随机信号的功率谱密度
数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度分析-基带1数字随机信号功率谱密度（PSD ）分析－基带1、形如∑a n g (t -nT 0)的基带数字信号的PSD设有随机数字信号x (t )=∑a g (t -nT )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-∞⎪其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t ∈(0,T0) 。
a n 为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。
(1-1)式可以表示一般的基带随机过程。
至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：s (t )=Re x (t )e j ωc t之后使用窄带随机过程理论来分析。
容易知道，(1-1)式所表示的随机过程是以T 0为周期的周期平稳随机过程。
要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。
我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。
下面使用定义来分析(1-1)式表示的随机信号的功率谱密度。
理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：E ⎪X T (f )⎪⎪ P x (f )=lim ⎪其中X T (f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。
E[·]表示取集平均。
按照傅里叶变换的定义：X T (f )=⎪x T (t )e -j 2πft dtx T (t)是对应的截断时间信号。
取T ＝(2N+1)T0，则(1-3)式变为P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪ ⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0因为(1-3)表示的极限存在，所以T 无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。
这里取特殊的按照T 0的倍数增长的方式, 即x T (t)的时间跨度限制为[-NT0,(N+1)T0]，当N →∞时，x T (t)就是x (t)。
于是(1-5)式可以进一步写成P x (f )=limE ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0N →+∞2N +1T ⎪0x T (t 1)e -j 2πft 1dt 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪2⎪⎪E X (2N +1) T 0(f )⎪=E ⎪x T (t )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-N ⎪x T (t 1)e-j 2πft 1x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪∑a g (tT 0+nT 0nT 0T 0-nT 0)ej 2πft 1∑a g (t-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]g (t 2-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]=E [∑a *n =-N Ng (t 1-nT 0)e j 2πft 1dt 1j 2πf (t 1+nT 0)T 0+mT 0=E [∑a n ⎪g (t 1)ea m ⎪g (t 2)e -j 2πf (t 2+mT 0) dt 2]把求和跟积分分离开，得E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪N N T 0T 0⎪-j 2π(m -n ) fT 0⎪-j 2πf (t 2-t 1) *⎪=E a a e g t g t e dt 1dt 2 (1-8) ()()∑∑n m 12⎪⎪⎪0⎪0⎪⎪⎪m =-N n =-N ⎪在上式后项的积分中令变量替换t 2=t1+τ，得⎪⎪g (t )g (t )e-j 2πf (t 2-t 1)dt 1dt 2=⎪g (t 1)g (t 1+τ)dt 1e -j 2πf τd τR g (τ)e -j 2πf τd τ=ψg (f )正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。
随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
功率谱密度psd计算公式
功率谱密度psd计算公式功率谱密度（Power Spectral Density，简称 PSD）是在信号处理领域中一个非常重要的概念，它用于描述信号在不同频率上的功率分布情况。
那咱就来好好聊聊功率谱密度 PSD 的计算公式。
咱先从一个简单的例子说起哈。
就比如说，你在操场上跑步，你跑的速度不是一直不变的，有时候快，有时候慢。
那如果我们想知道你在不同“速度频率”下的能量消耗情况，这时候功率谱密度的概念就派上用场啦。
功率谱密度 PSD 的计算公式呢，通常可以通过傅里叶变换来推导。
对于一个连续的随机信号 x(t) ，它的自相关函数R(τ) 定义为R(τ) =E[x(t)x(t + τ)] ，其中 E 表示数学期望。
然后通过傅里叶变换，把自相关函数R(τ) 变换到频域，就得到了功率谱密度 S(f) 。
具体的公式就是S(f) = ∫_{-∞}^{+∞} R(τ) e^{-j2πfτ} dτ 。
这里面涉及到的傅里叶变换可能听起来有点复杂，但其实咱们可以把它想象成一个魔法工具，能把一个在时间域里看起来很复杂的信号，变到频率域里，让我们更清楚地看到不同频率成分的“力量”有多大。
再比如说，想象一下你听音乐的时候，那些高音低音，其实就相当于不同的频率成分。
功率谱密度就是告诉我们高音和低音分别有多大的“能量”。
在实际应用中，比如在通信系统里，我们需要知道信号在不同频率上的功率分布，来评估系统的性能。
如果功率谱密度在某些频率上太高，可能就会造成干扰；如果太低，可能信号就传不远。
还有在地震学中，通过分析地震波的功率谱密度，我们可以了解地震的能量在不同频率上的分布，从而更好地研究地震的特性和预测可能的危害。
对于工程师们来说，计算功率谱密度就像是在解谜。
他们得处理一堆复杂的数据，运用各种数学工具和算法，才能得到准确的结果。
总之，功率谱密度 PSD 的计算公式虽然有点复杂，但它在很多领域都有着极其重要的作用，帮助我们更好地理解和处理各种信号。
双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度
实验一 双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度1.1 功率谱密度简介平稳过程的任何一个非零样本函数的持续时间为无限长，显然都不满足绝对可积和总能量有限的条件。
因此，它的傅里叶变换不存在即没有频谱函数。
所以我们用功率谱密度来表述其频谱特性。
随机过程的任一实现是一个确定的功率型信号。
而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为：2()()limT f T F P Tωω→∞=式中，()T F ω是f(t)的截短函数()T f t 对应的频谱函数。
f(t)是平稳随机过程()t ξ的一个实现。
而随机过程某一个实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应该看作是任一实现的功率谱密度的统计平均，即2()()[()]lim T fT E F P E P Tξωωω→∞== 虽然该式给出了平稳随机过程的功率谱密度，但我们通常都不利用这个式子来计算功率谱。
我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换。
对于平稳随机过程，也有类似的关系，即()()j P R ed ωτξωττ∞--∞=⎰和1()()2j R P ed ωτξτωωπ∞-∞=⎰对于平稳随机过程我们通常先求出其自相关函数再利用上式求出其功率谱密度。
1.2 实验要求1.了解平稳随机信号功率谱的概念及计算方法；2.利用matlab 仿真不同占空比，等概、非等概双极性矩形随机信号的归一化功率谱密度；3.分析不同型号的功率谱密度中包含的频谱分量，有无直流分量和定时分量信息。
实验源代码：生成tongyuan1函数，duty为占空比，probability为概率function x=tongyuan1(duty,probability)f=10; %模拟信号的频率fs=500;Len=10000; %离散信号的总采样点数N=fs/f; %每个周期内的采样点数%模拟信号的生成和离散信号的采样x=zeros(1,Len); %方波矩阵初始化for i=0:Len-1;x(i+1)=(square(f*2*pi*i/fs,duty)+1)/2;%生成长度为Len的方波end;u=rand(1,Len/N);%将等概率波形变成不同概率波。
随机信号分析__2.3功率谱密度
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
随机信号名词解释
随机信号名词解释一、定义随机信号是指在任何时间都无法确定其确切值的信号。
这种信号的值是随机的，即每个样本函数都是不同的，且遵循某种统计规律。
二、特点1.随机性：随机信号的值是不确定的，其具体取值无法事前预测。
2.统计规律性：尽管随机信号的每个样本函数是不同的，但它们遵循一定的统计规律。
这些规律可以通过概率论和统计学进行描述。
3.功率谱密度：随机信号的功率谱密度是一种描述信号中各种频率分量所占的能量比例的函数。
三、产生方式随机信号可以通过自然现象或人为生成的方式产生。
例如，大气噪声、机械振动、电子噪声等都可以作为随机信号的来源。
此外，也可以通过模拟或数字方式生成具有特定统计特性的随机信号。
四、频谱分析频谱分析是研究随机信号的一个重要手段。
通过对随机信号进行频谱分析，可以了解信号中各个频率分量的能量分布情况，从而更好地理解和处理该信号。
五、相关函数相关函数是描述随机信号之间时间关联性的函数。
如果两个信号在某一时刻之前的值相同或相似，则可以说这两个信号在该时刻是相关的。
相关函数在信号处理、系统分析和物理测量等领域中有着广泛的应用。
六、随机过程随机过程是随机信号的扩展，它不仅考虑单个样本函数的随机性，还考虑多个样本函数之间的相互关系。
随机过程在概率论、统计学、通信工程、金融数学等领域中有着广泛的应用。
七、信号处理对于随机信号的处理，常用的方法包括滤波、预测、估计和编码等。
这些方法可以帮助我们从大量的随机信号中提取有用的信息，或者对信号进行有效的传输和存储。
八、应用领域随机信号在许多领域中都有着广泛的应用，如通信、雷达、声呐、地震学、气象学、经济学等。
在这些领域中，我们需要处理大量的随机信号数据，并从中提取有用的信息。
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
随机振动psd rms计算公式
随机振动psd rms计算公式
随机振动的功率谱密度（PSD）是描述随机信号频谱特性的重要参数，而均方根（RMS）值则表示了信号的有效值。
计算随机振动的PSD RMS值可以使用以下公式：
1. 对于离散信号：
PSD RMS = sqrt(Σ(P_i Δf))。
其中，P_i 为频率分量的功率谱密度值，Δf 为频率间隔。
2. 对于连续信号：
PSD RMS = sqrt(∫(S(f) df))。
其中，S(f) 为频率的功率谱密度函数，对频率进行积分。
另外，对于有限持续时间的信号，还需要考虑窗函数的影响。
常用的窗函数包括汉宁窗、汉明窗等，计算时需要将信号乘以窗函数以减小频谱泄漏的影响。
在实际工程中，通常会使用数值计算软件如MATLAB、Python等来进行PSD RMS值的计算。
通过对信号进行傅里叶变换，并结合上述公式，可以比较方便地得到随机振动的PSD RMS值。
此外，还需要注意信号的采样频率和信号长度对PSD RMS值的影响。
较高的采样频率和较长的信号长度有助于提高计算结果的准确性。
综上所述，计算随机振动的PSD RMS值需要考虑信号的离散或连续特性、窗函数的影响以及采样频率和信号长度等因素，通过适当的数学公式和计算工具可以得到准确的结果。
第4章 随机信号的功率谱密度
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
功率谱密度生成随机信号的方法
功率谱密度生成随机信号的方法
生成随机信号的功率谱密度可以通过以下几种方法进行：
1. 高斯白噪声：可以通过生成服从高斯分布的随机数序列，然后对序列进行傅里叶变换得到频域信号，再求解功率谱密度来生成随机信号的功率谱密度。
2. 随机过程模型：根据已知的随机过程模型，例如自回归模型（AR）、自回归滑动平均模型（ARMA）、自回归移动平均模型（ARIMA）等，可以通过参数估计或拟合来得到随机信号的功率谱密度。
3. 滤波方法：通过对随机信号进行滤波操作，可以达到改变功率谱密度的目的。
可以采用低通、高通、带通、带阻等滤波器进行滤波，从而生成具有特定功率谱密度的随机信号。
4. 频谱修正方法：采用频谱修正的方法可以改变随机信号的功率谱密度。
具体做法是在频域对随机信号的频谱进行修改，例如加窗操作、滤波等，从而得到预期的功率谱密度。
以上是常见的几种生成随机信号功率谱密度的方法，具体选择取决于所需的随机信号特性和应用场景。
功率谱密度的定义
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
如何用MATLAB绘制功率谱密度图形？随机产生一次数据x=randn（1，1024*8）求功率谱密度。
如何应用MATLAB画出来横坐标为频率（Frequency(hz)））纵坐标为功率谱密度（Power Spectrum Magn itude (dB))的图形？MATLAB程序为：function [t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K)% 输入参数：% Trg : 二维矢量，两个元素分别表示时域信号的起止时间；% N : 时域抽样数量；% OMGrg: 二维矢量，两个元素分别表示频谱的起止频率；% K : 频域抽样数量。
% 输出参数：% t : 抽样时间；% omg : 抽样频率；% FT : 实现傅里叶变换的矩阵~U~及系数；% IFT : 实现傅里叶逆变换的矩阵~V~及系数。
T = Trg(2)-Trg(1);t = linspace(Trg(1),Trg(2)-T/N,N)';OMG = OMGrg(2)-OMGrg(1);omg = linspace(OMGrg(1),OMGrg(2)-OMG/K,K)';FT = T/N*exp(-j*kron(omg,t.'));IFT = OMG/2/pi/K*exp(j*kron(t,omg.'));end在另一个脚本文件中：clc;clear ;close all;N=1024*8;K=500;OMGrg=[0,100];Trg=[0,1];[t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K);% f0=10;% f=sin(2*pi*f0*t);f=randn(N,1);F=FT*f;figure;plot(t,f);figure;plot(omg/2/pi,abs(F).^2);高斯白噪声的功率谱理论上为一直线，除非它是在某些特定情况下成立，比如经过了滤波器。
随机信号号的分析—功率谱密度（可编辑）
随机信号号的分析?功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程,为其实现,因为功率信号,所以也为功率信号,因为任意的确定功率信号,它的功率谱密度可表示成,2.3-1式中,是的截短函数之频谱函数。
图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言,它的每一实现也将是功率信号,而每一实现的功率谱也可以由式2-3-1表示。
但是,随机过程中的每一实现是不能预知的,因此,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。
设的功率谱密度为,的某一实现之截短函数为,且,其中:,于是有则称为的功率谱密度。
功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值,方差和相关函数等,描述的是连续随机信号在时间域上的特征,那么,随机信号在频域的数字特征是什么?如何计算的?它与时域特征有什么关系?1、功率密度谱设Xt为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数xt是一个功率信号,其平均功率可以定义为: (9.2.20)? 依据帕斯瓦尔定理,设表示的傅立叶变换,则上式可表示为9.2.21? 式中称为样本功率密度或样本功率谱。
由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号Xt的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。
定义10? 平稳的连续随机信号Xt的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即(9.2.22)维纳?欣钦(Wiener-Khinchine)定理若Xt为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对,即( )。
(9.2.23)9.2.242、互谱密度同理,在频域描述两个随机信号Xt和 Yt相互关联程度的数字特征,可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。
而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对( ),其中(9.2.25) 9.2.262FSK信号的功率谱密度的特点2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。
随机信号分析3.4功率谱密度
Rt , t dt
T T
P A[ R(t , t )]
1 A lim T 2T
记算术平均算子
dt
T T
2.定义与性质
{ X (t ), t T } 的自相关函数 Rx 定义3.7 平稳信号 的傅立叶变换
S x Rx e j d
R( ) S ( )
证明见书本P77
E
1 2 x (t )dt 2
X ( j ) d
2
②对于功率型信号，定义功率谱密度为
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
3.维纳-辛钦定理的证明
E
1 x (t )dt 2
2
X ( j ) d
2
1 2 S ( ) lim X T ( j ) T 2T
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
SYX ( ) RYX ( )e j d
它们简称为互功率谱。 互功率谱常常是复数，它反映了两个信号的关联性沿 的密度状况。 S XY ( ) 很大，两信号的相应频率分量关联度很高。 S XY () 0 ，表明它们响应频率分量是正交的。
式中，X T ( j) 是 xT (t ) 的傅立叶变换，而 xT (t ) 称为 截断信号，它是从 x(t ) 上截取的 T ,T 段， 它在 T ,T 区间以外为零，如图
3.维纳-辛钦定理的证明
3.维纳-辛钦定理的证明
对于随机信号X (t ) ，记其样本函数为 X (t , ) ， 则样本功率为
R( ) S ( )
随机信号的功率谱密度
三、相干函数
白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
4.5 白噪声与白序列
白噪声的自相关函数：
白噪声的相关系数 为:
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
性质一：
性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
二、互谱密度的性质
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
02
S()与s(t)满足Parseval定理：
03
4.1 功率谱密度
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
图：f(t)及其截断函数
fT(t)的傅立叶变换存在：
W是样本函数的平均功率
将上式代入信号平均功率表达式中得:
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率； 描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。
若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：
4.8 功率谱密度的计算举例
教材P102—P106： 例4.8—例4.10
数字信号处理 随机信号的功率谱密度
Sxy()
lim
T
1 2T
E
Fx (,T )Fy (,T )
互谱密度只是一种数学上的处理，不像功率谱密度有明确的
物理含义它主要是从频域来描述两个平稳过程的相关性，与
互相关函数
构成傅立叶变换对，即：
Rxy ( )
Sxy
Rxye
j
d
Rxy (
)
实际上是不可能得到这种理想得白噪声的。 作为相关函数和功率谱有关特性的应用，这里介绍利用相关 函数的特性从背景噪声中提取周期信号的例子。
由前述可知，一个周期信号，其相关函数也是周期 的。如果噪声信号为白噪声，则其自相关函数是非周期的， 白噪声的相关函数为：Rum k ( ) 即 0时，其相关函 数为零。 如果信号是由周期信号和白噪声n(t)所构成，即：x(t) r(t) n(t) 且r(t)与n(t)相互统计独立，则：
Sx () S0
(9 91)
求其自相关函数。
解：用（9－89）式得：
Rx (
)
1
2
S
x
(
)e
j
d
S0 e j d
2
S0 ( )
Rx (0) E x2
可见白噪声在 0时，其自相关函数为无穷大；而在 0 时R，x ( ) 0 ，即表明x(t)在 t1 t2时x(t1)与x(t2)是不相关得。
Rn ( )
0
2
e 0
对 Rn ( ) 作傅氏变换，得噪声的功率谱为：
Sn
(
)
1
1
2 02
随机信号的功率谱密度
/2
0
2
cos(20 t )d
a2 a2 sin(20 t) 2
所以, X(t)不是平稳过程
当 X ( t ) 为平稳过程时，则 故有
1 P E[ X (t )] RX (0) 2
2
E[ X 2 (t )] RX (0) 常数，
G X ( )d
维纳－辛钦定理
物理谱密度 由于平稳随机过程的自相关函数RX(τ )是τ 的偶函数， 则Gx(ω ) 为： G X ( ) 2 R X ( ) cos d 0 所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx(ω ) 应分布在 -∞到∞的频率范围内，而实际 上负频率 ( 即ω <o) 并不存在。我们有时也采用另一种 功率谱密度，即“单边”谱密度，也称作“物理”功 率谱密度，记作Fx(ω )。 2G X ( ), 0 FX ( ) 0 0, 随机过程消耗在1Ω电阻上的平均功率可写成
均方值的时间平均:平均功率。
4.1 已知，过程X(t)的为 a, 0 是常数, 在 0 /2 上均匀分布 求X(t)的平均功率。
解：
2 2 2 E a cos (0 t ) 2 2 E a cos (0 t )
a2 a2 2 2
2 1 x t dt 2 Fx d 等式左边表示x t 在 , 上的总能量， 2
而右边的被积函数 Fx 在频率域中表示在
2
圆频率处的能谱密度。
但在工程技术中，通常总能量
x 2 t dt ,
功率谱密度可表示为
T 1 T jt1 S X ( ) lim E x(t1 )e dt1 x(t2 )e jt2 dt2 T T 2T T 1 T T jt1 jt2 lim E x ( t ) x ( t ) e e dt1dt2 1 2 T 2T T T
随机信号分析基础第四章习题
A2RX ( ) B2RY ( ) ABRXY ( ) ABRYX ( )
由维纳辛钦定理可得： GW () A2GX () B2GY () ABGXY () ABGYX ()
4.5 功率谱估值的经典方法 1. 平滑法
将全部数据用来计算出—个周期图，然后在频域将其平滑
G (i )
1 2L 1
iL
Gˆ N
j i L
(
j)
窗口根据实际情况选择
4.5 功率谱估值的经典方法
谱估值的一些实际问题
1.数据采样率 2.每段数据的长度L 3.数据总长度 4.数据预处理 a.把无用的直流分量和周期分量(比如市电干扰)去掉 b.处理前还应去掉信号中的“趋势项”，比如电生理记录
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX () GX ()
性质4： GX ' ( ) 2GX ( )
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
随机信号的功率谱密度
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ d ω
功率谱密度性质
1.非负 非负 2.实函数 实函数 3.实随机过程， 3.实随机过程，偶函数 实随机过程 4.可积 可积
S X (ω ) ≥ 0
S X (ω )＝S X (－ω )
∫
∞
−∞
S X (ω )dω < ∞
互谱密度性质
0 < P平均 < ∞
功率谱
S X (ω ) = lim
1 2 E[ X T (ω ) ] T →∞ 2T
功率谱函数的关系、 与自相关函数的关系、推导
互谱密度
定义
S XY ω）＝ lim （ 1 * E X X (T , ω ) X Y (T , ω ) T →∞ 2T
性质
与互相关函数的关系
功率谱估值
周期图法
又
N 1 lim 平稳随机序列与自相关函数关系为 S（ω）= N →∞ E{ ∑N X (n)e− jwn } X 2 N + 1 n =− 2
S（ω）= ∑ R X (n)e − jwn X
n =− N
N
当 X (n) 为各态历经序列时，可去掉上式 为各态历经序列时， 中的统计均值的计算 1 2 ˆ S X (ω ) = X N (ω ) N
1.对称性 对称性
* * S XY (ω ) = SYX ( −ω ) = SYX (ω ) = S XY (−ω )
2.奇偶性 Re[ S XY (ω )] = Re[ SYX (−ω )] = Re[ SYX (ω )] = Re[ S XY (−ω )] 奇偶性 Im[ S XY (ω )] = Im[ SYX (−ω )] = − Im[ SYX (ω )] = − Im[ S XY (−ω )] 3.正交，互谱密度为零 正交， 正交 4.不相关，且 mX , mY ≠ 0 则有 S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π mX mY δ (ω ) 不相关， 不相关 5. S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
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