11-1数项级数的基本概念及性质
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11-1数项级数的基本概念及性质
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令
gn
5
n k 1
1 k
1 k 1
5(1
1 )
n1
n1
5 n(n 1)
lim
n
gn
5lim(1 n
1) n1
5
机动 目录 上页 下页 返回 结3束1
n1
1 2n
是等比级数
,
公比
q
1 2
1 , 首项是
1， 2
1
2n
n1
lim
1 2
(1
1 2n
)
n 1 1
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
机动 目录 上页 下页 返回 结束7
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
发散
当 q 1 时 , 级数变为 a a a a
发散
综上所述
aqn
a 1 q
,
n0
发散 ,
| q | 1 | q | 1
右图给出了几何级数的一个
a aq
几何解释:
由三角形的相似
S a a a aq
a
aq3 aq2 aq2
aq
aq
S
a
S a 1q
a
机动 目录 上页 下页 返回 结2束0
微积分第二版课件第一节数项级数的概念及性质
n
Tn
lim
n
kS
n
k
lim
n
S
n
kS
性质2 若 un 收敛, 其和为S ；vn 收敛, 其和为T
n1
n1
则 (un vn ) 必收敛, 其和为 S T .
n1
证 设 ，un ，vn (的un部 v分n )和为 ， 与 Sn Tn Rn
n1
n1 n1
Rn (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) Sn Tn
n1
k
0
，则级数
kun
也收敛,
且其和为k
S.
n1
证 设级数 与un
n1
的k部un分和分别为 与 Sn
n1
Tn
Tn ku1 ku2 kun kSn
由于 Tn kSn (k，于0)是极限 与 lnim同Tn时收lnim敛 S或n 同时发散， 从而级数 与 的敛散性u相n 同.且kun
lim
1, 4
, Sn
1 2
1 4
1 8
1 2n
,
这样就得到一个数列 S1, S2 , S3,, Sn ,
由数列极限概念，可知数列 {在Sn} 时n 的极 限，可
以看成（1）式的和.
由等比数列求和公式得
Sn
1 2
1
1 2
n
1 1
1
1 2n
于是
lim
n
Sn
lim 1 n
1 2n
1
2
1
所以
1 2
于图形中矩形面积之和
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n
1
k 1 k
Tn
lim
n
kS
n
k
lim
n
S
n
kS
性质2 若 un 收敛, 其和为S ；vn 收敛, 其和为T
n1
n1
则 (un vn ) 必收敛, 其和为 S T .
n1
证 设 ，un ，vn (的un部 v分n )和为 ， 与 Sn Tn Rn
n1
n1 n1
Rn (u1 v1) (u2 v2 ) (un vn ) Sn Tn
n1
k
0
，则级数
kun
也收敛,
且其和为k
S.
n1
证 设级数 与un
n1
的k部un分和分别为 与 Sn
n1
Tn
Tn ku1 ku2 kun kSn
由于 Tn kSn (k，于0)是极限 与 lnim同Tn时收lnim敛 S或n 同时发散， 从而级数 与 的敛散性u相n 同.且kun
lim
1, 4
, Sn
1 2
1 4
1 8
1 2n
,
这样就得到一个数列 S1, S2 , S3,, Sn ,
由数列极限概念，可知数列 {在Sn} 时n 的极 限，可
以看成（1）式的和.
由等比数列求和公式得
Sn
1 2
1
1 2
n
1 1
1
1 2n
于是
lim
n
Sn
lim 1 n
1 2n
1
2
1
所以
1 2
于图形中矩形面积之和
Sn
1
1 2
1 3
1 n
n
1
k 1 k
辽宁工业大学高数习题课11-1
∞
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
高数11-1
第十一章 无穷级数
常数项级数； 常数项级数； 幂级数； 幂级数； 傅立叶级数. 傅立叶级数.
1
第一节
称
常数项级数的概念与性质
= u1 + u2 +⋯+ un +⋯
（1） ） 一般项
一. 常数项级数的概念 级数： 设给定一个数列： 级数： 设给定一个数列： u1 , u2 ,⋯ , un ,⋯
∑u
n=1
(
)
a 1 − qn = 1−q
(
n 为奇数 发散; , 发散 n 为偶数
)
a 1 − qn lim s n = lim = ∞ , 发散 结论成立 发散. 结论成立. n →∞ n →∞ 1−q
∞ n
(
)
2 2 2 =6 例如 (1) ∑ n = ∑ 2 = 2 n=0 3 n =0 3 1− 3
i =1
n
性质2 性质 若 ∑ un = s ,
n=1
∞
i =1
∑v
n=1 n
∞
n
= σ , 则∑ (un ± v n ) = s ± σ .
n =1
n
∞
证 τ n = ∑ (ui ± v i ) =
i =1
n
∑u ± ∑v
i =1 i
i =1
i
= sn ± σ n
n→∞
lim τ n = lim (s n ± σ n ) = lim s n ± limσ n = s ± σ
若不然,设该级数收敛 若不然 设该级数收敛, 设该级数收敛
2 ∞ 1 2 1 则 ∑ =∑ n + − n 收敛 . n 2 n =1 n n =1 2 ∞ 2 ∞ 1 发散 . 矛盾 而 ∑ =∑ 2 ⋅ n n =1 n n =1
常数项级数； 常数项级数； 幂级数； 幂级数； 傅立叶级数. 傅立叶级数.
1
第一节
称
常数项级数的概念与性质
= u1 + u2 +⋯+ un +⋯
（1） ） 一般项
一. 常数项级数的概念 级数： 设给定一个数列： 级数： 设给定一个数列： u1 , u2 ,⋯ , un ,⋯
∑u
n=1
(
)
a 1 − qn = 1−q
(
n 为奇数 发散; , 发散 n 为偶数
)
a 1 − qn lim s n = lim = ∞ , 发散 结论成立 发散. 结论成立. n →∞ n →∞ 1−q
∞ n
(
)
2 2 2 =6 例如 (1) ∑ n = ∑ 2 = 2 n=0 3 n =0 3 1− 3
i =1
n
性质2 性质 若 ∑ un = s ,
n=1
∞
i =1
∑v
n=1 n
∞
n
= σ , 则∑ (un ± v n ) = s ± σ .
n =1
n
∞
证 τ n = ∑ (ui ± v i ) =
i =1
n
∑u ± ∑v
i =1 i
i =1
i
= sn ± σ n
n→∞
lim τ n = lim (s n ± σ n ) = lim s n ± limσ n = s ± σ
若不然,设该级数收敛 若不然 设该级数收敛, 设该级数收敛
2 ∞ 1 2 1 则 ∑ =∑ n + − n 收敛 . n 2 n =1 n n =1 2 ∞ 2 ∞ 1 发散 . 矛盾 而 ∑ =∑ 2 ⋅ n n =1 n n =1
小结无穷级数
n→∞ ∞
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
∑a
n =1
n
收敛 .
数项级数的审敛法
一.正项级数及其审敛法 正项级数及其审敛法 每一项都非负 定理1(基本定理 正项级数 定理 基本定理)正项级数 基本定理 其部分和数列有界 定理2(比较审敛法 定理 比较审敛法) 比较审敛法 设
∞
∑u
件是
∞
∑u
n =1 ∞ n =1
1 1 1 例: p-级数的敛散性 1 + p + p + ⋅ ⋅ ⋅ + p + ⋅ ⋅ ⋅ 级数的敛散性 2 3 n
解
级数显然发散. 级数显然发散 p ≤ 0 时,级数显然发散 ∞ 1 1 1 0 < p ≤ 1 时, 因为 p ≥ , 而 ∑ 发散 则 p-级数发散 发散,则 级数发散 n n n =1 n p > 1 时,
定理3(比较审敛法极限形式 定理 比较审敛法极限形式) 比较审敛法极限形式
un 都是正项级数, 设 ∑ u n 和 ∑ v n 都是正项级数 如果 lim v = l (0 < l < +∞) n→∞ n =1 n =1 n ∞ ∞
则
∞
∞
∑u
n =1 ∞
n
和
∑v
n =1
n
同时收敛或同时发散. 同时收敛或同时发散
性质5.(级数收敛必要条件 性质 级数收敛必要条件) 级数收敛必要条件 收敛,则 n→∞ 若级数 ∑ u n 收敛 则 lim un = 0
n =1 ∞ n =1 ∞
判断级数发散 的第一步骤
注意:(1). 若 lim un ≠ 0 ,则级数 ∑ u n 发散 注意 则级数 n →∞ (2). lim un = 0 时,级数 ∑ u n 不一定收敛 级数 n →∞
10(1)数项级数的收敛与发散解析
故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现 出它的威力. 在自然科学和工程技术中,也常用无穷 级数来分析问题,如谐波分析等.
2
数项级数的收敛与发散
一、基本概念
给定数列un n 1 , 则表达式
1. 级数的定义
一般项 (1)
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
3 3 3 n ; 10 100 10
发散
当q 1 时, 级数变为 a a a a
lim sn不存在
n
发散
当 q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当 q 1时, 发散
n
14
数项级数的收敛与发散
例4 讨论级数 3 ln n a(a 0) 的敛散性.
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
n 1 n 1
n 1
(2)设a=0,问 aun与a un是否相等 ?
n 1 n 1
否！
27
数项级数的收敛与发散
性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性. 性质4 设级数 un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n 1
新级数仍收敛于原级数的和. 注 ①一个级数加括号后所得新级数发散,则 原级数发散. 事实上, 设原来的级数收敛, 则根据性 质4, 加括后的级数就应该收敛了.
a
n 1
n
则 an sn sn1
an lim sn lim sn1 所以 lim n n n
推论
ss 0
1 若 lim an 0, 则 an发散 如 n sin 发散 n n n 1 n 1
2
数项级数的收敛与发散
一、基本概念
给定数列un n 1 , 则表达式
1. 级数的定义
一般项 (1)
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
3 3 3 n ; 10 100 10
发散
当q 1 时, 级数变为 a a a a
lim sn不存在
n
发散
当 q 1时, 收敛 综上 aq n 0 当 q 1时, 发散
n
14
数项级数的收敛与发散
例4 讨论级数 3 ln n a(a 0) 的敛散性.
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
n 1 n 1
n 1
(2)设a=0,问 aun与a un是否相等 ?
n 1 n 1
否！
27
数项级数的收敛与发散
性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性. 性质4 设级数 un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n 1
新级数仍收敛于原级数的和. 注 ①一个级数加括号后所得新级数发散,则 原级数发散. 事实上, 设原来的级数收敛, 则根据性 质4, 加括后的级数就应该收敛了.
a
n 1
n
则 an sn sn1
an lim sn lim sn1 所以 lim n n n
推论
ss 0
1 若 lim an 0, 则 an发散 如 n sin 发散 n n n 1 n 1
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
级数的概念及其性质
级数的概念及其性质我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。
下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.证明：当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.级数的性质1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。
下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
第十二章 数项级数
第十二章 数项级数§1 级数的收敛性要求：1 掌握级数的基本概念，敛散性定义、记住几何级数、调和级数的敛散结论，2 掌握理解级数的基本性质要点：1）级数的收敛性，2）级数的基本性质1 数项级数的概念、记号： 将数列}{n u 的各项用加号连接起来，即n u u u 21 或1n nu称为数值级数，简称级数。
其中第n 项 nu 称为通项。
级数的敛散性与和 : .2 介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想 级数的部分和： . n n u u u S 213 以在中学学过的无穷等比级数为蓝本 , 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念级数的收敛性：若S S n nlim 存在，称级数1n n u 收敛，S 称为级数的和； 余和：称 nk k n n u S S r 为级数1n n u 的余和若部分和数列}{n S 发散，则称级数1n nu发散，发散级数没有和。
这就是说，级数的敛散性可通过数列的敛散性来判断。
例1 讨论几何级数 0,11a ar n n 的敛散性。
按照级数收敛性的定义，其敛散性可通过部分和数列的敛散性判断。
由等比数列前n 项和的计算公式，1 r 时，n n n n r ra r a r ar a arar a S 11111） 当 1|| r 时，r a S n n 1lim ，几何级数收敛，其和为 r a1；2） 当 1|| r 时，n n S lim ，此时几何级数发散，和不存在； 3） 当 1|| r 时，显然 }{n S 发散；结论：几何级数 0,11a arn n ，当 1|| r 时，收敛，其和为 ra 1；例2 讨论级数1)1(1n n n 的敛散性.解 利用 111)1(1 n n n n 求出部分和 n S ,例3 讨论级数12n n n的敛散性.解 设 n k n n k n nn k S 11322212322212,n S 211432221 232221 n n n n , 1322212121212121 n n n n n nS S S =1211211211n n n ,) ( n .n S 2, ) ( n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数1352n n n的敛散性.解 52 , 5252352 n S n n n n n, ) ( n . 级数发散.二 收敛级数的性质因为级数的敛散性等价于部分和数列的敛散性，由数列收敛的柯西准则，级数收敛的充分必要条件为：定理1，（柯西准则）级数1n n u 收敛N p N n N ,,,0 有 ||n p n S S根据定理1，取 1 p ，有 n n n u S S ||1 ，于是有下面结论：推论1， 级数1n n u 收敛的必要条件为 0limn n u本推论可以方便的用来判断级数发散。
《高等数学(下册)》课件 高等数学 第7章
n
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
un
1 lim
n n
0
，所以该级数收敛。
（2）该级数也为交错级数。因为
lim
n
un
lim
n
n 2n 1
1 2
0
，所以
该级数发散。
三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛
如果数项级数的项可正可负，那么称为任意项级数。对于任 意项级数，有绝对收敛与条件收敛。
定理4 设 un 为任意项级数，如果级数 | un | 收敛，则级数 un
定义1 设 un (x) (n 1，2 ， ) 是定义在区间I上的函数，级数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n 1
称为区间
I
上的函数项级数。对于区间
I
内确定的点
x0， n 1
un
( x0
)
即是数项级数。若
n 1
un
(x0 )
收敛，那么
x0
就称为级数
n 1
un (x)
当级数 un 收敛时，其和与部分和的差，即 S Sn ，称为级数 n 1
的余项，记为 rn ，则
rn S Sn un1 un2
例2
讨论级数
1 1 2
11 23 34
1 n(n 1)
的敛散性。
解
级数一般项
un
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
，所以级数的部分和为
Sn
1 1 2
1 23
1 34
n 1
n 1
n 1
收敛。
证明
令n
1 2
(|
un
|
un ) ，n
1，2 ，
，则级数 n 为正项级数。
常数项级数(11)1
第七章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
对于等比数列
1, 1 , 1 , 1L L 248
1 2n
L
L
1+ 1 1 1L 248
1 2n
L
1 1
1
2
级数收敛
2
对于等比数列 1, 2, 4, 8L L 2n L L
1+2 4 8 L 2n L
级数发散
一、常数项级数的概念
1. 定义: 无穷多常数项累加求和
un u1 u2 u3 L un L
n1
如 1 2L nL n n1
级数的通项
例 几个常用级数
等比级数（几何级数）
a aq aq2 L aqn L
调和级数
1 1 1 L 1 L
23
n
P--级数
1
n1 n
aqn n0
111 1p 2p 3p L
1 np L
四、小结
1 常数项级数的基本概念 2 基本审敛法
（1）由定义,若 sn s ,则级数收敛
（2）lim n
un
0
,则级数发散
（3）按基本性质
3 掌握等比级数，调和级数的敛散性
练习 判别级数 c 的敛散性。
n1
Q
lim
n
un
c
0
所以级数发散
n
练习 判别级数
的敛散性。
n1 100n 1
1
Q
lim
n1 n(n 1) 1 2 2 3
n (n 1)
的收敛性
解
Sn
(1 1) (1 1) (1 1) L 2 23 34
(1 1 ) (1
n n 1
第一节 常数项级数的概念和性质
对于等比数列
1, 1 , 1 , 1L L 248
1 2n
L
L
1+ 1 1 1L 248
1 2n
L
1 1
1
2
级数收敛
2
对于等比数列 1, 2, 4, 8L L 2n L L
1+2 4 8 L 2n L
级数发散
一、常数项级数的概念
1. 定义: 无穷多常数项累加求和
un u1 u2 u3 L un L
n1
如 1 2L nL n n1
级数的通项
例 几个常用级数
等比级数（几何级数）
a aq aq2 L aqn L
调和级数
1 1 1 L 1 L
23
n
P--级数
1
n1 n
aqn n0
111 1p 2p 3p L
1 np L
四、小结
1 常数项级数的基本概念 2 基本审敛法
（1）由定义,若 sn s ,则级数收敛
（2）lim n
un
0
,则级数发散
（3）按基本性质
3 掌握等比级数，调和级数的敛散性
练习 判别级数 c 的敛散性。
n1
Q
lim
n
un
c
0
所以级数发散
n
练习 判别级数
的敛散性。
n1 100n 1
1
Q
lim
n1 n(n 1) 1 2 2 3
n (n 1)
的收敛性
解
Sn
(1 1) (1 1) (1 1) L 2 23 34
(1 1 ) (1
n n 1
【2019年整理】人大微积分课件11-1常数项级数的概念和性质
例2
判别级数
n1
(n
1 2)(n
3)
的敛散性.
解
un
(n
1 2)(n
3)
( n
1
2
n
1
), 3
sn
(1 3
1) 4
(1 4
1) 5
(1 n
2
1 n
) 3
1 1 3 n3
11 1
1
lim n
Sn
lim( ) 3 n n 3
3
,级数收敛,和为
3
三、级数收敛的必要条件
定理
若级数 un
lim
n
Sn存在(不存在)
余项 rn s sn un1 un2 uni i 1
即 Sn S
(lim n
rn
0)
误差为 | rn |
例1 讨论等比级数(几何级数)
un u1 u2 u3 un
n1
解 如果 q 1 时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q
) n
1
2n
n1
收敛,
1
发散.
n1 10 n
该级数发散.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
16
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
2m项
1
每项均大于
,即前m 1项大于
(m
1) 1.
2
2
故该级数发散. 由性质4推论,调和级数发散.
四、收敛级数的基本性质
性质1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
n1
数项级数基本知识点
一．常数项级数的概念
设有数列｛U n ｝，则称u 1+u 2+...+u n +...为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为∑Un ∞n=1，其中U n 称为级数的通项或一般项 令S n =u 1+u 2+...+u n （n=1,2,...），则称数列｛S n ｝为级数∑Un ∞n=1的部分和数列，
如果部分和数列｛S n ｝有极限S ,即
lim n→∞
Sn
则称级数∑Un ∞n=1收敛，这时极限S 叫做级数∑Un ∞n=1的和，即
S=∑Un ∞n=1
如果｛S n ｝没有极限，则称级数∑Un ∞n=1发散 讨论几何级数（等比级数） [1] =aq n-1
∑[1]∞n=1=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...的敛散性，其中a ≠0，q 是
级数的公比
解析：如果 |q|≠1，则部分和： 【2】=q n
∑[1]∞n=1
=a + aq + aq 2 + ...+ aq n-1+...=a （1−【2】）
1−q
级数（6--1）
二．收敛级数的基本性质
三．级数收敛的必要条件
定理1为必要条件，不是充分条件
四．正项级数的判别法
1.比较判别法
（比较判别法的极限形式）
2.比值判别法
例题：
3.其他判别法
五．交错级数的判别法
六．绝对收敛与条件收敛。
高等数学第十一章：无穷级数-1常数项级数的概念和性质
级数收敛的概念
定义
如果级数 un 的部分和数列 {sn }有极限，即
n1
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛，这时极限
n1
s 叫做这级数的和；如果 un没有极限，则称 n1
无穷级数 un发散。 n1
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
n1
敛， 且其和为 ks 。
性质2 如果级数 un、 vn 分别收敛于 s和 t则
n1
n1
级数 (un vn )也收敛， 且其和为 s t.
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级 数
的收敛性。
Tianjin Polytechnic University
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例1 判定无穷级数
1 1 1
12 23
n(n 1)
的收敛性。
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
Tianjin Polytechnic University
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Teaching Plan on Advanced Mathematics
第一节 常数项级数的概念与性质
11-1常数项级数的基本概念和性质 32页PPT文档
nn
u n u n 1 u 1 e
单增数列 an (1 n1)n e
limun0,故级数发散.
n
例7 判断级数的敛散性：n12n2n1.
解
Sn1 2232253 2
n 2
n
1
,
则 1 2S nS n1 2S n
1 22 322 53 2n 2n 12 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 11
n1
n1
n
和为 n ukl SknSk
l 1
有限项不影响
令 n时 , σn与Skn同敛散， 级数的敛散性
故新旧级 数敛散性相同. 收敛时, 其和 σSSk.
性质4 收敛级数加括弧后 所成的级数仍收敛于
原级数的和.
证 设 S un 收敛，任意加括弧,
n1
无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数
傅氏级数 表示函数
无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
第一节
第十一章
常数项级数的 基本概念和性质
一、常数项级数的概念 二 、收敛级数的性质
一、常数项级数的概念
1. 引例
无穷级数的思想蕴涵在 无限循环小数概念之中
引例1 数1 化为小数 . 3
10.3 3 0.3, 且0.3 3
f(x)f(0)0
S nln 1 (1 )ln(1
1) 2
ln(1
1)ln1 (n) n
lim ln1 (n)
n
n l i m Sn
1
发散
n1n
(方法2)
un
1 n
n11 dx nn
高等数学11-1 无穷级数的概念与性质
1 sin 1 n 1 0, 解. （1）因为 lim n sin lim n n n 1 / n 所以级数发散.
17/21
常数项级数的概念与性质
1 ln n 3 (2) n 3 n 1 3n 1 1 因调和级数 解 发散, 由性质1知, 发散. n 1 n n 1 3n ln n 3 l n3 而级数 n 是以 r 为公比的等比级数, 3 n 1 3
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念
引例 求圆的面积
正六边形：a1 正十二边形：a1＋a2 正二十四边形：a1＋a2 a3
正3 2n 边形：a1＋a2 a3
圆：A a1＋a2 a3 圆：A a1＋a2 a3 an
an
an
1/21
常数项级数的概念与性质
n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
12/21
常数项级数的概念与性质
性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性 .
注：
仅讨论级数 un 的敛散性时， 可简记为 un ，
n1
但求收敛级数的和时，需指明从哪一项开始！
13/21
常数项级数的概念与性质
性质4 设级数 un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n
矛盾！ 级数发散 .
9/21
常数项级数的概念与性质
小结：判断级数敛散性步骤：
（1）求出级数的前n项和（部分和）Sn；
（2）讨论 lim Sn 的存在性.
n
10/21
常数项级数的概念与性质
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与 kun
11.1 常数项级数的概念和性质
n
发散。 发散。
当级数收敛时， 当级数收敛时，称
rn = s − sn =
i = n +1
∑u
∞
i
= un +1 + un + 2 + L
为级数的余项， 为级数的余项，这时 S n ≈ S , rn 为近似值产生的误差
讨论等比级数(几何级数) 例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn = a + aq + aq2 + L+ aqn + L (a ≠ 0) ∑
n→∞
3.按基本性质. 3.按基本性质. 按基本性质
§11.2
常数项级数的审敛法
在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性， 在研究级数时，中心问题是判定级数的敛散性， 如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算， 如果级数是收敛的，就可以对它进行某些运算，并设 法求出它的和或和的近似值。但是除了少数几个特殊 法求出它的和或和的近似值。 的级数，在一般情况下， 的级数，在一般情况下，直接考察级数的部分和是否 有极限是很困难的， 有极限是很困难的，因而直接由定义来判定级数的敛 散性往往不可行， 散性往往不可行，这就要借助一些间接的方法来判定 级数的敛散性， 级数的敛散性，这些方法称为审敛法 对常数项级数将分为正项级数和任意项级数来讨论
是发散的。 例3 证明级数 1 + 2 + 3 + L + n + L 是发散的。
1 ∴ 级数收敛 , 和为 . 2
二、收敛级数的基本性质
性质 1 如果级数 收敛, 亦收敛. ∑u 收敛,则∑ku 亦收敛.
n=1 n
n=1 n
∞
∞
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 敛散性不变.
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利用 “拆项相消” 求和
机动 目录 上页 下页 返回 结束 14
解1:
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
ln(1 1 ) ln 2 n
故原级数收敛 , 其和为
机动 目录 上页 下页 返回 结束 15
解2:
ln(n 1) ln(n 1) 2ln n
[ln(n 1) ln n] [ln n ln(n 1)]
o
1 2 3 N 1N
x
1 1 1 23
1 1 N 1 N
SN
即 ln N SN , 所以
lim
N
SN
lim ln N
N
故调和级数发散
机动 目录 上页 下页 返回 结2束7
ln N SN
又
N1 dx
11
1
1x
23
N
y
y 1 x
SN 1 即 ln N SN 1 ,
o 1 2 3 N 1N
2k
1 2
n k 1
1
k(k
1)
(k
1 1)(k
2)
1 2
1 1 2
(n
1 1)(n
2)
进行拆项相消
1
lim
n
Sn
, 4
这说明原级数收敛 , 其和为 1 . 4
机动 目录 上页 下页 返回 结束 18
例 3: 讨论几何级数（等比级数）的收敛性：
aqn a aq aq2 aqn , (a 0)
例 4：以德国数学家 Cantor 命名的 Cantor 集是这样 构造的：在闭区间[0,1]中去掉开区间( 1 , 2)，这样就剩
33 下两个闭区间[0, 1]，[ 2 ,1]，再分别去掉这两个闭区间
33 中间的三分之一开区间，余下四个闭区间，再次去掉 每个闭区间中间的三分之一开区间，无穷次重复这个 过程，每一次都去掉上一步剩下的每个闭区间中间的 三分之一开区间。Cantor 集是由去掉所有这些开区间 后，[0,1]上剩下的点组成。
n0
解: 如果 | q | 1 时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn
a
(1 qn )
1q 1q
当 | q | 1时 , lim qn 0 n
lim
n
sn
1
a
q
当 | q | 1时 ,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
机动 目录 上页 下页 返回 结1束9
当 q 1 时 , sn na
1 100
1 1000
1 10n
)
3 10
3 100
3 1000
3 10n
引例3. 考察： 1 1 1 1 248
1 2n
2
0
1
3 2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束4
定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依
次相加, 简记为 un , 即
n1
称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和
则
lim
n
n
lim
n
Snk
lim
n
Sk
S Sk
类似地，可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
1
1
2
1
1
2
2
故
n1
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6
机动 目录 上页 下页 返回 结3束2
性质 3：若级数 un 收敛，则 un 也收敛 (k 1)。
n1
n k 1
且其逆亦真。
n
证明: 设 Sn uk , 则 k 1
n uk1 uk2 ukn Snk Sk ,
级数与数列有着密切的关系：
给定级数
un
，就有部分和数列
Sn
n
ui
；
n1
i1
给定数列{Sn }，就有以{Sn }为部分和数列的级数：
S1 (S2 S1 ) (Sn Sn1 ) un ， n1
其中：u1 S1，un Sn Sn1，(n 2)。
按定义，级数 un 与数列 {Sn }同时发散，同
1 4
]
A1(1
1 3
1 1
4
)
9
9
A1(1
3) 5
23 5
雪花的面积有限。
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
机动 目录 上页 下页 返回 结1束1
例
1：若级数
an
n1
的前
n
项部分和
Sn
n n
1， 1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
但
lim
an
n1
lim
n
Sn
1
机动 目录 上页 下页 返回 结1束3
例2. 判别下列级数的敛散性:
解:
Sn
ln 2 1
ln 3 2
ln 4 3
ln n 1 n
(ln 2 ln 1) (ln 3 ln 2) ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n )
所以级数 (1) 发散 ;
[(
1 9
)n1
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3 4 (1)2 9
A1
3 4n2
(
1 9
)n1
A1
A1{1
[
1 3
1(4) 39
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
机动 目录 上页 下页 返回 结1束0
于是有
lim
n
Pn
雪花的周长无限。
lim
n
An
A1
lim[1
n
1 3
1 ( 4 )n1 9
机动 目录 上页 下页 返回 结束8
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3,
面积为 A1
3; 4
第一次分叉：
周长为
P2
4 3
P1 ,
面积为
A2
A1
3
1 9
A1;
播放
依次类推
机动 目录 上页 下页 返回 结束9
第 n 次分叉：
周长为:
Pn
(
4 3
)n1
P1
面积为
n 1,2,
An
An1
3{4n2
1 3n
)2
机动 目录 上页 下页 返回 结2束3
例 5: 证明调和级数 1 发散。
n1 n
证明1： 已知 ln(1 1 ) 1 nn
Sn
n k 1
1 k
n
ln(1
1 )
n k1 ln
k 1
k
k 1
k
ln 2 ln 3 ln n 1 ln(2 3 4 n 1)
2
n
n1
时收敛，且在收敛时，有
n
un
n1
lim
n
Sn
，即
un
n1
lim
n
i 1
ui
机动 目录 上页 下页 返回 结束7
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的 1/3 的小正三角 形。如此类推在每条凸边上都做类似的操 作，我们就得到了面积有限而周长无限的 图形——“Koch雪花”。
去掉剩下的八个小正方形中间的九分之一，以此类推。
证明：去掉的所有正方形的总面积为 1.这意味着
Sierpinski 毯的面积为 0。
证明: 被去掉所有正方形的总面积为
S
(
1 3
)2
+8
(
1 32
)2
+82
(
1 33
)2
+83
(
1 34
)2
8
1 ( 8 )n
8 n1 9
1 8
9 1
8
1
9
8n1
(
机动 目录 上页 下页 返回 结2束1
（1）证明：被去掉的所有区间的总长度为 1。尽管如
此，Cantor 集还是包含无穷多个点，举出几个属于
Cantor 集的数。
证明: 被去掉所有区间的总长度为
L
1 3
+
2 32
22 + 33
23 + 34
2n1 3n
1 [1 2 ( 2 )2 ( 2 )n1 ]
23 n
ln(n 1)
级数发散。
机动 目录 上页 下页 返回 结2束4
例 5: 证明调和级数 1 发散。
n1 n
证明2：
S2n
Sn
1 n
1
n
1
2
1 n 1 2n 2n 2
假设调和级数收敛 , 其和为 S .
于是 lim( S2n Sn ) S S 0,
n
便有 0 1 (n ) 这是不可能的 .
n n
1， 1
求 an 和 an 。
n1
解：
an
Sn
Sn1
n1 n1
n2 n
2 n(n 1)
,
n2
a1 S1 0
11
1
2lim[
]
n 2 3 3 4
n (n 1)
1 2lim{(
n 2