看懂真值表.
八种逻辑门电路真值表
以下是八种逻辑门电路的真值表：1. 与门（AND）：所有输入为高时，才会有输出高。
真值表如下：* 输入A
* 输入B
* 输出Y
* 0
* 0
* 0
* 0
* 1
* 0
* 0
* 1
* 1
* 1
2. 或门（OR）：所有输入为低时，才会有输出低。
真值表如下：
* 输入A
* 输入B
* 输出Y
* 0
* 0
* 0
* 0
* 1
* 1
* 1
* 0
3. 非门（NOT）：逆转输入的高低状态。
真值表如下：
* 输入A
* 输出Y
* 0
* 1
4. 与非门（NAND）：所有输入为高时，才会有输出低。
真值表如下：
* 输入A
* 输入B
* 输出Y
* 0
* 0
* 1
* 0
* 1
* 1
5. 或非门（NOR）：所有输入为低时，才会有输出高。
真值表如下：
* 输入A
* 输入B
* 输出Y
* 0
* 0
* 0
6. 异或门（XOR）：输入相同时输出为低，否则为高。
真值表如下：
* 输入A
* 输入B
* 输出Y
* 0
* 0
7. 同或门（XNOR）：与异或门相反。
输入相同时输出为高，否则为低。
真值表如下：
8. 与门的逻辑符号为AND，或门的逻辑符号为OR，非门的逻辑符号为NOT，与非门的逻辑符号为NAND，或非门的逻辑符号为NOR，异或门的逻辑符号为XOR，同或门的逻辑符号为XNOR。
第六节 真值表及其作用
3.如果李刚去参加联欢会，则王亮、孙凯和黄平都 会去；王亮没去参加联欢会；所以： 能。结论为：李刚没去参加联欢会。 (充分条件假言判断的否定后件式) 4.并非午夜天上最亮的星星，或者是牛郎星，或者 是织女星；所以： 能。结论为：午夜天上最亮的星不是牛郎星，也 不是织女星。(相容选言判断负判断的等值判断) 5.如果所有的鸟都会飞，并且鸵鸟是鸟，则鸵鸟会 飞；鸵鸟是鸟，但鸵鸟不会飞；因此： 能。结论为：并非所有的鸟都会飞(或者:有些鸟 不会飞) (反三段论)
F F F T
T T T T
4.得出需要判定的复合判断的真值并作出判定.
二、真值表的作用
（一）定义复合判断逻辑联结词
p q p→q p←q p←→q p∨q p∨q p∧q ┓p 真 真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 真 真 假 真 真 假 假 真 真 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 假 真 真
七、以下列各组判断作前提能否必然推出结论？如 果能，可推出什么结论？ 1.只有经过严格考试和体验,才能成为飞行员;飞行 学校的毕业生都经过了严格的考试和体验;所以: 不能。必要条件假言推理，由肯定前件不能必然 推出结论。 2.大学生乐于上互联网,或者是喜欢聊天,或者是迷 恋游戏,或者是查找资料;小陈整天泡在网上既不 聊天,也不查资料;所以: 能。结论为：小陈乐于上网是迷恋游戏。 (相容选言推理的否定肯定式)
第六节
真值表及其作用
一、真值表及其画法
真值表是以表格的直观形式表示与判定判断 真值和推理有效性的一种逻辑方法。 【真值表：能显示一个复合判断在它的支判 断的各种组合下的真假情况的图表。】
注意问题：
在二值逻辑中，判断的真值只限于判 断取值为真、为假两种情况。 推理有效性即推理形式的正确性，包 括推理有效和无效两种情况。 真值表的简单与复杂，主要取决于支 判断和逻辑联结词的多少。
1-3、4翻译、真值表PPT课件
⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。
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例题
例题1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、 学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。
解 : 找出各原子命题，并用命题符号表示： A：我们要做到身体好。 B：我们要做到学习好。 C：我们要做到工作好。 P：我们要为祖国四化建设而奋斗。
命题符号化步骤： (1)分成原子命题 (2)用大写字母代替命题 (3)按题意用联结词
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自然语言的语句用Wff 形式化
主要是以下几个方面：
① 要准确确定原子命题，并将其形式化。
② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语 言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要 放准确。
③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式， 但要保证表达意思一致。
解 (1)设 P：天下雨。 Q：我有时间。 R：我上街。 则命题符号化为： R →（ ┐ P∧Q）
(2)设 P：人不犯我。 Q：我不犯人。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → ┐ Q)
(3)设 P：天下雨。 Q：我在家。 R：我上街。 则命题符号化为： ( P → Q ) ∧(┐ P → R)
翻译 把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符 号形式。
优先次序 规定联结词运算的优先次序为：
┐、∧、∨、→、
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第一章 命题逻辑
§1—4真值表与等价公式
要求：理解两个合式公式等价的定义，熟 悉命题定律，会证明等价公式。
重点：两个合式公式等价的定义，10个命题 定律。
难点：推证等价公式。
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
半加器真值表和逻辑表达式
半加器真值表和逻辑表达式一、半加器真值表和逻辑表达式的基础知识半加器可是数字电路里超有趣的小玩意儿呢！那什么是半加器呢？简单说呀，它就是一种只考虑两个一位二进制数相加，不考虑低位进位的电路。
1. 真值表我们先来说说真值表。
真值表就是把输入和输出的所有可能情况都列出来。
对于半加器来说，它有两个输入，分别设为A和B，还有两个输出，一个是和（S），一个是进位（C）。
当A = 0，B = 0的时候呢，S = 0，C = 0。
就像你有0个苹果，再加上0个苹果，总共还是0个苹果，也没有多余的能进位。
当A = 0，B = 1的时候，S = 1，C = 0。
这就好比你本来没有苹果，别人给你1个，那你就有1个苹果了，还没有到能进位的程度。
当A = 1，B = 0的时候，S = 1，C = 0。
和上面的情况类似，只是换了一下谁有苹果谁没有。
当A = 1，B = 1的时候，S = 0，C = 1。
这个时候呢，1加1等于2了，在二进制里就是10，所以和是0，进位是1。
2. 逻辑表达式那怎么用数学式子来表示半加器呢？对于和（S）的逻辑表达式是S=A⊕B，这个⊕符号表示异或运算哦。
异或运算就是两个输入不同的时候输出为1，相同的时候输出为0。
就像A和B一个是0一个是1或者一个是1一个是0的时候，S就是1啦。
对于进位（C）的逻辑表达式就简单啦，C = A·B，这个·表示与运算。
就是A和B都为1的时候，C才是1，就像只有你和小伙伴都有苹果的时候，才会有多余的能进位。
二、半加器的实际应用半加器虽然看起来简单，但是它可是构建更复杂数字电路的基础呢。
1. 在加法器中的应用全加器就会用到半加器的原理。
全加器是考虑低位进位的加法器，它可以由两个半加器和一些逻辑门组合而成。
想象一下，我们要计算多位二进制数的加法，就像搭积木一样，半加器就是那些基础的小积木块，把它们组合起来就能完成更复杂的计算啦。
2. 在其他数字电路中的应用在计数器、寄存器等数字电路组件中，半加器的逻辑也可能会被用到。
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法
逻辑学真值表法是一种常用的推理方法，它可以帮助我们研究、解释和理解复杂的或超越思维能力的问题。
它是一种基于逻辑规则的知识表示法，为给定的条件和结果构建一种以真值表的形式运算的推导系统，从而完成推理和判断工作。
绘制真值表是实现此类推理的基本步骤。
真值表一般由有终止性的几个命题组成，每个命题都有两个可能的真假值，即真和假。
通过将这些真假值进行组合，可以确定输入命题和输出命题者之间的关系。
结果，关于给定条件或结论的结论可以提出。
在使用逻辑学真值表法之前，必须先弄清楚问题当中的信息，以及我们要得到的结果。
通常，我们需要将问题表达成操作，接着写出信息和推测，再将命题连接起来，用Negation，Disjunction，Conjunction和implication来构建命题，从而明确解决问题的思路。
接着，就可以使用真值表来回答问题了。
简而言之，要使用逻辑学真值表法来解决问题，必须首先明确问题的描述，然后将问题表达为的操作和命题，最后通过真值表法得出答案。
真值表法是一种有效的推理方法，掌握了它，就可以有效地解决复杂的问题，从而提高求解能力和解决问题的速度。
因此，它是一种有效的学习工具，是非常重要的数学和逻辑学知识。
数电真值表
数电真值表是一种用于描述数字电路中逻辑关系的表格。
它列出了输入变量的所有可能取值组合，以及对应的输出值。
数电真值表是逻辑设计中最基本的工具之一，它可以帮助我们理解电路的行为，进行逻辑函数的化简和变换，以及进行电路的测试和故障排除。
在数电真值表中，通常将输入变量表示为列，将输出变量表示为行。
例如，一个简单的与门逻辑电路的真值表如下：
在这个真值表中，我们可以看到输入A和B的每个组合都对应一个输出Y的值。
当A和B都为1时，输出Y为1；在其他情况下，输出Y 都为0。
通过数电真值表，我们可以了解电路的逻辑功能，并进行逻辑函数的化简和变换。
例如，我们可以将一个复杂的逻辑函数表示为一个简单的真值表，或者将一个复杂的电路分解为多个简单的逻辑门电路。
此
外，数电真值表还可以用于测试数字电路的正确性，以及进行故障排除。
真值表
联言判断
包含两个联言支的联言判断，其逻辑形式可表示为：p并且q，合取式为：p∧q
联言判断的真假（真值表）
选言判断
1、相容选言判断
逻辑形式：p或者q，p∨q
真假表表明：p∨q假，当且仅当p和q同假。
2、不相容选言判断
逻辑形式：要么p，要么q, p∨q
真值表表明：p∨q假，当且仅当p和q同真或同假。
假言判断
充分条件假言判断
1、充分条件假言判断：
真假表表明：p →q为假，当且仅当p真而q假。
2、必要条件假言判断：
真值表表明：p ←q为假，当且仅当p假而q真
3、充分必要条件假言判断
真值表表明：p q 真，当且仅当p 和q 同真或同假。
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
负判断
逻辑形式：并非p ，逻辑符号表示：“
”或者“ ”
T F
F T
•
p p p。
逻辑式与真值表 ppt课件
用真值表验证下列等式是否成立：
A B A B (A B )A ( B )
三、例题与练习
A
B
AB
AB
A B AB AB A+B (AB)(AB)
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，AB AB与(AB)(AB) 的值都相同，所以 ABAB(AB)(AB)．
完成下面的真值表
B A B A+B
01 1 0
A· 0B
0 11 01 0
1 0 0 11 0
1 1 0 01 1
A B ABAB A B A B
A B ABAB A B A B 00 0 1 11 1 01 1 0 10 0 10 1 0 01 0 11 1 0 0 0 0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，A B 与A B 的值都相等
简称逻辑式。
例如
A，A（ B +
C
）， A
B
C
D
,1,
0
等都是逻辑式
将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运 算，可以得到逻辑式的一个值（0 或 1）.
真值表概念
如何列真值表
一、分析式子中的逻辑变量及其个数
二、利用树形图分析列表的行数 三、根据式子分析列表列数
用真值表验证下列等式是否成立：
A (B C )A B AC
真值表的初步理解
真值表推理规则证明方法
第四章数学命题的数学设计一、真值表1、否定（非）：, 设P为一个命题，称P为P的否定式，记作p，其真值表如2、合取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“与”把它们连接起来成为一个新命题“p与q”，记作qp∧。
真值表如下：3、析取：设p,q表示两个命题，用逻辑联结词“或”把它们连接起来成为一个新命题“p或q”，记作qp∨。
真值表如下：4、蕴涵（如果、、、那么、、、）：设p,q表示两个命题，用“如果、、、那么、、、”把它们连接起来成为一个新命题“如果p,那么q”，记作qp→。
真值表如下：5、当且仅当（等价式）：设p,q 表示两个命题，把q p ↔称为p,q 的等价式，其真值表如下真值表的作用证明重言式、两个命题等价，解决逻辑推理问题 例1 q p q p ∨≡∧例2 q p q p ∨≡→其真值表如下：三、推理规则1、合取规则：p 为真q 为真, q p ∧也为真。
2、分离规则：q p →为真，p 为真，q 也为真（充分条件假言规则）。
3、全称命题为真，则特称命题也为真。
4、r p ,,→→→则r q q p 。
5、是恒真命题r p r q q p ↔→↔∧↔)()(。
6、q(T) (T) p q(T)p ↔7、qp p q q p ↔→→8、(T)p (T) )(q T q p →（否定规则）9、pq q p →→10、(T)q (T) )(p T q p ∨（选言规则）11、qqp p q p ∧∧或（联言规则）12、三段论：推理形式为如果M 是P,S 是M,那么S 是P 。
它的逻辑式为：)()()(P S M S P M →→→∧→。
由真值表可知：)()()(P S M S P M →→→∧→1≡是恒真命题。
凡是恒真命题（重言式）都可作为推理规则。
前面提到的分离规则1)(≡→∧→q p q p ，选言规则1)(≡→∧∨q p q p ，联言规则1)(≡→∧p q p ，也都是恒真命题。
分别证明如下：11)()(31)()()()(21)()()()()(1≡∨≡∨∨≡∨∧≡→∧≡∨∨∨≡∨∧∨≡→∧∨≡∨∨∨≡∨∧∨≡∧∨≡→∧→q p q p p q p p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p q p p q p q q p 、、、四、证明方法1、直接证明：直接从所给论题入手，以公理、定义、定理等为论据，运用逻辑推理规则来论证论题为真的证明方法。
任意项 真值表 逻辑表达式 解释说明以及概述
任意项真值表逻辑表达式解释说明以及概述1. 引言1.1 概述在逻辑学和数学领域中，真值表是一种重要的工具，用于表示逻辑表达式中不同变量组合对应的真值结果。
通过构建和分析真值表，我们可以深入理解逻辑运算规则、等价关系以及在实际问题中的应用。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面对真值表进行详细探讨：定义与基本概念、构建真值表的方法、应用示例与分析。
随后，我们将转向逻辑表达式部分，包括逻辑符号与运算规则、逻辑等价与蕴含关系以及真值表在逻辑表达式中的应用。
此外，我们还将介绍解释函数与解释模型的概念，并阐述真值表的解释过程和方法论贡献。
最后，我们将通过实际问题中的解释应用案例进行分析，并总结重要观点和发现结果。
1.3 目的本文旨在全面介绍和讨论任意项真值表及其在逻辑表达式中的应用。
通过对各个主题进行深入探究，并结合示例和案例分析，我们希望读者能够理解并运用真值表相关概念、方法和技巧。
此外，我们也将展望未来研究方向，为后续相关领域的深入研究提供建议和思路。
以上是文章“1. 引言”部分的内容，用于概述本文的目的、结构和要点。
2. 真值表2.1 定义与基本概念真值表是一种用于表示逻辑表达式中所有可能情况的表格。
它由逻辑变量及其对应的真值组成，在每一行中列出了逻辑变量的取值以及整个逻辑表达式的真值。
真值表是进行逻辑推理和分析的重要工具。
在一个简单的例子中，如果我们有两个逻辑变量A和B，每个变量都可以取两个可能的值：真（T）或假（F）。
因此，我们可以构建一个包含四行的真值表来表示这两个变量所有可能情况下的取值和结果。
2.2 构建真值表的方法构建真值表有几种常用方法：首先，可以通过列举所有可能情况并在每行中填写对应的取值和结果来手动构建真值表。
尤其对于较小规模的问题，这种方法相对简单直观。
其次，利用二进制编码可以更高效地构建大型真值表。
根据逻辑变量数量确定二进制数位数，并通过将二进制数与逻辑变量取值之间进行映射来生成所有可能情况下的取值和结果。
比较充分条件和必要条件的真值表和推理规则
比较充分条件和必要条件的真值表和推理介绍如下：
充分条件和必要条件是数学逻辑学中常用的概念，掌握它们的真值表和推理方式是进行逻辑推理的关键。
1.充分条件
充分条件是指，如果条件A成立，那么结论B也必然成立。
充分条件表示为：A→B。
A与B分别称为前提和结论。
当前提为假时结论成立或不成立都有可能。
因此，充分条件只是达成结论的一种可能方式，但不是必然方式。
充分条件的推理方式：
如果要判断充分条件是否成立，有两种方式：
（1）对前提A进行前向推导，即先假设A成立，再确定结论B是否成立。
（2）对结论B进行后向推理，即先假设结论B成立，再确定前提A是否成立。
2.必要条件
必要条件是指，只有当结论B成立时，前提A才有可能成立。
必要条件表示为：B→A。
从上表可以看出，只有当结论为真时，前提有可能成立，否则前提必为假。
因此，必要条件是达成结论的必须条件。
必要条件的推理方式：
如果要判断必要条件是否成立，有两种方式：
（1）对结论B进行前向推导，即先假设结论B成立，再确定前提A是否一定成立。
（2）对前提A进行后向推理，即先假设前提A成立，再确定结论B是否一定成立。
总之，充分条件和必要条件是逻辑推理中不可或缺的概念，合理运用真值表和推理方式可以对条件和结论的关系进行精准判断，有助于更加准确地进行逻辑推理和判断。
11.4 逻辑式与真值表
例如：A· B+AB的真值表如下
A 1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
B 1 0 1
A· B+AB 1 0 0 1
0
0
例1 写出下列各式的运算结果： （ 1） 1 · 0 ； （ 2） 1 · 0 +1； （3）1 · 0 +1； 例2 完成下面的真值表：
A
B
A
A +B
A· B
练习 1、 写出下列各式的运算结果： （1）1 +1 ； （3）1 +1 ·0 ； （2）1 +1 +0； （4）1 +1 +1 1；
2 、 完成下面的真值表： A B A B· 1 A+B · 1
4、等值逻辑式 如果对于逻辑变量的任何一组取值，两个逻辑 式的值都相等，这样的两个逻辑式叫做等值逻辑 式。 可用=连接，并称为等式。这种相等是状态的相同。
例3 用真值表验证下列等式是否成立： （1）A+B=A ·B； （2）A · （B+C）= A·B+A · C.
11.4 逻辑式与真值表
1、逻辑式的概念、真值表的概念
1、逻辑式 由常量1，0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式 子叫做逻辑代数式，简称逻辑式。 例如：A+B，AB+C，D，1，1+0等 只能取0或1 将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经 过运算，可以得到逻辑式的一个值（0或1）。 3、真值表0或1 列出逻辑变量的一切可能取值与相应的逻辑 式的值 的表，叫做逻辑式的真值表。 2、逻辑式的一个值
练习： 1、列出S=A+B+A+B真值表： 2、 用真值表验证下列等式是否成立： B= A （1）A+B=A +B； （2）A+A · 3、
第六章 真值表的判定
二、请用真值表判定下列各组命题形式 之间是否具有等值关系。 1、 ¬（P→q） P∧¬q 2、 ¬（P∧¬q） （
¬P∨q
三、列出A、B两命题的真值表，并回答A、 B恰有一个为假时，王军是否考上了大学？ A：如果王军考上了大学，那么李伟就没 有考上大学。 B：王军没有考上大学。
四、列出A、B、C三命题的真值表，并回答当A、 B、C三命题恰有一真时，是否甲村所有人家都 有彩电？ A、甲村所有人家都有彩电，并且乙村所有人 家都有彩电。 B、或者甲村所有人家都有彩电，或者乙村所 有人家都有彩电。 C、如果乙村所有人家都有彩电，那么甲村有 些人家没有彩电。
（（p∨q）∧¬p） ∨ ∧ p q ¬p p∨q (p∨q）∧¬p →q ∨ ∨ ∧ T T F T F F F T T F F T T T T F F F T F T T T T
由真值表可知（（p∨q）∧¬p）→q 是 ∨ ∧ 重言式。
例2、（（p∨q）∧p）→ ¬ q ∨ ∧
p q ¬q p∨q (p∨q）∧ p ∨ ∨ ∧ T T F T F T F T F F F T T T T F T T F F
重言式、矛盾式、 四、重言式、矛盾式、可满足式
1、重言式（又叫永真式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该 命题形式的值总是真的。 如： p∨ ¬p p∨
p T F
¬p
F T
p∨ ¬p ∨ T T
2、矛盾式（又叫永假式）是指在一个命 题形式中不论其中的变项取什么值，该 命题形式的值总是假的。 如： p∧ ¬p ∧
p T F
¬p
F T
p∧ ¬p ∧ F F
3、可满足式是指在一个命题形式中不论 其中的变项取什么值，该命题形式的值至 少在一种情况下是真的。 如：p ∧ q
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1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。
由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。
（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。
3.最小项的编号最小项通常用m i表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。
以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。
下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。
例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。
由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
三、用卡诺图表示逻辑函数1.卡诺图的引出一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格图内，此方格图称为卡诺图。
卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。
下面从讨论一变量卡诺图开始，逐步过渡到多变量卡诺图。
大家知道，n个变量的逻辑函数有2n个最小项，因此一个变量的逻辑函数有两个最小项。
比如有一个变量Ｄ，其逻辑函数Ｌ的最小项表达式为：其中Ｄ和是两个最小项，分别记为m1和m0，即m0=D，m1=D。
这两个最小项可用两个相邻的方格来表示，如下图所示。
方格上的Ｄ和分别表示原变量和非变量。
为了简明起见，非变量可以不标出，只标出原变量Ｄ。
但是还可以进一步简化，也就是将m0，m1只用其下标编号来表示。
若变量的个数为两个，则最小项个数为22=4项，函数的最小项表达式为由于有４个最小项，可用４个相邻的方格来表示。
这４个方格可以由折叠了的１变量卡诺图展开来获得，如下图所示，变量Ｄ标在图的底下，标的规律符合展开的规律，即中间两格底下为Ｄ，两边的两格底下为。
而变量Ｃ可标在展开后新的两个方格的顶上,以保持左边的第一格仍为m0项，即维持展开前两方格最小项序号不改变。
由图中可看到一个规律：新的方格内最小项的编号比对应的原方格增加了2n-1＝22-1＝2。
按照这个规律折叠时，方格1后面为方格３,方格０后面为方格２，展开后即得图示的２变量卡诺图。
综上所述，可归纳“折叠展开”的法则如下：①新增加的方格按展开方向应标以新变量。
②新的方格内最小项编号应为展开前对应方格编号加2n-1。
按照同样的方法，可从折叠的２变量卡诺图展开获得３变量卡诺图。
３变量逻辑函数L(B, C, D)应有８个最小项，可用８个相邻的方格来表示。
新增加的４个方格按展开方向应标以新增加的变量B（以区别于原来的变量C、D）。
而且，新增加的方格内最小项的编号为展开前对应方格编号加2n-1=23-1=4，这样即可获得３变量卡诺图如下：同理，可得４变量卡诺图，如下图所示。
在使用时，只要熟悉了卡诺图上各变量的取值情况（即方格外各变量A、B、C、D等取值的区域），就可直接填入对应的最小项。
将上图中的数码编号与最小项的编号——对应，可以得到下面这种形式的卡诺图。
2.卡诺图的特点上面所得各种变量的卡诺图，其共同特点是可以直接观察相邻项。
也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在几何上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。
在卡诺图水平方向的同一行里，最左和最右端的方格也是符合上述相邻规律的，例如，m4和m6的差别仅在C和。
同样，垂直方向同一列里最上端和最下端两个方格也是相邻的，这是因为都只有一个因子有差别。
这个特点说明卡诺图呈现循环邻接的特性。
3.已知逻辑函数画卡诺图根据逻辑函数的最小项表达式和卡诺图的一般形式，就可以得到相应的卡诺图。
例如，要画出逻辑函数的卡诺图时，可根据４变量卡诺图，对上列逻辑函数最小项表达式中的各项，在卡诺图相应方格内填入１，其余填入０，即可得到如下图所示的Ｌ的卡诺图。
例：画出的卡诺图解：（1）利用摩根定律，可以将上式化简为：（2）因上式中最小项之和为Ｌ，故对Ｌ中的各最小项，在卡诺图相应方格内应填入０，其余填入１，即得下图所示的卡诺图。
四、用卡诺图化简逻辑函数1.化简的依据我们知道，卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则这两个相邻最小项的和将消去一个变量。
比如４变量卡诺图中的方格５和方格７，它们的逻辑加是，项消去了变量Ｃ，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。
若卡诺图中４个相邻的方格为１，则这４个相邻的最小项的和将消去两个变量，如上述４变量卡诺图中的方格２、３、７、６，它们的逻辑加是消去了变量Ｂ和Ｄ，即消去相邻４个方格中不相同的那两个因子，这样反复应用的关系，就可使逻辑表达式得到简化。
这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的某本原理。
2.化简的步骤用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下：（1）将逻辑函数写成最小项表达式。
（2）按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。
（3）合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈），每一组含2n个方格，对应每个包围圈写成一个新的乘积项。
（4）将所有包围圈对应的乘积项相加。
有时也可以由真值表直接填卡诺图，以上的（1）、（2）两步就合为一步。
画包围圈时应遵循以下原则：（1）包围圈内的方格数必定是2n个，n等于0、1、2、3、…。
（2）相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。
（3）同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的方格，否则该包围圈为多余。
（4）包围圈内的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少。
化简后，一个包围圈对应一个与项（乘积项），包围圈越大，所得乘积项中的变量越少。
实际上，如果做到了使每个包围圈尽可能大，结果包围圈个数也就会少，使得消失的乘积项个数也越多，就可以获得最简的逻辑函数表达式。
下面通过举列来熟悉用卡诺图化简逻辑函数的方法。
例: 一个逻辑电路的输入是４个逻辑变量Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它的真值表如下，用卡诺图法求化简的与一或表达式及与非一与非表达式。
解：（1）由真值表画出卡诺图，如下图所示。
（2）画包围圈合并最小项，得简化的与一或表达式。
（3）求与非一与非表达式。
二次求非然后利用摩根定律得利用卡诺图表示逻辑函数式时，如果卡诺图中各小方格被１占去了大部分，虽然可用包围１的方法进行化简，但由于要重复利用１项，往往显得零乱而易出错。
这时采用包围０的方法化简更为简单。
即求出非函数再对求非，其结果相同，下面举例说明。
例：化简下列逻辑函数解：（1）由Ｌ画出卡诺图，如图所示。
（2）用包围１的方法化简，如下图所示，得所以有：（3）用包围０的方法化简，如图所示，根据图得到：，两边去反后可得：两种方法得到的结果是相同的。
实际中经常会遇到这样的问题，在真值表内对应于变量的某些取值下，函数的值可以是任意的，或者这些变量的取值根本不会出现，这些变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项。
无关项的意义在于，它的值可以取０或取１，具体取什么值，可以根据使函数尽量得到简化而定工作原理:由一个中心有轴的光电码盘，其上有环形通、暗的刻线，有光电发射和接收器件读取,获得四组正弦波信号组合成A、B、C、D,每个正弦波相差90度相位差（相对于一个周波为360度），将C、D信号反向，叠加在A、B两相上，可增强稳定信号；另每转输出一个Z相脉冲以代表零位参考位。
由于A、B两相相差90度，可通过比较A相在前还是B相在前，以判别编码器的正转与反转，通过零位脉冲，可获得编码器的零位参考位。
编码器码盘的材料有玻璃、金属、塑料，玻璃码盘是在玻璃上沉积很薄的刻线，其热稳定性好，精度高，金属码盘直接以通和不通刻线，不易碎，但由于金属有一定的厚度，精度就有限制，其热稳定性就要比玻璃的差一个数量级，塑料码盘是经济型的，其成本低，但精度、热稳定性、寿命均要差一些。
分辨率—编码器以每旋转360度提供多少的通或暗刻线称为分辨率，也称解析分度、或直接称多少线，一般在每转分度5~10000线。
信号输出:信号输出有正弦波（电流或电压）,方波（TTL、HTL）,集电极开路（PNP、NPN）,推拉式多种形式，其中TTL为长线差分驱动（对称A,A-;B,B-;Z,Z-）,HTL 也称推拉式、推挽式输出，编码器的信号接收设备接口应与编码器对应。
信号连接—编码器的脉冲信号一般连接计数器、PLC、计算机，PLC和计算机连接的模块有低速模块与高速模块之分，开关频率有低有高。
如单相联接，用于单方向计数，单方向测速。
A.B两相联接，用于正反向计数、判断正反向和测速。
A、B、Z三相联接，用于带参考位修正的位置测量。
A、A-，B、B-，Z、Z-连接，由于带有对称负信号的连接，电流对于电缆贡献的电磁场为0，衰减最小，抗干扰最佳，可传输较远的距离。
对于TTL的带有对称负信号输出的编码器，信号传输距离可达150米。
对于HTL的带有对称负信号输出的编码器，信号传输距离可达300米。
编码器的定义与功能：在数字系统里，常常需要将某一信息（输入）变换为某一特定的代码（输出）。
把二进制码按一定的规律编排，例如8421码、格雷码等，使每组代码具有一特定的含义（代表某个数字或控制信号）称为编码。
具有编码功能的逻辑电路称为编码器。
编码器有若干个输入，在某一时刻只有一个输入信号被转换成为二进制码。
如果一个编码器有N个输入端和n个输出端，则输出端与输入端之间应满足关系N≤2n。
例如8线—3线编码器和10线—4线编码器分别有8输入、3位二进制码输出和10输入、4位二进制码输出。
1.4线—2线编码器下面分析4输入、2位二进制输出的编码器的工作原理。
4线—2线编码器的功能如表5.2.1所示。