SXA179高考数学必修_函数模型应用题例析3

函数模型应用题例析3

函数模型应用问题，是常见的数学知识的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等现实生活中的实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．在解此类问题的过程中，首先需要在实际的情境中去理解、分析所给的一系列数据，舍弃与解题无关的因素，抽象转化为数学模型．

一、二次函数模型问题

例1 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．

(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

解：(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为

50

30003600-= 12，所以这时租出了88辆车．

(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：

)(x f = (100－503000-x )(x －150)－503000-x ×50 =－502x + 162x －21000 =－50

1(x －4050)2+ 307050． 所以，当x = 405时，)(x f 最大，最大值为)4050(f =307050，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．

评析：此例主要考查一元二次函数等知识综合解答实际问题的能力，以函数为主线的联系实际的应用问题正是近几年高考的热点和重点题型．

二、分段函数模型问题

例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但

实际出厂单价不能低于51元．

⑴当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

⑵设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P =)(x f 的表达式；

⑶当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)．

解：⑴设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购两为x 0个，则

x 0= 100＋02

.05160-= 550． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰降为51元．

⑵当0＜x ≤100时，P = 60；

当100＜x ＜550时，P = 60－0.2(x －100) = 62－

50

x ； 当x ≥550时，P = 51． 所以P =)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.550,51)(,550100,5062,1000,60x N x x x x

⑶设销售商的一次订购量为x 个时，服装厂获得的利润为L 元，则

L = (P －40)x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.

550,11)(,550100,5022,1000,202x x N x x x x x x 当x = 500时，L = 6000；当x = 1000时，L = 11000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．

评析：求分段函数的最值，应先求出函数在各段上的最值，然后加以比较，其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值．

三、指数函数模型问题

例3 某地区心脏病发病人数呈上升趋势．经统计分析，从1996年到2005年的10年间每两年上升2%，2004年和2005年两年共发病815人．如果不加控制，仍按这个比例发展下去，从2006年到2009年将有多少人发病？

解：设第x 个两年心脏病发病人数为y ，a 为第一个两年间发病人数，根据题意，得y = a(1＋2%)1x -， 显然a = 815，即y = 815(1＋2%)1x - (x ∈N*)，

2006年到2009年发病人数x = 2时的值，那么总计发病人数为815(1＋2%)＋815(1＋2%)2≈1680(人)．

评析：以2004年和2005年两年发病人数为初始人数，照此发展下去，这一现象满足指数函数的离散点模型．

四、对数函数模型问题

例4 科学家研究得出：对声音有不同感觉，这与它的强度有关．声音的强度I 用瓦／米2(W ／m 2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L 表示．它们满足以下公式：L = 10lg 0I I (单位为分贝，1L ≥0，其中0I = 1×1012-W ／m 2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：

⑴树叶沙沙声的强度是1×1012-W ／m 2，耳语的强度是1×1010-W ／m 2，恬静的无线电广播的强度是1×108-W ／m 2，试分别求出它们的强度水平；

⑵在某一新建的安静小区规定：小区内公共场所声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？

解：⑴由题意可知，树叶沙沙声的强度是1I = 1×1012-W ／m 2，则

10

I I = 1， 故1L = 10lg1= 0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；

耳语的强度是2I =1×1010-W ／m 2，则20I I =102，

故2L = 10lg102= 20，即耳语声的强度水平为20分贝．

恬静的无线电广播的强度是3I =1×108-W ／m 2，则30

I I =104， 故3L = 10lg104= 40，即恬静的无线电广播声的强度水平为40分贝．

⑵由题意知，0≤L ＜50，即0≤10lg 0I I ＜50，得1≤0

I I ＜105，解得1012-≤I ＜107-． 故新建的安静小区的声音强度I 大于或等于1012-W ／m 2，同时应小于107-W ／m 2．

评析：当函数模型已给定后，只需对问题进行定量分析，套用了现成的公式即可把问题解决．