高数A2复习试题及答案

高数A2复习试题及答案

一、单项选择题

1．设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则x

b x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→= 。 A 、 0； B 、),2(b a f x ； C 、),(b a f x ； D 、),(2b a f x 。

2．设曲面),(y x f z =与平面0y y =的交线在点)),(,,(000y x f y x o 处的切线与x 轴正向所成的角为6

π，则 。 A 、236

cos ),(00==π

y x f x ； B 、21)62cos(),(00=-=ππy x f y ； C 、336

),(00=

=πtg y x f x ； D 、3)62(),(00=-=ππtg y x f y 。 3．0lim =∞→n n u

是级数∑∞=0

n n u 发散的 。 A 、 必要条件； B 、充分条件； C 、充要条件； D 、既非充分又非必要。

4．在区域D ：220x R y -≤

≤上的σd xy D ⎰⎰2值为 。 A 、2R π； B 、24R π； C 、3

32R π； D 、0。

5．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解 。

A 、x y 2=；

B 、2x y =；

C 、x y 2-=；

D 、2x y -=。 二、

是非判断题（15分） 1．⎰+-L y x ydx xdy 2

2=0，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针转一周（ ） 2．如果x

∂∂ϕ，y ∂∂ϕ均存在，则),(y x ϕϕ=沿任何方向的方向导数均存在（ ） 3．以),(y x f 为面密度的平面薄片D 的质量可表为

σd y x f D ⎰⎰),(。

（ ） 4．)(x f 在],0(π上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且],0[π上收敛于)(x f 。（ ）

1． 微分方程的通解包含了所有的解。（ ）

三、计算题（16分）

1． 设),(22xy

e y x

f -=μ，其中f 具有一阶连续偏导数，求x ∂∂μ，y x ∂∂∂μ2。 2． 已知1=++xy zx yz ，确定的),(y x z z =，求dz 。

四、（10分）求

⎰⎰⎰Ω+dxdydz y x )(22的值，其中Ω为曲面z y x 222=+和平面2=z 所围成的区域。

五、（12分）验证：

22y x ydx xdy +-在右半平面)0(>x 内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。

六、（10分）求dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑

，其中∑为22y x z +=和1=z 所围立体边界的外侧。 七、（12分）求微分方程⎪⎩

⎪⎨⎧='==++''1)(1)(02sin ππy y x y y 的特解。

八、（10分）求∑∞

=+01n n

n x 的和函数。 参考答案

一、单项选择题（15分，每题3分）

1、 D ；

2、C ；

3、A ；

4、D ；

5、B 。

二、是非判断题（15分，每题3分）

1、×；

2、×； 3∨、； 4、∨； 5、×。

三、计算题（16分）

1．xy ye f x f x

u 212'+⋅'=∂∂……4分 xy xy xy xy xy xye f e f xe f y f ye xe f y f x y

x u 22222112112])2([])2([2'+'+''+-''+⋅''+-''=∂∂∂ 2222221212211

222f xye f e f xye f e y f e x f xy xy xy xy xy xy '+'+''+''-''+''-=……10分 2．1-++=xy zx yz F ……1分

⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x

y F x z F y z F z y x ……3分

x

y y z F F x z z x ++-=-=∂∂∴ x

y x z F F y z z y ++-=-=∂∂∴……5分 ])()[(1dy z x dz z y y

x dz ++++-=∴……6分 四、(10分)

dz d d dxdydz y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+Ω2022320222)(ρπρρθ……6分 3

16π=……10分 五、（12分）22y x y P +-=

22y x x +=θ =+-=∂∂2

222

2)(y x x y y P x ∂∂θ……4分 在右半平面内恒成立，因此在右半平面内22y

x ydx xdy +-是某个函数的全微分……6分 ⎰+-=)

,()0,1(2

2),(y x y x ydx xdy y x u ……8分 x y arctg y x y arctg y x xdy y

==+=⎰002

2……12分 六、（10分）dxdy z dydz x 22+⎰⎰∑dxdydz z x )22(⎰⎰⎰Ω

+=……4分 ⎰⎰⎰+=11020)cos (2r

dz z r rdr d θθπ……8分 3

2π=……10分 七、（12分）012=+r

i r ±=∴……2分

设此方程的特解为：x B x A y 2sin 2cos *

+=代入原方程得 x x B x A 2sin 2sin 32cos 3-=--

⎪⎩

⎪⎨⎧==∴310B A ……6分