一元二次方程的应用——平均变化率问题
实际问题与一元二次方程2——平均变化率问题
平均变化率问题 4．(4分)(2013· 兰州)据调查，2011年5月兰州市的房价 均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假设
这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方
程为( C )
A．7 600(1＋x%)2＝8 200 B．7 600(1－x%)2＝8 200 C．7 600(1＋x)2＝8 200
15．(10分)(2013·巴中)某商场今年2月份的营业额为400 万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额 达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率． 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据
题意得，400×(1＋10%)(1＋x)2＝633.6，解得，x1＝0.2＝
D．7 600(1－x)2＝8 200
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后售
价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方
程中正确的是( A ) A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013· 黔西南)某机械厂七月份生产零件50万个 ，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均每 月的增长率为x，那么x满足的方程是( C ) A．50(1＋x)2＝196 B．50＋50(1＋x)2＝196 C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
解是否符合 实际意义 ．
，传染性很强，曾有2人同时患 上甲肝，在一天内，一人能传染x人，经过两轮传染后共有
128人患上甲肝，则x的值为( D )
A．10 B．9 C．8 D．7 2．(4分)有一人患了流感，经过两轮后共有225人患上此 病，求每轮传染中平均一人传染了几人？设每轮传染中平 均一人传染了x个人，则可列方程 1＋x＋(1＋x)x＝225．
人教版初中数学九年级 微专题3 一元二次方程的应用(一)——平均变化率与利润问题
解得x1＝3，x2＝9． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝9，此时38－x＝29． 答：这种水果的销售价格应定为29元/kg．
5．（菏泽中考）端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调 查员的对话． 小王：该水果的进价是22元/kg； 小李：当销售价格为38元/kg时，每天可售出160 kg，且每千克销售价格降低3元， 则每天的销售量增加120 kg． 根据他们的对话，解答下面所给问题： 到实惠，则这种水 果的销售价格应定为多少？
2．（张家界中考）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展以“弘 扬红色文化，重走长征路”为主题的教育学习活动，张家界市“红二方面军长征 出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，2021年3月份该基地接待参观人 数10万人，5月份接待参观人数增加到12．1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？ 解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x． 由题意，得10（1＋x）2＝12．1， 解得x1＝0．1＝10%，x2＝－2．1（不合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．
（2）12．1×（1＋10%）＝13．31（万人）． 答：预计6月份的参观人数是13．31万人．
类型二 利润问题 3．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元，若每份盒饭的售价为16元， 每天可卖出360份．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40 份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1 680元，设每份盒饭涨价x元，则符 合题意的方程为（ A ）
微专题3 一元二次方程的应用（一） ——平均变化率与利润问题
类型一 平均变化率问题 1．某校办厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两 年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，且使得这三年的总产量达到1 400 件．若设这个百分数为x，则可列方程为（ B ）
一元二次方程的应用题分类练习(超全)
一元二次方程的应用类型一：增长率☞考点说明：平均增长率是指在上一个时间点的基础上增加的量占上一个时间点总量的百分之几，在利用平均增长率处理一元二次方程问题时，要注意单位“1”的变化.【易】1.某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂5,6月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182【易】2.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%【易】3.某工厂计划用两个月把产量提高21%，如果每月比上月提高的百分数相同，求这个百分数．若设每月提高的百分数为x，原产量为a，可列方程为a（1+x）2=a（1+21%），那么解此方程后依题意作答，正确的是（）A．这个百分数为2.1%或10%B．x1=2.1，x2=0.1C．x1=﹣2.1，x2=0.1D．这个百分数为10%【易】4.红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．50（1+x）2=72B．50（1﹣x）2=72C．72（1﹣x）2=50D．50×2（1+x）=72【中】5.据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．类型二：降低率☞考点说明：平均降低率是指在上一个时间点的基础上减少的量占上一个时间点总量的百分之几，在利用平均降低率处理一元二次方程问题时，要注意单位“1”的变化.【易】1.兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为______．【易】2.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（）A．15%B．20%C．5%D．25%【易】3.某药品原价每盒25元，两次降价后，每盒降为16元，则平均每次降价的百分率是（）A．10%B．20%C．25%D．40%【易】4.某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品成本的年平均下降率为x，则x为（）A．3%B．6%C．8%D．10%一元二次方程的应用——数字问题类型一：位值原理的应用☞考点说明：常见的数字问题有两类：一类是应用位值原理表示数字的大小，并列出方程；另一类只需要用到数字之间的关系，比较直观.【易】1.有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．【易】2.已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.类型二：数字关系的直接应用☞考点说明：若在数字问题中不涉及到各个数位上的数字的特征，而只已知某几个数之间的关系时，一般不需要用到位值原理，此时只需要直接设未知数表示出各个数字之间的关系即可.【易】1.两连续偶数的积是120，求这两个数．【中】2.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数．一元二次方程的应用——几何问题类型一：面积公式的直接应用☞考点说明：在处理面积问题时常会用到一些典型图形的面积公式.【易】1.某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为()A．x(x－10)＝200B．2x＋2(x－10)＝200C．x(x＋10)＝200D．2x＋2(x＋10)＝200【易】2.如图(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，从图(2)的思考方式出发列出的方程是__________．【易】3.如图，在一块长为22m.宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2.若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为________．A．17B．26C．30D．13【易】5.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是()A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2【易】6.要用一根铁丝围成一个面积为120cm2的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是______cm.【易】7.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动__________m.【易】8.若一直角三角形的三条边长为三个连续偶数，且面积为24cm2，则此三角形的三条边长分别为__________．【易】9.把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为x cm，则正确的方程是()A．(2x－20)(x－20)＝1500B．(2x－10)(x－20)＝1500C．10(2x－20)(x－20)＝1500D．10(x－10)(x－20)＝1500【易】10.如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140【中】11.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．类型二：动点问题☞考点说明：动点问题是与几何相关的类型题中的难点问题，一般需要列出动点运动相关的表达式，在根据方程的解法解出所需的值即可.【难】1.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【难】2.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【难】3.如图，已知A、B、C、D为长方形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB至BC移动，一直到点C为止，点Q 以2cm/s的速度向点D移动．问：（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33平方厘米？（2）P、Q两点从出发开始几秒时，AP+DQ等于长方形ABCD周长的？一元二次方程的应用——销售问题☞考点说明：最重要的是两种利润公式的应用及折扣公式（即降价公式）的应用.【易】1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么平均每天可多售出100张．商场要想平均每天盈利120元，则每张贺年卡应降价__________元．【易】2.某商品原价200元，连续两次降价a%后，售价为148元，下列所列方程正确的是() A．200(1＋a%)2＝148B．200(1－a%)2＝148C．200(1－2a%)＝148D．200(1－a2%)＝148【易】3.某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（）A．（50+x）（10﹣x）=504B．50（10﹣x）=504C．（10﹣x）（50+6x）=504D．（10﹣6x）（50+x）=504【易】4.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（）A．8%B．18%C．20%D．25%【中】5.某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？【中】6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【中】7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【中】8.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？一元二次方程的应用——握手问题类型一：握手类问题☞考点说明：握手问题是一类问题，要注意其本质特点的分析，其典型特点是总体中的其中一个个体与其他的个体都有一次活动.【易】1.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7B．8C．9D．10【易】2.新年来临之际，某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共互赠贺卡2980张，设全班有x名学生，那么根据题意可列方程（）A．x（x﹣1）=2980B．x（x﹣1）=2980C．x（x﹣1）=2980D．x（x+1）=2980【易】3.一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，求该群共有多少个好友．类型二：比赛问题中的“握手”模型☞考点说明：比赛中的循环赛是典型的“握手问题”.【易】1.某市工会组织了一次篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛．这次参赛队的数目为()A．12B．11C．9D．10【易】2.某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【易】3.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？一元二次方程的应用——传播问题☞考点说明：病毒传播的特点是每次增长的基数都在发生变化.【易】1.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91．设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（）A．x+x2=91B．1+x2=91C．1+x+x2=91D．1+x（x﹣1）=91【易】2.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？【中】3.2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡．感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病．（1）求x的值；（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？一元二次方程的应用——存款利息问题☞考点说明：注意利息的计算公式及计算利息的方式.【易】1.孙老师前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存，今年到期后，共取得5300元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）．【易】2.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄、到期后自动转存、今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%）共得5145元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）【中】3.某公司向工商银行贷款30万元，这种贷款要求公司在两年到期时，一次性还清本息，利息是本金的12%，该公司用这笔贷款经营，两年到期时，除还清贷款的本金和利息外，还盈余9.6万元，若经营期间每年与上一年相比资金增长的百分数相同，求这个百分数．。
2.5一元二次方程的应用 第1课时平均变化率问题与利润问题
课程讲授
1 平均变化率问题
解 设甲种药品成本的年平均下降率为x.则一年后甲种药品
成本为5000（1-x），两年后甲种药品成本为5000（1-x）2， 根据题意，列方程，得
5000（1-x）2=3000 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 答 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％.
第2章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的应用
第1课时 平均变化率问题与利润问题
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.平均变化率问题 2.利润问题
新知导入
看一看：观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律。
每次变化都是由一个箭 头变化出3个箭头
课程讲授
1 平均变化率问题
问题1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产 1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步， 现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药 品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
课程讲授
1 平均变化率问题
平均变化率（或降低率）问题： 平均变化率的问题在实际生活中普遍存在,有一定
的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低) 前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关 系可表示为_____a_(1_±__x_)_n_=_b___(其中增长取“+”,降低 取“－”).
3.政府近几年下大力气降低药品价格，希望使广大人民群 众看得起病吃得起药.某种针剂的单价由100元经过两次降
价，降至64元，则平均每次降低的百分率是( C )
A.36% B.64%报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分 有限，2017年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了. 假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的
专题(四) 一元二次方程的实际应用——平均变化率与利润问题
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降至
多少元？
解：设这种水果每斤的售价降价 x 元，则(2－x)(100＋200x) 1 ＝300，即 2x2－3x＋1＝0，解得 x1＝1，x2＝ .当 x＝1 时，每天的 2 1 销量为 300 斤；当 x＝ 时，每天的销量为 200 斤．为保证每天至 2 1 少售出 260 斤，∴x2＝ 不合题意，舍去．此时每斤的售价为 4－1 2 ＝3(元)．答：销售这种水果要想每天盈利 300 元，张阿姨需将每 斤的售价降至 3 元
4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每
斤4元的价格出售，每天可售出100斤．通过调查发现，这种水果每斤
的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤．为保证每天至少售出260 斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 ___________________ 斤(用含x的代数式表示)； (100＋200x)
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予
以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物
业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优
惠？
解：(1)设平均每次下调的百分率为 x，依题意得 5000(1－x)2 19 ＝4050，解得 x1＝10%，x2＝ (不合题意，舍去)，则平均每次下 10 调 的 百 分 率 为 10% (2) 方 案 ① 的 房 款 是 4050×100×0.98 ＝ 396900( 元 ) ， 另外需在两年内付物业管理费 1.5 × 100 × 12 × 2 ＝ 3600(元)；方案②的房款是 4050×100＝405000(元)，故在同等条 件 下 方 案 ① 需 付 款 396900 ＋ 3600 ＝ 400500( 元 ) ． ∵400500 ＜ 405000，∴选方案①更优惠
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程课时2应用一元二次方程(二)作业课件(新版)北师大
3. [2022包头青山区模拟]某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可售出 200件,如果这种商品每件的售价每提高0.5元,其销售量就减少10件. (1)应将每件的售价定为多少元,才能使每天的利润为640元? (2)店主想要获得每天800元的利润,小红同学认为不可能.你同意小红同学的说法吗?请 说明理由.
知识点1 平均变化率问题
4. [2021东营中考]“杂交水稻之父” —袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶 段实现了水稻亩产量700公斤的目标,第三阶段实现了水稻亩产量1 008公斤的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同,求亩产量的平均增长率; (2)按照(1)中亩产量增长率,科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1 200公斤,请通过 计算说明他们的目标能否实现.
课时2 应用一元二次方程(二)
知识点1 平均变化率问题
1. [2021湘潭中考]为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降 价,每瓶零售价由100元降为64元,求平均每次降价的百分率.设平均每次降价的百分率 为x,可列方程得 ( ) A.100(1-x)2=64 B.100(1+x)2=64 C.100(1-2x)=64 D.100(1+2x)=64
D答.3案4 395+36 833+36 833(1+x)=40 454
知识点1 平均变化率问题
3. [2022武汉江夏区期末]某种产品预计两年内成本将下降36%,则年平均下降率
为
.
答案
3. 20% 设成本为1,年平均下降率为x,依题意列方程,(1-x)2=1-36%,解得 x1=0.2=20%,x2=1.8(舍去).
答案
知识点2 销售问题
10初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析
初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析一、引言一元二次方程平均变化率问题在初中数学中占有重要地位，这类问题常常出现在各种考试和实际应用中。
掌握这类问题的解决方法，不仅可以提高学生的数学成绩，还可以培养其逻辑思维和解决问题的能力。
本文将详细解析一元二次方程平均变化率问题的概念、方法、应用及注意事项，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、平均变化率的概念平均变化率描述了一个量在某一时间段内的平均变化情况。
在一元二次方程中，平均变化率通常用来描述函数图像在某一段内的斜率或倾斜程度。
设函数y=f(x)，在区间[x₁, x₂]上的平均变化率为(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)。
三、一元二次方程与平均变化率的关系一元二次方程y=ax²+bx+c（a≠0）的图像是一个抛物线。
这个抛物线的形状和位置由系数a、b、c决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
而抛物线的对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
对于一元二次方程，我们可以通过计算其在某一区间上的平均变化率，来了解函数在该区间的变化情况。
特别地，当区间选取为对称轴两侧等距的两个点时，平均变化率可以反映抛物线的开口方向和宽度。
四、求解一元二次方程平均变化率问题的方法1.确定区间：首先确定需要计算平均变化率的区间[x₁, x₁]。
这个区间可以是题目给出的，也可以是根据实际问题自行选择的。
2.计算函数值：分别计算f(x₁)和f(x₁)的值，即把x₁和x₁代入一元二次方程中求得对应的y值。
3.计算平均变化率：利用公式(f(x₁)-f(x₁))/(x₁-x₁)计算平均变化率。
这个值可以反映函数在区间[x₁, x₁]内的平均变化情况。
4.分析结果：根据计算出的平均变化率，分析函数在指定区间的变化趋势和速度。
如果平均变化率为正，说明函数在该区间内总体呈上升趋势；如果平均变化率为负，说明函数在该区间内总体呈下降趋势。
21.3.2 用一元二次方程解决平均变化率问题
第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题 基础通关 能力突破 素养达标
8.
随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游
客为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
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第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题 基础通关 能力突破 素养达标
第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题
第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题 基础通关 能力突破 素养达标
平均变化率问题 1. (2023·石家庄模拟)红星电池厂2022年1～5月份的电池产量如图所示. 设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为 x ，根据题意可得 方程( B )
降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( A )
A. 20％
B. 25％
C. 30％
D. 36％
【解析】设降价的百分率为 x .原价为25元，降价一次后为25(1－ x )，降
价两次后为25(1－ x )2，则25(1－ x )2＝16，解得 x1＝0.2， x2＝1.8(不符合 题意，舍去).
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第2课时 用一元二次方程解决平均变化率问题 基础通关 能力突破 素养达标
6. 为防治雾霾，保护环境，合肥掀起“爱绿护绿”热潮，建好后的大蜀
山森林公园将真正成为“合肥绿肺”，经过两年的时间，绿地面积增加
了21％，则这两年绿地面积的平均增长率是( C )
A. 12％
B. 30％
C. 10％
5. 某出口公司今年计划每月平均盈利125万元，由于原料成本上升，二 月份盈利比计划减少20％，从三月份开始，公司采用新技术，盈利不断 上升，四月份盈利达到121万元. (1)二月份实际盈利 100 万元； 【解析】二月份实际盈利为125×(1－20％)＝100(万元). (2)求二月份到四月份盈利的月平均增长率. 解：设二月份到四月份盈利的月平均增长率为 x ，根据题意，得100(1＋ x )2 ＝121， 解得 x1＝0.1＝10％， x2＝－2.1(不符合题意，舍去). 答：二月份到四月份盈利的月平均增长率为10％.
一元二次方程应用题2--平均变化率和营销问题
答：这个增长率为50%.
注意 增长率不可为负，但可以超过1.
二 营销问题与一元二次方程
合作探究
1.填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元 时，可卖100斤规. 则：每涨1元，少卖10斤 (1)此时的利润w= 1_0_0_元__;
一：平均变化率问题与一元二次方程
1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 5000(1-x)2 元.
第一次降 下降率x 第二次降 下降率x 第二次降
试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元 时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元， 则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？
涨价 售价 成本 单件利润 少卖量
销售量
总利润
0
3
2
1 3+1 2
每2 3+2 2 涨 一3 3+3 2
元4 3+4 2
x 3+x 2
3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 3-2+x
(5)若售价涨了4元，每斤利润为__5__元， 同时少卖了40斤，销售量为_6_0__斤， 利润w=_3_0_0_元___
(6)若售价涨了x元，每斤利润为_1_+_x_元， 同时少卖了_1_0_x_斤，销售量为_1_0_0_-_1_0_x 斤， 利润w=_(1_+__x)_×__(_1_0_0_-1_0_x_)_元___
18.平均变化率问题与一元二次方程
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
例2：某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三
月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x，则
二月份营业额为： 200(1+x) . 200(1+x)2
三月份营业额为：
பைடு நூலகம்
.
根据： 一月、二月、三月的营业额共950万元 . 作为等量关系列方程为： 200+200(1+x) +200(1+x)2=950
典例解析
运用一元二次方程解决平均变化率问题
例1.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克，今年平均每公顷产8712
千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x.
根据题意， 得
7200（1+x)2=8712.
两边同时除以7200得 （1+x)2=1.21. 直接开平方，得 则 1+x=1.1, x1=0.1, 1+x=-1.1 x2=-1.1（舍去）.
解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 答：这个增长率为50%. 4x2+12x-7=0，
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
总结归纳
知识点
增长率问题
a(1+x)2=b,其中a为增长前 的量，x为增长率，2为增长 次数，b为增长后的量
平均变化率问题 降低率问题
a(1-x)2=b,其中a为降低前的 量，x为降低率，2为降低次 数，b为降低后的量.注意1 与x位置不可调换
一元二次方程应用题精选含答案
一元二次方程应用题精选一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?三、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？7. 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价百分之几？四、形积问题8、有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．9、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．五、围篱笆问题10、如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?六、相互问题（传播、循环）11、（1）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?(2)要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?(3) 某初三毕业班的每一个同学都把自己的照片向全班其他的同学各送一张留作纪念，全班共送了3080张照片．如果该班有x 名同学，根据题意可列出方程为?12、有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？第21题图13、某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？七.行程问题：14、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
一元二次方程与实际问题-平均变化率
实际问题与一元二次方程教学目标1．通过平均变化率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题．2．根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
重难点关键1．重点：如何解决增长率与降低率问题。
2．难点与关键：解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x增长（或降低）率,n为增长（或降低）的次数,b为增长（或降低）后的量。
一、情景导入生成问题1．小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，他第二次数学成绩是a(1＋10%)分，第三次数学成绩是a(1＋10%)2分．2．国庆节期间，商场为了促销搞了两次降价活动，某品牌上衣原价a元，第一次价格降低了10%，第二次价格又降低了10%，第一次促销活动中该上衣价格是a(1－10%)元，第二次促销活动中该上衣的价格是a(1－10%)2元．二、新知探究探究2两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?解:设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为元,两年后甲种药品成本为元,依题意得5000（1-x）2=3000解方程,得答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少? 比较:两种药品成本的年平均下降率。
小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)三、合作探究】范例：某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．二、巩固练习（列出方程）1某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?2某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．3公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．4.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？三、应用拓展例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．A． B．p C． D．二、填空题1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，•第二年的产量为_______k g，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，•那么预计2004年的产量将是________．3．•我国政府为了解决老百姓看病难的问题，•决定下调药品价格，•某种药品在1999年涨价30%•后，•2001•年降价70%•至a•元，•则这种药品在1999•年涨价前价格是_________.。
平均增长率的问题PPT课件
分析：
第一次 80
80X10%
第二次
80+80X10% =80〔1+10%〕
80〔1+10%〕X10%
第三次 80(1+10%)+ 80(1+10%) X10%
=80〔1+10%〕2
[知识回顾] 增长率问题中的基本数量关系：
如果原始产量为a，平均增长率为x，那么增
长一次后的产量为 a(1+x) ，增长两次后 的产量为 a(1+x)2 ;
解得： x10.2,x22.2
=20% 〔不合题意，舍去〕
答：二月、三月平均每月的增长率是20%
2、两年前生产1吨甲种药品的成本是6400元，随着生 产技术术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是2500 元，问甲种药品成本的年平均下降率是多少？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，依题意， 得
6400〔1-x〕2=2500 解得：x1=0.375=37.5%，
一元二次方程的应用
----平均变化率问题
九年级数学组
1、理解平均变化率的含义，并能用其表示 两次变化后的量。
2、经历解有关增长率的问题，感受方程的 价值，领悟数学建模思想。
课前热身1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第 一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考 又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
〔1〕两种药品成本的年平均下降率相等. 〔2〕乙种药品成本的年平均下降额较大. 〔3〕成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大.
成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量， 两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
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如果原始产量为a，平均下降率为x，那么下降
第二十一章 方法技巧专题 一元二次方程的应用(球赛、传播、平均变化率问题)-2022-2023学年九
第二十一章方法技巧专题一元二次方程的应用简介本文档将探讨一元二次方程在不同领域的应用问题，具体包括球赛、传播、平均变化率问题。
一元二次方程是初三数学的重要内容，对于学生来说，掌握其应用方法和技巧是提高数学能力的关键。
一、球赛问题球赛问题是一种常见的应用问题，涉及到比赛得分和胜负的计算。
以下是一个球赛问题的例子：小明参加了一场篮球比赛，他在比赛中共得到x分。
已知他的得分满足以下条件： 1. 如果他得到的分数超过50分，他所在的队伍将获胜； 2. 如果他得到的分数在40分至50分之间（包括40和50），比赛将以平局结束； 3. 如果他得到的分数少于40分，他所在的队伍将输掉比赛。
这个问题可以表示为一个一元二次方程，假设小明所在队伍最后的得分为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下方程：y = x - 50 当 x > 50y = 0 当40 ≤ x ≤ 50y = x - 40 当 x < 40这样，我们就可以根据小明的得分x，来判断他所在队伍的胜负情况。
二、传播问题传播问题是指某一信息或病毒的传播过程。
以下是一个传播问题的例子：某城市发现了一种新的病毒，病毒传播的速度与感染人数成正比。
已知在病毒感染的初期阶段，病毒感染的人数y满足以下一元二次方程：y = ax^2 + bx + c其中，x表示时间（天数），a、b、c是常数。
问题：已知在第一天有10人感染了这种新病毒，第二天有20人感染了病毒，第三天有40人感染了病毒，求出传播速度方程的具体表达式。
解析：根据题目中已知的信息，我们可以列出以下三个方程：a +b +c = 104a + 2b + c = 209a + 3b + c = 40通过解这个方程组，我们可以求出传播速度方程的具体表达式。
三、平均变化率问题平均变化率问题是指某一量的变化过程。
以下是一个平均变化率问题的例子：某商品的销售量随时间的变化可以表示为一个一元二次方程。
已知在过去两个月，销售量由1000个增加到3000个，求出每个月的平均销售增长量。
第06课 一元二次方程的应用(平均变化率、握手、面积问题)(学生版) 九年级数学上册精品讲义(人教)
第06课一元二次方程的应用（平均变化率、握手、面积问题）课程标准课标解读1.通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.通过分析实际问题，建立准确的数学模型，从而解决实际问题。
知识精讲知识点01列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点02一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.常见模型问题常见的类型应用公式进行解答，就会解题就会方便很多，下表就是常见基本公式：(1)增长率问题：a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.“共”或“累计问题”(2)降低率问题：(3)传染问题(4)握手问题(5)送礼问题(6)枝干问题（1）平均增长率：设原价为a ，连续增长两次，价格变为b ，每次增长的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格2(1)a x b +=，得出等量关系；（如果增长三次，就将指数2变换为3即可）“累计问题”：设第一个月为a ，连续增长两个月，累计总数为b ，设平均增长率为x ，则：第一个月为a ，第二个月为，第三个月为，所以三个月累计（2）平均降低率：设原价为a ，连续降价两次，价格变为b ，每次降价的百分率为x ，那么：增长第一次价格为：；增长第二次在上一次价格的基础上再乘，即最终价格，得出等量关系；（3）传染问题：设开始挈带病毒的人数为a ，一个病人一轮传染x 个病人，两轮传染之后一共有b 个人挈带病毒，则：传染轮数挈带病毒人数传染人数第一轮第二轮两轮结束后一共挈带病毒数（4）握手问题：这个问题和求多边形对角线的个数类似，以6个人举例：首先A 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；然后B 站起来，和其余5个人一次握手，共握手5次；以此类推，每个人都站起来和其余人握手，一共握手：6(61)´-次，但是握手完成后发现，任意两人之间握手2次，重复了一次，因此需要乘以12去重复；也就是一共握手16(61)2创-次。
初中九年级数学小专题(二) 一元二次方程的实际问题
小专题(二)一元二次方程的实际问题类型1变化率问题变化率问题常用公式：a(1±x)n＝b(其中a是起始量，x是平均变化率，n是变化的次数，b是终止量)．起始量经过一次变化后达到a(1±x)；第二次变化后达到a(1±x)2；第三次变化后达到a(1±x)3；…依次类推．1．(日照中考)某县为大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新.县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为()A．20% B．40% C．－220% D．30%2．(咸宁中考改编)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．咸宁市销售烟花爆竹20万箱，到烟花爆竹销售量为9.8万箱．求咸宁市到烟花爆竹年销售量的平均下降率．3．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2 000 kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000 kg，求南瓜亩产量的增长率．4．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到底三年累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到底共建设多少万平方米廉租房．5．脐橙是赣南的大产业，也是农民致富的大产业．“赣南脐橙”已成为中央电视台上榜品牌．我市近几年，通过各种途径，大力发展脐橙果业，脐橙总产量每年也在不断增加(如图所示)．(1)根据图中所提供的信息回答下列问题：底脐橙的总产量为________万吨，比底增加了________%；在所统计的这几年中，增长速度最快的是________年；(2)为满足市场发展的需要，计划到底使脐橙总产量要达到121万吨，试计算、两年脐橙的年平均增长率．类型2 几何图形问题如图，在解决甬道或者边框问题时，灵活运用“平移变换”对分离的图形的面积“整体表示”，使问题简化．6．(深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6 m 2，已知床单的长是2 m ，宽是1.4 m ，求花边的宽度．7．为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30 m ，宽20 m 的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532 m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)8．如图，某旅游景点要在长，宽分别为20米，12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．9．在一块长16 m ，宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．参考答案1.A2.设年销售量的平均下降率为x ，依题意，得20(1－x)2＝9.8.解这个方程，得x 1＝0.3，x 2＝1.7.∵x 2＝1.7不符合题意，∴x ＝0.3＝30%.答：咸宁市到烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.3.设南瓜亩产量的增长率为x ，则种植面积的增长率为2x.根据题意，得10(1＋2x)·2 000(1＋x)＝60 000.解得x 1＝0.5，x 2＝－2(不合题意，舍去)．答：南瓜亩产量的增长率为50%.4.(1)设每年市政府投资的增长率为x ，根据题意，得2＋2(1＋x)＋2(1＋x)2＝9.5，∴x 1＝0.5，x 2＝－3.5(舍去)．答：每年市政府投资的增长率为50%.(2)到底共建廉租房面积为9.5÷28＝38(万平方米)．答：到底共建设38万平方米廉租房．5.(1)76 52 (2)设年平均增长率为x ，依题意，得100(1＋x)2＝121，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1(舍去)．答：年平均增长率为10%.6.设花边的宽度为x 米，依题意，得(2－2x)(1.4－2x)＝1.6.解得x 1＝1.5(舍去)，x 2＝0.2.答：花边的宽度为0.2米．7.设小道进出口的宽度应为x 米，根据题意，得(30－2x)(20－x)＝532.解得x 1＝1，x 2＝34.∵34>30(不合题意，舍去)，∴x ＝1.答：小道进出口的宽度应为1米．8.设道路的宽为x 米，则正方形边长为4x.可列方程为：x(12－4x)＋x(20－4x)＋16x 2＝16×20×12.即x 2＋4x －5＝0.解得x 1＝1，x 2＝－5(舍去)．答：道路的宽为1米．9.(1)不符合．设小路宽度均为x m ，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝12×16×12.解得x 1＝2，x 2＝12.但x 2＝12不符合题意，应舍去．∴．(2)答案不唯一．略。
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引例
某生在三月份跳绳测试中成绩为每分钟120下，经过一 段时间练习后，四月份测的成绩提高了20﹪，四月份该 生的跳绳成绩为每分钟 120(1+20﹪) 下；该生坚持每 天锻炼，五月份跳绳成绩又提高了20﹪,五月份的跳绳 成绩为每分钟 120(1+20﹪)² 下；按照这样的增长率， 六月份的成绩可表示为每分钟 120(1+20﹪)³ 下． (列式表示)
四： 120+120×20﹪ 或：120(1+20﹪) 五： 120(1+20﹪)(1+20﹪)=120(1+20﹪)² (1+20﹪) =120(1+20﹪)³ 六： 120(1+20﹪)²
设变化前的量为a,平均变化率为x, 一次变化后的量为 a(1±x) , 两次变化后的量为 a(1±x)² , 三次变化后的量为 a(1±x)³ , 四次变化后的量为 a(1±x)⁴ n次变化后的量为 a(1±x)n （增长取＋，降低取－）
×
②增长率为百分之x 增长率为x﹪ 2(1+x﹪)² =2.88 解得：x1=20,x2=－220
课堂练习
1. 某纪念品原价121元,连续两次降a﹪后售价为100元， 下列所列列方程正确的是( D ) A.121(1-2a﹪)=100 B.121(1-a)2=100 C.100(1-a﹪)2=121 D.121(1-a﹪)2=100 2.某工厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196 万个.设该厂平均每月的增长率为x,列方程( D ) A.50(1+2x)=196 B. 50(1+x)2=196 C.50+50(1+x)2=196 D.50+50(1+x)+50(1+x)2=196 3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的 投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上 的平均增长率是x,则可列方程为 2(1+x)+2(1+x)2=8 .
(2)2.88×(1+20﹪)=3.456﹥ 3.4亿元 答：该企业2018年的利润能超过3.4亿元.
解： （1）该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x 2(1+x)² =2.88
解得：x1=0.2,x2=－2.2(不合题意,舍去)
答:该企业从2015年到2017年利润的年平均 增长率为20﹪. ①增长x
3.（2017·烟台中考）我校响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了足球大课间活动，
例1
受益于国家支持新能源汽车发展利好因素,我市某汽车
零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2015年利润
为2亿元, 2017年利润为2.88亿元.
(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率;
(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变,该
企业2018年的利润能否超过3.4亿元?
4.商店里某种商品在ຫໍສະໝຸດ 个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每
月降价百分之几？
注：若“变化前的量”不是具体的数值，通常设为“单 位 1” .
归纳小结
1.列方程解应用题的一般步骤是: 审 设 列 解 验 答
2.平均增长(降低)率问题的基本模型: 变化前的量×(1±x)n＝变化后的量 a(1±x)² =b
2.(广东中考原题)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援” 赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第五天该单位能收到多少捐款？
例2
现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2016年单价为200元， 2018年单价为162元. (1)求2016年到2018年该品牌足球单价平均每年降低的百分率; (2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案,如图所示,那么去哪 个商场购买足球更优惠? A商场 买十送一 B商场 全场九折
3.此类问题一般用直接开平方法求出两个根, 要检验是否都符合实际意义.
链接中考
1.(广东中考原题)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年
公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增， 请解答下列问题： （1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数 约多少万人次？
2015年 2 2016年 2(1+x) 2017年 2(1+x)²
解： （1）该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x 2(1+x)² =2.88
解得：x1=0.2,x2=－2.2(不合题意,舍去)
答:该企业从2015年到2017年利润的年平均 增长率为20﹪. 审 设 列 解 验 答