向量与圆锥曲线教学文案

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: .OA OM ;,;21型型型OB PQ PB PQ PA PB AP μλλλλ+====

例1.已知B A ,是椭圆1222=+y x 上的两点,并且点)0,2(-N 满足λ=,当??

?

???∈31,51λ时,求直线AB 斜率的取值范围.

例 2.已知抛物线x y C 4:2

=,过抛物线的焦点F 的直线交C 于B A ,两点,交准线l 于点M ,已知

21,λλ==,求21λλ+.

例3.已知椭圆2

2233b y x =+,斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于B A ,两点,M 为椭圆上任一点,且μλ+=, 求2

2

μλ+.

方法总结:

(1)若能得到21x x λ=, 则构造出两根之和与两根之积得???=+=+2

2

212

21)1(x x x x x x λλ消去得λ

λ2

21221)1()(+=

+x x x x ,再利用韦达定理应用; (2)若21,λλ==,则可以用B A ,的横坐标21,x x 或纵坐标21,y y 来表示1λ和2λ,当

1λ和2λ满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于B A ,两点,若点M 满足OB μλ+=OA OM ,用B A ,两点的坐标来表示M ,如果M 在曲线上,则将M 的坐标表达式代入曲线方程,如果M 没有在曲线上,则必须把M 的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理.

课后练习:

1.已知定点)0,2(M ,若过点M 的直线l (斜率不为零)与椭圆13

22

=+y x 交于不同的两点F E ,(E 在点F M ,之间),记OMF

OME S S

??=λ, 求实数λ的取值范围.

2.椭圆12322

22=+c

y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ,过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B

A ,两点, 且||2||,//2121

B F A F B F A F =, 求直线AB 的斜率.

3.已知抛物线x y C 4:2

=,过点)2,0(M 的直线l 与抛物线交于B A ,两点,且直线l 与x 轴交于点C ,设βα==,,试问βα+是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.

4.椭圆12

3:2

2=+y x C ,过右焦点F 的直线l 与C 交于B A ,两点,C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立?若存在,求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在, 请说明

理由.

二.面积计算

求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.

例 1.如图,)1,1(M 是抛物线x y C =2

:上一点, B A ,是C 上的两点,线段AB 被直线OM 平分且

)2

1

,1(P , 求ABP ?面积的最大值.

2.已知直线l 与椭圆122

22=+b

x a y 交于),(),,(2211y x B y x A 两点, 已知),(),,(2211by ax n by ax m ==,

若n m ⊥且椭圆的离心率23

=e , 又椭圆经过点???

? ??1,23, O 为坐标原点. 试问AOB ?的面积是否为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.

3.已知菱形ABCD 的顶点C A ,在椭圆432

2

=+y x 上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点)1,0(时,求直线AC 的方程; (2)当?=∠60ABC 时,求菱形ABCD 面积的最大值.

4.如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的一个顶点，

1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，

2l 交椭圆1C 于另一点D （1）求椭圆1C 的方程；

（2）求ABD ?面积取最大值时直线1l 的方程.

三．切线问题

1.如图，设椭圆C:)0(122

22>>=+b a b

y a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象

限.

（1） 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；

（2） 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.

2.如图，已知抛物线211C 4

x ：y=

，圆22

2C (y 1)1x ：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.

(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ?的面积.

3.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：的一个焦点为)0,5(，离心率为35.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点),(00y x P 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

4.如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .

（1）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2

2(0)x py p =＞上，其中，点C 满足OC OA OB =+（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

练习：如图，已知抛物线y x 42

=的焦点为F ，B A ,是抛物线上的两动点，且)0(>=λλFB AF ，过B A ,两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，证明AB FM ?为定值.

四、斜率乘积为22

a

b -

1.已知N M ,椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：上的两点，则22

,a

b k k N M P OP MN -=??的中点是;

类似地，对于双曲线122

22=-b

y a x C ：，则有____________________.

若椭圆或双曲线的焦点在y 轴呢，则结果会怎样？

2.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：的左右顶点为21,A A ，点M 是21,A A 的任意

一点，则22

21a

b k k MA MA -=?;

类似地，对于双曲线122

22=-b

y a x C ：，则有____________________.

3.对于上述，若21,A A 为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？

4.若椭圆或双曲线的焦点在y 轴呢，则结果会怎样？

例1.过点)2,1(N 的直线交双曲线122

2

=-y x 于B A ,两点，)(2

1+=，则直线AB 的方程是____________

例 2.过点)1,1(M 作斜率为2

1

-的直线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x C ：相交于B A ,，若M 是线段

AB 的中点，则椭圆C 的离心率是_________

例3.已知椭圆13

42

2=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有两个不同的点关于这条直线对称.

例4.已知椭圆的方程为12

42

2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于A P ,两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC 并延长交椭圆于点B ，设直线的斜率为k ，求证：对任意0>k ，PB PA ⊥.

例1.))(,(000a x y x P ±≠是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x E ：上一点，N M ,分别是双曲线E 的

左、右顶点，直线PN PM ,的斜率之积为51

，则双曲线的离心率是_________________

例 2.如图，已知B A ,分别为曲线)0(12

22≥=+y y a

x C ：与x 轴的左、右两个交点，直线l 过点B ，

且与x 轴垂直，S 为l 上异于点B 的一点，连结AS 交曲线C 于点T . 点M 是以SB 为直径的圆与线段TB 的交点，试问：是否存在a ，使得S M O ,,三点共线？若存在，求出a 的值，若不存在，

请说明理由.

例3.已知椭圆122

2

=+m

y x C ：，过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点，其中P 在第一象

限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0>k ，都有PH PQ ⊥？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.

4.已知椭圆的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：，B A ,是椭圆上的两动点，M 为平面上一动

点且满足OB OA OM μλ+=，则有如下的框架图（已知任意两个，可以推出第三个）：

在椭圆上

M a

b k k OB

OA 1

222

2

=+-=?μλ

例1.已知椭圆的方程为)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：，B A ,是椭圆上的两动点，M 为椭圆上一动点且

满足μλ+=且12

2=+μλ，证明：22a

b k k OB OA -=?.

例2.设动点P 满足2+=，其中N M ,是椭圆12

42

2=+y x 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为2

1

-，求动点P 的轨迹方程.

五．斜率乘积为1-

1.椭圆中的垂直问题

例1.设椭圆13

4

2

2=+

y

x C ：，过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于B A ,两点，过O 作直线AB 的垂线，求点D 的轨迹方程.

例 2.求),0(b t ∈使得下述命题成立：设圆2

22t y x =+上任意点),(00y x M 处的切线交椭圆

1222

2

2=+b

y b x 于21,Q Q 两点，则21OQ OQ ⊥.

例 3.如图，n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点，与椭圆13

42

2=+

y x C ：交于B A ,两点的直线，1||=OP ，是否存在上述直线l 使得1=?PB AP 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不

存在，请说明理由.

2.当圆锥曲线上的两点Q P ,满足OQ OP ⊥时，椭圆中便存在一个直角三角形OPQ Rt ?，通过以上的例题可以发现，其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的，包括两条直角边的关系、斜边的长度问题、斜边上的高的轨迹，以及它的面积的取值范围，真可谓把这个直角三角形剖析得淋漓尽致了。但如果这不是一个直角三角形，也就是说?≠∠90POQ ，情形又会如何。是否有类似的结论呢？

提醒读者，将夹角问题转化为向量数量积的问题仍是首选方法，因为它更具有一般性，见如下方法总结：

（1）090>????<∠BC BA AC B ABC 为直径的圆外若在以； （2）090=????=∠BC BA AC B ABC 为直径的圆上若在以； （3）090∠BC BA AC B ABC 为直径的圆内若在以.

例1.已知m 是非零实数，抛物线)0(22

>=p px y C ：的焦点F 在直线02

2

=--m my x l ：，设直线l 与抛物线C 交于B A ,，过B A ,分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足为11,B A ，如图所示，F BB F AA 11,??的重心分别为H G ,，求证：对任意非零实数m ，抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.

例2.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：的左顶点为A ，过右焦点F 的直线交椭圆于C B ,两点，直

线AC AB ,分别交右准线c

a x 2

=于点N M ,，试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明

理由.

3.抛物线中的定点问题

【框架】B A ,是抛物线)0(22

>=p px y 上的两动点，其中βα,分别为OB OA ,的倾斜角，则我们有如下框架图：

)0,2(2

||1p AB k k OB OA OB OA 恒过定点?=

-?-=??⊥π

βα.

例 1.设B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上异于原点的两个不同点，直线OB OA ,的倾斜角分别为

βα,，当βα,变化且βα+为定值)0(πθθ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐

标.

例 2.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线x y 42

=相交于不同的B A ,两点，如果

4-=?，证明直线l 必过一定点，并求出该定点坐标.

例 3.已知抛物线x y 42

=，过点)2,1(M 作两直线21,l l 分别与抛物线交于B A ,两个不同的点，且

21,l l 的斜率21,k k 满足221=k k ，求证：直线AB 过定点.

六．斜率之和为零

【框架】),(00y x A 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：上一定点，F E ,是C 上两个动点；α和β分

别表示直线AE 与直线AF 的倾斜角，则有如下所示的框架图：

22

0a

b k k k k EF OA AF AE =??=+?=+πβα.

例1.已知椭圆13422=+y x 及定点??

? ??23,1A ，F E ,是C 上的两个动点；如果直线AE 的斜率与AF

的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出该定值.

例2.已知C B A ,,是长轴为4，焦点在x 轴上的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且||2||,0==?. （1）求椭圆的方程；

（2）如果椭圆上的两点Q P ,，使得PCQ ∠的平分线垂直于OA ，问是否总存在实数λ，使得

AB PQ λ=？说明理由.

【框架】)0)(,(000≠x y x A 是抛物线px y C 22

=：上一定点，F E ,是C 上两个动点；α和β分别

表示直线AE 与直线AF 的倾斜角，则有如下所示的框架图： 0

0x p k k k k EF OA AF AE -

=??=+?=+πβα. 例 1.过抛物线)0(22

>=p px y C ：上一定点)0)(,(000>y y x P ，作两条直线分别交抛物线于

),(),,(2211y x B y x A ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

2

1y y y +的值并证明直线AB 的斜率是非零常数.

例2.M 是抛物线x y =2

上的一点，动弦MF ME ,分别交x 轴于B A ,两点，且MB MA =，若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值.

七．多条直线与曲线相交的应用

例1.已知椭圆15

92

2=+y x 的左右顶点为B A ,，右焦点为F ，设过点),9(m T 的直线TB TA ,与椭圆分别交于点),(),,(2211y x N y x M ，其中0,0,021<>>y y m ，求证：直线MN 必过x 轴上的

一定点.

例2.如图所示，椭圆有两顶点)0,1(),0,1(B A -，过其焦点)1,0(F 的直线l 与椭圆交于D C 、两点，并且与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ，当点P 异于B A ,两点时，求证：OQ OP ?.

例 3.如图，已知椭圆方程为14

82

2=+y x 的上下顶点分别为B A ,，直线4+=kx y 与椭圆交于不同的两点N M ,，直线1=y 与直线BM 交于点G ，求证：N G A ,,三点共线.

例 4.如图，已知抛物线x y C 42

=：的焦点为F ，过点)0,1(-K 的直线l 与C 相交于B A ,两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明：点F 在直线BD 上.