常见正多面体总结-六面体八面体十二面体和二十面体
面立体构成——精选推荐
面立体构成面立体构成是指通过面材的堆积重叠,可以得到具有一定体量感的体块.利用面材重叠间距的可变性,按一定的比例有次序地排列面材,构成一个新的形态.这就是面的层排构成方法.在面的层排构成中,可以通过改变面材的基本形态,如直面曲面折面以及面的不同形状,使面的层排构成更加丰富.也可以运用不同的渐变重复发射的形式排列面材,产生丰富的层排构成形式.柱式构成是面立体构成中较为常见的一种造型样式.柱式构成的基本制作方法是把平面的面材,围绕中心轴进行折叠或弯曲并把起始边沿粘接在一起,即构成了柱式的立体造型.通常,柱式的两端是不加封闭的,因此柱式也被称为透空柱体.因折叠和弯曲的加工方法不同,构成的柱式也不同,一般可分为棱柱和圆柱第六章面材的立体构成第一节面材的分类与制作方法（一）面材的形态分析面材是以长宽为形态特征的材料，具有平薄、延展的感觉，具有分割空间、限定空间的作用。
面材可分为平面和曲面两种形态，又可分为规则面和不规则面。
1、规则面的基本形式有方形、圆形、三角形以及垂直面、水平面、倾斜面等。
方形的面给人以稳定、规范、坚定的心理感受；圆形的面给人以丰满、圆润和生命力的感受；三角形的面又具有锐利、刺激和好斗的个性；垂直的面具有刚直有力、蓬勃向上的气质，又具有平整、伸展的特性；水平的面具有稳定、平实与宁静的个性；倾斜的面具有速度、动感、热情的性格特征。
2、不规则面的基本形式是指一些毫无规律的自由形，包括任意形、偶然形和有机形。
任意形形体随意，体现的是潇洒、自如的情感。
偶然形具有不定性和偶然性，具有自然的魅力和人情味。
有机形具有自然、纯朴、流畅、圆润的特征。
（二）面材的分类按照面材的表面效果分为高反光面材、透明面材、低反光面材、光洁表面面材和粗糙表面面材等。
按照面材的物理属性分为金属面材和非金属面材等。
按照面材的加工特性分类，具有较强的可操作性，以下分门别类加以介绍。
可切割板材，如木板、金属板、纸板等几乎所有板材。
立体几何中的正六面体与正二十面体
立体几何中的正六面体与正二十面体正六面体和正二十面体是立体几何中非常重要的多面体之一。
它们由许多规则的面组成，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍正六面体和正二十面体的定义、性质和应用。
一、正六面体正六面体是一种立体几何体，也被称为正六面体立方体。
它具有六个相等的正方形面，每个角都是直角，共有八个顶点和十二条边。
正六面体的体积可以通过以下公式计算：V = a³其中，a是正六面体的边长。
由此可得，正六面体的表面积为6a²，对角线长为√3a。
正六面体的性质：1. 所有八个顶点的对称性质相同。
2. 所有十二个棱的对称性质相同。
3. 所有六个面的对称性质相同。
4. 对角线长相等的两个顶点构成了一个正四面体。
5. 以每个面的中心为顶点构成的八面体与正六面体共面。
正六面体的应用：1. 正六面体具有良好的稳定性和均匀的受力分布，因此常用作建筑物的基石或桥梁的支撑。
2. 正六面体还常用于制作游戏骰子或计算机图形学中的3D模型。
3. 在晶体学中，正六面体是一种重要的晶体形状。
二、正二十面体正二十面体是一种立体几何体，也被称为正二十面体。
它由20个相等的正等边三角形组成，共有12个顶点和30条边。
正二十面体的体积可以通过以下公式计算：V = ⅓a³√(5*(5+2√5))其中，a是正二十面体的边长。
由此可得，正二十面体的表面积为5√3a²，对角线长为√10a。
正二十面体的性质：1. 所有12个顶点的对称性质相同。
2. 所有30条边的对称性质相同。
3. 所有20个面的对称性质相同。
4. 正二十面体的每个面都与其他三个面相邻，且每个顶点都连接了五条边。
正二十面体的应用：1. 正二十面体具有一些特殊的几何性质，因此被广泛应用于化学、物理学和数学领域，如描述分子结构、全息照相、球面覆盖等。
2. 在设计艺术领域，正二十面体的美学价值和独特形状也被广泛认可，经常被运用到建筑、雕塑和产品设计中。
正多面体只有5种的又一证法
vt
= 2e ,即
v
=
2e t
.
正多面体每个面由 h 条边围成 ,则 f h =
2e ,即
f
=
2e h
.
把
v
=
2e t
,
f
=
2 e代入
h
(1)
式得
2e t
-
e
+
2e h
=
2
,
∴e
=
2
h
-
2 ht ht
+
2
t
(2)由Biblioteka (2) 得 2 h - ht + 2 t > 0 ,
32
数 学 通 讯 2003 年第 1 期
正多面体只有 5 种的又一证法
周素芬
(集美中学 ,福建 361021)
中图分类号 :O123. 3 文献标识码 :A 文章编号 :0488 - 7395 (2003) 01 - 0032 - 01
瑞士数学家欧拉在 1752 年发现各种正
多面体均有的关系 :
v - e + f = 2
(1)
其中 v , e , f 分别表示凸多面体的顶点数 、棱
数及面数. (1) 式后人称为欧拉公式 , 它在空
间图形及图论中有许多重要应用.
所谓正多面体是指多面体的各个面均是
全等正多边形 , 每个正多面体的各边的长和 顶角的交角均相等. 那么空间有多少种不同 正多面体 ? 本文对此问题给出了一种新的简 便论证方法.
正四面体 正八面体 正六面体
正十二面体 正二十面体 图 1 正多面体
参考文献 :
多面体公式计算大全
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1.正方体：
-面数：6面
-边数：12条
-顶点数：8个
-表面积：每个面都是边长的平方，总表面积等于6倍的边长平方。
-体积：边长的立方。
2.正四面体：
-面数：4面
-边数：6条
-顶点数：4个
-表面积：底面积加上3个侧面积，底面积是边长的平方再乘以根号3除以4
-体积：边长的立方再乘以根号2除以12
3.正六面体（立方体）：
-面数：6面
-边数：12条
-顶点数：8个
-表面积：每个面都是边长的平方，总表面积等于6倍的边长平方。
-体积：边长的立方。
4.正八面体：
-面数：8面
-边数：12条
-顶点数：6个
-表面积：底面积加上6个侧面积，底面积是边长的平方再乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
5.正十二面体：
-面数：12面
-边数：30条
-顶点数：20个
-表面积：每个面都是边长的平方再乘以根号3除以4，总表面积等于12倍的边长平方乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
6.正二十面体：
-面数：20面
-边数：30条
-顶点数：12个
-表面积：每个面都是边长的平方再乘以根号3除以4，总表面积等于20倍的边长平方乘以根号3
-体积：边长的立方再乘以根号2除以3
除了以上常见的多面体，还有其他更复杂形状的多面体需要使用更复杂的计算公式。
在实际计算中，我们也可以使用符号计算软件、几何计算器等工具进行更准确和复杂的计算。
希望以上多面体的计算公式可以对您有所帮助。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校 韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。
2、应用呼应解题在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a πB ．222a π C ．221a πD ．241a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为a 22的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
立体几何欧拉定理与球
1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E有关系式：2V F E+-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E=+-，()f p叫欧拉示性数（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p=．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p=（3）多面体所有面的内角总和公式：①()360E F-︒或②0(2)360V-5 球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面表示它的球心的字母表示，例如球O．6．球的截面：用一平面α去截一个球O，设OO'是平面α的垂线段，O'为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r截面是一个圆面球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆7．经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数；纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数8．两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离9．两点的球面距离公式： AB Rθ=（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）10 半球的底面：已知半径为R的球O，用过球心的平面去截球O，球被截面分成大小相等的两个半球，截面圆O（包含它内部的点），叫做所得半球的底面11．球的体积公式：43V Rπ=12 球的表面积：24S Rπ=1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ；8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；11．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 12.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍；13.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 14.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．练习参考答案：1 一个n 面体共有8条棱，5个顶点，求解：∵2V F E +-=，∴25F E V =+-=，即5n =．2．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求解：∵8V =，83122E ⨯==，∴26F E V =+-=，即6n =． 3．一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4 证明：∵23F E ＝，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 4．有没有棱数是7的简单多面体？说明理由解：若E ＝7，∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ，∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4，但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面，有四个面的多面体是四面体，也只有四个顶点，不可能有5个顶点，∴没有棱数是7的多面体 5．是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个面都有奇数条边解：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++ ，但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ∴不存在这样的多面体6 ①过球面上任意两点，作球的大圆的个数是 ．②球半径为25cm ，球心到截面距离为24cm ，则截面面积为 ． ③已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，它们位于球心同一侧，且相距1，则球半径是 ．④球O 直径为4，,A B 为球面上的两点且AB =,A B 两点的球面距离为 ． ⑤北纬60圈上,M N 两地，它们在纬度圈上的弧长是2Rπ（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为 ．答案：①一个或无数个 ②249m ③3 ④43π ⑤ 3π7．北纬45圈上有,A B 两地，A 在东径120，B 在西径150，设地球半径为R ，,A B 两地球面距离为 ； 答案：3R π8．一个球夹在120二面角内，两切点在球面上最短距离为cm π，则球半径为 ；答案：3cm9.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度相差90°，那么这两点间的纬线的长为_________，两点间的球面距离是_________．分析：求A 、B 两点间的球面距离，就是求过球心和点A 、B 的大圆的劣弧长，因而应先求出弦AB 的长，所以要先求出A 、B 两点所在纬度圈的半径．解：连结AB ．设地球球心为O ，北纬45°圈中心为O 1，则 O 1O ⊥O 1A ，O 1O ⊥O 1B ．∴4511=∠=∠=∠AOC BO O AO O ．∴ O 1A ＝O 1B ＝O 1O ＝45cos ⋅OA ＝R 22． ∴ 两点间的纬线的长为：R R 42222=⋅π． ∵ A 、B 两点的经度相差90°， ∴ 901=∠B AO ．在B AO Rt 1△中，R AO AB ==12，∴ OB AB OA ==，3π=∠AOB ．∴ 两点间的球面距离是：R 3π．10 球的大圆面积增大为原来的4倍，则体积增大为原来的 倍；答案： 811．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍； 答案： 312.若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的体积比原来增加 倍； 答案： 713.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ； 答案： 614.正方体全面积是24，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．答案： ，43π 15 球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可． 解：设正方体棱长为a ，则三个球的半径依次为2a 、a 22，a 23 ∴ 三个球的表面积之比是3:2:1::321=S S S ．16．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =，∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．17． 正四面体ABCD 的棱长为a ，球O 是内切球，球O 1是与正四面体的三个面和球O 都相切的一个小球，求球O 1的体积．分析：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．解：如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD 切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H ． 由题设 a GE AE AG 3622=-=． ∵ △AOF ∽△AEG ∴a Ra a R 233663-=，得a R 126=．∵ △AO 1H ∽△AOF ∴ R r R a rR a =---36236，得a r 246=． ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球．另法：以O 为顶点将正四面体分成相等体积的四个三棱锥，用体积相等法，可以得到1144R OG AG h ===，3h a =，111()428r h h ===。
常见正多面体总结-六面体八面体十二面体和二十面体
序号
区分
棱长
图示 顶点
特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8 6 12 6 8 12 20 12 30 12 20 30
面积S
体积V
备注 多面体欧拉公式：
1
正六面体
a
面 棱 顶点
6a²
a³
顶点数+面数-棱数=2
2
正八面体
a
面 棱 顶点
2√3*a²
√2*a³/3
1.它由八个等边三角形构成； 2.也可以看做上、下两个正方椎 体黏合而成，每个正方椎体由四 个三角形与一个正方形组成； 3.正八面体内嵌在立方体中时，6 个顶点分别位于立方体的面心。
3
正十二面体
a
面 棱 顶点
4
正二十面体
a
面 棱
正十二面体是 正二十面体的对偶多面体
空间几何中的多面体与空间多面体
空间几何中的多面体与空间多面体多面体是空间几何中的一种重要的几何形体，它由多个平面多边形（面）组成，并且这些面之间的边、角都满足特定的条件。
在本文中，将介绍多面体的概念、特征以及常见的空间多面体。
一、多面体的概念与特征多面体是指由多个平面多边形组成的立体图形，其中每个多边形被称为一个面，相邻面之间共享一条边，且每条边有且只有两个相邻的面。
除了顶点处的面可以是两个或两个以上相邻面外，其他面都是三个或三个以上的面的共享面。
多面体是空间中的一个封闭体，不包含任何空洞。
多面体的边界由面和边界上的顶点组成。
多面体有一些特征，首先，多面体的面都是平面多边形，其边数可以是相同的，也可以是不同的。
其次，多面体的顶点数和面的数目满足欧拉公式：顶点数 + 面的数目 - 边的数目 = 2。
这个公式描述了多面体的特征性质，使得我们可以通过已知的信息来求解未知的属性。
二、常见的空间多面体1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且在每个顶点处相交的面数相同。
常见的正多面体有正四面体、正六面体、正八面体和正十二面体。
2. 正四面体正四面体由四个全等的正三角形构成，每个顶点相交的面数为三。
正四面体具有四面等边、四顶点共面、对称性等特点。
3. 正六面体正六面体由六个全等的正方形构成，每个顶点相交的面数为三。
正六面体具有六个面相等、八个顶点、十二条棱等特点。
4. 正八面体正八面体由八个全等的正三角形构成，每个顶点相交的面数为四。
正八面体具有六个面相等、六个顶点、十二条棱等特点。
5. 正十二面体正十二面体由十二个全等的正五边形构成，每个顶点相交的面数为五。
正十二面体具有十二个面相等、二十个顶点、三十条棱等特点。
以上所述的正多面体是最常见的空间多面体，它们具有特定的对称性和美学价值，在科学和艺术领域有着广泛的应用。
三、空间多面体的应用空间多面体不仅在几何学中有着重要的地位，还在许多领域有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用：1. 导航与地图空间多面体可以用于导航和地图制作中，通过多面体的特征性质和拓扑结构，可以更好地理解地理空间关系，为导航和地图提供准确、直观的信息。
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种
利用欧拉公式证明正多面体有且仅有5种正多面体是指所有面都是相等且全等的多面体，其中每个顶点的度数相等。
欧拉公式是描述多面体的顶点、边、面之间的关系的一个数学公式，可以用来推导正多面体的种类。
根据欧拉公式，一个多面体的顶点数（V）、边数（E）和面数（F）满足以下关系式：V-E+F=2首先，假设正多面体有n个面，m个顶点和k个边。
由于每个面都是正多边形，所以每个面的边数为p（p≥3），而每个顶点的度数为q（q≥3）。
由此可以得到以下关系：m = kp/2 （每条边连接两个顶点）n = mp/q （每个面包含p个边）将这些关系代入欧拉公式，得到m-m/q+n=2k-p/q+m/p=2将上述两个式子相加，消去m项，得到k+n-p/q+m/p-m/q=4k+n-(p/q)*(q/p)=4k+n-1=4k+n=5由此，我们得到了正多面体的另一个重要结论：正多面体的边数和面数之和等于5接下来，我们可以考虑不同的情况来讨论正多面体的种类。
情况1：假设正多面体的面数为3，则p/q=1/3，代入k+n=5，得到k=4-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=1，即一个正四面体。
-当n=4时，k=0，但是没有边的多面体是不存在的。
因此，不存在4个面的正多面体。
-当n=5时，k=-1，同样由于没有负数个边的多面体，所以也不存在5个面的正多面体。
结论1：没有三个面的正多面体。
情况2：假设正多面体的面数为4，则p/q=1/2，代入k+n=5，得到k=5-n。
根据以上条件，考虑正多面体的可能性。
-当n=3时，k=2，即一个正六面体。
-当n=4时，k=1，即一个正四面体。
-当n=5时，k=0，即一个正十二面体。
结论2：存在一个4个面的正多面体，即正四面体；存在一个6个面的正多面体，即正六面体；存在一个12个面的正多面体，即正十二面体。
情况3：假设正多面体的面数为5，则p/q=2/5，代入k+n=5，得到k=5-n。
空间几何体知识点总结
空间几何体知识点总结在几何学中，空间几何体是研究三维空间中的物体的一门学科。
它涉及了许多基本概念、定理和性质。
这篇文章将对一些常见的空间几何体进行知识点总结。
一、点、线和面在空间几何体中，最基本的元素是点、线和面。
点是空间中没有大小的对象，它只有位置。
线是由无数点组成的，它有长度和方向。
面是由无数线组成的，它有长度和宽度，并且是平坦的。
二、多面体1、正多面体正多面体是指所有面都是正多边形，并且每个顶点相同的几何体。
最常见的正多面体有四面体、六面体和八面体。
四面体有四个面，六面体有六个面，八面体有八个面。
2、长方体长方体是一种有六个面的几何体，每个面都是矩形。
长方体的长度、宽度和高度各不相同。
3、正方体正方体是一种特殊的长方体，它有六个面，每个面都是正方形。
正方体的长度、宽度和高度相等。
4、棱柱和棱锥棱柱是一种有两个平行且等大的多边形作为底面的几何体，底面间的连线都垂直于底面。
棱锥是一种有一个底面和一个顶点的几何体，顶点到底面上的任意点的连线都是斜线。
5、圆台和圆锥圆台是一种有一个圆作为底面、一个平面作为顶面和连接两个底面的曲面的几何体。
圆锥是一种有一个顶点和一个底面的几何体，顶点到底面上的任意点的连线都是斜线。
三、球体和圆球球体是由一个圆绕着它的直径旋转而得到的空间几何体，它的内部和外部都被称为球面。
圆球是球体的一个特殊情况，它的直径和半径相等。
四、二维和三维的关系在空间几何中，我们经常会将二维的图形放在三维的空间中来研究。
例如，我们可以将一个平面上的正方形伸展成一个正方体，或者将一个圆从平面延伸成一个球体。
五、空间几何体的性质空间几何体有许多有趣的性质。
例如，正多面体具有对称性，长方体的对角线长度相等，正方体的对角线长度为边长的平方根，球面的曲率处处相等等等。
总结起来，空间几何体是我们研究三维空间中物体的一门学科。
通过对点、线、面、多面体、球体等几何体的研究，我们可以了解它们的性质和相互之间的关系。
简单正多面体问题探究
1、正六面体的截面图
把一些简单的多面体沿着多面体的某些棱 将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多 面体的平面展开图
正十二面体的平面展开图
五 个 正 多 面 体 的 平 面 展 开 图
2、正六面体的平面展开图
B B A
B
A
正六面体的平面展开 图有多少种形状呢？
由于正方体共有12条棱、6个面，剪开表面展成一个 平面图形后，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱） 有5条，因此须且仅须剪开7条棱.尝试各种可行的组合方 式，可以发现正六面体共有下列11种侧面展开方式：
B O C
F
6 同理有， EC BD a ， 4
∴ EA=EB=EC=ED， 高线AO的四等分点E是中心.
问题四
AB、BC、CD、DA各边中点 E、F、G、H 构成正方形四个顶点.
A H D B F C G
证明：∵EF是三角形ABC中位线，
∴ 2EF＝AC,且 EF∥AC，
E
同理2GH＝AC,且 GH∥ AC ， ∴ EF＝HG，且 EF ∥ HG ∴ EFGH是平行四边形. 由问题一知AC⊥BD, AC＝ BD, ∵EF、FG是三角形ABC与BCD的中位线， ∴ EF⊥FG， EF＝FG. ∴ 四边形EFGH是正方形.
正多面体是由古希腊哲学家柏拉图发现的，所以又称正多 面体为柏拉图体，它由全等的正多边形构成．柏拉图证明了宇 宙间只存在五种正多面体．它们的面数分别是四、六、八、十 二和二十．
柏拉图（前４２７—前３４７年），是 古希腊最著名的唯心论哲学家和思想家。据 说，柏拉图在雅典曾开办了一所学园，一边 教学，一边著书，他的学园门口挂着一个牌 子：“不懂几何学者免进”.没有几何学的知识 是不能登上柏拉图的哲学殿堂的.
立体几何多面体与球体的性质
立体几何多面体与球体的性质立体几何多面体与球体的性质是高中数学课程中的重要内容。
在本文中，将介绍多面体和球体的基本概念，以及它们的特性和性质。
一、多面体的性质多面体是由多个平面多边形所组成的立体图形。
根据多边形的形状和特点不同，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且相邻面的交线都通过一个点。
常见的正多面体有四面体、八面体和二十面体。
- 四面体：四面体是最简单的正多面体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是任意两个面都有共边线，且相邻的三个面的交点在同一直线上。
- 八面体：八面体是由六个四边形面和八个顶点组成的正多面体。
八面体的特点是每个面都是正方形，且每个顶点都与其他四个面相交。
- 二十面体：二十面体是由十二个五边形面和二十个顶点组成的正多面体。
二十面体的特点是每个面都是正五边形，且每个顶点都与其他五个面相交。
2. 非正多面体非正多面体是除正多面体以外的所有多面体。
非正多面体的面可以是任意的多边形，相邻面的交线也可以是任意的曲线。
二、球体的性质球体是由一个平面上的圆绕着直径旋转一周形成的。
球体是一种特殊的立体图形，具有许多独特的性质。
1. 半径与直径球体的半径是从球心到球面上的任意一点的距离，而直径是球面上通过球心的任意两点间的距离。
球体的半径和直径具有以下关系：直径等于半径的二倍。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是球体的两个重要性质。
- 表面积：球体的表面积是指球体表面所包围的所有面积的总和。
球体的表面积公式为：4πr²，其中r是球体的半径。
- 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小。
球体的体积公式为：(4/3)πr³，其中r是球体的半径。
3. 球面上的点与圆的关系球面上的任意一点与球心之间的距离等于球心附近的一个圆的半径。
这个关系被称为球面上的点与圆的关系。
4. 球切割与球切线球体可以被一个平面切割成两部分或多部分。
正多面体顶点计算公式
正多面体顶点计算公式正多面体，这玩意儿在咱们数学世界里可有趣啦！咱们先来说说啥是正多面体。
简单来讲，就是各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体。
常见的正多面体有正四面体、正六面体（也就是正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。
那正多面体顶点的计算公式是咋来的呢？这就得从正多面体的结构特点说起啦。
就拿正四面体来说吧，它有四个面，每个面都是正三角形。
咱们可以想象一下，把四个正三角形拼在一起，顶点数就是 4 个。
再看看正方体，六个面都是正方形。
咱想想搭积木，要把这六个正方形拼成一个封闭的立体，顶点就有 8 个。
这时候可能有人要问了，这都是一个一个数出来的，有没有啥通用的计算公式呢？答案是有的！对于正多面体，我们可以通过欧拉公式来计算顶点数。
欧拉公式是：V - E + F = 2，其中 V 表示顶点数，E 表示棱数，F 表示面数。
比如说正八面体，它有 8 个面，每个面都是正三角形。
那我们先算出面数 F = 8。
然后通过正多面体的性质，可以算出棱数 E 。
最后把 E和 F 代入欧拉公式，就能算出顶点数 V 啦。
我记得有一次给学生们讲正多面体顶点计算公式的时候，有个调皮的小家伙一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这也太难啦，生活中又用不到。
”我笑着跟他说：“你可别小瞧这公式，等以后你要是成了建筑师，设计漂亮的大楼可少不了它。
”那孩子眨眨眼睛，似乎有点将信将疑。
后来，我们一起做了个小实验。
用小木棍和橡皮泥做了一个简单的正四面体模型。
在做的过程中，那孩子慢慢就明白了正多面体的结构，也不再觉得计算公式枯燥难懂了。
其实啊，数学里的很多知识，看起来好像没啥用，但说不定在未来的某个时候，就能派上大用场。
就像这正多面体顶点计算公式，虽然平时感觉不到它的存在，但在解决一些几何问题，或者在设计、建筑等领域，那可真是宝贝一样的存在。
所以，同学们可别小瞧了这小小的公式，说不定哪天它就能帮你打开一扇通往奇妙世界的大门呢！正十二面体和正二十面体的情况稍微复杂一些，但同样可以通过这个公式来计算顶点数。
多面体的几何算法
正多面体：各个面是全等的正多边形并且各个多面角也是全等的多面角的多面体。
正多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
五种正多面体又称为柏拉图氏体。
以下均以a表示棱长。
一、正四面体：由四个全等的正三角形所组成的几何体。
它有四个面、四个 顶点、六条棱。
每个二面角均为70°32′。
有四个三面角， 每个三面角的面角均为60°。
a=
Area=0
V=0
二、正六面体：又称“正方体”、“立方体”、“六等面体”或“直角方体 ”。
指由六个全等的正方形组成的几何体。
它有六个面、八 个顶点、十二条棱。
每一棱上的二面角均为90°。
有八个三 面角，每个三面角的面角都是90°。
a=
Area=0
V=0面对角线长0体对角线长0
内切球V=0
外切球V=0
正 多 面 体 类 形 体 几 何 计 算
三、正八面体：由八个全等的正三角形组成的几何体。
它有八个面、六个顶 点及十二条棱。
每个二面角约为109°28′。
有六个四面角 ，每个四面角的面角均为60°。
a=Area=0V=
四、正十二面体：又名“十二等面体”。
由十二个全等的正五边形组成的几
a=Area=0V=。
三角多面体简单介绍
三角化二十面体
60
116°
(53.7)
32
截角十二面体
62
5.81
120
六角化二十面体
180
118°
（22.1）
62
大斜方截半二十面体
三角多面体
三棱共顶点多面体
顶点
面
图形
顶点数
面数
图形
4
3
4
正四面体
4
60°
(0)
4
正四面体
5
3.6
6
双三角锥（三角双锥）
6
80°
(14.1)
5
三角柱（三棱柱）
6
4
8
正八面体
8
90°
(0)
6
正方体
7
4.29
10
双五角锥（五角双锥）
10
96°
(8.5)
7
五角柱（五棱柱）
8
4.5
12
变棱双五角锥（三角十二面体）
12
8
（非多面体）
[Ru@Ge12]3-中锗原子排布
8
4.5
12
三角化四面体
12
100°
(28.3)
8
截角正四面体
9
4.67
14
三侧锥三角柱（三加冠三棱柱）
14
102°
(8.5)
9
结合多面体N5
10
4.8
16
双四角锥反角柱（双加冠四方反棱柱）
16
105°
(7.8)
10
截角四方偏方面体
11
18
十八面体硼烷[B11H11]2−
18
11
【数学文化】认识多面体
认识多面体多面体是指四个或四个以上多边形所围成的立体．它有三个相关的定义，在传统意义上，它是一个三维的多边形，而在更新的意义上它是任何维度的多边形的有界或无界推广．将后者进一步一般化，就得到拓扑多面体．定义及特征由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点．面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两个面在同一平面上．一个多面体至少有四个面．经典多面体在经典意义上，一个多面体是一个三维形体，它由有限个多边形面组成，每个面都是某个平面的一部分，面相交于边，每条边是直线段，而边交于点，称为顶点．立方体，棱锥和棱柱都是多面体的例子．多面体包住三维空间的一块有界体积；有时内部的体也视为多面体的一部分．一个多面体是多边形的三维对应．多边形，多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体．正多面体所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．例如，正四面体（即正棱锥体）的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有三个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的．正多面体的种数很少．多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种．其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体．有些化学元素的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体．古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿到柏拉顿学校教授．故而，西方数学界也将这五种正多面体称为柏拉顿立体．类型面数棱数顶点数每面边数每顶点棱数正四面体 4 6 4 3 3正六面体 6 12 8 4 3正八面体8 12 6 3 4正十二面体12 30 20 5 3正二十面体20 30 12 3 5多面体。