2013-2018年上海高考试题汇编-数列(最新整理)

2 2 知识点 2：等差数列的判定 1

知识点 1、等差数列的性质

知识点 3：等差数列的递推关系式

数列

（2018 秋 6）记等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a 3 = 0 ， a 6 + a 7 = 14 ，则 S 7 =

答案：14

（2018 春 5）已知{a n }是等差数列，若a 2 + a 8 = 10 ，则a 3 + a 5 + a 7 =

．

答案：1

（2017 秋 15）已知数列 x n =

a n 2

+ b n + c , n ∈ N *

，使得 x ,

x 200+ k , x 300+ k

成等差数列的必

要条件是 （ ） A. a ≥ 0 B. b ≤ 0

C. c = 0

D. a - 2b + c = 0

答案：A

（2013 年文 22）已知函数 f (x ) = 2 - x ，无穷数列

{a n } 满足a n +1 = f (a n ) ， n ∈ N * ．

（1）若

a 1 = 0 ，求a 2 , a 3 , a 4 ；

（2） 若a 1 > 0 ，且 a 1, a 2 , a 3 成等比数列，求 a 1 的值；

（3） 是否存在 a 1 ，使得 a 1 , a 2 , , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a 1 ；若不

存在，说明理由．

解：（1） a 2 = 2 ， a 3 = 0 ， a 4 = 2 ．

（2）

a 2 = 2 - a 1 = 2 - a 1 ， a 3 = 2 - a 2 = 2 - 2 - a 1 ．

① 当0 < a ≤ 2 时， a

= 2 - (2 - a ) = a ，所以a 2 = (2 - a )2 ，得a = 1．

1

3

1

1

1

1

1

② 当 a > 2 时， a = 2 -

(a - 2) = 4 - a ， 所以 a (4 - a ) = (2 - a )

2

， 得 a = 2 -

1

3

1

1

（舍去）或

a 1 = 2 + ．

1

1

1

1

综合①②得a = 1或 a 1 = 2 + ．

（3）假设这样的等差数列存在，那么 a 2 = 2 - a 1 ， a 3 = 2 - 2 - a 1 ．

由 2a = a + a 得2 - a + 2 - a = 2

a （ * ）． 2

1

3

1 1 1

以下分情况讨论：

2

100+ k

1 1 n 1 ⎨ ⎩

① 当a > 2 时，由（

* ）得a = 0 ，与a > 2 矛盾； 1

1 1

② 当0 < a ≤ 2 时，由（ * ）得a = 1，从而a =

1 所以

{a n }是一个等差数列；

(n = 1, 2, ) ，

③ 当a ≤ 0

时，则公差 d = a 2 - a 1 = (a 1 + 2) - a 1 = 2 > 0 ，因此存在m ≥ 2 使得

a m = a 1 + 2(m -1) > 2 ．此时 d = a m +1 - a m = 2 - a m

- a m < 0 ，矛盾．

综合①②③可知，当且仅当a 1 = 1时， a 1 , a 2 , a 3 构成等差数列．

（2013 理 23）给定常数 c > 0 ，定义函数 f (x ) = 2 x + c + 4 - x + c 满足a n +1 = f (a n ) ， n ∈ N * ． （1）若 a 1 = -c - 2 ，求 a 2 及 a 3 ；

（2） 求证：对任意 n ∈ N * ， a n +1 - a n ≥ c ；

．数列 a 1 , a 2 , a 3 ,

（3） 是否存在 a 1 ，使得 a 1 , a 2 , , a n , 成等差数列？若存在，求出所有这样的 a 1 ；若不

存在，说明理由．

解：（1） a 2 = 2, a 3 = c +10 ．

⎧ x + c + 8, x ≥ -c ,

（2） f ( x ) = ⎪3x + 3c +8, -c - 4 ≤ x < -c , ⎪-x - c - 8, x < -c - 4.

当a n ≥ -c 时， a n +1 - a n = c + 8 > c ；

当-c - 4 ≤ a n < -c 时， a n +1 - a n = 2a n + 3c + 8 ≥ 2(-c - 4) + 3c + 8 = c ；

当 a n < -c - 4 时， a n +1 - a n = -2a n - c - 8 ≥ -2

(-c - 4) - c - 8 = c ．

n +1 n

n

n +1 n

n

2

1

所以，对任意 n ∈ N * ， a - a ≥ c ．

方法二： 要证： 2 x + c + 4 - x + c - x ≥ c

2 x + c + 4 ≥ x + c + x + c

当 x + c < 0 时，等式右边为 0，不等式显然成立当

x + c ≥ 0 时，等式化为2 ( x + c + 4) ≥ 2 ( x + c ) 显然

（3）由（2），结合c > 0 得 a > a ，即{a n }为无穷递增数

列．又

{a n }为等差数列，所以存在正数M ，当 n > M 时， a ≥ -c ，

从而， a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ．

由于

{a n }为等差数列，因此其公差 d = c + 8 ．

① 若a 1 < -c - 4 ，则 a 2 = f (a 1 ) = -a 1 - c - 8 ，

又 a 2 = a 1 + d = a 1 + c + 8 ，故-a 1 - c - 8 = a 1 + c + 8 ，即a 1 = -c - 8 ，从而 a 2 = 0 ． 当 n ≥ 2 时，由于

{a n }为递增数列，故 a ≥ a = 0 > -c ，

所以， a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ，而a = a + c + 8 ，

故当a 1 2

1

= -c - 8 时，

{a n }为无穷等差数列，符合要求；

② 若-c - 4 ≤ a < -c ，则a 2 = f (a 1 ) = 3a 1 + 3c + 8 ，又a

= a + d = a + c + 8 ，

1

2

1

1

所以， 3a 1 + 3c + 8 = a 1 + c + 8 ，得a 1 = -c ，舍去；

③ 若a 1 ≥ -c ，则由 a n ≥ a 得到 a n +1 = f (a n ) = a n + c + 8 ， 从而

{a n }为无穷等差数列，符合要求．

综上， a 1 的取值集合为

[-c , +∞) {-c - 8} ．