弹性力学边值问题
弹性力学边值问题及有限元法(PPT)
（3）在边界上部分给定面力，部分给定位移——混合边界条件
基本解法
弹性力学边值问题——基本方程+边界条件
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、 外力等)，求解物体内由此产生的应力场和位移场。
具体地说，对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分 量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几 何力程、本构方程这15个泛定方程，在边界上并要满足给定的 全部边界条件。
通过与原问题基本方程及边界条件等效的变分原理，建立求 解的代数方程组，求解有限个节点上的场变量值
用有限个节点场变量值插值得到全求解域任意位置的场变量
单元内近似函程形式必须一样 单元内近似函数一般取Lagrange多项式
单元位移函数
对三角形单元，假定单元内的位移分量是坐标的线性函数
x
x
xy
y
xz
z
Fbx
0
yx
x
y
y
yz
z
Fby
0
zx
x
zy
y
z
z
Fbz
0
平衡方程的意义
受力而平衡的弹性体内 各应力之间（及其与体 力之间）的相互制约关 系
几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
xy
v z
w y
xy
w x
u z
应变与位移之间的关系， 以及应变之间的关系
物理方程
也叫本构方程
应力应变之间的关系
x
E(1 ) (1 )(1 2)
( x
1
y
弹性力学基础(二)
给定作用在物体全部边界或内部的外界作用(包括温度影响、外力等)， 求解物体内由此产生的应力场和位移场。
对物体内任意一点，当它处在弹性阶段时，其应力分量、应变分量、 位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程，这15个 泛定方程，同时在边界上要满足给定的全部边界条件。
定解条件：
满足基本方程和边界条件的解是存在的，而且在小变形条件下，对于受 一组平衡力系作用的物体，应力和应变的解是唯一的。
7.6 弹性力学问题的基本解法
7.6.1 位移法 以位移作为基本未知量，将泛定方程用位移u,v,w来表示。
sx
2G
x
u 1 2u
sy
2G
y
u 1 2u
sz
2G
z
u 1 2u
t xy 2G xy t yz 2G yz t zx 2G zx
t zx z
Fbx
0
t xy x
s y y
t zy z
Fby
0
t xz x
t yz y
s z z
Fbz
0
将本构关系代入到平衡方程中
x
2u
Fbx
0
y
2v Fby
0
z
2w
Fbz
0
u j, ji ui, jj 0
式中▽2为拉普拉斯(Laplace)算子
2u 2u 2v 2w x2 y 2 z 2
x
u x
y
v y
z
w z
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u
z
将几何关系代入到本构关系中
弹性力学问题的边界元法
弹性力学问题的边界元法
边界元法是一种被广泛应用于弹性力学问题的数值方法，它可以解决复杂、不可均匀结构的振动和弹性结构的动力学变形问题，具有计算准确、实现方便的优点，在力学中的应用越来越普遍。
边界元法的基本思想是将原来的弹性力学问题通过重新定义结构边界定义的特征变量转换为多边形表示的有限元问题。
它以节点和边为基本模型建立，采用有限单元法来描述边界上的物体、力和应力的变化，从而使得整个模型可以用有限元法实现数值求解。
边界元法的如此流行，主要是因为它具有容易计算、准确度高的优点，它能很好地求解复杂不确定状态下的弹性结构，而且它还可以解决柔性结构的受力变化。
此外，它还可以应用于多种时间和空间刻度，可为工程应用提供准确、简便的计算方法。
总之，边界元法在弹性力学研究领域有其重要价值，是弹性结构分析的最佳选择之一。
边界元法的广泛应用与先进的数值技术息息相关，能极大提高设计工程的效率和准确性。
未来，边界元法在弹性力学领域的发展将参考更多的研究成果。
chapter_4_弹性力学的边值问题
弹性力学
第 4 章 弹性力学的边值问题
2
§4-1 弹性力学边值问题的建立
§4-1 弹性力学边值问题的建立
3
§4-1 弹性力学边值问题的建立
1，弹性力学的全部方程式 ，
平衡方程
∇iT + f = 0
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ zy ∂z + fy = 0
1 +ν ν Γ= T − J (T) I E E
2 ∂ 2γ yz ∂ 2ε z ∂ ε y + =2 2 2 ∂ y ∂z ∂y ∂ z
∂ 2ε x ∂ 2ε z ∂ 2γ xz + =2 2 2 ∂z ∂x ∂ x∂z ∂ 2ε x ∂ ∂γ xy ∂γ xz ∂γ yz ( )= + − ∂x ∂ z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ 2ε y ∂ ∂γ yz ∂γ xz ∂γ xy ( − + )= ∂y ∂ x ∂y ∂z ∂x ∂z ∂ ∂γ xz ∂γ xy ∂γ yz ∂ 2ε z ( − + )= ∂z ∂ y ∂z ∂x ∂x∂ y
ui , jj
1 1 + u j , ji + f i = 0 1 − 2ν µ
19
§4-2 位移表示的弹性力学边值问题
2，位移表示的边界条件： ，位移表示的边界条件：
u = u, on ∂ u Ω n ⋅ T = t on ∂ t Ω
n ⋅ T + ku = 0, on ∂ e Ω
∂u =t n ⋅ T = λ ( ∇ ⋅ u ) n + µn × ( ∇ × u ) ∇ u + 2µ ∂n
弹性力学极坐标边界条件例题
弹性力学极坐标边界条件例题【景德镇瓷器，我为你感到骄傲】姚宏业（初二）景德镇，闻名世界的千年瓷都，以“匠从八方来，器成天下走”而著称。
“白如玉、明如镜、薄如纸、声如磬”景德镇瓷器流传了数千年，引举世之瞩目，是值得自豪的民族瑰宝。
寒假期间，我有幸参观了景德镇古窑民俗展区。
博览区展出的精美瓷器吸引着我驻足观赏。
讲解员告诉我欣赏精品瓷器由远及近会发现：这些呈乳白色的瓷器，光泽柔和，温润如玉；釉面光滑，晶莹剔透；宛若明镜，光彩照人。
把玩在手中，胎质轻薄，宛若蛋壳，薄如蝉翼，轻若绸纱。
正所谓“只恐风吹去，还愁日灸销”。
用指轻扣，能听到“咚”的脆响，宛若乐器奏出的优美磬声，扣人心弦。
这样精美绝伦的艺术品怎能不令人自豪！览区内有一处展示古法工艺制作瓷器的作坊。
走进作坊，世界上最古老的制瓷生产线展现在我们面前。
手感细腻如面粉、颜色乳白如奶酪的高岭土散发着芳香。
从一块块泥巴变成精美的瓷器，真是件神奇的事情。
一排排未经烧制的瓷坯宛如素颜的少女，静雅而纯净。
聚集在车间里的老工匠们，技艺独特，按照古老的方法拉坯、施釉、画坯……，一个个素颜美女便穿上华丽的釉衣，绽放出惊人的美丽。
据介绍，古法制作一个瓷器需要经过七十二道工序，舂泥、拉坯、印坯、利坯、画胚、施釉、开窑……一个都不能少。
这样的制瓷过程让我感受到艺术品出炉的不易，更让我为景德镇瓷器精益求精的制作过程而自豪。
景德镇的制瓷匠人一生只从事一项工作。
拉坯的一辈子拉坯，烧窑的一辈子烧窑。
每一步技法都需要多年经验的积累。
80多岁的王燕生是国家级非物质文化遗产的继承人。
他11岁开始学徒，擅长圆器拉坯。
看着王师傅用木棍搅动轱辘车盘使其快速旋转，随着双手手形不断变换，车盘上的泥料也在不停变化，一个葫芦雏形飞快地呈现出来。
他仿佛魔术师一般，陡然间变出了一个大葫芦。
王师傅把做好的葫芦掰开一节展示给我们，中间全是空心的，太神奇了！大家禁不住热烈鼓掌。
王师父会心地一笑，他绝对可以为自己的精湛技艺自豪。
弹性力学基本方程及原理
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所有
方程，为真解
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x
1 E
x
( y
z )
1 E
( p
2
p)
p(1 2 )
E
y
z
xy yz zx 0
6）求位移分量：
代入几何方程并积分可求位移
u
p(1 2 )
E
x
f1( y, z)
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
1、检查在柱体侧边（主要边界）X i 0 n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
ij ,kk
1
1
Θ ,ij
0
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 z
x
s
m
yx
s
n
zx
s
fx
xy
m
s
y
n
s
zy
s
fy
（A）
xz
s
m
yz
s
n z
s
fz
y
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
x
a）前、后面： 1 m n 0 前面面力：fx p f y 0 fz 0
应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程
弹性力学-边界条件
yx
x
P y
fx
n
l cosn, x cos m cosn, y sin
xy
由 x s m xy s f x xy s m y s f y
fy
x s cos yx s sin 0
h 2 h 2
h 2 h 2
f x ydy M
则边界条件可以写成(P.23 (b))：
x x l
dy Fx ,
xy x l
dy Fy ,
x x l
ydy M
悬臂梁的例子：
y
h 2 h 2
y y x
h 2 h 2
x
P
L
L
对边界条件的积分为： (P.23 (b))：
x yx
xy l fx y s m fy
x 上面：l=0，m=-1 左面： 右面： l=-1 l=1 m=0 m=0 下面：l=0，m=1 y
(2).上下两面 ( ) f l 0 m 1 ( ) f
二、应力边界条件 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的 y 应力分量与坐标面应力的 yx 关系有(静力平衡) f xn X x p x x xy l p y m y yx
• 所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。 • 在小边界上，如果不能严格满足边界条件，可 以用圣维南原理在静力等效意义上满足(积分 意义上的)边界条件。 • 根据这个原理：两组面力其分布尽管不同，但 如果两者的合力与合力矩相同(静力等效)，此 时它们所产生的作用结果仅仅在局部有比较大 的差异，远离这个局部，结果基本相同。
弹性力学-边界条件
1 (
y x) s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
左面：
右面：
l=-1
l=1
m=0
m=0
下面：l=0，m=1 y
边界面于坐标轴平行时的简单写法: 每个边界条件只含有一个应力分量(l=0 or m=0) 边界上的面力按应力分量的符号规定，不考虑l,m
图中的面力采用矢量 符号规则
举例：
yxx
xy y
s
l m
f f
x y
fYyn
注意：以上在推导时，斜 面上的应力px,py采用矢量 符号规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的 应力分量；右端为面力分量。可以各自采用各 自的符号规定。但需要用边界的方向余弦
O yyຫໍສະໝຸດ l cos m sin
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
x s cos
xy
sin
s
0
xy
cos
s
y
sin
s
0
y
唯一性定理
• 表述－1：在没有初始应力的情况下，如果边界 条件足以确定全部刚体位移，则弹性力学边值问 题的解答是唯一的。
cos
yx
s in
s
0
xy
cos
s
y
s in
s
0
x
s
ytg 2
p
弹塑性力学___第四章_弹性力学的求解方法
叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单 独作用时对应解的和。
叠加原理成立的条件：小变形条件（平衡、几何方程才 为线性的），弹性本构方程（虎克定律）。
4-5塑性力学最简单的问题、求解塑性力学的问题
在塑性力学中，有些问题在平衡方程和屈服条件 中的未知函数和议程式的数目相等，因而结合边 界条件一般便可找出弹塑性体或结构中应力分布 的规律。而应变和位移再根据本构方程和几何方 程或连续性条件分别求出。这种仅通过平衡方程、 屈服条件就能完全确定应力场的问题属静定问题 （称为塑性力学最简单问题）
（2）应变协调方程（变形连续必条件）（变形相容条件）
可缩写为：
上述方程是六个应变分量 保证三个位移分量 连续函数（保持连续）的条件。 为单值
3、本构方程（物性方程）
（1）在弹性变形阶段，且屈服函数 则有
如用应变表示应力，则有
为了与塑性变形本构方程对比，也可将本构方程表示为
（2）在弹塑性变形阶段，屈服函数
1. 平衡（或运动方程）
若等式右式不等零，即表示物体内质点处于运动状态， 则根据理论力学中的达朗伯原理需将上式右端等于括号 内的惯性力项。 方程只表明物体内一点的应力状态与其邻点的应力 状态之间在平衡（或运动）时所满足的关系。
2. 几何方程与应变协调方程
（1）几何方程
此式表明在小变形条件下，物体内一点附近的变形情况和该点的 应变状态之间的关系。
第四章 弹塑性力学基础理论的建立及基本解法
§4-1 弹塑性力学基本理论的建立 弹塑性力学的任务：研究各种具体几何尺寸的
弹性、弹塑性体或刚塑性体在各种几何约束及 承受不同外力作用时、发生于其内部的应力分 布与变形（或位移）规律。
与材料力学一样，弹塑性力学所求解的大多 数问题是超静定问题，因此其基础理论的 建立来自三个方面的客观规律：平衡方 程 ；几何方程 ；本构方程
弹性力学-边界条件
xy y
s
l m
f f
x y
y
yx
x
Xf xn
xy
fYyn
注意：以上在推导时，斜面
上的应力px,py采用矢量符号
规定－与面力相同。
应力边界条件的写法是：左端为边界上微元体的应力分量； 右端为面力分量。可以各自采用各自的符号规定。但需 要用边界的方向余弦
xy x, y, z
x, y, x, y, x, y
x
y
xy
独立的（3个）
（3个）
3、位移分量f
ux, y, vx, y, w 独立的（2个） ux, y, vx, y（2个）
二. 平面问题基本方程
平面应力问题 1、平衡微分方程 （2个）
x x
表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
二1.、圣必须维用南等原效理力的系应代用替。条件
2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上 )
举例 P
P 图(a)
q P A
q
图(b)
P
（1）以(b)代(a)应力边界条件可以近似满足。 （2）以(b)代(c)应力边界条件可以近似满足,但
位移边界条件不能完全满足。
图(c)
圣维南原理的应用
所得到的应力分量必须在所有边界上各点处严 格满足应力边界条件，才是所论问题的解答。
第五章 弹性力学 边值问题
第五章弹性力学边值问题本章任务总结对弹性力学基本方程讨论求解弹性力学问题的方法目录§5.1弹性力学基本方程§5.2问题的提法§5.3弹性力学问题的基本解法解的唯一性§5.4圣维南局部影响原理§5.5叠加原理§5.1弹性力学基本方程✓总结弹性力学基本理论；✓讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。
弹性力学基本方程1.平衡微分方程000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂bz zyz z by zyy xy bx zxyx x F zy x F z y x F z y x στττστττσ0,=+bj i ij F σ2.几何方程xw z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=γγγεεε,,,,,),,(21i j j i ij u u +=ε3.变形协调方程yx z y x z z x z y x y z y z y x x zx x z zy z y yx y x zxy xz yz y xyxz yz x xy xz yz xzz x yzy z xyx y∂∂∂=∂∂-∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε2222222222222222222)(2)(2)(位移作为基本未知量时，变形协调方程自然满足。
3.本构方程——广义胡克定律应力表示应变表示GGGv v Ev Ev v E v E v v E v E xzxz yzyz xyxy z y x z z y z x y y x z y x x τγτγτγσσσσεσσσσεσσσσε===Θ-+=+-=Θ-+=+-=Θ-+=+-=])1[(1)]([1])1[(1)]([1])1[(1)]([1xzxz yz yz xy xy z z y y x x μγτμγτμγτμελθσμελθσμελθσ===+=+=+=222基本方程：平衡微分方程；几何方程和本•边界条件•若物体表面的面力分量为F sx 、F sy 和F sz 已知•则面力边界条件为：nm l F n m l F n m l F z yz xz sz zy y xy sy xz xy x sx στττστττσ++=++=++=jij si n F σ=•若物体表面的位移已知，则位移边界条件为w v u ,,ww v v u u ===,,•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件§5.1 基本方程5§5.1 基本方程6总结：弹性力学基本方程和边界条件§5.2问题的提法弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。
弹性力学第三章习题
1.设有矩形截面的竖柱，其密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，如图1，试求应力分量。
解：采用半逆解法，设=x σ 。
导出ϕ使其满足双调和方程：0)()(,00,0)()()()()(,0414444224444144444122=+=∇=∂∂∂=∂∂+=∂∂+==∂∂=-∂∂=dxx f d dx x f d yy x y dx x f d dx x f d y x x f x yf x f y Xx y x ϕϕϕϕϕϕϕσ（1）含待定常数的应力分量为：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫++-=∂∂∂-=-+++=-∂∂==-∂∂=)23(26)26(0222222C Bx Ax y x Py F Ex B Ax y Yy x Xx yxy y x ϕτϕσϕσ （2）（3）x1取任意值时，上式都应成立，因而有：y 23232312341444)()(,)(0)(,0)(Fx Ex Cx Bx Ax y Fx Ex x f Cx Bx Ax x f dx x f d dx x f d ++++=+=++===ϕ式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项，因为它们对应力无影响。
)(x f )(1x f x利用边界条件确定常数，并求出应力解答：,0)(0==x x σ 能自然满足： 0,0)(0===C x yx τ,0)(==h x x σ能自然满足：,026,0)(23,)(02===+==--===F E F Ex q Bh Ah q y y h x yx στCyBx y x gy By Ax Yy xDy Cx Xx y xyy x 22266222222--=∂∂∂-=-+=-∂∂=+=-∂∂=ϕτρϕσϕσ0)(,0)(00====y xy y y τσ（4）（5）2．如图2（a ），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度为，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。
2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答：上边界：,0)(0==y yx τ不能精确满足，只能近似满足： ⎰⎰=+-===h hy y xy dx Bx Ax dy 000200)23(,0)(τ023=--Bh Ah 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： A B hqB h q A =-=,2（)32(,)31(2,0h x h qx Py h x h qy xy y x --=--==τσσxx x 图（a ） （b ）解： 1.设应力函数为： 3223Dy Cxy y Bx Ax +++=ϕ 不难验证其满足 。
有限元分析第3章弹性力学基础知识2
有限元分析Finite Element Analysis李建宇天津科技大学内容Chp.3 弹性力学基础知识2：补充内容1. 边界条件2. 弹性力学中的能量表示3. 弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献有限元分析——弹性力学补充内容弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linear elastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Small deformation)弹性力学基本变量变形体的描述：在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力描述变形体的三类变量：dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT位移（displacement）是指位置的移动。
它在x, y 和z轴上的投影用u, v和w。
dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT微元体( Representative volume)应力张量（stress tensor ）x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应变张量（strain tensor ）dyuvwdzdx(x,y,z )xu x d d =εd xxσxσuu +d uτβαγ=α+βx xy xz yx y yz zx zy z εγγγεγγγε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x zεεεγγγ∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂几何方程00000000x y z xy yz zx x y u z v w y x z y zx εεεγγγ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎧⎫⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦Luε=L ：微分算子上节回顾弹性力学基本方程000yx x zx x xy y zyy yz xz z z b x y z b x y zb x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂平衡方程000000000x y x z y yx zzy xz x y z b b y x z b zyx σσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭A ：微分算子A b σ+=TA L=上节回顾弹性力学基本方程物理方程()()()111x x y z y y z x z z x y xyxy yzyz zxzx E EE GGGεσνσσεσνσσεσνσστγτγτγ⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦===()()()()()()1000111000111000111121120000021120000021120021x x y y z z xy xy yz yz zx zx E ννννννσεννσεννννσενντγννντγντγννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬-+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ：弹性矩阵D σε=对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩT0Lu A b D σεσε+===弹性力学三大方程in Ω边界上呢？一、弹性力学的边界条件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT两类边界条件：S p：力的边界S u：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩTuu u v v on S w w =⎧⎪=⎨⎪=⎩一、弹性力学的边界条件以二维问题为例2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件∑X=注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例Y =∑同理：M =∑一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件00x x x y y yx y xy p n n n n p σστ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭其中：n x ＝l ；n y ＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件00000000x y xy z x z y x z y xy zyx z yz zx n n n p n n n p n n n p σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭n ppon S σ=二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：功（work）：外力功；能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1. 弹性力学中的外力功（work by force ）弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part 1：面力p i 在对应位移上u i 上的功（on S p ）Part 2：体力b i 在对应位移上u i 上的功（in Ω）外力总功为：()()d d pxyzxyzS W p u p v p w S b u b v b w Ω=+++++Ω⎰⎰二、弹性力学中的能量表述2. 弹性力学中的应变能(strain energy)设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。
硕士生弹塑性力学复习题(2007)
硕士生弹塑性力学复习题一、 判断题1、 对于单个弹性材料组成的物体，其平面应力问题的应力与位移解答都与弹性体的材料常数有关。
（ ）2、 应力轴对称问题的位移解答也一定是轴对称的。
（ ）3、 应变状态，是可能的。
（ ）3,,x y xy Axy By C Dy εεγ===−24、 第一边值问题的所有解答（应力、应变、位移）都是唯一的。
（ ）5、 弹性体保持连续（不发生相互脱离或侵入现象）的条件是满足应变协调方程。
（ ）6、 作用在半无限体上的集中力对离作用力位置较远的地方会产生较大的应力集中。
（ ）7、 对梁端部作用一附加平衡力系，则该力系对作用点附近的应力分布会产生明显的影响。
（ ）8、 弹性薄板上的扭矩可以等效为分布及集中剪力。
（ ）9、 薄板的Navier 解法只适用于四边支承的矩形板。
（ ） 10、薄板的Levy 解法适用于任意支承的矩形板。
（ ）11、满足应力相容方程的一组应力分量，也一定满足平衡方程。
12、最大正应力作用面上的剪应力为零，最大剪应力作用面上的正应力为零。
（ ） 13、应力不变量与坐标系的选择无关。
（ ）14、薄板弯曲时，若满足了自由边合剪力与弯矩等于零的边界条件，则弯矩M 、扭矩xy M 、横向剪力Q 都分别为零。
（ ）15、Tresca 屈服条件是：当最大拉应力达到某一数值时，材料就发生屈服。
（ ） 16、当八面体上的剪应力达到某一数值时，材料就会产生屈服现象。
（ ）二、 填空题1、 弹性力学的基本假设有 ， ， ， ， ， 。
2、弹性力学的三类边值问题是：（1） ，（2） ，（3） 。
3、对于平面应变问题，只需将对应的平面应力问题的解答作材料常数的替换即可，即 E → ，γ→ 。
4、弹性薄板的弹性曲面方程为： 。
5、弹性力学问题有 和 两种基本解法，前者以 为基本未知量，归结为在 条件下求解 ，后者以 为基本未知量，归结为在 条件下求解 。
6、对于平面应变问题z σ= ，z ε= ；对于平面应力问题z σ= ，z ε= 。
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
课后习题解答
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶【2-8】在图2-16中，试导出无面力作用时AB 边界上的xy ,,x y σστ之间的关系式【解答】由题可得：()()()cos ,cos 90sin 0,0x y l m f AB f AB ααα==-===将以上条件代入公式（2-15），得：()()()()()2cos sin 0, sin ()cos 0()tan tan x yx y xy AB AB AB AB x AB yx y ABABσατασαταστασα+=+=⇒=-=【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。
在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
xM图2-17图2-18【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。
【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0)右（x =b ）l-11x图2-16m-10 0()x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0yxy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh b xdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s) y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
• 利用圣维南原理可放宽边界条件，扩大弹 性力学的解题范围。
END
1. 位移法：以位移作为基本未知量用，位移表述平
衡方程——位移法控制方程
2. 应力法：以应力作为基本未知量。将相容方程用 应力表示——应力控制方程
3. 应力函数法：先引入应力函数，相容方程用应力
函数表示法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容方程。
3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。
4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为 用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。
无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则
此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。
提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。
位移控制方程指标表示：
力边界条件也可用位移表述。
3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。
结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
05 第五章 弹性力学边值问题
w u w z 2G ; zx G z z x
ij
平衡 方程
• 用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）
Gu i , jj G u j , ji f i 0 ui
位移解法
L-N方程的具体推导如下：
先将几何关系代入广义虎克定律，可得
v u u x 2G ; xy G x x y
•
•
对于常体力情况fi＝const ，不难验证这个结论同样适用。
对于变体力情况，可先找一个特解(不必满足边界条件)，然后
与上述齐次解迭加，使全解满足全部边界条件。
弹性力学边值问题
弹性力学边值问题的微分提法
位移解法
应力解法 应力函数解法 叠加原理 解的唯一性定理
圣维南原理
应力解法
应力解法是以应力分量作基本未知量的解法。 平衡方程： 协调方程：
x 4 y 4 z 4
x 2y 2
2
4
y 2z 2
2
4
x 2z 2
称为重调和算子。 上式说明位移分量ui应满足重调和方程。
位移解法
ui 0
4
连续性条件
1 4 ij ui 4u j 0 ,j ,i 2
ij , j f i 0 ( ui )
U
微分提法
分量形式为：
X xl xy m zx n Y yx l y m zy n Z xz l yz m z n
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第五章弹性力学边值问题
本章任务
总结对弹性力学基本方程
讨论求解弹性力学问题的方法
目录
§5.1弹性力学基本方程
§5.2问题的提法
§5.3弹性力学问题的基本解法
解的唯一性
§5.4圣维南局部影响原理
§5.5叠加原理
§5.1弹性力学基本方程
✓总结弹性力学基本理论；
✓讨论已知物理量、基本未知量；以及物理量之间的关系——基本方程和边界条件。
弹性力学基本方程1.平衡微分方程
000=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂bz z
yz z by zy
y xy bx zx
yx x F z
y x F z y x F z y x στττστττσ0
,=+bj i ij F σ2.几何方程
x
w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ∂∂+
∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=γγγεεε,,,
,,)
,,(2
1
i j j i ij u u +=ε
3.变形协调方程
y
x z y x z z x z y x y z y z y x x z
x x z z
y z y y
x y x z
xy xz yz y xy
xz yz x xy xz yz xz
z x yz
y z xy
x y
∂∂∂=∂∂-∂∂+∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂∂=∂∂+∂∂εγγγεγγγεγγγγεεγεεγεε22
2
2
22
2
2
2
22
2
2
222
2
22)(2)(2)(位移作为基本未知
量时，变形协调方程自然满足。
3.本构方程——广义胡克定律
应力表示
应变表示
G
G
G
v v E
v E
v v E v E v v E v E xz
xz yz
yz xy
xy z y x z z y z x y y x z y x x τγτγτγσσσσεσσσσεσσσσε=
==Θ-+=
+-=Θ-+=
+-=Θ-+=
+-=])1[(1
)]([1
])1[(1
)]([1
])1[(1
)]([1
xz
xz yz yz xy xy z z y y x x μγτμγτμγτμελθσμελθσμελθσ===+=+=+=222基本方程：平衡微分方程；几何方程和本
•边界条件
•若物体表面的面力分量为F sx 、F sy 和F sz 已知•则面力边界条件为：
n
m l F n m l F n m l F z yz xz sz zy y xy sy xz xy x sx στττστττσ++=++=++=j
ij si n F σ=•若物体表面的位移已知，则位移边界条件为
w v u ,,w
w v v u u ===,
,
•若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件
§5.1 基本方程5
§5.1 基本方程6
总结：
弹性力学基本方程和边界条件
§5.2问题的提法
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。
求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。
为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。
•在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。
•按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。
•第一类边值问题：已知弹性体内的体力和
其表面的面力分量为F
sx 、F
sy
和F
sz
，边界条
件为面力边界条件。
•第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。
§5.2 问题提法2
•第三类边值问题：已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。
称为混合边界条件。
•以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。
•若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。
位移解法
——以位移函数作为基本未知量
应力解法
——以应力函数作为基本未知量
混合解法
——以部分位移和部分应力分量作为基本未知量
§5.3弹性力学问题基本解法
解的唯一性
•选取位移函数作为基本未知量求解的方法称为位移解法。
•主要工作：
•利用位移函数u,v,w表达其他未知量；•推导位移函数描述的基本方程•——位移表达的平衡微分方程
w
w v v u u ===,,•位移解法的基本未知量为3个位移函数•基本方程为3个拉梅方程
•对于位移边界条件，位移解法是十分的合适的。
0)(0)(0)(b 2b 2b 2=+∇+∂∂+=+∇+∂∂+=+∇+∂∂+z y x F w z
F v y
F u x μθμλμθμλμθμλ0)(b 2,=+∇++i i i kk F u μελμ
)()()()()()(n z
w m y v l z u n z w m y w l x w n F n y
w m y v l y u n z v m y v l x v m F n x
w m x v l x u n z u m y u l x u l F sz sy sx ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=μμλθμμλθμμλθi
i j j j i i kk bi n u n u n F ,,μμλε++=但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂这一边界条件几乎不可能实现
•总之，位移解法以位移为基本未知函数，归结为在给定的边界条件下求解位移表示的平衡微分方程，即拉梅方程。
•位移分量求解后，可通过几何方程和物理方程求出相应的应变分量和应力分量。
•应力函数作为基本未知量求解的方法称为应力解法
•应力解法的基本方程
• 1. 平衡微分方程
• 2. 变形协调方程
•应力解法综述
•应力解法的基本未知量为6个应力分量；•基本方程为3个平衡微分方程和6个变形协调方程。
•应力解法适用于面力边界条件。
•总而言之，在以应力函数作为基本未知量求解时，归结为在给定的边界条件下，求解平衡微分方程和应力表达的变形协调方程所组成的偏微分方程组。
混合解法
根据问题性质和边界条件，选择不同的基本未知量求解称为混合解法。
解的唯一性原理——
弹性体受已知体力作用。
在物体的边界上，或者面力已知；或者位移已知；或者一部分面力已知，另一部分位移已知。
则弹性体平衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对于后两种情况，位移也是唯一的。
证明12
•弹性力学的基本未知量位移、应力和应变
等在体力为常量时具有一些特性。
•掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力
学问题。
•物理量特性体力为常量时一些物理量的特性
02=∇θ02
=∇Θ022=∇∇i u 002
222=∇∇=∇∇ij ij εσ
•体力为常量，体积应力和体积应变均满足拉普拉斯（Laplace)方程。
•体积应力函数和体积应变函数为调和函数。
•位移分量，应变分量和应力分量均满足双调和方程，
•位移分量，应变分量和应力分量为双调和函数。
•局部影响原理——
•物体任意一个小部分作用
一个平衡力系，则该平衡
力系在物体内部所产生的
应力分布，仅局限于力系
作用的附近区域。
在距离
该区域相当远处，这种影
响便急剧减小。
•证明12
§5.4圣文南原理
§5.5叠加原理
解的叠加原理——
小变形线弹性条件下，作用于物体的若干组载荷产生的总效应（应力和变形等），等于每组载荷单独作用效应的总和。
逆解法
——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。
然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。
半逆解法
——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。
逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中介绍，其求解过程带有“试算”的性质。
偏微分方程边值问题求解困难
难以确定弹性力学问题的解析解
显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。