整式的乘除与分解因式

整式的乘除与分解因式

一、知识概念：

1.基本运算：

⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +?=

⑵幂的乘方：()n

m mn a a = ⑶积的乘方：()n

n n ab a b =

2.整式的乘法：

⑴单项式?单项式：系数?系数，同字母?同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式?多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.

⑶多项式?多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.

3.计算公式：

⑴平方差公式：()()22a b a b a b -?+=-

⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+

4.整式的除法：

⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=

⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.

⑷多项式÷多项式：用竖式.

5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.

6.因式分解方法：

⑴提公因式法：找出最大公因式.

⑵公式法：

①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-

②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±

③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+

④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++

⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++

⑷拆项法 ⑸添项法

分式

一、知识概念：

1.分式：形如A B

，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.

2.分式有意义的条件：分母不等于0.

3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.

4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.

5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.

6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.

7.分式的四则运算：

⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c

±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分

式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd

±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分

母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd

?= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc

÷=?= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b ??= ???

8.整数指数幂：

⑴m n m n a a a +?=（m n 、是正整数）

⑵()n

m mn a a =（m n 、是正整数） ⑶()n

n n ab a b =（n 是正整数）

⑷m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >） ⑸n

n n a a b b ??= ???

（n 是正整数） ⑹1n n a a -=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).

因式分解的方法：

（1）提公因式 )(c b a p pc pb pa ++=++

（2）公式法 ))((2

2b a b a b a -+=-

222)(2b a b ab a +=++

222)(2b a b ab a -=+-

（3）十字交叉法分解pq x q p x +++)(2型式子

练习题： 提取公因式

cx- cy+ cz px-qx-rx 15a 3-10a 2

12abc-3bc 2 4x 2y-xy 2 63pq+14pq 2

1多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ）

A. a -

B. ))((b x x a a ---

C. )(x a a -

D. )(a x a -- 2.

2. 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）

A. 224y x +

B. 122+-y x

C. 224y x +-

D. 224y x --

3. 若关于X 的多项式62--px x 含有因式3-x ，则实数p 的值为（ ）

A. 5-

B. 5

C. 1-

D. 1

4. 如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为（a+2b ）、宽为（a+b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张。

5. 对下列式子进行因式分解：

（1）24369y x - （2）2342x x x +-

（3）542--x x （4）31032++x x

6. 证明：200020012002310343?+?-能被7整除。

一．完全平方公式变形的应用

ab b a b a 2)(222-+=+

ab b a b a 2)(222+-=+

ab b a b a 4)()(22=--+

bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++

1. 已知0341062

2=++-+n m n m ，求m+n 的值。

2. 已知（a-b ）= 5，ab=3，求2)(b a +与)(322b a +的值。

3.试说明不论x,y 取何值，代数式154622+-++y x y x 的值总是正数。

二．“整体思想”在整式运算中的运用

1. 当代数式532++x x 的值为7时，求代数式2932-+x x 的值。

2. 已知4=+y x ，1=xy ，求代数式)1)(1(22++y x 的值。