汉诺塔、数形结合及其他——卞强老师讲座中的故事

汉诺塔、数形结合及其他——卞强老师讲座中的故事

[ 2008-9-8 13:10:00 | By: 张弛有道 ]

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上周四听了卞强老师的讲座，涉及到一些有趣的故事，现搜索整理其中一部分，供大家参考。

一、汉诺塔问题

Towers of Hanoi，汉诺塔（又称河内塔、梵塔）问题是印度的一个古老的传说。传说开天辟地的神勃拉玛（和中国的盘古差不多的神吧）在创造世界的时候，在一个庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从原来那根针上移到另外一概针上时（规定可利用第三根针作为帮助），世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把６４片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，一共需要移到多少次。那么，不难发现：不管把哪一片移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片增加一倍。这样，移动第1片只需1次，第2片需2次，第3次需4次……第64片需264次。全部次数为1+2 +22+…+263=264-1=18446744073709551615次。

假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一年（地球绕太阳一周）的时间是365天5小时48分46秒，大约有31556926秒，计算表明移完这些金片需要5800多亿年，比地球寿命还要长，事实上，世界、梵塔、庙宇和众生都已经灰飞烟灭。看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动。

后来，这个传说就演变为汉诺塔游戏:

1.有三根杆子A,B,C。A杆上有若干碟子

2.每次移动一块碟子,小的只能叠在大的上面

3.把所有碟子从A杆全部移到C杆上

此外，汉诺塔问题也体现了数学中的经典递归问题。

算法思路：

1.如果只有一个金片，则把该金片从源移动到目标棒，结束。

2.如果有n个金片，则把前n-1个金片移动到辅助的棒，然后把自己移动到目标棒，最后再把前n-1个移动到目标棒。

这个问题即可以这样解决：把前63个看作一个整体，移动到非

目标针上，然后把第64个移动到目标针上，再把前63个移动到目标针上即可。但前63个如何移动呢？同样的，把前62个看作整体……这个递归方法也是编程时要经常用到的。

汉诺塔故事大多数人可能没有听说过，或者虽有听过，但不知其详。不过与这个故事相似的，还有另外一个印度传说，这个故事对于多数人来说就一点也不陌生了：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人──宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第１个小格里赏给我一粒麦子，在第２个小格里给２粒，第３个小格给４粒，以后每一小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求。

那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为1+2+22+…+2 63=264-1，和移完汉诺塔的次数一样，但这个数字是天文数字，如果造一个高４米，宽10米的仓库来放这些麦子，那么它的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。因为即使一粒麦子只有一克重，也需要数十万亿吨的麦子才够。人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子！

二、数形结合

1、华罗庚的诗

数形本是相倚依，怎能分作两边飞，

数缺形时少直觉，形少数时难入微，

数形给合百般好，隔离分家万事悲。

2、奖牌榜数形结合图

三、关于智力周期、情绪周期、体力周期

近年来，时间生物学认为，生物体乃至植物体的生命随昼夜交替、四时更迭的周期性运动，揭示出生理活动的周期性节律。古代医学视天地为大宇宙，人体为小宇宙，谓大小宇宙息息相通。健康人体的活动大多呈现24小时昼夜的生理节律，这与地球有规律自转所形成的24小时周期是相适应的，表明生理节律受外环境周期性变化(光照的强弱和气温的高低)的影响而同步。诸如人体的体温、脉搏、血压、氧耗量、激素的分泌水平，均存在昼夜节律变化。生物近似时钟的结

构，被称之为“生物钟”。周期节奏近似昼夜24±4小时称“日钟”，近似29.53±5天称为“月钟”，近似周年12±2月称为“年钟”。时间生物学研究揭示了植物、动物乃至人的生命活动具有一个“持久的”、“自己上发条”和“自己调节”的生物钟。

为何成绩一般的学生考上了名牌大学，而名列前茅的学生却名落孙山?为何一贯行为文明的青年人突然与人吵架?原来人体存在智力、情绪、体力周期分别为33天、28天和23天的生物钟，这3种“钟”存在明显的盛衰起伏，在各自的运转中都有高潮期，低潮期和临界期。如人体三节律运行在高潮时，则表现出精力充沛，思维敏捷，情绪乐观，记忆力、理解力强，这样的时机是学习、工作、锻炼的大好时机。这时怀孕所生的孩子一定是聪明伶俐的优生儿。在此期，增加学习、运动量，往往事半功倍。学生节律高潮时考试易取得好成绩，作家易显“灵感”，运动员在此期易破记录。

相反，三节律运行在临界或低潮期，会表现耐力下降，情绪低落，反应迟钝，健忘走神，这时易出车祸和医疗事故，也难在考试中出成绩。老年人发病常在情绪钟低潮期，而许多疾病死亡时间恰在智力、体力、情绪三节律的双重临界日和三重临界日。了解自己三节律的临界日和低潮期，可以在心理上早作准备，以顽强的意志和高度的责任感去克服困难，安然度过临界日和低潮期。

如何计算自己智力、情绪、体力钟的高潮、低潮和临界期呢?以下是一种简算法：

(1) 先算“总天数”即计算出生之日至所计算之日的总天数。公

式：t=(365.25×周岁数)±x。式中“t”表示总天数，“x”表示除周岁数以外的天数。例某人1935年10月15日出生，要计算1987年1月29日的这天生物节律，t=(365.25×52)-259=18734(天)。

(2) 再算“余数”，将前算得的总天数分别除以33、28、23(它们分别是智力、情绪、体力节律周期的天数。)然后得到余数。注意必须用手算，而不要用电子计算机计算。18734/33=567……23(智力钟余数) 18734/28=669……2(情绪钟余数) 18734/23=814……12(体力钟余数)

(3) 当把余数求出之后，如你只需要了解计算日处什么期(高潮期、低潮期、临界期)，最简便的方法是采用“周期天数除以2对照法”，又叫半周期法：33/2=16.5……(智力钟半周期数) 28/2=14.0……(情绪钟半周期数) 23/2=11.5……(体力钟半周期数) 将“余数”与半周期数作比较，若余数小于此种生物钟的半周期数，此生物钟运行在高潮期；若大于半周期数，运行在低潮期；若接近半周期数或整周期，以及余数为零者，则为临界期。了解自己“智力、情绪、体力”三节律的运行周期，可在高潮期最大限度发挥自己的优势，在临界、低潮期早作准备，以防不测。

上例，智力钟余数：23＞16.5为低潮期；情绪钟余数：2＜14.0为高潮期；体力钟余数12＞11.5，数字接近半周期，为临界期。

人体生物钟三节律周期理论是指一个人在自身“水平线”上的波动。当人体三节律处于临界期或低潮期，人确实会感到智力下降、情绪欠安和体力易疲劳感，但人是有理智的，有责任感的。我们了解自