2-2静电场的基本方程

电荷量有关。
2） 静电场是有源场，静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或 汇集状的静电场
3） 无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零
二、真空中静电场的旋度 环路定律
E dl
l
l
q
4 0
e
dl
R2
q
4 0
e
dl
l R2
q
4 0
RB dR R RA 2
q
4
0
1 RA
1 RB
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl
qi r2l
E2rl
E
r 2 0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场
xq
E 4 0 (r 2 x 2 )3/ 2
dE
xdq
40 (r 2
x2 )3/2
x 2rdr 40 (r 2 x2 )3/ 2
R
P dE
rx
dr
2 x
E
4 0
R 0
(r 2
rdr x2 )3/2
2
0
1
(R2
x x2 )1/ 2
E
2
0
1
(R2
x x2 )1/ 2
讨论：
1. 当 R >> x
E
2
0
无限大均匀带电平面的场强，匀强电场
2. 当 R << x
x (R2 x2 )1/ 2
(1
R2 x2
)1/ 2
1 1 ( R)2 2x
E
R 2 40 x2
q
40 x2
可视为点电荷的电场
例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间 中产生E。 由球体的对称性分析可知： ❖电场方向沿半径方向： ❖电场大小只与场点距离球心的距离相关。
静电场旋度处处为零，静电场是无旋场，电力线不构成闭合回 路
真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
E
0
1 n
E dS
S
0
qi
i 1
E 0
l E dl 0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
静电场的源：电荷
讨论：对静电场，恒有：
Ev(rv) 0
v
Q () 0 E
当A点和B点重合时：
E dl 0
l
静电场环路定律积分形式
斯托克斯公式
Ev(rv) 0
B
RB q
l
RA
A
R dl
R dR
S ( A) dS cA dl
l E dl 0
Ev(rv) 0
对环路定理的讨论
物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周， 静电力做功为零——静电场为保守场。
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
qi 2Rl
r l
E2rl 2Rl 0
R
E
0r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体 密度为 。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
r
高为l,半径为r
(1) r <R
l
e E dS E dS E dS E dS
第二节 静电场的基本方程
2.2 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
1）库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律
2）库仑定律内容：如图，电荷q1对
电荷q2的作用力为：
F式v10中为2 ：真 4空qR1中0q介R2 2R电vev常R 数4。evqR10qR2RRv3
v R
对库仑定律的进一步讨论
0
1
4 0 a
(sin 2
sin 1 )
同理
Ey
4
0
a
(cos1
cos
2
)
最后: E
Ex2
E
2 y
讨论:
Ex
4
0a
(sin
2
sin1)
Ey
4 0 a
(cos1
cos2 )
当直线长度 L
Ex 0
{ 1 0
2
Ey 20a
无电限直长线均的场匀带强：E
Ey
2 0 a
【例3】求均匀带电圆环轴线上任一点p处的场强。
P(rv)
Ev(rv)
dEv(rv, rv') 1
V
40
V
(rv ')
R3
v RdV
'
面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、
体积元和积分区域作相应替换即可，如：
v E
rv
1
4 0
V
s
rv '
R3
v RdS
v E
rv
1
4 0
l
l
rv '
R3
v R
dl
面电荷 线电荷
例1 在直角坐标系的原点（0，0）及离原点1.0m的y 轴上（0，1）处分别放置电荷量为q1= 1.0×10-9C和 q2= -2.0×10-9C的点电荷，求x轴上离原点为2.0m处P 点场强（如图）。
为标量函数
静电场可以由一标量函数的梯度表示。
补充内容：利用高斯定理求解静电场
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
1
0
dV
V
求解的关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
1）场点位于高斯面上；
23））高在斯整面 个为 或闭 分合 段面高；斯面上，Ev
或
E
dS为恒定值。
只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用 高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。
例1. 均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为q。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
1）r R时，
E
ds
E
ds
E 4r2
s
s
q
0
0
E 0
++ + + q
+ +
Rr
+ +
+
+
+
+
+++ +
2）r R时，
E
ds
E
ds
E 4r2
s
s
q q
36
109
F
/
m
1）大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上。
2）多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
v
F
i
vq
Fi 4 0
i
qi Ri3
v Ri
3） 连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解
二、电场强度矢量
v E
1）电场的定义
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质 中时，会受到电场力的作用
处理思路： 1) 无限细分区域
v
dV
R
2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
rv '
rv
设体电荷密度为(rv) ，图中dV在P点产生的电场为： O
dEv(rv, rv')
(rv ')dV 4 0 R3
'
v R
v R
rv
rv'
则整Ev个(r体v)积 V内V d电Ev荷(rv在, rvP'点) 处4产1生0的V电场R(rv3为')：RvdV '
dE dEy dE
【解】：设电量q，圆环半径为a，
场点距圆心y
dEx2 p dEx1
则电荷线密度
q 2a
rθ y
而电荷元 其场强
dq dl
dl dE 4 0 ( y2 a2 )
dl a
由对称性可知，总电场沿 y 方向，所以总电场
E Ey dE cos
而 cosθ y y2 a2
则
q
4 0R2
eR
q (1)
qO
4 0 r
4）多个点电荷组成的电荷系统产生的电场
P
rv
v R
rv
由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发
的电场为
v
E
1
4 0
N i 1
qi Ri3
v Ri
式中:
v Ri
rv
rvi '
5）连续分布的电荷系统产生的电场
连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场
解：在球面上取面元ds，该面元在P点处 产生的电场径向分量为：
dEr
s ds 4 0
1 R2
cos
式中：ds ad a sin d
cos r a cos
R
R a2 sin2 (r a cos )2
dEr
s 4 0
r
a cos
R3
a2
sin d d
s
Q
4 a2
Er s dEr
0.9
例2 求一均匀带电直线在P点的电场.已知a 、1、2、。
解题步骤
1.建立坐标系
2. 选电荷元 dq dl
dE y
y
dE
dEx P
3. 确定磁场的方向
4. 确定磁场的大小
v dE
1
4 0
dl
r2
err
a
1 o
r
θ 2
l dl
x
5.将 dE 投影到坐标轴上
dEx
1
40
dl
r2
cos
dEy
1
q2
1m
F31
j
E2的矢量式为 q1 i
2.24m
E2
2m
E
1200 P E1 x
E2
3.6
cosi
3.6sin
j N
/
C
3.2i 1.6
j N
/
C
根据场强叠加原理，P点的总场强为
E＝E1＋E2
2.3 3.2i1.6 j N
0.9i
1.6
j N
/
C
/
C
电场和x轴的夹角为的大小为
arctan 1.6 120.70
静止电荷产生的电场称为静电场
随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场
2）电场强度矢量
用电场强度矢量Ev 表示电场的大小和方向
实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0
成正比，与电荷所Fv在位q0置Ev电场强度大Ev小成qF正v0 比，即
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场
0
0
E
q
4 0r 2
er
q E Er 关系曲线
4 0 R 2
++ + +R ++ +
+
r 2
++ +
+r
+ q+ +
+
0
R
r
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
1）r R时，
E
ds
E
ds
E 4r2
s
s
q 4r3
3 真空中静电场的基本方程
亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质， 因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
真空中静电场的高斯定理
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
静电场高斯定理积分形式
式中：S为高斯面，是一闭合曲面， Q为高斯面所围的电荷总量。
Er
1
4
0
2 0
0
sa2
sin
R2
cos
dd
cos R2 r 2 a2
2rR
cos a2 r 2 R2
2ar
sind d(cos ) R dR
ar
Er
1
4
0
2 0
ra sa2
ra R2
R2 r2 a2 2rR
R dRd
ar
当 0, R r a;当 , R r a
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
r
高为l,半径为r
(1) r <R
l
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
qi 0
E 0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
真空中静电场的散度
1
E dS
Hale Waihona Puke Baidu
S
0
n
qi
i 1
1
0
dV
V
E dS EdV
S
V
高斯散度定理
E
0
静电场高斯定理微分形式
说明：1) 电场散度仅与电荷分布相关，其大小 (rv)
2）对于真空中点电荷，有
E 0
或
E
0
对高斯定理的讨论
1）
物理意义：静电场
v E
穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围
s a2 4 0
2
d
0
0
r a cos
R3
sin d
＝ s a2
20
0
r a cos
R3
sin d
……
Q
40r2
结果分析
导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的 电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。
dEr
s ds 4 0
1 R2
cos
ds ad asin d
电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关
对静电场和时变电场上式均成立
3）点电荷产生的电场
v
q
R
P
单个点电荷q在空间任意点激发的电场为
E(r)
F qs
q
4 0R2
eR
q
4 0
( 1 ) R
rv'
O
rv
v R
rv
rv
'
特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，rv' 0
E(r)
F qs
q2
解: q1在P点所激 1m
发的场强为
j
E1
k
q1 r12
er
q1
i
2.24m E
E2
2m
P E1 x
9.0 109
1.0 10－9
iN
/
C
2.3i N
/
C
2.02
q2在P点场强的大小为
E2
k
q2 r22
9.0109
2.010－9 2 N / C 3.6N / C 1.02 2.02
2 a
yλdl
E 0 4π0 ( y2 a2 )32
dE dEy dE
dEx2 p dEx1
用矢量表示
4π
2πaλ y
0( y2 a E
4π
)2
3 2
qy
0(y2
a
2
)
3
2
θ ry dl
a
【讨论】：1. y >> a
E
qy
（点电荷）
4π 0 y3
2. Y = 0 时 ， E = 0
例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
0
3
q 4r3 4R3 3 3
r
E qr
4 0R3
R
高斯面
2）r R时，
E
ds
E
ds
E 4r2
s
s
q q
0
0
r
E
q
4 0r 2
er
E
q
4 0 R2
Er 关系曲线
r 2
O
R
r
R
高斯面
例3 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 面密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向
40
dl
r2
sin
6. 选择积分变量
r、、l 是变量，而线积分只要一个变量
r a / sin
dl a csc2 d
l actg
dE y y
dE
dEx P
x
Ex
1
4 0
r2
cos dl
2 cos a csc2 d
40 1 a2 csc2
a 1 o
r
θ 2
l dl
4 0a
2
1
cosd