p ) 二项分布 ,其中q＝1－p 其中q 两点分布
( k −1 )
服从几何分布. 所以 X 服从几何分布
( k = 1,2,⋯)
首次成功” 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型. 的概率模型
7.超几何分布 超几何分布
设X的分布律为 的分布律为
m n C M C N−−m M P{ X = m } = n CN
( m = 0,1,2,⋯ , min{ M , n})
n=1
二项分布
n > 10 , p < 0.1
泊松分布
2. 二项分布与 ( 0 − 1) 分布 、 泊松分布之间的关系 .
二项分布是 (0 − 1) 分布的推广 , 对于 n 次独 立重复伯努里试验 , 每次试验成功的概率为 p, 设 1, 若第 i 次试验成功 Xi = , 0, 若第 i 次试验失败 ( i = 1,2,⋯, n)
泊松定理 设 X ~ B ( n, p n )
k k P{ X = k } = C n p n (1 − p n ) n − k
且满足
n→∞
lim np n = λ > 0
则对任意非负整数 k , 有
n→∞
lim P{ X = k } =
λk
k!
e
−λ
证明
由
1 pn = + o(1), n n
λ
1 1 − pn = 1 − − o(1) n n
单击图形播放/ ESC键退出 单击图形播放/暂停 ESC键退出
有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 例2 有一繁忙的汽车站 每天有大量汽车通过 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 设每辆汽车 在一天的某段时间内出事故的概率 在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 为0.0001,在每天的该段时间内有 在每天的该段时间内有 问出事故的次数不小于2的概率是多少 过,问出事故的次数不小于 的概率是多少 问出事故的次数不小于 的概率是多少? 解 设1000 辆车通过 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ B (1000 , 0 . 0001 ), 所求概率为 P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1}
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布 退化分布
若随机变量X取常数值 的概率为 若随机变量 取常数值C的概率为 即 取常数值 的概率为1,即
P( X = C ) = 1
则称X服从退化分布. 则称 服从退化分布 服从退化分布
2.两点分布 两点分布
只可能取0与 两个值 设随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的分 布律为
X
pk
0 1 2
1
1 2
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两点分布是最简单的一种分布 任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 两种可能结果的随机现象 比如新生婴儿是男还是 明天是否下雨、种籽是否发芽等, 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等 都属于两点 分布. 分布
3.均匀分布 均匀分布
n=1
二项分布的图形
图形演示
次射击,每 例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击 每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 则击中目标的次 的二项分布. 数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布
X
0
5
1
2
5 2 3 0.6 ⋅ 0.4 2
3
4
5
pk
5 (0.4) 0.6⋅ 0.44 1
这里n < N , m < M , M < N , 则称X服从超几何分布 .
说明
超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.
图形演示
三、小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
几种分布比较演示
两点分布
Байду номын сангаас
退化分布 两点分布 均匀分布 二项分布 泊松分布 几何分布 超几何分布
xk ≤ x xk ≤ x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系 分布律
pk = P{ X = xk }
分布函数
F( x) = P{X ≤ x} =
离散型随机变量分布函数演示 离散型随机变量分布函数演示
∑ pk x ≤x
k≤
抛掷均匀硬币, 例 1 抛掷均匀硬币 令
1, X = 0,
出正面 , 出反面 .
的分布函数. 求随机变量 X 的分布函数 解
1 p{ X = 1} = p{ X = 0} = , 2
•
•
当x < 0时, 时
0
1
x
F ( x ) = P{ X ≤ x < 0} = P (φ ) = 0
•
•
0
当0 ≤ x < 1时,
1
x
1 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = 0} = ; 2 当x ≥ 1时, 0, x < 0, F ( x ) = P{ X ≤ x } 1 = P{ X = 0}+ P{ X = 1} 得 F ( x ) = , 0 ≤ x < 1, 2 1 1 1, x ≥ 1. = + = 1. 2 2
X pk
0 1− p
1 p
分布或两点分布.记为 记为X~b(1,p) 则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布 记为 实例1 抛硬币 试验,观察正 抛硬币” 观察正、 实例 “抛硬币”试验 观察正、反两面情 况. 0, 当e = 正面, X = X (e ) = (e 1, 当e = 反面. 分布. 随机变量 X 服从 (0-1) 分布 其分布律为
5 3 2 5 4 0.6 ⋅ 0.4 0.6 ⋅ 0.4 0.65 3 4
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取 的值为 0, 1, 2,⋯ , 而取各个 值的概率为 λk e − λ P{ X = k } = , k = 0,1,2,⋯ , k! 其中 λ > 0 是常数 .则称 X 服从参数为 λ 的泊松分 布, 记为 X ~ P (λ ).
( k = 0,1,2,⋯, n).
备份题
从一批含有10件正品及 件正品及3件次品的产品中一 例 从一批含有 件正品及 件次品的产品中一 一件地取产品.设每次抽取时 设每次抽取时, 件、一件地取产品 设每次抽取时 所面对的各件 产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下 产品被抽到的可能性相等 在下列三种情形下, 分 在下列三种情形下 的分布律. 别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律 (1)每次取出的产品经检定后又放回 每次取出的产品经检定后又放回 这批产品中去在取下一件产品;(2)每 这批产品中去在取下一件产品 每 次取出的产品都不放回这批产品中; 次取出的产品都不放回这批产品中 (3)每次取出一件产品后总以一件正 每次取出一件产品后总以一件正 品放回这批产品中. 品放回这批产品中