对函数极限概念的理解
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对函数极限概念的理解
函数极限概念,不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性,因此,令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵,以致于学完了极限,极限的意识还很薄弱。因此,要抓住理解的关键,我们体会,宜抓住以下三点:
(一)将“任意近处”的描绘性语言,转化为可进行量化比较的准确表达
考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值,则点x0称为这数集的聚点。
为着要更准确地表达这定义,我们引入点x0的邻域的概念:以点x0为中心的开区间(x0−δ,x0+δ)称为点x0的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达:若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值,则x0是数集X的聚点。关于“任一邻域”,δ=1cm算不算“任一邻域”?不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部;δ=1mm算不算“任一邻域”?不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部;δ=1nm算不算“任一邻域”?不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部;……,点x0的邻域可以无穷小。因此,“任一邻域”是一个无穷集。
对聚点x0本身来说,可以属于X,或不属于X。也就是说x0在X上可以有定义或无定义。x0在X上无定义时,它的邻域也存在,叫做空心领域。
(二)注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。
设在区域X内给定函数f(x),且x0是X的聚点。这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x),若出现了f(x)无限趋近于数A的性态,或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态,则可类似于x0的邻域δ,把ε看作A的邻域,
而把这种性态更准确地表达为:Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可
进行量化比较性。
(三)δ与ε的关系
从x与f(x)的关系看,前者为因,后者为果。但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看,则是前者依赖后者,总是要先给定任一ε>0,而后求那个能保证ε成立的δ。即δ的几何空
间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态,可更准确地表达为:Ⅰf(x)- A Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数),那么,使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的δ应是什么样呢?也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求δ呢?具体过程如下:
将Ⅰf(x)- AⅠ变形:Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。
再取δ=ε
M ,则当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时,有0<Ⅰx-x0Ⅰ<ε
M
,整理为0 Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ<ε,也就是当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时,保证了Ⅰf(x)- AⅠ<ε。 结论若对于任一数ε>0能求出δ>0,只须Ⅰx-x 0Ⅰ<δ能使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(式中的x取自X 内且异于x0)成立,则称当x趋向于x0时(或在x0)函数f(x)以数A为极限。 记成:lim x→ x0 f x=A