高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题

8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1）

问题探究8

已知椭圆22

143

x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=•u u u r u u u r u u u r

恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式）

实验成果

动态课件

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

11112

||||AF BF ep

+= 备用课件

双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

AB 在同支

11112

||||AF BF ep += AB 在异支

11112

|

|||||AF BF ep

-= 备用课件

抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

112

||||AF BF ep

+=

备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2）

问题探究9

已知椭圆22

143

x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=•u u u r u u u r u u u r u u u r

恒成立.并由此求

四边形ABCD 面积的最小值和最大值.

实验成果

动态课件

椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

ep

e CD AB 22||1||12

-=

+ 备用课件

双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

ep

e CD AB 2|

2|||1||12-=+

备用课件

抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数

ep

e CD AB 22||1||12

-=

+

备用课件

10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值

3）

问题探究10

已知椭圆22

143

x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=u u u r u u u u r

恒成立？

实验成果

动态课件

设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）

备用课件

设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）

备用课件

设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点）

备用课件

11．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质1（中点共线）

问题探究11

已知椭圆22

143

x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线1l 交椭圆于A ，B 两点，直线2l ：4x =-交x 轴于点G ，点,A B 在直线2l 上的射影分别是,N M ，设直线,AM BN 的交点为

D ，是否存在实常数λ，使1GD DF λ=u u u r u u u u r

恒成立.

实验成果

动态课件

椭圆的焦点弦的端点在相应准线上的投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件

双曲线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件

抛物线的焦点弦的端点在相应准线上投影与端点的交叉连线与对称轴的交点平分焦点与准线与对称轴的交点线段． 备用课件

12．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质2（三点共线）问题探究12

已知椭圆

22

1

43

x y

+=，

1

F为椭圆之左焦点，过点

1

F的直线

1

l交椭圆于A，B两点，,C D分

实验成果动态课件

椭圆焦点弦端点A、B与另一顶点

D连线与相应准线的交点N、M，

则N、C、B三点共线，M、C、A

三点共线

备用课件

双曲线焦点弦端点A、B与另一顶

点D连线与相应准线的交点N、M，

则N、C、B三点共线，M、C、A

三点共线

备用课件

抛物线焦点弦端点A、B与另一顶

点D连线与相应准线的交点N、M，

则N、C、B三点共线，M、C、A

三点共线（抛物线的D点在无穷远

处）.

备用课件

别为椭圆的左、右顶点，动点P 满足,,PA AD PC CB λμ==u u u r u u u r u u u r u u u r

试探究点P 的轨迹.

13．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质3（对焦点直张角）

问题探究13

已知双曲线

22

131

x y -=，1F 为双曲线之左焦点，过点1F 的直线1l 交双曲线于A ，B 两点， 实验成果

动态课件

椭圆焦点弦端点A 、B 与另一顶点

D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥

备用课件

双曲线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则11NF MF ⊥

备用课件

抛物线焦点弦端点A 、B 与另一顶点D 连线与相应准线的交点N 、M ，则NF MF ⊥（抛物线的D 点在无穷远处）

备用课件