2-2静电场的基本方程
第2章静电场
“立个球面”的立体角＝？ 2. “任意曲面”dS对“某点”所张的立体角 (1) 以R0为半径的“球面”
3. “立体角”的重要结论
散度方程微分形式的引出：
请注意：此处的ρ 是指自由电荷的体密度ρvf ！
（强调）散度方程
• 物理意义： 它们描述了静电场的发散性，给出了通过封闭面的 电通量与面内所围电荷量之间的关系； • 积分形式说明： 任意封闭面的电通量＝面内所围电荷总量； 电通量为0，则封闭面内不包含电荷，即面内无源; 进而说明：静电场具有通量源，即自由电荷。 • 微分形式说明： 静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
例2. 求电荷分布
已知真空中电场分布,求各处电荷分布的体密度. 分析: 由电场分布可知, 球对称, 电场只有径向分量； 可以直接运用散度方程求解； 仍要分球内和球外两种情况；
作业
• 试计算电荷面密度为σ 的无限大平面周围 的电场。
静电场的旋度方程
• 首先应注意，这是静电场，不是任意电场； • 积分形式: 电场沿任意闭合曲线的积分为0； C指任意闭合曲线； C自身方向与C所围曲面方向满足右手规则； 积分式即电场的环流量； • 微分形式: 静电场的旋度为0 无论在有源区还是无源区； 电荷是静电场的什么源？体密度是什么源？
真空中距离为R的两点电荷q1，q2 q1对q2的作用力，电荷量正比，距离平方反比 矢量方向：q1指向q2 真空中介电常数(Dielectric Constant)
1 12 0 8.85 10 ( F / m) 9 4 9 10
真空中静止点电荷的电场强度
q 2受到的电场力：F R, q1 , q2
总结1：
库仑定律(真空中静止电荷电场)
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
有如下关系：
设在空间两点A、B，则它们的电位差为
两点之间的电位差通常称为电压。 如果选取B点为电位参考点，即 =0，则A点的电位为
例2.5对于例2.1求出球体内、外任意一点的电位。
解:选取无穷远点为电位参考点 则球体外半径为r的A点的电位为
(2.36)
由于两种电介质ε1≠ε2，电场强度的法向分量在介质分界面上是不连续的。这是因
为电场对电介质产生极化作用，而使在两种不同的分界面上产生极化面电荷。
（2） 电介质和导体的边界
导体是一种自身带有大量自由电荷的物质，在导体内部电场强度处处为零。 设第一种媒质为电介质，第二种媒质为导体，则D2n=0，E2t=0，所以电介质与导体 的边界条件为
（2） 在球外，高斯面为半径为r的球面，则高 斯面包围的自由电荷即是Q，即∑q=Q 所以
图2.2
例2.2电介质中有一无限长带电直线，其线电荷密度为ρl,求空 间任意一点的电场强度，电介质的相对介电常数为εr。
解:做高斯面S如图2.3所示，由对称性可知电场强度E只有er分量Er,而 分量 、 ez分量Ez被抵消了，均为零。
（1） 沿l1路径： （2） 沿l2路径：A→C→B。
图2.5
4. 静电场的基本方程
人们把静电场的高斯定理和环量定理称为静电场的基本方程的积分形式
静电场基本方程的微分形式
例2.4已知在自由空间球坐标系中电场分布为
求空间各点的体电荷密度分布。 解:根据静电场的基本方程微分形式可知
2.2电位和电位方程
化面电荷密度为
Cq
2.9在两种各向同性的电介质分界面两侧，电场强度在电介质1中与法线的夹角
第3章 静电场2——电荷的分布形式
工程电磁场基础第3 章静电场(2)电荷的分布形式主讲人：陈德智dzhchen@/hkdq/华中科技大学电气与电子工程学院2013年3月2. 电荷的分布形式•“自由空间”的物理图像•静电场中的导体•静电场中的电介质——极化电荷•包含材料特性的基本方程•媒质交界面条件00/3200, U φφπϕϕϕ==⎧=∇=⎪⎨=⎪⎩电荷的实际存在形式•电荷是物质的基本属性，不存在脱离了物质的电荷。
•电荷与电场之间相互影响，真空中的自由电荷不可能稳定地处于某个固定位置；常遇到的是物质中的电荷。
•典型的物质包括导体和电介质。
导体中有部分电荷可在导体内自由移动，称自由电荷；而介质（或电介质、绝缘体）中的电荷被约束在原子或分子内部，称为束缚电荷。
通常情况下，作为电场之源的电荷，就存在于这些物质中。
•当使用库仑定律计算电场时，必须考虑包括自由电荷与束缚电荷在内的全部电荷的贡献。
，导体是等位体，无极分子\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\有极分子⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\⊕\均匀极化时，只在表面上产生面分布的极化电荷，介质内部极化电荷为0。
因为是均匀极化，设单位体积内的分子数为n ，则。
取厚度为l 的表面薄层，设面积为A ，其体积为。
所含有的分子数。
这些分子都有电荷移出，故电荷总量为。
因此极化电荷面密度为（3）均匀极化下的极化电荷e n nq ==P p l p σV A l =⋅p /e q A nq l Pσ===N n V n A l =⋅=⋅⋅e e q q N nq Al ==更一般的形式p n nP σ==⋅P ep nP σ=p q V ΔρΔ−==−∇⋅Pp p p 2200d d 44R RS V S V R R σρπεπε′′′′=+∫∫e e E p p p 00d d 44SV S V R Rσρϕπεπε′′=+∫∫极化电荷面密度极化电荷体密度极化电荷产生的电场包含材料特性的基本方程在形式上同真空中的基本方程完全相同，只需要把本构关系中的换成ε即可：旋度方程保持不变，散度方程只包括自由电荷！0εd Sq⋅=∫D S d 0l⋅=∫E l ρ=⋅∇D 0∇×=E D ＝ε E结论：引入参数ε 后，静电场基本方程中的电荷就只保留了自由电荷，而极化电荷的效应被ε 和重新定义的电位移矢量D 所包含。
2-静电场-2-基本方程与衔接条件
Zhang h j 2008
9
例
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
无限大 计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。 解：如图所示取柱形闭合面 对称、均匀
v v v ⎧D0ez z >0 D=⎨ v v ⎩D0 (−ez ) z < 0
Δ
σΔ
∴
⎧ aU ⎪ ϕ =⎨ r ⎪U ⎩
r≥a r≤a
电场强度可求电位的负梯度得到：
v aU v v v v ∂ϕ ⎧er 2 ⎪ =⎨ r E ( r ) = −∇ϕ (r ) = −er ∂r ⎪ 0 ⎩ r>a r < Zhang h j a
球内电位分 布？ 如果已知球面 电位分布，如 何求解？
Zhang h j 2008
13
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
2-4 静电场边值问题
1.静电场位函数方程 2.边值问题及其分类
3.边值问题的建立 4.边值问题的分析方法概述
Zhang h j 2008
14
1.静电场位函数方程
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
C1=0
由边界条件可知，当r=a时，D1=D2
D1
r =a r =a
=
C2 a
2
∴
v ⎛ r r3 ⎞v D1 = ρ 0 ⎜ − 3 ⎟er ⎜ 3 5a ⎟ (r<=a) ⎝ ⎠ 3 v 2 ρ0a v D2 = er 2 (r>=a) 15r
第三讲 静电场性质(一) 2012年2月26日
Sichuan University
三. 高斯定律——导体
高斯定律的微分形式
分布电荷产生电场 E ( r )
1 4 0
r r' r r'
3
V'
( r' )dV'
•
•
对上式等号两端取散度；
利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得
(r) E( r ) 0
真空中高斯定律的微分形式
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
Sichuan University
二. 电位与电位函数
图1.2.4 点电荷与接地导体的电场
图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场
Sichuan University
二. 电位与电位函数
图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场
图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场
电位是电场中点的标量函数 电位的大小是相对的，电位差是绝对的
静电场中某点的电位即是：静电场力将单位电荷从这 点移动无限远处(零势点)所作的功。
Sichuan University
二. 电位与电位函数
点电荷产生的电位分布：
孤立正点电荷周围的场电位为正：离电荷越远，电位越低。
孤立负点电荷周围的场电位为负：离电荷越远，电位越高。
Sichuan University
一. 静电场的环路定理
静电场力的功与电势能 1. 静电场力是保守力——所作功不因路径不同而改变 2. 静电场力所作的功，等于相应电势能的减少
Aab
b
a
F dl Wa Wb
a点电势能 b点电势能
Sichuan University
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
工程电磁场复习题
一填空题1.麦克斯韦方程组的微分形式是：、、和。
2.静电场的基本方程为：、 .3.恒定电场的基本方程为：、。
4.恒定磁场的基本方程为：、。
5.理想导体（媒质2)与空气(媒质1）分界面上，电磁场边界条件为: 、、和。
6.线性且各向同性媒质的本构关系方程是：、、 .7.电流连续性方程的微分形式为: .8.引入电位函数是根据静电场的特性。
9.引入矢量磁位是根据磁场的特性。
10.在两种不同电介质的分界面上，用电位函数表示的边界条件为：、。
11.电场强度的单位是，电位移的单位是；磁感应强度的单位是，磁场强度的单位是。
12.静场问题中,与的微分关系为: ，与的积分关系为： .13.在自由空间中，点电荷产生的电场强度与其电荷量成比,与观察点到电荷所在点的距离平方成比.14.XOY平面是两种电介质的分界面,分界面上方电位移矢量为 C/m2，相对介电常数为2，分界面下方相对介电常数为5,则分界面下方z方向电场强度为__________，分界面下方z方向的电位移矢量为_______________。
15.静电场中电场强度，则电位沿的方向导数为_______________，点A（1，2，3）和B（2，2,3）之间的电位差__________________。
16.两个电容器和各充以电荷和,且两电容器电压不相等,移去电源后将两电容器并联，总的电容器储存能量为，并联前后能量是否变化 .17.一无限长矩形接地导体槽，在导体槽中心位置有一电位为U的无限长圆柱导体，如图所示。
由于对称性,矩形槽与圆柱导体所围区域内电场分布的计算可归结为图中边界、、、和所围区域内的电场计算。
则在边界_____________上满足第一类边界条件,在边界_____________上满足第二类边界条件。
18.导体球壳内半径为a，外半径为b，球壳外距球心d处有一点电荷q，若导体球壳接地，则球壳内表面的感应电荷总量为____________，球壳外表面的感应电荷总量为____________。
静电场的标势及其微分方程
于标势梯度的模长，即$F = |mathbf{nabla} varphi|$。
03
电场分布
通过求解拉普拉斯方程可以得到静电场的分布情况，进而得到电场中各
点的电场强度和电势。
03
静电场的微分方程
微分方程的推导
通过高斯定理和库仑定律推导 得到静电场的微分方程。
高斯定理表明，在静电场中， 穿过任意闭合曲面的电场线 数等于该闭合曲面所包围的
边界条件的物理意义
01
边界条件的物理意义在于限制静电场中电荷分布的可能性和标 势函数的取值范围。
02
Dirichlet边界条件限制了标势函数在边界上的取值，而
Neumann边界条件限制了电荷分布的允许范围。
这些限制条件对于确定静电场的分布和性质具有重要意义。
03
05
静电场的标势的应用
在电场力分析中的应用
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在推导过程中，利用了静电场的无源性和有界性，以及标势 函数的定义和性质。
边界条件的形式
边界条件的形式包括Dirichlet边界条 件和Neumann边界条件，分别表示 标势函数在边界上的值和法向导数的 值。
Dirichlet边界条件要求标势函数在边 界上取特定值，而Neumann边界条 件要求标势函数的法向导数在边界上 取特定值。
线性性
电场强度与产生电场的电荷量成正比，与距 离的平方成反比，满足线性关系。
环路定理
电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零， 说明静电场是无旋场。
02
静电场的标势
标势的定义
标势
在静电场中，如果一个标量函数$varphi(mathbf{r})$满足拉普拉斯方程 $nabla^2varphi = 0$，并且满足一定的边界条件，则称其为静电场的标势。
静电场
因此， 有
v ∇ ⋅ D = ρV
如果在真空 真空中，还可以写为 真空
v ρV ∇⋅E =
ε0
在介电常数 介电常数为ε的介质中有 介电常数
v ρV ∇⋅E =
ε
3.2.3 电场强度的环量
电场强度沿闭合路径的积分称为环量 环量。根据斯托克 环量 斯托克 斯定理有 斯定理
∫
即
l
v v v v v E ⋅ dl = ∫ ∇ × E ⋅ dS = − ∫ ∇ × (∇φ ) ⋅ dS = 0
n
上式表明，极化介质在P点产生的电位是 vv 两项的代数和。定义ρSb= P.a 为束缚面电 束缚面电 荷密度， 荷密度 于是可得
1 ρ Sb ρVb ′+ ∫ ′ φ= ∫S R dS V R dV 4πε 0
束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷 无极分子电荷对的分 无极分子电荷 离和有极分子电偶极矩 有极分子电偶极矩的有序排列。如果电介质 有极分子电偶极矩 中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介 质中的电场 是自由电荷和束缚电荷共同作用的结 v 果，即 v ρV + ρVb ρV − ∇ ⋅ P ∇⋅E = = ε0 ε0 v v 即 ∇ • (ε 0 E + P) = ρV
v P = lim v ∑p ∆V
∆V →0
在线性 均匀 各向同性 线性、均匀 各向同性的介质中，极化强度与电 线性 均匀、各向同性 场强度满足下列关系：
v v P = χ eε 0 E
P(r) R
dV ′
r
r′
如 图所示，极化介质 内取一微小体积元 体积元dV′， 体积元 dV′ 内 电 偶 极 矩 在 P 点 产生的电位相当于一 个电偶极子产生的电 位，其表达式为
第2章静电场和恒定电流电场
ϕ = C E1t = E2t Et = 0 ρs ⇒ ⇔ ∂ϕ D n − D2n = 1 Dn = ρs ε ∂n = −ρs 0
E = −∇ϕ, ∇⋅ D = ρ Q v v v ∇⋅ (ϕD) = ϕ∇⋅ D +∇ϕ ⋅ D v v v v v v ∴E ⋅ D = −∇ϕ ⋅ D = −∇⋅ (ϕD) +ϕ∇⋅ D = −∇⋅ (ϕD) + ρϕ v 1 1 ∴W = ∫∫∫ ρϕdv − ∫∫∫ ∇⋅ (ϕD)dv 2 2 v v v 高斯定理） Q∫∫∫ ∇⋅ (ϕD)dv = ∫∫ ϕD⋅ dS （高斯定理） v v 1 1 ∴W = ∫∫∫ ρϕdv − ∫∫ ϕD⋅ dS 2 2 1 v v 1 Q ∫∫ ϕD⋅ dS 通常 = 0 ∴W = ∫∫∫ ρϕdv （2） 2 2
−ρ 0 ≤ x ≤ d 2 , ∇ ϕ1 = 2 ε d ∇2ϕ = 0, ≤ x≤d 2 2 ϕ 因为ϕ1 ， 2与坐标y，z 无
+
x
d
−
2
ρ
2
O
关，电位方程可简化为： 电位方程可简化为：
d ϕ1 −ρ ∇ ϕ1 = = , 2 dx ε
2 2
d ϕ2 ∇ ϕ2 = = 0, 2 dx
v v 1 W = ∫∫∫ E ⋅ Ddv （1） 六 静电场的能量 v v 2
例1 平行板电容器极板平面的尺寸远大于它们之间的距 离d，两极板间加恒定电压 U 0 ，极板间的介电常数为ε， 其中一半空间有体电荷均匀分布， 其中一半空间有体电荷均匀分布，体电荷密度为 ρ ，分 界面与极板平行。试求极板间的电位分布。 界面与极板平行。试求极板间的电位分布。 解
当分界面为导体与电介质的交界 面时，由于导体的特殊性质， 面时，由于导体的特殊性质，在导体和介质的分解面上 的边界条件有其特点。导体在静电场中有以下性质： 的边界条件有其特点。导体在静电场中有以下性质： 1）导体内部不带电，电荷只分布在导体表面上； 导体内部不带电，电荷只分布在导体表面上； 导体内部电场为零； 2）导体内部电场为零； 3）导体表面电场方向为法线方向，导体是个等势体， 导体表面电场方向为法线方向，导体是个等势体， 表面是等势面。 表面是等势面。 导体和电介质分界面上的边界条件为： 导体和电介质分界面上的边界条件为：
电磁场与电磁波习题及答案讲解学习
电磁场与电磁波习题及答案1麦克斯韦方程组的微分形式是：.D H J t∂∇⨯=+∂,BE t∂∇⨯=-∂,0B ∇=,D ρ∇= 2静电场的基本方程积分形式为：CE dl =⎰SD ds ρ=⎰3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：3.00n S n n n Se e e e J ρ⎧⋅=⎪⋅=⎪⎨⨯=⎪⎪⨯=⎩D B E H4线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 4.D E ε=,B H μ=,J E σ= 5电流连续性方程的微分形式为：5.J t ρ∂∇=-∂ 6电位满足的泊松方程为2ρϕε∇=-；在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。
12ϕϕ=1212n n εεεε∂∂=∂∂ 7应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是: 唯一性定理。
8.电场强度E的单位是V/m ，电位移D的单位是C/m2 。
9．静电场的两个基本方程的微分形式为0E ∇⨯= ρ∇=D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令B A =∇⨯的依据是（ 0B ∇= ） 2. “某处的电位0=ϕ，则该处的电场强度0=E”的说法是（错误的 ）。
3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ )ln(1aaD C -=πε ）。
4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（1/r2 ）。
5. N 个导体组成的系统的能量∑==Ni i i q W 121φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。
6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ）7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。
8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。
8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。
2.1 静电场基本方程
2.1 静电场的基本方程
散度方程 旋度方程 物质本征方程
电磁场与电磁波
1
☆ 先认识一下这些方程
积分形式 1. 真空中的高斯定理 散度方程 微分形式
D dS q
E ? D 0E ?
电磁场与电磁波
8
方法二：静电场的基本方程 1 2 (r ) 场点在球内 D 2 (r D) ＝ 场点在球外 r r 0 注意“边界条件”——微分方程定常数！
r＝a时，…… r＝∞时，…… 边界条件将在后文学到
电磁场与电磁波
微分形式说明：
静电场(电位移)散度＝该点处电荷体密度; 进而，静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
电磁场与电磁波
7
例1. 求电位移
已知:真空中半径为a的球形区域内,电荷分布的按照某 个体密度分布, (r ) 0 (1 r 2 / a 2 ) 求电通量密度. 分析：
“球体”——“对称性”——球座标！ 要分“球内”、“球外”分别计算！
方法一：Electrostatic Gauss’s Law
S S
E dS E R dS E R ( 4r )
S 2
r 2
1 E dS
0 V
dV
? 场点在球内 r a dV (r ) (4R )dR 0 ? 场点在球外 r a V
请注意：此处的 q 是指自由电荷qf ！！！ 详细证明过程从略。 详见书：P25－26 ?????
证明要点： 1. 仅一个电荷时，证明… 2. 多个电荷时，“叠加原理” 3. 任意曲面上求积分时，“立体角”
大学物理——静电场
第七章静电场§7.1点电荷库仑定律一、点电荷和狄拉克d 函数❶点电荷:是一个理想模型,忽略带电体本身的大小和形状,而将其抽象成带电荷的质点。
❷电荷连续分布线分布:dl dq =λ面分布:ds dq =σ体分布:vd dq =ρ❸d 函数(),00⎩⎨⎧=∞≠=x x X d ()1=⎰∞∞-dx X d 二、库仑定律❶真空12f 1q 2q 12r 21ff1q 2q12f 21f ,12312211212r r q Kq f f =-=229cNm 100.9-⨯=K设,410πε=K 212120mN C 1085.8---⨯=ε则3120122121124r r q q f f επ =-=电介质312312441221012212112r r q q r r q q f f r πεεεπ ==-=εr 电介质的相对介电常数ε 电介质的介电常数§7.2电场电场强度一、电场电荷周围存在的一种特殊形态的物质,具有能量、动量等。
电场对外表现:其一：电场对引入其中的电荷有力的作用;其二：当电荷在电场中移动时,电场对它要做功。
电荷之间的作用是通过电场实现的。
电荷⇔⇔电荷电场二、电场强度为了描述电场对电荷的施力性质，引入一个基本物理量－－电场强度，简称场强，用表示,其定义为EqF E=三、场强迭加原理处于由产生的电场中q 0n q q q ,,,21 ∑∑=====n i in i iE F FE q q 11四、场强的计算点电荷电场,430rrq q F πε =34r r q E πε =点电荷系电场∑∑==i i i ii i r r q E E 34πε任意带电体电场用积分求解.解体步骤:1.将带电体分成无数个电荷元(电荷元不一定是点电荷)电荷元dq 在空间某点的场强:r rdq E d341πε=2.选取适当的坐标系,写出的各个分量的表达式。
E dz y x dE dE E d ,,3.求zy x dE dE E d ,,,⎰=E d E x x ,⎰=E d E y y ⎰=E d E z z 此步最好利用电荷分布的对称性判断方向,减少计算.E4. 带电体的场强k E j E i E E z y x++=§7.3 电感强度高斯定理一、电感强度D在各向同性的均匀电介质中，任一点处的电感强度等于该点的电场强度和介电常数的乘积，即：D εEED ε=二、电力线和电感线电力线电力线在电场中任一点处,通过垂直于的单位面积的电力线条数等于该点处的量值。
静电场基本方程课件
答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
E1sin 1= E2sin 2
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
解：
• D
0 •
恒定电场
图2.1.3
电流线密度及其通量
r en是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量 r J S ( x, y , z ) 面电流的线密度
电流线密度与电荷面密度的关系：
r r J S = σv
工程意义： • 同轴电缆的外导体视为电流线密度分布； • 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流线密度表示； • 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分布，可用电流线密度表示。
(γ 2 = 0)
表明（1）导体表面是一条电流线。
Q E 2n = J 2n
γ2
≠0
E1n =
J1n
∴ D 2 n − D1n = ε 2 E 2 n = σ
γ1
图2.3.2
导体与理想介质分界面
表明（2）导体与理想介质分界面上必有恒定（动态平衡下的） 面电荷分布。
E 1t = E 2 t
表明（3）电场切向分量不为零，导体非等位体，导体表面非等 位面。 若 γ 1 → ∞（理想导体），导体内部电场为零，电流分布在导 体表面，导体不损耗能量。 导体周围介质中的电场
基本方程 基本方程 基本方程
r E 的旋度 E 的旋度 E
电位 电位 电位
边值问题 边值问题
一般解法
电导与接地电阻 电导与接地电阻 恒定电场的知识结构框图
特殊解（静电比拟）
2-1电流和电流密度
电流：电荷在导电媒质或不导电空间中有规则的运动形成电流。 传导电流 运流电流
恒定电场：不随时间变化的电流称为恒定电流，维持恒定电流的 电场是恒定电场。 电流强度：dt时间内穿过面积S的电荷量为dq，则电流强度为：
r r r r r r C Q U ∫sD⋅ ds ∫LE ⋅ dl ε∫sE ⋅ ds ε = = r r r r= r r= G I U ∫ J ⋅ ds ∫ E ⋅ dl γ∫ E ⋅ ds γ
《电磁场理论》2.2 真空中静电场的基本方程
2）解为球坐标系下的表达形式。
Q ( 4 r 2 er ) (r a) 0 (r a) 0 1 2 Qr E ( Qr e ) (r a) r 2 r (r 4 a3 ) (r a) r 0 3 4 a 0 0 E 3Q 4 a3 0 0
S
E (r ) dS
1
(r )dV
Q
球对称分布：
8
a
ρ0 O
9
轴对称分布
无限大平面电荷
例1 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的 电场。 分析：电场方向垂直表面。在 S n 平行电荷面的面上大小相等。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有
s S E1 (r ) ez S E2 (r ) (ez ) S 0 s ez ( z 0) s 2 0 E 2 0 E s ez ( z 0) 2 0 10
E (r )
1 4 0
V'
(r ')
R dV ' 3 R
(r ') R E 3 dV ' V ' 4 R 0
R 3 0 R
E 0 ——静电场是无旋场，或保守场。 5
2．静电场的环路定理 对静电场取任意闭合回路L作路径积分： 由Stokes定理得： E d l ( E ) d S 0
对高斯定理的讨论 物理意义：静电场 E 穿过闭合面S的通量只与闭合面内
所围电荷量有关
静电场是有源场，静电荷是其散度源。
4
二、真空中静电场的旋度
1．静电场的旋度：
《大学物理》第三篇电磁学
找比较对象 类象
重要作用： (1) 是提出科学假说的重要途径； (2) 是科学阐述或理论证明的辅助手段； (3) 在解决问题的过程中起启发思路、触类旁通的作用。
注意：类比推理所得结论是或然的，需证实或证伪。
3-15-2
磁场
静电场 电
感生 场 电场
一般 电场
高斯定理
SB dS 0
S D0 dS
物质存在的两种基本形式：实物和场
共性：能量、动量、质量
•场能对其中的物体做功 ——表明场有能量
•引力红移与偏折、光压等实验 ——表明场有质量和动量
可相互转化（如正负电子对湮没、同步辐射）
1、电磁场的能量密度与能量
电场能量密度
1 we 2 E D
磁场能量密度
wm
1 2
BH
电磁场能量密度
w
we
S D0 dS
ρdV
V
L E0 dl 0
SB dS 0
D
LH dl S ( j t ) dS
SB dS 0
LH dl S j dS
静电场 基本方程
静电场 基本方程
麦克斯韦方程组是对电磁场宏观规律的 全面总结和概括！
是经典物理三大支柱之一。
再看积分形式的麦克斯韦方程组
jE
2 t
由矢量运算公式： a (b c ) (a b) c b (a c )
(H E) ( H ) E H ( E)
1
(D E
BH)
(H
E)
jE
2 t
(E H ) j E
dW 1
dt
2 V t (D E B H )dV
jD πr 2
2） r >R
静电场的基本方程
N
W楠 E
S
在外电场作用下，或者电介 质中的分子产生附加电矩，或者 固有偶极矩取得了外电场的取 向，这种现象就称为介质的极化
从微观角度看，电介质的极 化可以分为两种：非线性分子的 极化叫做位移极化，极性分子的 极化叫做取向极化。
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109
F
/
m
1）大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上。
2）多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即
v
F
i
vq
Fi 4 0
i
qi Ri3
v Ri
3） 连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解
二、电场强度矢量
v E
1）电场的定义
电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质 中时，会受到电场力的作用
真空中静电场的散度
1
E dS
S
0
n
qi
i 1
1
0
dV
V
E dS EdV
S
V
高斯散度定理
E
0
静电场高斯定理微分形式
说明：1) 电场散度仅与电荷分布相关，其大小 (rv)
2）对于真空中点电荷，有
E 0
或
E
0
对高斯定理的讨论
1）
物理意义：静电场
v E
穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围
4 0 a
(sin 2
sin 1 )
同理
Ey
4
0
a
(cos1
cos
2
)
最后: E
Ex2
E
2 y
讨论:
Ex
4
0a
(sin
2
sin1)
Ey
4 0 a
(cos1
cos2 )
当直线长度 L Ex 0{ 1 02
Ey 20a
无电限直长线均的场匀带强：E
Ey
2 0 a
【例3】求均匀带电圆环轴线上任一点p处的场强。
2 a
yλdl
E 0 4π0 ( y2 a2 )32
dE dEy dE
dEx2 p dEx1
用矢量表示
4π
2πaλ y
0( y2 a E
4π
)2
3 2
qy
0(y2
a
2
)
3
2
θ ry dl
a
【讨论】：1. y >> a
E
qy
（点电荷）
4π 0 y3
2. Y = 0 时 ， E = 0
例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl
qi r2l
E2rl
E
r 2 0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
q
4 0R2
eR
q (1)
qO
4 0 r
4）多个点电荷组成的电荷系统产生的电场
P
rv
v R
rv
由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发
的电场为
v
E
1
4 0
N i 1
qi Ri3
v Ri
式中:
v Ri
rv
rvi '
5）连续分布的电荷系统产生的电场
连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场
静电场旋度处处为零，静电场是无旋场，电力线不构成闭合回 路
真空中静电场性质小结：
微分形式
积分形式
E
0
1 n
E dS
S
0
qi
i 1
E 0
l E dl 0
静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。
静电场的源：电荷
讨论：对静电场，恒有：
Ev(rv) 0
v
Q () 0 E
3 真空中静电场的基本方程
亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质， 因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。
一、真空中静电场的散度 高斯定理
真空中静电场的高斯定理
E dS
1
S
0
n
qi
i 1
静电场高斯定理积分形式
式中：S为高斯面，是一闭合曲面， Q为高斯面所围的电荷总量。
q2
1m
F31
j
E2的矢量式为 q1 i
2.24m
E2
2m
E
1200 P E1 x
E2
3.6
cosi
3.6sin
j N
/
C
3.2i 1.6
j N
/
C
根据场强叠加原理，P点的总场强为
E＝E1＋E2
2.3 3.2i1.6 j N
0.9i
1.6
j N
/
C
/
C
电场和x轴的夹角为的大小为
arctan 1.6 120.70
0
1
(R2
x x2 )1/ 2
讨论：
1. 当 R >> x
E
2
0
无限大均匀带电平面的场强，匀强电场
2. 当 R << x
x (R2 x2 )1/ 2
(1
R2 x2
)1/ 2
1 1 ( R)2 2x
E
R 2 40 x2
q
40 x2
可视为点电荷的电场
例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间 中产生E。 由球体的对称性分析可知： ❖电场方向沿半径方向： ❖电场大小只与场点距离球心的距离相关。
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
qi 2Rl
r l
E2rl 2Rl 0
R
E
0r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体 密度为 。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
r
高为l,半径为r
(1) r <R
l
e E dS E dS E dS E dS
Er
1
4
0
2 0
0
sa2
sin
R2
cos
dd
cos R2 r 2 a2
2rR
cos a2 r 2 R2
2ar
sind d(cos ) R dR
ar
Er
1
4
0
2 0
ra sa2
ra R2
R2 r2 a2 2rR
R dRd
ar
当 0, R r a;当 , R r a
0.9
例2 求一均匀带电直线在P点的电场.已知a 、1、2、。
解题步骤
1.建立坐标系
2. 选电荷元 dq dl
dE y
y
dE
dEx P
3. 确定磁场的方向
4. 确定磁场的大小
v dE
1
4 0
dl
r2
err
a
1 o
r
θ 2
l dl
x
5.将 dE 投影到坐标轴上
dEx
1
40
dl
r2
cos
dEy
1
q2
解: q1在P点所激 1m
发的场强为
j
E1
k
q1 r12
er
q1
i
2.24m E
E2
2m
P E1 x
9.0 109
1.0 10－9
iN
/
C
2.3i N
/
C
2.02
q2在P点场强的大小为
E2
k
q2 r22
9.0109
2.010－9 2 N / C 3.6N / C 1.02 2.02
处理思路： 1) 无限细分区域
v
dV
R
2）考查每个区域 3）矢量叠加原理
rv '
rv
设体电荷密度为(rv) ，图中dV在P点产生的电场为： O
dEv(rv, rv')
(rv ')dV 4 0 R3
'
v R
v R
rv
rv'
则整Ev个(r体v)积 V内V d电Ev荷(rv在, rvP'点) 处4产1生0的V电场R(rv3为')：RvdV '
解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场
xq
E 4 0 (r 2 x 2 )3/ 2
dE
xdq
40 (r 2
x2 )3/2
x 2rdr 40 (r 2 x2 )3/ 2
R
P dE
rx
dr
2 x
E
4 0
R 0
(r 2
rdr x2 )3/2
2
0
1
(R2
x x2 )1/ 2
E
2
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
r
高为l,半径为r
(1) r <R
l
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
qi 0
E 0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
静止电荷产生的电场称为静电场
随时间发生变化的电荷产生的电场称为时变电场
2）电场强度矢量
用电场强度矢量Ev 表示电场的大小和方向
实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0
成正比，与电荷所Fv在位q0置Ev电场强度大Ev小成qF正v0 比，即
对电场强度的进一步讨论
电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场
电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关