2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 3.2.2 奇偶性
人教A版高中数学必修一新课标优秀教学案教案资料奇偶性
备课资料奇、偶函数的性质(1)奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立.(3)f(-x)=f(x)⇔f(x)是偶函数，f(-x)=-f(x)⇔f(x)是奇函数.(4)f(-x)=f(x)⇔f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)⇔f(x)+f(-x)=0.(5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数；如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么复合函数y=f ［g(x)］是偶函数，如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么复合函数y=f ［g(x)］是奇函数，简称为“同偶异奇”.(6)如果函数y=f(x)是奇函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性；如果函数y=f(x)是偶函数，那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.(7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即 f(x)=2)()(2)()(x f x f x f x f -++--. (8)若f(x)是(-a,a)(a ＞0)上的奇函数，则f(0)＝0；若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则有f(x)=0.(设计者：韩双影)本章复习整体设计教学分析本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化.本章三部分内容是独立的，但是又相互联系，集合是基础，用集合定义函数，将函数拓展为映射，层层深入，环环相扣，组成了一个完整的整体. 三维目标通过总结和归纳集合与函数的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力. 重点难点教学重点：①集合与函数的基本知识.②含有字母问题的研究.③抽象函数的理解.教学难点：①分类讨论的标准划分.②抽象函数的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.建设高楼大厦的过程中，每建一层，都有质量检查人员验收，合格后，再继续建上一层，否则返工重建.我们学习知识也是这样，每学完一个章节都要总结复习，引出课题. 思路2.为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.推进新课提出问题①第一节是集合，分为几部分？②第二节是函数，分为几部分？③第三节是函数的基本性质，分为几部分？④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合课本，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按课本的章节标题来分类.对于画知识结构图，学生可能比较陌生，教师可以引导学生先画一个本班班委的结构图或学校各个处室的关系结构图，待学生了解了简单的画法后，再画本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1应用示例思路1例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有( )A.P∩Q=∅B.P QC.P=QD.P Q分析：从选项来看，本题是判断集合P,Q的关系，其关键是对集合P,Q的意义的理解.集合P 是函数y=x2的定义域，则集合P是数集，集合Q是函数y=x2的图象上的点组成的集合，则集合Q是点集，∴P∩Q=∅.答案：A点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是( )A.M=PB.P MC.M PD.M∩P=R分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴P M.2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A 与B 的运算A*B={x|x ∈A 或x ∈B,且x ∉A∩B},则(A*B)*A 等于( )A.A∩BB.A ∪BC.AD.B分析：设A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},则A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B 的本质就是集合A 与B 的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x 2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x 2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.解：方法一（观察法）∵函数y=x 2+1的定义域是R ,∴观察到x 2≥0.∴x 2+1≥1.∴函数y=x 2+1的最小值是1.方法二:（公式法）函数y=x 2+1是二次函数，其定义域是x ∈R ，则函数y=x 2+1的最小值是f(0)=1.点评：求函数最值的方法：观察法：当函数的解析式中仅含有x 2或|x|或x 时，通常利用常见的结论x 2≥0,|x|≥0,x ≥0等，直接观察写出函数的最值；公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=432+x x 的最大值和最小值. 分析：把变量y 看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x 的方程，利用判别式的符号得关于y 的不等式，解不等式得y 的取值范围，从而得函数的最值.解：（判别式法）由y=432+x x 得yx 2-3x+4y=0， ∵x ∈R ，∴ 关于x 的方程yx 2-3x+4y=0必有实数根.当y=0时，则x=0.故y=0是一个函数值；当y≠0时，则关于x 的方程yx 2-3x+4y=0是一元二次方程,则有Δ=(-3)2-4×4y 2≥0.∴0<y 2≤169.∴43-≤y<0或0<y≤43. 综上所得，43-≤y≤43. ∴ 函数y=432+x x 的最小值是43-，最大值是43. 点评：形如函数y=fcx dx c bx ax ++++22(d≠0)，当函数的定义域是R （此时e 2-4df<0）时，常用判别式法求最值，其步骤是①把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0；②分类讨论m ＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x 的方程mx 2+nx+k=0中有x ∈R ，则此一元二次方程必有实数根，得n 2-4mk≥0即关于y 的不等式，解不等式组⎩⎨⎧≠≥-.0,042m mk n 此不等式组的解集与②中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数分析：函数f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线x=a ，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（-∞，1）内，即a<1.g(x)＝x x f )(=2-+x a x ，下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+1x a -2)-(x 2+2x a -2) =(x 1-x 2)+(-1x a 2x a )=(x 1-x 2)(121x x a -)=(x 1-x 2)2121x x a x x -. ∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0.又∵a<1，∴x 1x 2>a.∴x 1x 2-a>0.∴g(x 1)-g(x 2)<0.∴g(x 1)<g(x 2).∴函数g(x)在区间（1，+∞）上是增函数，函数g(x)在区间（1，+∞）上没有最值. 答案：D点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x 1、x 2；②比较f(x 1)与f(x 2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D 上是单调函数，则f(x)在开区间D 上没有最大值，也没有最小值.变式训练求函数f(x)=1-x 2的单调区间.分析：函数f(x)是复合函数，利用口诀“同增异减”来求单调区间.解：函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞).设y=u ，u=x 2-1，当x≥0时，u=x 2-1是增函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在［1,+∞)上是增函数.当x≤0时，u=x 2-1是减函数，y=u 也是增函数，又∵函数的定义域是(-∞,-1］∪［1,+∞)，∴函数f(x)=1-x 2在(-∞,-1］上是减函数,即函数f(x)的单调递增区间是［1,+∞)，单调递减区间是(-∞,-1］.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f ［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的单调性时，函数y=f ［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f ［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.思路2例1集合A={x|x 2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.分析：集合B 是关于x 的方程mx-1=0的解集，∵B ⊆A ，∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，关于x 的方程mx-1=0无解，则m=0；当B≠∅时，x=m 1∈A ，则有(m 1)2m 3--4=0，即4m 2+3m-1=0.解得m=-1,41. 答案：-1,0,41 黑色陷阱：本题任意忽视B=∅的情况，导致出现错误m=-1,41.避免此类错误的方法是考虑问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练已知集合A={x|⎩⎨⎧≥-≥+0502x x }，B={x|p+1≤x≤2p -1}，若A∩B=B ，求实数p 的取值范围. 分析：理解集合A 是不等式组⎩⎨⎧≥-≥+05,02x x 的解集是关键，又A∩B=B 说明了B ⊆A ，包含=∅和B≠∅两种情况，故要分类讨论解决问题.解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B ，∴B ⊆A.∴B=∅或B≠∅.当B=∅时，p+1>2p-1，解得p<2.当B≠∅时，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-<+.512,21,121p p p p 解得2≤p≤3.综上所得实数p 的取值范围是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］.点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；要重视常见结论A∩B=B ⇔A ∪B=A ⇔B ⊆A 的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例2求函数y=|x+2|-|x-2|的最小值.分析：思路一:画出函数的图象，利用函数最小值的几何意义，写出函数的最小值；思路二:利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的几何问题：数轴上到±2两点的距离和的最小值.解：方法一（图象法）:y=|x+2|-|x-2|=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤-.2,4,22,2,2,4x x x x -4,2x,4, x≤-2,-2<x<2,x≥2.其图象如图1-2所示:图1-2由图象,得函数的最小值是-4，最大值是4.方法二（数形结合）:函数的解析式y=|x+2|-|x-2|的几何意义是：y 是数轴上任意一点P 到±2的对应点A 、B 的距离的差，即y=|PA|-|PB|,如图1-3所示，图1-3观察数轴,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函数y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4.点评：求函数最值的方法：图象法：如果能够画出函数的图象，那么可以依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.其步骤是①画函数的图象；②观察函数的图象，找出图象的最高点和最低点，并确定它们的纵坐标；③由最高点和最低点的纵坐标写出函数的最值.数形结合：如果函数的解析式含有绝对值或根号，那么能将函数的解析式赋予几何意义,结合图形利用其几何意义求最值.其步骤是：①对函数的解析式赋予几何意义；②将函数的最值转化为几何问题；③应用几何知识求最值.例3求函数y=x+x4,x ∈［1,3］的最大值和最小值. 分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性. 解：可以证明当x ∈［1,2］时，函数y=x+x 4是减函数， 此时函数的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4.可以证明当x ∈［2,3］时，函数y=x+x 4是增函数， 此时函数的最大值是f(3)=313，最小值是f(2)=4. 综上所得，函数y=x+x4,x ∈［1,3］的最大值为5，最小值为4. 点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b ］上是减函数，在区间［b,c ］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b ］上是增函数，在区间［b,c ］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c ］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例4求函数y=x 4+2x 2-2的最小值.解：函数的定义域是R ，设x 2=t ，则t≥0.则y=t 2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0，则当t=0时，y 取最小值-2，所以函数y=x 4+2x 2-2的最小值为-2.点评：求形如函数y=ax 2m +bx m +c(ab≠0)或y=ax+c bx +(ab≠0)的最值时，常用设x m =t 或c bx +=t ，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例52007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y ∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(xyy x ++1). (1) 求证：函数f(x)是奇函数；(2) 若当x ∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.分析：（1）定义法证明，利用赋值法获得f(0)的值进而取x=-y 是解题关键；（2）定义法证明，其中判定21121x x x x --的范围是关键. 解： (1)函数f(x)的定义域是(-1，1)，由f(x)+f(y)=f(xy y x ++1)，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0100++)，∴f(0)=0. 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(21xx x --)=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减，令0<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)＝f(21121x x x x ---). ∵0<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0，∴21121x x x x -->0. 又(x 2-x 1)-(1-x 1x 2)=(x 2-1)(x 1+1)<0，∴0＜x 2-x 1<1-x 1x 2.∴-1<21121x x x x ---<0.由题意知f(21121x x x x ---)＞0， ∴f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在(-1，1)上也是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练1.2006陕西高考，文1已知集合P={x ∈N |1≤x≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x-6=0},则P∩Q 等于( )A.{1,2,3}B.{2,3}C.{1,2}D.{2}分析：明确集合P 、Q 的运算，依据交集的定义求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q ={-3,2},则P∩Q ＝{2}.答案：D点评：解决本题关键是集合P 是大于等于1且小于等于10的自然数组成的集合，集合Q 是方程x 2+x-6=0的解集，将这两个集合化简后再运算.2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则(S ∪T)等于( )A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8}分析：直接观察（或画出Venn 图）得S ∪T={1,3,5,6}，则(S ∪T)＝{2,4,7,8}. 答案：B点评：求解用列举法表示的数集运算时，首先看清集合元素的特征，理解并确定集合中的元素，最后通过观察或借助于数轴、V enn 图写出运算结果.3.已知二次函数f （x ）满足条件f （0）=1和f （x ＋1）-f （x ）=2x.（1）求f （x ）；（2）求f （x ）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.分析：（1）由于已知f （x ）是二次函数，用待定系数法求f （x ）；（2）结合二次函数的图象，写出最值.解：（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c ，由f （0）＝1，可知c ＝1.而f （x ＋1）-f （x ）＝［a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ］-（ax 2＋bx ＋c ）＝2ax ＋a ＋b. 由f （x ＋1）-f （x ）＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0.因而a ＝1，b ＝-1.故f （x ）＝x 2-x ＋1.（2）∵f(x)=x 2-x+1=(x-21)2+43， ∴当x ∈[-1，1]时，f （x ）的最小值是f(21)=43，f （x ）的最大值是f （-1）＝3. 拓展提升问题：某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图14所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图15所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；(2) E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？图1-4图1-5思路分析：（1）由于四块地砖拼出了四边形EFGH ，只需证明△CFE 、△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形即可；（2）建立数学模型，转化为数学问题.设CE=x ，每块地砖的费用为W ，求出函数W=f(x)的解析式，转化为讨论求函数的最小值问题.解：(1)图1-5可以看成是由四块如图1-4所示地砖绕点C 按顺时针旋转90°后得到，则有CE=CF ，∠ECF=90°,∴△CFE 为等腰直角三角形，同理可得△CFG 、△CGH 、△CEH 为等腰直角三角形.∴ 四边形EFGH 是正方形.(2)设CE=x ，则BE=0.4-x ，每块地砖的费用为W ，设制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a(元)， W=21x 2·3a+21×0.4×(0.4-x)×2a+［0.16-21x 2-21×0.4×(0.4-x)］a =a(x 2-0.2x+0.24)=a ［(x-0.1)2+0.23］(0<x<0.4).由于a>0，则当x=0.1时，W 有最小值，即总费用为最省.即当CE=CF=0.1米时，总费用最省.课堂小结本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法. 作业复习参考题任选两题.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对课本内容适当拓展，例如关于函数值域的求法，课本中没有专题学习，本节课对此进行了归纳和总结.。
2019-2020学年新人教A版必修一 3.2.2 奇偶性 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 3.2.2 奇偶性 教案（一） 主要知识：1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，都有()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．4．奇偶函数的性质：⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；⑵()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．⑷()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=． ⑸若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． ⑹对称性关于y 轴对称：)()(x f x f =-； 关于原点对称：)()(x f x f -=-；关于直线a x =对称：)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -=；关于点),(b a 对称：)2(2)(x a f b x f --=或)()(x a f b b x a f --=-+。
（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：⑴定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ⑵图象法；⑶性质法：①设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇； ②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．函数的周期性（一） 主要知识：1．周期函数：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期． 2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数： 函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）， ①()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．⑨函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x ∈R 的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；（二）主要方法：1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点： 一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=；二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．板块一.函数的奇偶性与对称性题型一：判断函数奇偶性判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断．【例1】 判断下列函数的奇偶性：⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x=．【难度】 2【解析】⑴ 对于函数4()f x x =，其定义域为(,)-∞+∞．因为对定义域内的每一个x ，都有44()()()f x x x f x -=-==， 所以函数4()f x x =为偶函数．类似地，⑵为奇函数；⑶为奇函数；⑷为偶函数．【例2】 判断下列函数的奇偶性并说明理由：⑴ 221()1xxa f x a +=-(0a >且1)a ≠；⑵()f x = ⑶ 2()5||f x x x =+．【难度】 4【解析】⑴ 函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞∵222222221(1)1()()1(1)1x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ++⋅+-====---⋅- ∴函数221()1xxa f x a+=-为奇函数； ⑵ 由1010x x -⎧⎨-⎩≥≥，得1x =，∴函数的定义域为{1}．由于函数的定义域不关于原点对称，∴()f x =⑶ 函数的定义域为R ，且22()()5||5||()f x x x x x f x -=-+-=+=∴函数2()5||f x x x =+为偶函数．2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；典例分析（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数．【例3】 已知()f x =，)()lgg x x =．则乘积函数()()()F x f x g x =在公共定义域上的奇偶性为（ ）．A ．是奇函数而不是偶函数B ．是偶函数而不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数【难度】 6 【解析】B ．首先求两函数的定义域，对()f x 有210|2|20.x x ⎧-⎨+-⎩≥，≠得110 4.x x x -⎧⎨⎩≤≤，≠且≠故定义域为(10)(01)-，，．又()g x 的定义域为R ，故乘积函数的公共定义域为(10)(01)-，，． 取(10)(01)x ∈-，，，有|2|222x x x +-=+-=，得()f x =()()f x f x -=-．又()()g x g x -+))lglgx x=+)lgxx=lg10==，有()()g x g x -=-．得()()()F x f x g x -=--[][]()()f x g x =-- ∴()()()f x g x F x =．按定义，()F x 在(10)(01)-，，为偶函数．又由于()F x 不恒为0，故不会又是奇函数．【例4】 已知函数()f x 是奇函数；2()(1)()21x F x f x =+-（x ≠0）是偶函数，且()f x 不恒为0，判断()f x 的奇偶性．【难度】 6【解析】由题意可得()()F x F x -=，即22(1)()(1)()2121x x f x f x -+-=+-- 化简可得：1221()()1221x x x x f x f x ++-=--，∴()()f x f x -=-∴函数()f x 为奇函数．题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式．【例5】 函数()f x =a 的取值范围是（ ）．A ．10a -<≤或01a <≤B ．1a -≤或1a ≥C ．0a >D ．0a <【难度】 4【解析】C ．充分性．若0a >，则()f x 的定义域为[0)(0]a a -，，．这时()f x =，显 【例6】 【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.【难度】 4【解析】解一：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2).∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.解二：当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-， 所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【备注】 此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【例7】 设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，那么当(,0)x ∈-∞时，()f x =_________．【难度】 4【解析】()(1f x x =-．设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞∴()(1f x x -=-+∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()(1f x f x x -=-=-∴()(1f x x =（(,0)x ∈-∞）．2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f (x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和． 即 f (x)=12[F (x)+G(x)] 其中F (x) =f (x)+f (-x),G(x) =f (x)－f (-x) 利用这一结论，可以简捷的解决一些问题．【例8】 定义在R 上的函数f (x)=22x xx 1++，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)．【难度】 6【解析】∵f (x)=22x x x 1++∴g(x)= f (x)+ f (-x)= 22x x x 1+++22x -x x 1+=222x x 1+h(x)= f (x)－f (-x)= 22x x x 1++－22x -x x 1+=22xx 1+3.利用函数奇偶性求函数值【例9】 已知f （x ）,.10)2(832=-+++=f bx ax x 且求f (2). 【难度】 4【解析】设53()g x x ax bx =++，则()()8f x g x =+，()g x 是奇函数()()8f x g x =+， (2)(2)810f g ∴-=-+= (2)2g ∴-=，(2)(2)2g g =--=- (2)(2)8286f g ∴=+=-+=【备注】 挖掘f (x )隐含条件，构造奇函数g (x )，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.【例10】 已知()ln(4f x ax c x =++（a 、b 、c 为实数），且3(lglog 10)5f =．则(lg lg3)f 的值是（ ）． A ．5-B ．-3C ．3D ．随a 、b 、c 而变【难度】 6【解析】C ．由于函数(ln y x =+是奇函数．所以(()ln g x ax c x =++是奇函数，即()4f x -是奇函数．又35(lg log 10)f =1(lg lg 3)(lg lg3)f f -==-， 则(lg lg3)4((lg lg3)4)1f f -=---=-．题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例11】 已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数并证明你的判断．对奇函数有没有相应的结论．【难度】【解析】结合偶函数的图象特征可得：偶函数函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，()f x 在(,0)-∞上是增函数．对奇函数有，在对应的区间上的单调性相同．设120x x << ，则120x x ->->，由()f x 在(0,)+∞上是减函数得：12()()f x f x -<-， 又()f x 是偶函数，故12()()f x f x <， 所以，()f x 在(,0)-∞上是增函数．【例12】 已知()y f x =为()-∞+∞，上的奇函数，且在(0)+∞，上是增函数．⑴求证：()y f x =在(0)-∞，上也是增函数；⑵若1()12f =，解不等式41(log )0f x -<≤，【难度】【解析】第一问只需按照函数单调性的定义证明即可；第二问需要先找到－1和0对应的自变量的值，然后按照函数的单调性来解不等式． ⑴取120x x <<，则120x x ->->， 由()f x 在(0)+∞，上是增函数，可得：12()()f x f x ->-．又∵函数()f x 是奇函数，∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0)-∞，上是增函数．⑵由题意可得：11()()122f f -=-=-，(0)0f =．原不等式可化为41()(log )(0)2f f x f -<≤．又∵()f x 在(0)-∞，上是增函数，∴41log 02x -<≤，即112x <≤．∴原不等式的解集为1{|1}2x x <≤．2.函数对称性【例13】 设函数()f x 对于一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =有且只有两个不相等的实数根，那么这两根之和等于_____． 【难度】【解析】因为此函数的图象关于2x =对称，所以它与x 轴的交点也关于直线2x =对称，交点的横坐标对应方程的根，从而两根之和为4．3.利用函数奇偶性证明整除问题【例14】 试证1991)19911()19911(19901990--+是整数.【题1】上例可推广为：设m 、n 为自然数，证明mm m nn )1()1(--+是整数.【难度】【解析】证明：令上的奇函数为易证记R x f R x x x x f x m n n )(,,)1()1()(,∈--+==，故f (x )是x 的奇次幂的整系数多项式，那么()f x x是x 的偶次幂的整系数多项式，故mm m nn )1()1(--+是整数.【备注】 本证明构造奇函数f (x )，利用奇函数性质得出证明，比利用二项式定理证明简捷.板块二.函数的周期性题型一：求周期问题【例15】 已知()f x 是定义在R 上的函数，(10)(10)f x f x +=-且(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 是（ ）A . 周期为20的奇函数 B. 周期为20的偶函数C. 周期为40的奇函数D. 周期为40的偶函数【难度】 2 【解析】C【例16】 求函数tan cot y αα=- 的最小正周期 【难度】 4【解析】错解：因为函数tan y α=与函数cot y α=的最小正周期都是π ，因此，函数tan cot y αα=-的最小正周期是π 。
人教新课标版数学高一A版必修1 1.3.2 函数的奇偶性 教案
必修一 1.3.2函数的奇偶性【教学目标】1.知识与技能目标：使学生了解函数奇偶性的概念和奇偶函数图像的对称性 ,并学会运用定义判断函数的奇偶性2.过程与方法目标：通过创设情境，对具体实例的对称性观察、并对具体函数的y与x的关系分析，利用多媒体呈现图像，让学生经历函数奇偶性概念形成的全过程，体验数学概念学习的方法中由特殊到一般、数形结合、类比等方法，积累数学学习的经验。
3.情感、态度与价值观目标：通过绘制和展示优美的函数图象使学生体验数学的对称美；通过组织学生分组讨论,培养学生主动交流的合作精神；通过学生的自主探究,培养学生善于探索的思维品质【重点难点】1.教学重点：函数的奇偶性的概念和奇偶函数的图象特征2.教学难点：函数奇偶性概念的形成及理解【教学策略与方法】1.教学方法：问题引导，主动探究，启发式教学．2.教具准备：多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入；1.让学生感受生活中的美：对称美出示一组图片：蝴蝶、建筑物等2.从数学中的对称出发，让学生画出两个已学过的函数图像，（1）y=x2 (2)y=︱x︱问题1：请你观察这两个函数图像有怎样的对称性？让学生观察并回答图片中的对称属于轴对称还是中心对称让学生说说，两个函数图像的共同特征遵循学生的认知规律，从感性的图像入手来体会函数的对称性，进而为抽象出奇偶性的数学概念打下基础。
环节二：二、观察思考，归纳抽象，形成概念；1.以y=x 2函数的图像为例，让学生填表并观察表格特点问题 2.在函数值对应表是如何体现这些特征的？问题3.你能用符号语言描述你的发现吗？ 1偶函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则这个函数叫做偶函数偶函数的图像关于y 轴对称 概念辨析1.观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数?结论：如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么它的定义域应该关于原点对称.2.下面两个函数是偶函数吗？问题4.你有新的发现吗？问题5.你能由我们推导偶函数的方法和步骤， 归纳出奇函数的定义吗？奇函数的定义：设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有)()(x g x g -=-，则这个函数叫做奇函数。
学案1：3.2.2 奇偶性
3.2.2 奇偶性 课程标准 核心素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.课前自主学习知识点 奇偶性(1)偶函数：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有 ，且 ，那么函数f (x )叫做偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有 ，且 ，那么函数f (x )叫做奇函数．[微思考]具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？[微体验]1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )2．函数f (x )＝1x在区间(0,1)内( ) A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既不是奇函数又不是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 3．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定4．若f (x )为R 上的偶函数，且f (2)＝3，则f (－2)＝__________.课堂互动探究探究一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3x x 2＋3； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1.[方法总结]1．定义法判断函数的奇偶性2．图象法判断函数的奇偶性跟踪训练1 (1)判断下列函数的奇偶性：①f (x )＝(x －2)2＋x 2－x；②f (x )＝x |x |. (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3，(x <0)，0，(x ＝0)，－x 2＋2x －3，(x >0)，试判断函数f (x )的奇偶性．探究二奇、偶函数的图象及应用例2 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．变式探究只将本例中的“偶”改为“奇”呢？[方法总结]奇、偶函数图象对称性的两大应用应用一：巧作函数图象．(1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称．(2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题．应用二：求函数最值、单调性问题．函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程．探究三 函数奇偶性的简单应用例3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5,2b －3]上的奇函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( )A ．13B ．98C ．1D ．无法确定(2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________.变式探究 把本例(2)的条件“f (－3)＝－3”换为“f (d )＝10”，求f (－d )的值．[方法总结]利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a, b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数即可求解．跟踪训练2 (1)函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则a ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________. 随堂本课小结1．两个定义：对于f (x )定义域内的任意一个x ，如果都有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (x )为奇函数；如果都有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (x )为偶函数．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y 轴对称．3．函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．【参考答案】课前自主学习知识点 奇偶性(1)－x ∈If (－x )＝_f (x ) (2)－x ∈If (－x )＝－f (x )[微思考]提示：定义域关于原点对称．[微体验]1．B【解析】B 选项的图象关于y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．2．C【解析】f (x )的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性．3．C【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a －1＝0，即a ＝1.4．3【解析】∵f (x )为R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝3.课堂互动探究探究一 函数奇偶性的判断例1 解 (1)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝3(－x )(－x )2＋3＝－3x x 2＋3＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．跟踪训练1 (1)解 ①由2＋x 2－x≥0，得定义域为[－2,2)，不关于原点对称， 故f (x )为非奇非偶函数．②函数的定义域为R ，因为f (－x )＝(－x )|－x |＝－x |x |＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)解 函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)；当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)；当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)．∴f(x)是R上的奇函数．探究二奇、偶函数的图象及应用例2 解方法一：∵函数f(x)是偶函数，∴其图象关于y轴对称，补全图象如下图．由图象可知f(1)＜f(3)．方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．又函数y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)．变式探究解方法一：∵函数f(x)是奇函数，∴其图象关于原点对称，补全图象如下图．由图象可知f(1)＞f(3)．方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)．又函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)．∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)．探究三函数奇偶性的简单应用例3 (1)B【解析】奇函数定义域关于原点对称，∴2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.又f(x)是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0，∴2ax 2＋2c ＝0对任意x 都成立，则a ＝c ＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝18＋2×12＝18＋1＝98. (2) 7【解析】令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )是奇函数，∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2，又f (－3)＝－3，∴g (3)＝5.又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7.变式探究 解 令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ，易知g (x )为奇函数，所以f (d )＝g (d )＋2＝10，即g (d )＝8，所以f (－d )＝g (－d )＋2＝－g (d )＋2＝－8＋2＝－6. 跟踪训练2 (1)0【解析】因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即ax 2－2x ＝－ax 2－2x . 由对应项系数相等，得a ＝0.(2)0【解析】当x ＞0时，－x ＜0，由题意得f (－x )＝－f (x )，∴x 2－x ＝－ax 2－bx ， 解得a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0.。
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
[精品]新人教版必修1高中数学1.3.2奇偶性导学案
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132 《奇偶性》导案【习目标】1 理解函数的奇偶性及其几何意义；2 会判断函数的奇偶性；3 会运用函数图象理解和研究函数的性质【重点难点】重点：函数的奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
【知识链接】（预习教材P33~ P36，找出疑惑之处）[]复习1：指出下列函数的单调区间及单调性（1）2f x x=-；（2）1()1=f x()x复习2：对于f()＝、f()＝2、f()＝3、f()＝4，分别比较f()与f(－)【习过程】※ 习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even f unctin ） 试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（dd f unctin ）的定义反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称 试试：已知函数21()f x x =在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象[++]※典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）f x()f x=（2）()（3）42=-+；（4）31()35f x x x=f x()x[]小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x进-，并与()f x行比较试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f ()＝＋1+－1； （2）f ()＝＋1x； （3）f ()＝21x x ； （4）f ()＝2 ∈[-23][##]例2 已知f ()是奇函数，且在(0+∞)上是减函数，判断f ()的(-∞0)上的单调性，并给出证明变式：已知f ()是偶函数，且在[ab ]上是减函数，试判断f ()在[-b -a ]上的单调性，并给出证明[]小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论※动手试试练习：若3()5=++，且(7)17f x ax bxff-=，求(7)【习反思】※ 习小结1 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质3 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反※ 自我评价 你完成本节导案的情况为（ ）A 很好B 较好 一般 D 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）A ．()()0f x f x --=B ．()()0f x f x +-= ．()()0f x f x -= D ．(0)0f ≠2 已知()f x 是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数 下列关系式中正确的是（ ）A (5)(5)f f >- B (4)(3)f f > (2)(2)f f -> D (8)(8)f f -=3 下列说法错误的是（ ）A 1()f x x x=+是奇函数 B ()|2|f x x =-是偶函数()0,[6,6]f x x =∈-既是奇函数，又是偶函数 D 32()1x x f x x -=-既不是奇函数，又不是偶函数4 函数()|2||2|f x x x =-++的奇偶性是5 已知f ()是奇函数，且在[37]是增函数且最大值为4，那么f ()在[-7-3]上是 函数，且最 值为1 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f x g x x -=+，求()f x 、()g x2 设()f x 在R 上是奇函数，当>0时，()(1)f x x x =-， 试问：当x <0时，()f x 的表达式是什么？。
人教A版高中数学必修一全册导学案奇偶性
§1.3.2 奇偶性1. 理解函数的奇偶性及其几何意义；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质.3336复习1：指出下列函数的单调区间及单调性.（1）2()1f x x =-； （2）1()f x x=复习2：对于f (x )＝x 、f (x )＝x 2、f (x )＝x 3、f (x )＝x 4，分别比较f (x )与f (－x ).二、新课导学※ 学习探究探究任务：奇函数、偶函数的概念思考：在同一坐标系分别作出两组函数的图象：（1）()f x x =、1()f x x=、3()f x x =； （2）2()f x x =、()||f x x =.观察各组图象有什么共同特征？函数解析式在函数值方面有什么特征？新知：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）.试试：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function ）的定义.反思：① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称，图象关于 对称.试试：已知函数21()f x x=在y 轴左边的图象如图所示，画出它右边的图象.※ 典型例题例1 判别下列函数的奇偶性：（1）()f x = （2）()f x =（3）42()35f x x x =-+； （4）31()f x x=.小结：判别方法，先看定义域是否关于原点对称，再计算()f x -，并与()f x 进行比较.试试：判别下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝|x ＋1|+|x －1|； （2）f (x )＝x ＋1x； （3）f (x )＝21x x+； （4）f (x )＝x 2, x ∈[-2,3].例2 已知f (x )是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f (x )的(-∞,0)上的单调性，并给出证明.变式：已知f (x )是偶函数，且在[a ,b ]上是减函数，试判断f (x )在[-b ,-a ]上的单调性，并给出证明.小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论.※ 动手试试练习：若3()5f x ax bx =++，且(7)17f -=，求(7)f .三、总结提升※ 学习小结1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征；2. 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.3. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法.※ 知识拓展定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 对于定义域是R 的任意奇函数()f x 有（ ）.A．()()0f x f x--=B．()()0f x f x+-=C．()()0f x f x-=D．(0)0f≠2. 已知()f x是定义(,)-∞+∞上的奇函数，且()f x在[)0,+∞上是减函数. 下列关系式中正确的是（）A. (5)(5)f f>- B.(4)(3)f f>C. (2)(2)f f-> D.(8)(8)f f-=3. 下列说法错误的是（）.A.1()f x xx=+是奇函数B. ()|2|f x x=-是偶函数C. ()0,[6,6]f x x=∈-既是奇函数，又是偶函数D.32()1x xf xx-=-既不是奇函数，又不是偶函数4. 函数()|2||2|f x x x=-++的奇偶性是.5. 已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是函数，且最值为.1. 已知()f x是奇函数，()g x是偶函数，且1()()1f xg xx-=+，求()f x、()g x.2. 设()f x在R上是奇函数，当x>0时，()(1)f x x x=-，试问：当x<0时，()f x的表达式是什么？。
2020年高中数学 1.3.2 奇偶性教案 新人教A版必修1
1.3.2函数的奇偶性教学设计1.学情调查，情景导入情景1：生活中，哪些几何图形体现着对称美？情景2：我们学过的函数图象中有没有体现着对称的美呢？情景3：引导学生从对称角度将所说的函数图象进行分类比较。
2.问题展示，合作探究问题1：根据函数的解析式，结合函数的图像通过求值观察并总结出规律。
(设计这个问题有这样的目的：通过直观图像帮助学生更好的找出规律一是从图象的角度作出判断；二是从“数的方面”论证概念创设教学情景.)问题2：“能不能从函数解析式的角度来描述函数图象的对称性？如果能，该怎么解决？学生会选取很多的x的值，得到结论。
追问：这些x的值能不能代表所有x呢？借助课件演示，引导学生进行代数式推导，再次得出结论f(-x)=-f(x).(强调x是定义域内任意值，帮助学生完成由特殊到一般的思维过程)用数学符号表示奇函数的严格定义。
问题4：让学生用自己的语言描述对偶函数的认识。
(从形和数两方面)问题5：结合课本中的材料，仿照奇函数概念的建立过程，学生独立去建立偶函数的概念。
3.归纳概括，精致概念(此时，大部分学生已经有了如何判断函数奇偶性的意识，只是不太确定。
）问题6：通过具体例题的判断总结如何判断函数的奇偶性(设计这个问题的目的:一来是为学生强调判断函数奇偶性的方法;二来强调判断函数奇偶性的一个先决条件：“定义域必须关于原点对称”)。
问题6：在学习函数奇偶性的概念中有哪些几个注意的地方？问题7：我们经历了函数单调性和奇偶性概念的学习过程，谈谈你对这两个概念的认识？(引导学生进一步精致所学概念：认识单调性、奇偶性都是描述函数整体特征的，都必须在整个定义域范围内进行研究；引导学生对定义中“任意”的理解；引导学生认识到函数图象是函数性质的直观载体；)最后布置思考题：1、当____时一次函数f(x)=ax+b（a≠0）是奇函数2、当____ 时二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）是偶函数知识梳理，归纳总结由学生总结完成.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册：第3章 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念
合作 探究 释疑 难
函数奇偶性的判断
【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x4；(2)f(x)＝x5； (3)f(x)＝x＋1x；(4)f(x)＝x12.
[解] (1)函数 f(x)＝x4 的定义域为 R. 因为∀x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)， 所以，函数 f(x)＝x4 为偶函数． (2)函数 f(x)＝x5 的定义域为 R. 因为∀x∈R，都有－x∈R，且 f(－x)＝(－x)5＝－x5＝－f(x)， 所以，函数 f(x)＝x5 为奇函数．
－x－1，－x<0，
f(－x)＝0，－x＝0， －x＋1，－x>0，
－x＋1，x>0，
即 f(－x)＝0，x＝0， －x－1，x<0.
于是有 f(－x)＝－f(x)． 所以 f(x)为奇函数．
奇偶函数的图象问题
【例 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上 的图象如图所示．
又 f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数 f(x)是奇函数．
1－x2≥0， (2)由x2－1≥0
得 x2＝1，即 x＝±1.
因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又 f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称，所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称．
(3)函数 f(x)＝x＋1x的定义域为{x|x≠0}． 因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且 f(－x)＝－x＋－1x＝－x＋1x＝－f(x)， 所以，函数 f(x)＝x＋1x为奇函数．
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－3 B.f(2)<f 2 <f(－1)
－3 C.f(2)<f(－1)<f 2
－3 D.f(－1)<f 2 <f(2) 解析 ∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，
∴f(2)＝f(－2).
又 f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2<－3<－1. 2
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝
x2－x，x≥0. (2)设 x<0，－x>0， 则 f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又 f(x)在 R 上为偶函数，∴当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 题型四 函数单调性与奇偶性的应用 方向 1 比较大小问题 【例 4－1】 若对于任意实数 x 总有 f(－x)＝f(x)，且 f(x)在区间(－∞，－1]上是 增函数，则( )
－∞，－5 5，＋∞
单调递减区间是
2和2
.
4.(1)中的函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上单调性相反，(2)中的函数在区间
－5，0 0，5 2 与 2 上单调性相同.
1.函数的奇偶性 奇、偶函数的定义域关于原点对称
奇偶性
定义
图象特点
设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x∈I，都有－x∈I，且
为________________________________________________________.
解析 因为函数 f(x)在区间[－3，－1]上是减函数，所以 f(－1)<f(－2)<f(－3).
又函数 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x).即 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，
课标要求
3.2.2 奇偶性
素养要求
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和
几何意义.
通过本节内容的学习，让学生结合实例，
2.会根据函数奇偶性求解析式.
利用图象抽象出函数性质，重点提升学
3.能利用函数的奇偶性与单调性分析、 生的直观想象和逻辑推理素养.
解决简单问题.
教材知识探究
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建 筑物和它在水中的倒影……
3 又函数 f(x)＝1x2＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得 b＝0.
3 (2)由奇函数定义有 f(－x)＋f(x)＝0， 得 a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故 a＝0. 答案 (1)1 0 (2)0
3 规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型 (1)定义域含参数：奇偶函数 f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称， 利用 a＋b＝0 求参数. (2)解析式含参数：根据 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系 数法求解. 【训练 2】 (1)设函数 f(x)＝（x＋1）（x＋a）为奇函数，则 a＝________.
因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝0.
－2x2＋3x＋1，x>0， 综上，f(x)的解析式为 f(x)＝ 0，x＝0，
2x2＋3x－1，x<0.
答案
(1)x(x＋1)
－2x2＋3x＋1，x>0， (2) 0，x＝0，
2x2＋3x－1，x<0
规律方法 利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应设在哪个区间上. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x). 提醒：若函数 f(x)的定义域内含 0 且为奇函数，则必有 f(0)＝0，但若为偶函数， 未必有 f(0)＝0. 【训练 3】 (1)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝－x2－x， 求函数 f(x)的解析式. (2)已知 f(x)是 R 上的偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当 x∈(－∞， 0)时，求 f(x)的解析式. 解 (1)设 x>0，－x<0， 则 f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数定义域为 R，∴f(0)＝0，
答案 －x－1
[微思考]
1.为什么奇、偶函数的定义域一定关于原点对称？
提示 由函数奇偶性的定义知，若 x 在定义域内，则－x 一定也在定义域内(若－
x 不在定义域内，则 f(－x)无意义)，因此，具有奇偶性的函数的定义域必关于原
点对称.
2.对于函数 f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若 f(x)为偶函数，需满足什么条件？ (2)若 f(x)为奇函数，需满足什么条件？ 提示 (1)b＝0 (2)a＝c＝0
称，则函数为偶函数. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x5； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2x2＋2x.
x＋1 解 (1)函数的定义域为 R.又 f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，所以 f(x) 是奇函数. (2)f(x)的定义域是 R.因为 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，所以 f(x)是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以 f(x)是 非奇非偶函数. 题型二 利用函数奇偶性求参数(值) 利用定义或特殊值求解 【例 2】 (1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则 a＝________，b＝________； (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 是奇函数，则实数 a＝________. 解析 (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1＋2a＝0，解得 a＝1，
问题 4 就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？
就图(2)而言，函数在区间
－5，0 2
与
0，5 2
上的单调性是否相同？
提示 1.整个图形对称.
2.图形略.
3.(1)中的函数单调递增区间是(－2，0)和(2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2).
－5，0 0，5 (2)中的函数单调递增区间是 2 和 2 ；
所以 f(1)<f(2)<f(－3).
答案 f(1)<f(2)<f(－3)
3.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－x＋1，则当 x<0 时，f(x)
＝________.
解析 当 x<0 时，－x>0，则 f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，
所以 f(x)＝－x－1.
问题 1 上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部 分”对称？ 问题 2 我们本节学习的奇偶函数的图象有完美的对称关系，如图(1)(2)所示分别 为偶函数和奇函数的一部分图象，你能结合奇偶函数图象的对称关系象的单调区间吗？
数.
2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)
提示 存在 f(x)＝0，x∈R 既是奇函数，又是偶函数.
3.若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数.(×)
提示 函数 f(x)＝x2－2x，x∈R 的定义域关于原点对称，但它既不是奇函数，又
不是偶函数.
4.若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0.(√)
x
x2＋x，x≤0，
(2)已知函数 f(x)＝
为奇函数，则 a＋b＝________.
ax2＋bx，x>0
解析 (1)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
即（－x＋1）（－x＋a）＝－（x＋1）（x＋a），
－x
x
显然 x≠0，整理得 x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
题型一 函数奇偶性的判断 首先判断定义域是否关于原点对称，若对称，则利用定义判断 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝ x2－1＋ 1－x2； (3)f(x)＝ x ；
x－1 x＋1，x>0， (4)f(x)＝ －x＋1，x<0. 解 (1)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数. (2)函数 f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且 f(x)＝0，又 f(－x)＝－f(x)， f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)函数 f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， 所以 f(x)是非奇非偶函数. (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x). 综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数. 规律方法 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定 义域关于原点对称，则应进一步判断 f(－x)是否等于±f(x)，或判断 f(－x)±f(x)是 否等于 0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于 y 轴对
数，即在对称区间上单调性一致(相同).
(2)若 f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数，则 f(x)在[－b，－a]上为减函
数，即在对称区间上单调性相反.
教材拓展补遗
[微判断]