第一章-5-飞行动力学-飞机的纵向运动讲解
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
阻尼比、振荡频率 时间常数
s,s ，T* —短周期参数
阻尼比、振荡频率 时间常数
以e为输入，为输出的传递函数：
三个传递函数的分母多项 式△(s)即纵向扰动运动 的特征多项式。是两个二 次因式之积，分别代表长 周期和短周期运动模态。
在某些情况下，长周期模
态可能变成一正一负的两
个实根，其中正实根是不
1.纵向方程
1）法向方程
d/dt=an的由来：飞机质心速度V
由理论力学，法向加速度an=V2/R，
式中：V -切向速度，R -重心轨迹曲率半径
由于速度为轨迹弧长对时间的导数：V=ds/dt, 微段弧长：s=R, 取微分为：ds=Rd, 因此有：
an
V2 R
V V R
V
1 R
ds dt
研究初始条件为t=0时， 的扰动运动的解。
(一)扰动运动的解 用拉氏变换求解，令 考虑到前面给出的初始条件，有 代人微分方程组，得拉氏变换代数方程组：
方程的系数行列式(特征行列式)为
展开系数行列式，得特征多项式：
分解因式得:
有两对极点：s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
外力要改变飞行速度是不易的。外力矩改变迎角(包括俯仰角)
比较容易。从飞机方程可知，有迎角扰动：
时，
，q表明飞机的角度运动，Iy小，改变容易，快 V，表明飞机的轨迹运动，G大，改变慢
长周期运动—飞机的沉浮运动
设短周期运动结束后，飞机的航迹倾斜角
为负值，即飞机向下滑
在重力沿轨迹切线方向分力（
第一章 飞行动力学
第八节 飞机的纵向运动
北京航空航天大学自动化学院 张平 2012，3
一、纵向运动方程
纵向运动 飞机在自身对称面内运动： 升降、加减速、俯仰
纵向运动的外力与力矩
1、发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T 重心对推力线的垂距为zT，当重心在推力线之上zT为正值时，推力T对
0 高阶小量
考虑升力表达式
代入
得
mV0
d dt
mV0
d dt
L0
LV V
L
Le e
G cos
对于基准运动，有L0-G=0，而cos=1 则
Z
ZV
-Ze
式中，Lv，L，Le是升力对速度、迎角和升降舵偏角的偏导数
令
d q
dt
也可写成：
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一
阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T
L L0 LV V L Lee
D D0 DV V D
Ma
M
a 0
M Va V
M
a
得
经拉氏变换，得： 简化后为二阶系统.
分母上有一个积分环节 用q就没有分母上的s了
短周期运动的近似传递函数（续） 常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上，平尾上的舵面
小偏转引起的法向力足以产生较大的纵向控制力矩。
从工程近似的意义上来说，可认为Ze=0，分母上的s消失
传递函数进一步简化为：
+
力矩方程不变：q/e 另外依据航迹倾斜角增量，和的关系：
也可得到：
短周期简化模型便于研究飞机参数与动态过程的关系
七、长周期运动的近似传递函数
长周期模态主要是飞机质心的轨迹运动。与短周期相比，长周期运动响 应的各参数变化缓慢得多，因此在长周期运动期间，短周期动态过程已 基本结束，对短周期模态起重要作用的纵向转动方程基本上处于静力矩 平衡状态。
以e为输入，为输出的传递函数：
稳定的，表现为单调发散 运动。
短周期模态在一般情况下 不会变成不稳定，只有重 心移到焦点之后的飞机， 短周期模态才变成一正一 负两个实根，其中正实根 表征不稳定的单调发散运 动，且单调发散的指数比 较大。
(二)传递函数及其频率特性 某飞机，有关数据如下:
d
dt
Z
ZV V
q Ze e
（三）绕oy轴转动动力学方程的线性化
由基准运动可知： 代入力矩： 可得
整理后得
M
M
MV
dq/dt Mq q
令 d q dt
-Me
-MT
可得：
d q dt
MV V
M
M
M qq
ZV V
q Ze e
d q dt
MV V
M
M
Mqq
Me e
MT
T
d q dt
令p=d/dt，可得另一种描述：
式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）；
而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）； 上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dt
接近原点
分母行列式：
各分子行列式为： 求分子的变量的 那一列用方程右 边的列代入
分解为两项之和： 可计算受 扰动时 的响应
经拉氏反变换即得相应的函数。设
得
V、和扰动运动过程
曲线—扰动响应：
可通过d/dt得到q的响 应曲线，与接近
，q变化快—短周期运动
V，变化慢—长周期运动
(二)两种扰动运动模态
短周期模态：，q，对应一对大共轭复根 长周期模态：V，，对应一对小共轭复根
s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
固定翼飞机(或导弹)的纵向扰动运动都具有上述长、短周期
模态的特点。
物理成因:飞机受到外界扰动后，出现不平衡的外力和外力矩，
长周期固 有频率p
图3 /e ：长、短周期
固有频率上均有相当的数值，
说明无论是以长周期频率
操纵飞机，还是以短周期
频率操纵飞机， 都会产
生相当数量的变化。
短周期s
短周期 固有频 率s
升降舵e脉冲偏转响应
在短周期运动中，V和H的幅值变化很小， 长周期运动中的
幅值几乎为零。 因此可将短周期运动和
纵向方程系数表示式
大导数的意义 与计算公式
三、纵向扰动运动的两种典型模态 以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。 设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到
扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机 恢复到基准运动的过渡过程。 完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵: 主要的结构参数及纵向气动参数： 代入纵向方程
M ae e
M
a
M
a q
q
(一)切向动力学方程的线性化
dV
wk.baidu.com
dt
1 (T m
D G sin )
切向加速度：
，
基准运动航迹倾角0=0，故 且
则第一式的线性化方程为
由于有= -， 0=0-0=0，所以有：=- 代入上式：
重心之矩为正
2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正； 3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正； 4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。
5、重力G，永远指向地心。
一、纵向运动方程
由受力图可得方程组:
速度的切向方向速度的法向方向-
m dV dt
T cos( T ) D G sin
V
R R
d
dt
V
d
dt
2.切向方程 1
0
巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上
是一个很小的角度，所以
cos( T ) 1
3.纵向方程
推力远小于重力，第二式中：
所以纵向方程：
mmVddVtddt
T
D G sin
L G cos
mV
d dt
T sin( T ) L G cos
Iy
dq dt
M
a
TzT
d q dt
第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率
第三式是绕oy轴的转动动力学方程， 第四式与第五式是补充几何关系。
注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。
有关 俯仰力矩：M a M a (V , , ,e , , q) ,还与动导数有关
基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 简化的力与力矩：
T T (V ,T ) L L(V ,,e ) D D(V , ) M a M a (V ,,e ,, q)
Me e
M T
T
或
d q dt
MV V
M
M
M qq
Me e
M T
T
控制力矩
纵向方程描述
归纳纵向4阶状态方程 系数矩阵—
雅可比矩阵
d V dt
XV V
X X XT T
d
dt
Z
）的作用下逐渐加速，
速度增加则动压增大，升力也增大。当L>G,轨迹向上弯曲
轨迹向上则重力分力又使飞机减速，动压又逐渐减小。 L<G时
轨迹向下弯曲。
这种交替变化，
实际上就是飞机动能
与位能的交替转换，表现为速度V与轨迹角的振荡运动。
起恢复作用和起阻尼作用的气动力远远小于飞机质量(ｍ)，因 此振荡周期长、衰减慢—长周期模态的特点。
各大导数：
代入传递函数：
传递函数
与
负值，表示负的e产生正和正。
的传递系数均为
对数频率特性
图1V/e：短周期固有频率上的
幅值远小于长周期固有频率上 的幅值，说明短周期响应中 飞行速度的变化很小。
图2 /e：在短周期频率范围内， 的频率特性接近于一个二阶
振荡环节， 主要反映短周期 频率特性。
五、纵向运动的传递函数
扰动运动—齐次微分方程，无输入，起始条件响应 传递函数—输入输出关系，操纵响应
(一)纵向运动的传递函数（仅考虑e输入）
纵向方程中，令油门杆输入T=0，各变量初始条件为0，
以e为输入，V为输出的传递函数：
各系数定义：
p,p,TV —长周期参数
长周期运动分开处理， 使分析过程大为简化。 摄动理论 用于纵侧向解耦设计 非线性动态逆设计
短周期响应
长周期响应
六、短周期运动的近似传递函数
纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞
行速度变化不大，可以认为速度增量V=0。 纵向运动方程式中第一式(切向力方程)可以删去，其他两式当V=0时，
I y
d 2
dt 2
Ma
TzT
，可忽略
二、纵向运动方程的线性化
推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关 升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转
角有关
阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角）
在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为沉浮运动。
区分长短周期对于简化、分析和设计系统有很重要的意义。
四、关于模态的概念
模态，即运动的基本动态形式，是线性时不变系统的固有特性。 线性系统中，一个模态对应一个实根或一对共轭复根，实根对
应单调过程，复根对应振荡过程。同一个模态的扰动响应与跟 踪响应的动态过程相同。 高阶系统有多个模态，各模态相互独立，总的运动是各模态的 线性叠加。 同一个模态各运动参数的幅值有固定的比例关系，各运动参数 之间的相位差也是固定的，并以同一个频率，同一个衰减速率 (或增长速率)运动。（如短周期和q；长周期V和）。 不同的初始条件只影响各模态的系数大小，而不影晌同一模态 中不同运动参数间的幅值比例关系。 飞机的纵侧向运动都用模态的概念来描述，各个模态的数学描 述对应着不同的飞行的基础物理运动。
第三式中忽略动态惯性力矩项和阻尼力矩项，微分方程式变成代数方程 式：
变成二阶系统，且Ze=0
长周期近似传递函数：
代数方程
展开行列式，得：
直接代 入行列 式
可用MATLAB的符号语言求解传递函数
由第三个代数方程式，可得
代入速度V对舵面的传递函数，代入给定数据，得：
式中，
XV
X
X
-XT
—无因次速度
Tv，TT可由发动机特性曲线求出
Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出
也可写成：
d V dt
XV V
X X XT T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得：
s,s ，T* —短周期参数
阻尼比、振荡频率 时间常数
以e为输入，为输出的传递函数：
三个传递函数的分母多项 式△(s)即纵向扰动运动 的特征多项式。是两个二 次因式之积，分别代表长 周期和短周期运动模态。
在某些情况下，长周期模
态可能变成一正一负的两
个实根，其中正实根是不
1.纵向方程
1）法向方程
d/dt=an的由来：飞机质心速度V
由理论力学，法向加速度an=V2/R，
式中：V -切向速度，R -重心轨迹曲率半径
由于速度为轨迹弧长对时间的导数：V=ds/dt, 微段弧长：s=R, 取微分为：ds=Rd, 因此有：
an
V2 R
V V R
V
1 R
ds dt
研究初始条件为t=0时， 的扰动运动的解。
(一)扰动运动的解 用拉氏变换求解，令 考虑到前面给出的初始条件，有 代人微分方程组，得拉氏变换代数方程组：
方程的系数行列式(特征行列式)为
展开系数行列式，得特征多项式：
分解因式得:
有两对极点：s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
外力要改变飞行速度是不易的。外力矩改变迎角(包括俯仰角)
比较容易。从飞机方程可知，有迎角扰动：
时，
，q表明飞机的角度运动，Iy小，改变容易，快 V，表明飞机的轨迹运动，G大，改变慢
长周期运动—飞机的沉浮运动
设短周期运动结束后，飞机的航迹倾斜角
为负值，即飞机向下滑
在重力沿轨迹切线方向分力（
第一章 飞行动力学
第八节 飞机的纵向运动
北京航空航天大学自动化学院 张平 2012，3
一、纵向运动方程
纵向运动 飞机在自身对称面内运动： 升降、加减速、俯仰
纵向运动的外力与力矩
1、发动机推力T，方向沿发动机轴线，与机身轴线形成发动机安装角T 重心对推力线的垂距为zT，当重心在推力线之上zT为正值时，推力T对
0 高阶小量
考虑升力表达式
代入
得
mV0
d dt
mV0
d dt
L0
LV V
L
Le e
G cos
对于基准运动，有L0-G=0，而cos=1 则
Z
ZV
-Ze
式中，Lv，L，Le是升力对速度、迎角和升降舵偏角的偏导数
令
d q
dt
也可写成：
各函数对基准运动(V0,0,e0,T0)展开泰勒级数并保留一
阶项,得
令 得到力与力矩的线性化描述：
T T0 TV V TT T
L L0 LV V L Lee
D D0 DV V D
Ma
M
a 0
M Va V
M
a
得
经拉氏变换，得： 简化后为二阶系统.
分母上有一个积分环节 用q就没有分母上的s了
短周期运动的近似传递函数（续） 常规飞机的升降舵在距重心较远的平尾上，平尾上的舵面
小偏转引起的法向力足以产生较大的纵向控制力矩。
从工程近似的意义上来说，可认为Ze=0，分母上的s消失
传递函数进一步简化为：
+
力矩方程不变：q/e 另外依据航迹倾斜角增量，和的关系：
也可得到：
短周期简化模型便于研究飞机参数与动态过程的关系
七、长周期运动的近似传递函数
长周期模态主要是飞机质心的轨迹运动。与短周期相比，长周期运动响 应的各参数变化缓慢得多，因此在长周期运动期间，短周期动态过程已 基本结束，对短周期模态起重要作用的纵向转动方程基本上处于静力矩 平衡状态。
以e为输入，为输出的传递函数：
稳定的，表现为单调发散 运动。
短周期模态在一般情况下 不会变成不稳定，只有重 心移到焦点之后的飞机， 短周期模态才变成一正一 负两个实根，其中正实根 表征不稳定的单调发散运 动，且单调发散的指数比 较大。
(二)传递函数及其频率特性 某飞机，有关数据如下:
d
dt
Z
ZV V
q Ze e
（三）绕oy轴转动动力学方程的线性化
由基准运动可知： 代入力矩： 可得
整理后得
M
M
MV
dq/dt Mq q
令 d q dt
-Me
-MT
可得：
d q dt
MV V
M
M
M qq
ZV V
q Ze e
d q dt
MV V
M
M
Mqq
Me e
MT
T
d q dt
令p=d/dt，可得另一种描述：
式中，Xv，Z，Mq称为大导数（有单位）；
而Cm，CDM，Cl称为小导数（无因次）； 上式虽然是3个等式，描述了一个4阶系统：有4个p=d/dt
接近原点
分母行列式：
各分子行列式为： 求分子的变量的 那一列用方程右 边的列代入
分解为两项之和： 可计算受 扰动时 的响应
经拉氏反变换即得相应的函数。设
得
V、和扰动运动过程
曲线—扰动响应：
可通过d/dt得到q的响 应曲线，与接近
，q变化快—短周期运动
V，变化慢—长周期运动
(二)两种扰动运动模态
短周期模态：，q，对应一对大共轭复根 长周期模态：V，，对应一对小共轭复根
s1,2 0.7322 j2.8998, s3,4 0.006 j0.038
固定翼飞机(或导弹)的纵向扰动运动都具有上述长、短周期
模态的特点。
物理成因:飞机受到外界扰动后，出现不平衡的外力和外力矩，
长周期固 有频率p
图3 /e ：长、短周期
固有频率上均有相当的数值，
说明无论是以长周期频率
操纵飞机，还是以短周期
频率操纵飞机， 都会产
生相当数量的变化。
短周期s
短周期 固有频 率s
升降舵e脉冲偏转响应
在短周期运动中，V和H的幅值变化很小， 长周期运动中的
幅值几乎为零。 因此可将短周期运动和
纵向方程系数表示式
大导数的意义 与计算公式
三、纵向扰动运动的两种典型模态 以飞机纵向扰动运动的过渡过程为例。 设某飞机高度h=11OOOm，M=0.9(V0=266m/s)作定常直线平飞，受到
扰动后，飞机偏离基准运动状态。计算扰动因素消除后，飞机 恢复到基准运动的过渡过程。 完全靠飞机自身的稳定性，驾驶员没有进行操纵: 主要的结构参数及纵向气动参数： 代入纵向方程
M ae e
M
a
M
a q
q
(一)切向动力学方程的线性化
dV
wk.baidu.com
dt
1 (T m
D G sin )
切向加速度：
，
基准运动航迹倾角0=0，故 且
则第一式的线性化方程为
由于有= -， 0=0-0=0，所以有：=- 代入上式：
重心之矩为正
2、升力L,垂直于飞行速度V，向上为正； 3、阻力D，平行于飞行速度V，向后为正； 4、俯仰力矩Ma(仅指气动力矩)，抬头为正。
5、重力G，永远指向地心。
一、纵向运动方程
由受力图可得方程组:
速度的切向方向速度的法向方向-
m dV dt
T cos( T ) D G sin
V
R R
d
dt
V
d
dt
2.切向方程 1
0
巡航飞行中速度较快，迎角较小；发动机安装角T在飞机上
是一个很小的角度，所以
cos( T ) 1
3.纵向方程
推力远小于重力，第二式中：
所以纵向方程：
mmVddVtddt
T
D G sin
L G cos
mV
d dt
T sin( T ) L G cos
Iy
dq dt
M
a
TzT
d q dt
第二式中：Vd/dt=an-法向加速度，速度在法向的变化率
第三式是绕oy轴的转动动力学方程， 第四式与第五式是补充几何关系。
注：仅是在纵向剖面的力与力矩关系。
有关 俯仰力矩：M a M a (V , , ,e , , q) ,还与动导数有关
基准运动为定直平飞，小扰动假设：空气密度=常值，可忽略 简化的力与力矩：
T T (V ,T ) L L(V ,,e ) D D(V , ) M a M a (V ,,e ,, q)
Me e
M T
T
或
d q dt
MV V
M
M
M qq
Me e
M T
T
控制力矩
纵向方程描述
归纳纵向4阶状态方程 系数矩阵—
雅可比矩阵
d V dt
XV V
X X XT T
d
dt
Z
）的作用下逐渐加速，
速度增加则动压增大，升力也增大。当L>G,轨迹向上弯曲
轨迹向上则重力分力又使飞机减速，动压又逐渐减小。 L<G时
轨迹向下弯曲。
这种交替变化，
实际上就是飞机动能
与位能的交替转换，表现为速度V与轨迹角的振荡运动。
起恢复作用和起阻尼作用的气动力远远小于飞机质量(ｍ)，因 此振荡周期长、衰减慢—长周期模态的特点。
各大导数：
代入传递函数：
传递函数
与
负值，表示负的e产生正和正。
的传递系数均为
对数频率特性
图1V/e：短周期固有频率上的
幅值远小于长周期固有频率上 的幅值，说明短周期响应中 飞行速度的变化很小。
图2 /e：在短周期频率范围内， 的频率特性接近于一个二阶
振荡环节， 主要反映短周期 频率特性。
五、纵向运动的传递函数
扰动运动—齐次微分方程，无输入，起始条件响应 传递函数—输入输出关系，操纵响应
(一)纵向运动的传递函数（仅考虑e输入）
纵向方程中，令油门杆输入T=0，各变量初始条件为0，
以e为输入，V为输出的传递函数：
各系数定义：
p,p,TV —长周期参数
长周期运动分开处理， 使分析过程大为简化。 摄动理论 用于纵侧向解耦设计 非线性动态逆设计
短周期响应
长周期响应
六、短周期运动的近似传递函数
纵向运动的初始阶段，短周期运动占主导地位，其过渡过程时间很短，飞
行速度变化不大，可以认为速度增量V=0。 纵向运动方程式中第一式(切向力方程)可以删去，其他两式当V=0时，
I y
d 2
dt 2
Ma
TzT
，可忽略
二、纵向运动方程的线性化
推力：T=T(V,，T)，与空速、空气密度和油门位置有关 升力：L=L(V,，，e)，与空速、密度、迎角和升降舵偏转
角有关
阻力：D=D(V,，)，与空速、密度、迎角（和升降舵偏转角）
在长周期运动中，飞机重心时升时降，故称为沉浮运动。
区分长短周期对于简化、分析和设计系统有很重要的意义。
四、关于模态的概念
模态，即运动的基本动态形式，是线性时不变系统的固有特性。 线性系统中，一个模态对应一个实根或一对共轭复根，实根对
应单调过程，复根对应振荡过程。同一个模态的扰动响应与跟 踪响应的动态过程相同。 高阶系统有多个模态，各模态相互独立，总的运动是各模态的 线性叠加。 同一个模态各运动参数的幅值有固定的比例关系，各运动参数 之间的相位差也是固定的，并以同一个频率，同一个衰减速率 (或增长速率)运动。（如短周期和q；长周期V和）。 不同的初始条件只影响各模态的系数大小，而不影晌同一模态 中不同运动参数间的幅值比例关系。 飞机的纵侧向运动都用模态的概念来描述，各个模态的数学描 述对应着不同的飞行的基础物理运动。
第三式中忽略动态惯性力矩项和阻尼力矩项，微分方程式变成代数方程 式：
变成二阶系统，且Ze=0
长周期近似传递函数：
代数方程
展开行列式，得：
直接代 入行列 式
可用MATLAB的符号语言求解传递函数
由第三个代数方程式，可得
代入速度V对舵面的传递函数，代入给定数据，得：
式中，
XV
X
X
-XT
—无因次速度
Tv，TT可由发动机特性曲线求出
Dv，Da是阻力对速度和迎角的函数，由吹风数据得出
也可写成：
d V dt
XV V
X X XT T
(二)法向动力学方程的线性化
法向加速度为
0
对于等速直线平飞的基准运动有 代入几何关系 得：