2009“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组复试题

2009年数学解题能力展示(迎春杯)中年级组复赛试题及详细解析

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题（活动时间：2009年2月4日11：00—12：00；满分120分）（请将答案填入答题卡中）一、填空题（每题8分）1. 200917123+⨯＝_____________．2. 右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．3. 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．4. 如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有_____________场平局．6. 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.7.过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。

其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．8.早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行．9点20时两人相距10千米，10点时，两人相距还是10千米．11点时小明到达乙地，这时小强距甲地_____________千米．三、填空题（每题12分）9.一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和．这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么前8项的和是_____________．10.幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．11.在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．12.客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择．2009年迎春杯中年级组复试试卷解析一、填空题（每题8分） 1.123172009⨯+＝_____________．【分析】 123172009⨯+4131741494151494100=⨯⨯+⨯=⨯+=（）2.右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．a) （方法一）这个题目涉及到“倒立看”和从“镜中看”两种情况，我们可以分步进行分析，采用倒推的方法找到小杰的号码．倒立看到的镜中号码镜中小杰的号码小杰的号码（方法二）也可以从纸张的背面，倒着看．3.由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．【分析】这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．4.如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米． a) 所求的周长之和＝原长方形的周长2+⨯虚线的总长度．原长方形的周长＝(1210)244+⨯=（厘米），虚线的总长度＝10(1234)325+--⨯=（厘米），则所求周长之和＝4422594+⨯=（厘米）．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有【分析】六个足球队进行单循环比赛，总共有5432115++++=（场）比赛．平局的两队总分为112+=（分），非平局总分为033+=（分），因此，如果全是非平局总分有1534⨯=（分），否则多一场平局少1分．如果得分的等差数列公差为1，则这六个队的总分为87345+⨯=（）（分），有0场平局，与第3名得8分不符．如果得分的等差数列公差为2，则这六个队的总分为86342+⨯=（）（分），有45423-=（场）平局．6.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.a) 根据题意有：621⑨⑧⑦⑥⑤④③②①由6=②号的整数倍知：②号只能填3．由639+==③号的整数倍知：③号只能填9．又由6392121++++==⑥号的整数倍知：⑥号只能填7．同理可得其它序号上的数，填法如下：987654321⑨⑧⑦⑥⑤④③②①7.过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．【分析】假如给小强的是智力拼图，则有2543120⨯⨯⨯=（种）方法．假如给小强的是遥控汽车，则有154360⨯⨯⨯=（种）方法．总共有12060180+=（种）方法．8.早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行．9点20时两人相距10千米，10点时，两人相距还是10千米．11点时小明到达乙地，这时小强距甲地_____________千米．a) 由题意知：9:208:0080-=（分钟），则全程=速度和8010⨯+，又由“10点时，两人相距还是10千米”知：过20分钟，两人相遇且合走了：速度和2010⨯=（千米），那么全程=（速度和20⨯）41050⨯+=（千米），从早上8点到11点，两人合走了：速度和180⨯=（速度和20⨯）910990⨯=⨯=（千米），这时小强距甲地是：5029010⨯-=三、填空题（每题12分）9. 一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和．这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么前8项的和是_____________．【分析】把这个数列从第一项开始依次记为：1a ，2a ，3a ，则有：312a a a =+ 423a a a =+ 534a a a =+1098a a a =+ 将上面7个式子相加，有34510239128a a a a a a a a a a ++++=+++++++（）（）将左右两边相同的项消去，则有102128a a a a a =++++（）得1281022009391970a a a a a +++-=-==．10. 幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友． a) 画线段图分析，由题意知：从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：16580⨯=（块），小朋友的人数是：80810÷=（人）．那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．【分析】为表述方便，将圆圈中数用字母替代（如右图）．根据题意，有 234a f ++=★ ⑴ 234bc ++=★ ⑵ 234e d ++=★⑶ 234a b e ++=⑷ 234c d f ++=⑸⑴+⑵+⑶-⑷-⑸，有3234⨯=★，即234378=÷=★．12. 某次武林大会有九个级别的高手参加，按级别从高到低分别是游侠、火枪手、骑士、剑客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择． a) 现在总共是有14个人，且分为五组，则必然是下面的这种情况：第组第组第组第组组第⑤④③②①。

2014“数学解题能力展示”读者评选活动复赛试题(有解析)

2014“数学解题能力展示”读者评选活动复赛试题小学六年级（2014年2月6日）一、选择题（每小题8分，共32分）1. 算式5258+172014201.42⨯÷-⨯的计算结果是（）．A ．15B ．16C ．17D ．182. 对于任何自然数，定义!123n n =⨯⨯⨯⨯．那么算式2014!3!-的计算结果的个位数字是（）．A ．2B ．4C ．6D ．83. 统统在计算有余数的除法时，把被除数472错看成了427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，那么这个余数是（）．A ．4B ．5C ．6D ．7 4. 右图中，正八边形ABCDEFGH 的面积为1，其中有两个正方形ACEG 和PQRS ．那么正八边形中阴影部分的面积（）． A ．12 B ．23 C ．35 D ．58二、选择题（每题10分，共70分）5. 右面竖式成立时的除数与商的和为（）．A ．589B ．653C ．723D ．7336. 甲、乙、丙三人进行一场特殊的真人CS 比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙，以后的射击过程中，若甲被击中一次，则甲可以有6发子弹射击乙或丙，若乙被击中一次，则乙可以有5发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有4发子弹射击甲或乙，比赛结束后，共有16发子弹没有击中任何人？则甲、乙、丙三人被击中的次数有（）种不同的情况．A ．1B ．2C ．3D ．4 7. 甲、乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N ，然后由甲开始，轮流把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N 整除，乙胜；否则甲胜．当N 小于15时，使得乙有必胜策略的N 有（）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8HA1264208. 在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转180度，数值不变，如0、11、96、888等，我们把这样的数称为“神马数”．在所有五位数中共有（）个不同的“神马数”． A ．12 B ．36 C ．48 D ．60 9. 如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a （3n ≥ ），则34511112014++++6051n a a a a =，那么n =（）． A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．201710. 如右图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE =．那么，三角形ACE 的面积是（）平方厘米．A ．1325B ．1400C ．1475D ．150011. 11．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车．甲行驶了60千米后和乙车在C 点相遇．此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶．那么当甲车到达B 地时，甲乙两车最远相距（）千米． A ．10 B ．15 C ．25 D ．30三、选择题（每题12分，共48分）12. 在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务，五个参加任务的孩子（天天、石头、Kimi 、Cindy 、Angela ）需要换爸爸（每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位），那么最终五人有（）种不同的选择结果． A ．40 B ．44 C ．48 D ．5213. 老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是（）． A ．188 B ．178 C ．168 D ．15814. 从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．FEDCBA(4)(3)(2)(1)A．8 B．9 C．10 D．1115.老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了A F六个聪明诚实的同学．A和B同时说：“我知道这个数是多少了．”C和D同时说：“听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．”E：“听了他们的话，我知道我的数一定比F的大．”F：“我拿的数的大小在C和D之间．”那么六个人拿的数之和是（）A．141 B．152 C．171 D．1752014“数学解题能力展示”读者评选活动复赛试题小学六年级参考答案部分解析一、选择题（每小题8分，共32分）1．算式5258+172014201.42⨯÷-⨯的计算结果是（）．A．15B．16C．17D．18【考点】计算【难度】☆☆【答案】D【解析】5258+1200 1.4201.41 72014201.42201.410201.42201.488⨯÷+=== -⨯⨯-⨯⨯2．对于任何自然数，定义!123n n=⨯⨯⨯⨯．那么算式2014!3!-的计算结果的个位数字是（）．A．2 B．4 C．6 D．8【考点】定义新运算【难度】☆☆【答案】B【解析】2014!个位数字是0，3!1236=⨯⨯=，所以2014!3!-个位是4．3．童童在计算有余数的除法时，把被除数472错看成了427，结果商比原来小5，但余数恰好相同，那么这个余数是（）．A．4 B．5 C．6 D．7【考点】整除同余【难度】☆☆ 【答案】A【解析】除数=(472427)59-÷=，4724(mod9)≡，所以余数是4．4．下图中，正八边形ABCDEFGH 的面积为1，其中有两个正方形ACEG 和PQRS ．那么正八边形中阴影部分的面积（）．A ．12 B ．23 C ．35 D ．58【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】A【解析】等积变形．所以刚好各占一半．二、选择题（每题10分，共70分）5．右面竖式成立时的除数与商的和为（）．H AH AAH H AA ．589B ．653C ．723D ．733 【考点】数字谜【难度】☆☆☆ 【答案】C【解析】首先根据倒数第三行可以确定0A =，4B =；再根据顺数第三行最后一位为1可以确定，第一行D 和C 的取值为（1，1）或（3，7）或（9，9）或（7，3），根据尝试只有（1，1）符合题意．再依次进行推理，可得商和除数分别为：142和581．6．甲乙丙三人进行一场特殊的真人CS 比赛，规定：第一枪由乙射出，射击甲或者丙，以后的射击过程中，若甲被击中一次，则甲可以有6发子弹射击乙或丙，若乙被击中一次，则乙可以有5发子弹射击甲或丙，若丙被击中一次，则丙可以有4发子弹射击甲或乙，比赛结束后，共有16发子弹没有击中任何人？则甲乙丙三人被击中的次数有（）种不同的情况．A ．1B ．2C ．3D ．4 【考点】不定方程【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】设甲乙丙分别被击中x 、y 、z 次则三人分别发射6x 、51y +，4z 次[6(51)4]()16x y z x y z +++-++=化简得54315x y z ++=126420241ECB A 60D22112611322440854815252824160120但第一组和第四组不合理，舍去．选B ．7．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数N ，然后由甲开始，轮流把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字之一填入下面任一方格中：□□□□□□，每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数能被N 整除，乙胜；否则甲胜．当N 小于15时，使得乙有必胜策略的N 有（）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【考点】数论【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】若N 是偶数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑N 是奇数．1N =，显然乙必胜．39N =，，乙只需配数字和1-8，2-7，3-6，4-5，9-9即可．5N =，甲在个位填不是5的数，乙必败．71113N =，，，乙只需配成100171113abcabc abc abc =⨯=⨯⨯⨯．8．在纸上任意写一个自然数，把这张纸旋转180度，数值不变，如0、11、96、888等，我们把这样的数称为“神马数”．在所有五位数中共有（）个不同的“神马数”． A ．12 B ．36 C ．48 D ．60 【考点】数论【难度】☆☆☆ 【答案】D【解析】设这个数为ABCBA ，A 位可以填11,88,69,96，4种情况，B 位可以填00,11,88,69,96，5种情况，C 位可以填0,1,8，3种情况，453=60⨯⨯（个）．9．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，……，依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为n a （3n ≥ ），则34511112014++++6051n a a a a =，那么n =（）．A ．2014B ．2015C ．2016D ．2017 【考点】找规律【难度】☆☆☆ 【答案】C【解析】33(22)34a =⨯+=⨯，44(23)45a =⨯+=⨯，55(24)56a =⨯+=⨯，……(21)(1)n a n n n n =⨯+-=+ ，34511111111120143445(1)316051n a a a a n n n ++++=+++=-=⨯⨯⨯++，12017n +=，2016n = ．10．如右图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE =．那么，三角形ACE 的面积是（）平方厘米．A ．1325B ．1400C ．1475D ．1500 【考点】几何【难度】☆☆☆ 【答案】A【解析】作正方形ABCD 的“弦图”，如右图所示，(4)(3)(2)(1)FEDCB A假设CD 的长度为3a ，DE 的长度为2a ，那么3BG a =，2DG a =，根据勾股定理可得2222229413BD BG DG a a a =+=+=，所以，正方形ABDF 的面积为213a ；因为CD EF =，BC DE =，所以三角形BCD 和三角形DEF 的面积相等为23a ；又因为五边形ABCEF 面积是2014平方厘米，所以222136192014a a a +==，解得2106a =，三角形ACE 的面积为：2255522a a a ⨯÷=，即2510613252⨯=．11．甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车．甲行驶了60千米后和乙车在C 点相遇．此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶．那么当甲车到达B 地时，甲乙两车最远相距（）千米． A ．10 B ．15 C ．25 D ．30 【考点】行程问题【难度】☆☆☆ 【答案】A【解析】假设甲走60千米时，乙走了a 千米，甲到达B 地时，乙车应走26060a a a ⨯=千米，此时甲、乙相差最远为1(60)6060a a a a -=⨯-⨯，和一定，差小积大，60a a -=，30a =．甲、乙最远相差900301560-=（千米）．三、选择题（每题12分，共48分）12．在“爸爸去哪儿”的节目中有一个任务，五个参加任务的孩子（天天、石头、Kimi 、Cindy 、Angela ）需要换爸爸（每个小朋友可以选择除了自己爸爸之外其他四位父亲中的任何一位），那么最终五人有（）种不同的选择结果． A ．40 B ．44 C ．48 D ．52 【考点】排列组合【难度】☆☆☆ 【答案】B【解析】设五个爸爸分别是A B C D E 、、、、，五个孩子分别是a b c d e 、、、、，a 有4种选择，假设a 选择B ，接着让b 选择，有两种可能，选择A 和不选择A ，（1）选IH GFEDCBA择A ，c d e 、、选择三个人错排，（2）不选择A ，则b c d e 、、、选择情况同4人错排．所以5434()S S S =⨯+ 同理4323()S S S =⨯+ ，3212()S S S =⨯+，而10S =（不可能排错），21S =，所以32S =，49S =，544S =．13．老师在黑板上从1开始将奇数连续地写下去，写了一长串数后，擦去了其中的两个数，将这些奇数隔成了3串，已知第二串比第一串多1个数，第三串比第二串多1个数，且第三串奇数和为4147，那么被划去的两个奇数的和是（）． A ．188 B ．178 C ．168 D ．158 【考点】数论【难度】☆☆☆ 【答案】C【解析】设第一段有n 个，则第2段有1n +个，第一个擦的奇数是21n +，第二个擦的奇数是45n +，和为66n +，是6的倍数．只有168符合．14．从一张大方格纸上剪下5个相连的方格（只有一个公共顶点的两个方格不算相连），要使剪下的图形可折叠为一个无盖的正方体，则共可以剪出（）种不同的图形（经过旋转或翻转相同的图形视为同一种）．A ．8B ．9C ．10D ．11 【考点】立体几何【难度】☆☆☆ 【答案】A 【解析】如下图15．老师把某个两位数的六个不同约数分别告诉了A F 六个聪明诚实的同学．A 和B 同时说：“我知道这个数是多少了．”C 和D 同时说：“听了他们两人的话，我也知道这个两位数是多少了．”E ：“听了他们的话，我知道我的数一定比F 的大．” F ：“我拿的数的大小在C 和D 之间．”那么六个人拿的数之和是（）A．141 B．152 C．171 D．175【考点】数论【难度】☆☆☆☆【答案】A【解析】（1）这个数的因数个数肯定不低于6个（假定这个数为N，且拿到的6个数从大到小分别是A B C D E F、、、、、）（2）有两个人同时第一时间知道结果，这说明以下几个问题：第一种情况：有一个人知道了最后的结果，这个结果是怎么知道的呢？很简单，他拿到的因数在5099之间（也就是说A的2倍是3位数，所以A其实就是N）第二种情况：有一个人拿到的不是最后结果，但是具备以下条件：1）这个数的约数少于6个，比如：有人拿到36，单他不能断定N究竟是36还是72．2）这个数小于50，不然这个数就只能也是N了．3）这个数大于33，比如：有人拿到29，那么他不能断定N是58还是87；这里有个特例是27，因为272=54⨯，因数个数⨯，因数个数不少于6个；273=81少于6个，所以如果拿到27可以判断N只能为54）4）这个数还不能是是质数，不然不存在含有这个因数的两位数．最关键的是，这两人的数是2倍关系但是上述内容并不完全正确，需要注意还有一些“奇葩”数：17、19、23也能顺利通过第一轮．因此，这两个人拿到的数有如下可能：（54，27）（68，34）（70，35）（76，38）（78，39）（92，46）（98，49）（3）为了对比清晰，我们再来把上面所有的情况的因数都列举出来：（54，27，18，9，6，3，2，1）（68，34，17，4，2，1）（×）（70，35，14，10，7，5，2，1）（76，38，19，4，2，1）（×）（78，39，26，13，6，3，2，1）（92，46，23，4，2，1）（×）（98，49，14，7，2，1）对于第一轮通过的数，我们用红色标注，所以N不能是68、76、92中的任意一个．之后在考虑第二轮需要通过的两个数．用紫色标注的6、3、2、1，因为重复使用，如果出现了也不能判断N是多少，所以不能作为第二轮通过的数．用绿色标注的14和7也不能作为第二轮通过的数，这样N也不是98．那么通过第二轮的数只有黑色的数．所以N只能是54、70、78中的一个．我们再来观察可能满足E和F所说的内容：（54，27，18，9，6，3，2，1）（70，35，14，10，7，5，2，1）（78，39，26，13，6，3，2，1）因为F说他的数在C和D之间，我们发现上面的数据只有当70F=，N=的时候，7在C D、(10和5)之间，是唯一满足条件的一种情况．又因为E确定自己比F的大，那么他拿到的数一定是该组中剩余数里最大的．所以E拿到的是14（70N=）．所以70N=，六个人拿的数之和为：70+35+14+10+7+5=141．。

2011年数学解题能力展示读者评选活动初一年级组复试试卷

2011年“数学解题能力展示”读者评选活动初一年级组复试试卷（测评时间：2011年1月30日14：00—15：30）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果，否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议签名：____________________一．填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. 计算：()()()()432131 2.522430.25⎡⎤−−−−÷−+×−⎢⎥⎣⎦=−+． 2. 如图，已知60o AOF ∠=，那么A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠的值是度．3. 设12,,,n x x x "可以取3,0,1−中的一个数，且22212279n x x x +++="，33312585n x x x +++=−"．则444123n x x x ++++"的值为．4. 若一个整式中有n 个不同的字母，则称此整式为n 元整式，例如：23x y +为二元整式．那么，在所有三元二次整式中，项数最多有项．5. 从1开始的连续自然数按如图所示的方式排列起来，如果表中某个数比它正上方那个数的2倍少26，就称这个数是“好数” ．那么最小的“好数”是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6. 如图，在ABC Δ中，80A ∠=°，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，2A BC ∠的平分线与2A CD ∠的平分线交于点3A ，则3BA C ∠= ．D1 2 3 4 561211 10 9 871314 15 16 1718…7. 方程123450x −−−−−=的所有解之和为．8. 已知a ，b ，c ，d 都是不大于2010的非负数，A ，B ，C ，D 分别是第一个数、前两个数、前三个数、前四个数的平均数，那么()()a b c d A B C D +++−+++的最大值等于．9. 已知12345,,,,x x x x x 是非负整数，且123452011x x x x x ++++=，若M 是12233445,,,x x x x x x x x ++++的最大值，则M 的最小值为．10. 如图，大正方形被分成了面积相等的四块．若AB 长为3厘米，则大正方形的面积为平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 将1~1000中9的倍数排列成一个多位数，要使这个多位数尽可能大，那么从前往后看，它的第9位数字与第50位数字的和是．12. 有一个整数，它恰好是它的正约数个数的25倍．则这个整数的最小值是．13. 对于任意有理数,a b ，不等式max{||,|2|,|1000|}a b a b b c +−−≥恒成立，则常数c 的最大值是．（max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大值）14. 一个微型机器人最开始在数轴上的原点，按如下规则运动：（1）每1步走整数个单位长，向左、向右任意选择；（2）第1步走1个单位长；（3）若前1步不动，则这1步走1个单位长；（4）若前1步向左走n 个单位长，则这1步走n －1个单位长；（5）若前1步向右走n 个单位长，则这1步走n ＋1个单位长．那么，当微型机器人走完2011步时，距离原点距离的最小值是．15. 从1,2,3，…，2000中取出n 个数，若存在一个不大于1000的正整数m ，使得这n 个数中任意两个数差的绝对值都不等于m ，则n 的最大值为．。

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题

2009“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题（活动时间：2009年2月4日11：00—12：00；满分120分）（请将答案填入答题卡中）一、填空题（每题8分）1. 200917123+⨯＝_____________．2. 右图是体操运动员小燕倒立时看到镜子中另一正常站立的运动员小杰的号码，则小杰的号码是_____________．3. 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________． 4. 如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪为两部分，这两部分的周长之和是_____________厘米．二、填空题（每题10分）5. A,B,C,D,E,F 六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有 _____________场平局．6. 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_____________.7. 过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。

其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．8. 早上8点，小明和小强从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行．9点20时两人相距10千米，10点时，两人相距还是10千米．11点时小明到达乙地，这时小强距甲地_____________千米．三、填空题（每题12分）4厘米9.一个数列，从第3项起，每一项都等于其前面两项的和．这个数列的第2项为39，第10项为2009，那么前8项的和是_____________．10.幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．11.在下图中，在每个圆圈中填入一个数，使每条直线上所有圆圈中数的和都是234，那么标有★的圆圈中所填的数是_____________．12.某次武林大会有九个级别的高手参加，按级别从高到低分别是游侠、火枪手、骑士、剑客、武士、弓箭手、法师、猎人、牧师．为公平起见，分组比赛的规则是：两人或三人分为一组，若两人一组，则这两人级别必须相同；若三人一组，则这三名高手级别相同，或者是连续的三个级别各一名．现有13个人，其中有三名游侠、三名牧师，其它七类高手各一名．若此时再有一人加入，所有这些人共分为五组比赛，那么新加入这个人的级别可以有____________种选择．答案：⑴4100 ⑵5006 ⑶33 ⑷94 ⑸3 ⑹5 ⑺180 ⑻10 ⑼1970 ⑽10 ⑾78 ⑿9。

09迎春杯高年级复试试题答案详解

高年级组复试题（活动时间：2009年2月4日8：30——10：00；满分150分）填空题（每小题10分，共150分，请将答案填入答题卡中）；1. 计算：2121286÷64762530×137012829=_____。

答案：5解：原式28725304199741251123131719 21375 2861582728292111377171932341××××××=×××=××××=×××××××注：因答题卡中数字均为整数，此题也可用估算。

将2121286看成21,将64762530看成6,将137012829看成1.5,将此式变为：21÷6×1.5＝5.25,答案在5附近，而分子中有2530这一项，分母相乘的个位数字是8（6×7×9）,要想结果是整数，答案只有5符合。

2．在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立，已知商为奇数，那么除数为___________答案：136解：由□□□□－□□2＝□0可得：10□2-9□2＝□0再结合除数与商的个位乘积为9□□,所以商的百位和个位数字相同。

结果是奇数，所以有1,3,5,7,9这五种情况。

商的个位为1时，除数为902,但□0□-902＝9□处矛盾。

商个位为3时，除数可能为304,314,324,只有304乘以1可得中间为0的数。

304×3＝912,而10□2-912不可能为40商个位为5时，积不可能个位数为2商个位为7时，积可能是972,除数为972÷7＝136,此时试验可得正确解。

商个位为9时，积可能为972,除数为972÷9＝108,下面由□0□-□0□＝9□及退位规则可知，此时无解。

第1-29届历届小学“迎春杯”真题word版

目录第1届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题... .............................................................. . 1 第2届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 5 第3届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .............................................................. . 8 第4届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 10 第5届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 11 第6届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 13 第7届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 16 第8届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 18 第9届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ............................................................ .. 20 第10 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (23)第11 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... ........................................................... (25)第11 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... ........................................................... (27)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (29)第12 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (31)第13 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (33)第13 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (35)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (37)第14 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (39)第15 届“迎春杯”数学竞赛初赛试题... .......................................................... (41)第15 届“迎春杯”数学竞赛决赛试题... .......................................................... (43)第16 届“迎春杯”数学科普活动日区县邀请赛试题... .................................. (45)第17 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 47 第18 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 50 第19 届“迎春杯”数学科普活动日计机交流试题... ....................................... . 52 第19 届“迎春杯”数学科普活动日队际交流试题... ....................................... . 54 第20 届“迎春杯”数学科普活动日试题... ....................................................... .. 55 第21 届“迎春杯”数学科普活动日解题能力展示初赛试题... ...................... (57)第21 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动复试计算机交流试题... (58)第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级初试试题... ..... .. 60 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示读者评选活动中年级复试试题... ..... .. 62 第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 64第22 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 66第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级初试试题... .............. . 69第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 71第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级初试试题... .............. . 73第23 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 75第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 77第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 79第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 81第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 83第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 85第24 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .............. . 88第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .............. . 90第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .............. . 92第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .............. . 94第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .............. . 96第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .............. . 98第25 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 100 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 102 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 104 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 106 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... ........... .. 108 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... ........... .. 110 第26 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... ........... .. 112 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... ........... .. 114 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... ........... .. 116 第27 届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... ........... .. 118第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 122 第 27届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 124 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 126 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 128 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 130 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 132 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 134 第 28届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 136 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动三年级初试试题... .......... .. 138 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动四年级初试试题... .......... .. 140 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动中年级复试试题... .......... .. 141 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动五年级初试试题... .......... .. 143 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动六年级初试试题... .......... .. 144 第 29届“迎春杯”数学解题能力展示评选活动高年级复试试题... .......... .. 145第 1 届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题1．天安门广场是世界上最大的广场，面积约44万平方米，合____亩。

2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷

2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日8：30—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. =⨯-⨯+1457266.22010 ． 2. 下表是人民币存款基准利率表．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存3. 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．4. 有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功,每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻千克．5. 在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分） 6. 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC 和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE 如图摆放．M 为AE 的中点，则△ACM 的面积为平方厘米．7. 黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5．每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；……）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是．8. 蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如新品种 25% 旧品种图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有种方法．9. 在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击次．10. 如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于_________平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是． 12. 现有一块L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米． 13. 小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程千米．14. 9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．15. 小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有个肥皂泡出现．答案：（1）2058（2）10999(3)43(4)20000(5)1080(6)53(7)8(8)30(9)6(10)105(11)1369(12)80(13)288(14)50(15)102610厘米 20厘米 30。

数学解题能力展示读者评选活动复试

2006年“数学解题能力展示”读者评选活动复试小学高年级组2006年2月4日9：00－10：00一．在下面乘法竖式的每个方格中填入一个非零数字，使算式成立。

那么，乘积的最大值等于。

（A ）6292 （B ）6384 （C ）6496 （D ）6688二．a b c d e 、、、、这五个数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3，0.6，1.5，1.8，2，5，6，10，12，30。

将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是。

（A ）0.3 （B ）0.5 （C ）1 （D ）1.5三．有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为。

（A ）169 （B ）144 （C ）121 （D ）100四．在下边的乘法算式中，“二”、“月”、“四”、“日”、“数”、“学”、“科”、“普”、“节”分别表示1～9中的不同数字，且“二”＝2，“四”＝4，如果四位数“二月四日”的22倍等于五位数“数学科普节”，那么，“数”＋“学”＋“科”＋“普”＋“节”的和等于。

（A ）12 （B ）15 （C ）16 （D ）27五．下图中，四边形A B C D 都是边长为1的正方形，E F G H 、、、分别是A B B C C D D A 、、、的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，m n 的值等于。

（A ）5 （B ）7 （C ）8 （D ）12GF CDGF CDB 602二月四日×22＝数学科普节六．将1，2，3，4，5，6分别填入6×6的方格网（如图所示）的36个小方格中，使得每一行每一列中的6个数1，2，3，4，5，6各出现一次，并且满足与不等号相邻的两个数中小数是大数的约数，那么，第二行从左到右的第6个数是。

（左图是一个33⨯的例子）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2七．计算：11112111311143114120062006+=+++++++++ 。

2008年“数学解题能力展示”复试读者评选活动中年级组题(B版)

2008“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试题填空题(每小题10分，共100分)：1. 计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯= .【解析】原式209216221224870=+++=．2. 如图1所示，一个花坛的道路由3个圆和5条线段组成，小兔要从A 处做到B 处，如果它在圆上只能顺时针方向走，在线段上只能从小圆走向大圆，且每条道路最多走一次，那么小兔可以选择的不同路线有条.图1【解析】采用标数法，如图所示，不同路线共有6条．3. 在3棵树上栖息着15只黄鹂和14只白鹭，每棵树上至少有4只黄鹂和2只白鹭，如果每棵树上的白鹭都不比黄鹂多，那么一棵树最多有鸟.【解析】由于每棵树上至少有4只黄鹂，所以每棵树上最多有15427-⨯=只黄鹂，而每棵树上的白鹭都不比黄鹂多，所以每棵树上的白鹭最多也只有7只，那么每棵树上的鸟数不超过7714+=只．另外，当三棵树上的黄鹂、白鹭的只数分别为(4、3)，(4、4)和(7、7)时，有一棵树上恰好有14只鸟．所以一棵树最多有14只鸟．4. 小张将一些同样大小的正方形纸片摆放在桌上，第一次在桌子中间放1个纸片(如图2-1)；第二次在这个小正方形纸片四周再放一圈纸片(如图2-2)；第三次在第二次摆放的图形外再放一圈纸片(如图2-3)；…….他按此规律共摆了十次，那么她共用了正方形纸片个. ……图2-1 图2-2 图2-3【解析】第一次用的正方形纸片的个数为1，第二次后用的正方形纸片的个数为131++，第三次后用的正方形纸片的个数为13531++++，……，那么第十次后用的正方形纸片的个数为1317191731181++++++++= 个．5. 老师在3个小箱中各放了一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球．小明说：“1号箱子中放的是黄色的，2号箱子中放的是黑色的，3号箱子中放的是红色的．” 小亮说：“1号箱子中放的是橙色的，2号箱子中放的是黑色的，3号箱子中放的是绿色的．” 小强说：“1号箱子中放的是紫色的，2号箱子中放的是黄色的，3号箱子中放的是蓝色的．”小佳说：“1号箱子中放的是橙色的，2号箱子中放的是绿色的，3号箱子中放的是紫色的．” 老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余三人都只猜对了一个．”那么3号箱子中放的是色的球．【解析】观察可知，小明、小强、小佳三人所猜的每一个箱中的颜色都各不相同，如果他们三人中有一个人猜中了两个，那么另外两个人猜中的都是这个人猜错的那个箱子的颜色，但是这另外的两个人猜的颜色也不相同，矛盾．所以他们三人中没有人猜中两个，而是各猜中一个，猜中两个的是小亮．由于小亮猜的1号箱子颜色与小佳猜的相同，2号箱子颜色与小明相同，所以小亮猜中了1、2号箱子，小佳猜中1号箱子，小明猜中2号箱子，那么小强猜中3号箱子，故3号箱子中放的是蓝色的球．6. 在下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数ABCD为 .2008A B C DE F G H- 2424A E F G E F G H -【解析】如果8D H -=，那么将有0C G -=，即C G =，与题意不符，所以108D H +-=，即2D H +=．类似分析可知1100C G -+-=，即9C G +=，故0C =，9G =．由9G =知4G H -=，故5H =，3D =．由102F G +-=得1F =，由10B F --=得2B =，由14E F --=得6E =，由2A E -=得8A =，故四位数ABCD 为8203．7. 如图3所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池，水池长8米、宽3米，水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈的向外铺.恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈.图3【解析】由于水池的四周均铺上方砖，那么铺上方砖后得到的大长方形的长与宽之差等于水池的长与宽之差，为835-=．如果水池中也铺上方砖，需要8324⨯=块，那么整个大长方形需要15224176+=块，而1761611=⨯，16与11的差恰好为5，所以大长方形的长为16米，共铺了(168)24-÷=圈．8. 现有5段铁链，每段上有4个封闭的铁环．现在要打开一些铁环，把这20个铁环焊接成一个一环套一环的圆圈.如果每打开一个铁环要2分钟，焊接上一个铁环要3分钟，那么焊成这个圆圈，最少需要分钟.图4【解析】要焊成这个圆圈必须得打开若干个铁环，每打开一个铁环最后就得将它焊上，每一个铁环上花的时间为235+=分钟，为使用的时间最少，应打开最少的铁环．如果只打开3个铁环，那么还剩下5段铁链(尽管有可能有1段铁链只剩1个圈)，用3个铁环无法将5段铁链连起来，所以只打开3个铁环无法焊成圆圈．如果打开4个铁环，可以将原来的某段铁链的4个铁环全打开，这样还剩下4段铁链，用打开的4个铁环可以将它们连成一个圆圈，所以最少需打开4个铁环，那么用的时间最少为5420⨯=分钟．9.在下面的表1中，一条直线穿过其中若干个方格，穿过的方格中各数之和为1513105649++++=。

2012年“数学解题能力展示”高年级组复试试题

2012年 “数学解题能力展示”高年级组复试试题一、填空题I （每题8分，共40分）1． ()323 1.33243201213579203×+÷×++++×+的计算结果是________．2．在下图的乘法算式中，两个乘数的和是________．3．一袋大米，刘备单独吃5天吃完，关羽单独吃3天吃完，一袋小麦，关羽单独吃5天吃完，张飞单独吃4天吃完，刘备每天的饭量比张飞每天的饭量少________%．4．有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会的人数是3或5，每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人，若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012个人全成了好人，那么第一天聚会前好人的人数最小值是________．5．三个半圆，两个圆如图摆放两个小半圆和两个小圆的半径都是10厘米，大半圆外的阴影面积比大半圆内的阴影面积大________平方厘米．（π取3.14）二．填空题Ⅱ．（每题10分，共50分）6．如图由一个正五边形，五个长方形，五个等边三角形组成，它是一个立体图形的平面展开图，那么这个立体图形有________条棱．□ □ □×2 □ □□ 0 □ □□ 1 □ □ □ □2□ □ □ □247． 1098765432119181716151413121110181716151413121110919181716151413121110−+−+−+−+−=−+−+−+−+−________．8．有一个五位数，它分别以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13这12个自然数为除数所得的余数互不相同，这个五位数是_______．9．早上8点10分，菲菲从家步行去上学，3分钟后，狗狗出发跑去追她，在离家200米的地方追上了她，追上后立刻往家跑去，到家后又立刻回头去追菲菲，在离家400米的地方再次追上了她，追上又立刻往家跑去，到家后又立刻去追菲菲，刚好在学校追上，菲菲到学校时间是8点________分． 10．如下图所示，广场中央有一座漂亮的喷泉，小明从A 点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到A 点的走法有________种．（图中的两个圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部）三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．有16张卡片，黑，白各8张，分别写着数字1-8，把它们像扑克牌那样洗过后，如图那样摆成四行，排列规则如下，每行中从左到右按从小到大的顺序排列，黑，白卡片上的数字相同时，黑卡片放在左边已知每行四张卡片上的4个数之和都相等，左下角是2，右上角是7，请问，图中由左上至右下的对角线四张卡片上的数字依次是________．12．如下图，在正方形环形跑道的四个顶点各有编号为1，2，3，4的车站，甲，乙，丙，丁四个人分别从编号为A ，B ，C ，D 的车站同时出发（A ，B ，C ，D 互不相同）眼顺时针方向驾车匀速行驶，且从1，2，3，4号车站出发的车速度分别为1，2，3，4，以后速度再不变化，行驶完毕后，他们有如下的话，甲说：“我第一次追上乙的时候恰在车站①”；乙说：“我第一次追上丙的时候恰在车站②”；丙说：“我第一次追上丁的时候恰在车站③”；丁说：“我第一次追上甲的时候恰在车站④”．已知其中有两个人的话正确，两人说的话错误，那么四位数ABCD=________．13．如果正整数N的每一个倍数abc都满足bca，cab也都是N的倍数，（其中a，b，c都是0-9中的整数，并且约定123表示123，028表示28，007表示7），那么就称N为“完美约数”（例如9就是一个“完美约数”），这样的“完美约数”一共有________个．14．如下图，正十二边形和中心白色的正六边形的边长均为12，图中阴影部分的面积是________．15．略，请参考《2012年“数学解题能力展示”读者评选活动复试试题评选方法》作答．参考答案：题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案24 730 52 435 314 20 9 83159题号9 10 11 12 13 14 15答案28 384 1478 2314 14 324 送分。

2009年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2009年迎春杯高年级组复赛试题1. 计算：216471370216128625302829÷⨯= ． 2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．90023. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 175.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C⨯⨯=．CAB11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．MNTSDC BA13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸15.老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．2009年迎春杯高年级组复试解析1.计算：216471370216128625302829÷⨯= ．【分析】分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分．原式1253028291370 211286253066472829+=⨯⨯⨯⨯+2872530419921286158272829=⨯⨯⨯到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5．具体的式子如下：原式74125112313323215211137732323341⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯(其中323还可以分解成1719⨯，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．9002e f22d 22dedcba990109002【分析】首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为()0129290++++⨯=L ，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 17【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x 次、y 次和z 次，那么投中飞镖的总次数为()x y z ++次，而总得分为17114x y z ++分，要想获奖，必须17114120x y z ++=．由于17120x <，得到6x ≤．当x 的值一定后，要使()x y z ++最小，必须使y 尽可能大．若6x =，得到11418y z +=，此时无整数解；若5x =，得到11435y z +=，此时1y =，6z =，51612x y z ++=++=；若4x =，得到11452y z +=，此时y 最大为4，当4y =时2z =，这种情况下10x y z ++=；若3x =，得到11469y z +=，此时3y =，9z =，33915x y z ++=++=；若2x =，得到11486y z +=，此时y 最大为6，当6y =时5z =，这种情况下13x y z ++=；若1x =，得到114103y z +=，此时y 最大为9，当9y =时1z =，这种情况下11x y z ++=；若0x =，得到114120y z +=，此时y 最大为8，当8y =时8z =，这种情况下16x y z ++=．经过比较可知()x y z ++的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：()()80%32%:32%20%4:1--=．而狗比猫多180只，所以狗的数目为()180414240÷-⨯=只． 6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人．可见每相邻的三个人中至少有1个老实人．由于200936692÷=L ，可以先选取两个人，其中至少有1个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有1669670+=个老实人．第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人．可见每相邻的三个人中至多有1个老实人．由于200836691÷=L ，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人．由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多1个老实人，那么第一天至多有6691670+=个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人． 7. A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．9. 从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．【分析】连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是42的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是42的倍数．另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数： ⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是45的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4种；⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是35125=的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有2612⨯=种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是42的倍数但又不是52的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个5的倍数的情况下共有12113+=种选法．根据加法原理，共有41317+=种选法．小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ．CBA【分析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图：A+C可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【分析】假设这三个数分别为a ，b ，c ，且a b c <<，则126a b c ++=，要求的是()()(),,,a b b c a c ++的最大值．由于(),a b 是a 和b 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道(),a b 也是b a -和a 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以(),a b a ≤，()(),,a b a b a b a =-≤-．同理可得，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-；(),a c a ≤，(),a c c a ≤-．由(),a b a ≤，(),a b b a ≤-得到()()7,2553a b a b a b a ≤+-=-；由(),b c b ≤，(),b c c b ≤-得到()()7,344b c b c b c b ≤+-=-；由(),a c a ≤，(),a c c a ≤-得到()7,7a c a ≤；三式相加可得()()()()7,7,7,53474a b b c a c b a c b a a b c ++≤-+-+=++，故()()()()44,,,1267277a b b c a c a b c ++≤++=⨯=．也就是说()()(),,,a b b c a c ++的最大值为72．要使等号成立，必须使五个不等式(),a b a ≤，(),a b b a ≤-，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-，(),a c a ≤中的等号都成立，即(),a b a =，(),a b b a =-，(),b c b =，(),b c c b =-，(),a c a =，得到2b a =，4c a =，即::1:2:4a b c =时等号成立．在本题中就是a ，b ，c 分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到::1:2:3a b c =时取到最大值，这是错误的．12.如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC B AMN TSDCBA【分析】连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而MTB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a+=++．将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA【分析】如图，甲、乙两人从B 地出发，丙从A 地出发，甲、丙相遇在C 处，此时乙到达D 处，C 、D 相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在E 处相遇时，甲到达F 处，E 、F 相聚30千米．当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；当丙和乙分别从C 、D 出发走到E 处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．由于10:201:2=，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为()60:60203:2-=，那么两人相遇时丙走了2602423⨯=+千米，甲走了3603623⨯=+千米，乙走了362016-=千米，丙和乙的速度比为24:163:2=，那么当丙到达东镇时，乙距西镇2601203⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭千米．14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍． ⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．15. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．【分析】如果a b ，()a b <两个编号的同学是“好朋友”，那么ab ka kb =+，则2k a k b k=+-．2k =时满足条件的()a b ，有()36，； 3k =时满足条件的()a b ，有()412，； 4k =时满足条件的()a b ，有()520，、()612，； 5k =时满足条件的()a b ，有()630，； 6k =时满足条件的()a b ，有()824，、()520，、()520，； 8k =时满足条件的()a b ，有()1224，； 10k =时满足条件的()a b ，有()1530，； 12k =时满足条件的()a b ，有()2030，、()2128，；则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516-=名学生未列)：101552030634122482821189关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124+++=人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人．小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．。

历年迎春杯高年级决赛(5年级)经典试题汇编

数论
21. （2009 年数学解题能力展示中年级组初试试题）将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍．如果第一个数是 6，第四个数是 2，第五个数是 1，最后一个数是_____________.
22. （2009 年迎春杯高年级决赛试题）三个两两不同的正整数，和为 126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．
23. （1993 年第 9 届迎春杯决赛试题）设 a 与 b 是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是 72，那么 a 与 b 之和可以有种不同的值．
9 历年数学解题能力展示高年级经典试题汇编（1984？～2010）
11 历年数学解题能力展示高年级经典试题汇编（1984？～2010）
31. 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米，走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
C
B
A
E D
4 历年数学解题能力展示高年级经典试题汇编（1984？～2010）
11. （迎春杯模拟题）如图，求 x 的度数。
80° 20°
20° 20°
12. （2010 年数学解题能力高年级复试试题）现有一块 L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成 3 部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米． 10 厘米

2010“数学解题能力展示”读者评选活动小学中年级组复试试卷

2010“数学解题能力展示”读者评选活动小学中年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日11：00—12：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论。

我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果。

否则愿接受本次成绩无效的处罚。

我同意遵守以上协议签名：___________一、填空题(每题8分)1. =÷⨯+⨯+⨯14)2981918928(____________．2. 张杰从27起写了26个连续奇数，王强从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是____________．3. 某校三(1)班举办优秀少先队员评选活动．每位同学如果表现优秀，则可得一枚小红花，5枚小红花可换成一面小红旗，4面小红旗可换成一个奖章，3个小奖章可换成一个小金杯，一学期得2个小金杯，可评为优秀少先队员，那么要评为优秀少先队员，至少需要得________个小红花．4. 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米．二、填空题(每题10分)5. 国庆游园会上，有一个100人的方队．方队中每个人的左手要么拿红花，要么拿黄花；每人的右手要么拿红气球，要么拿绿气球．已知拿红花的有42人，拿红气球的有63人，左手拿黄花、右手拿绿气球的有28人．则左手拿红花．右手拿红气球的有________人6.维尼熊和跳跳虎去摘苹果．维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘．跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4个．维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了．他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么其中维尼熊摘的有________个．7.老师带着佳佳、芳芳和明明做计算练习．老师先分别给他们一个数，然后让他们每人取3张写有数的卡片．佳佳取的是3、6、7，芳芳取的是4、5、6，明明取的是4、5、8．这时老师让他们分别取自己卡片上的两个数相乘，再加上开始老师给他们的数．如果老师开始时给他们的数依次是234、235、236，而且他们计算都正确，那么可能算出_________个不同的数．8.一天小张从甲镇出发去乙镇．同时，小王从乙镇出发去甲镇，两人出发后12分钟在丙村相遇．第二天，小张和小王又同时从乙、甲两镇出发，按原速返回甲、乙两镇．两人相遇后6分钟，小张到达丙村，那么再过________分钟，小王到达乙镇．三、填空题(每题12分)9.用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法．（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）10.编号是1、2、3、……36号的36名学生按编号顺序面向里站成一圈．第一次，编号是1的同学向后转，第二次，编号是2、3的同学向后转，第三次，编号是4、5、6的同学向后转，……，第36次，全体同学向后转．这时，面向里的同学还有________名．11.在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，且都不是零．那么“数学解题”与“能力”的差的最小值是__________．数学解题能力+ 展示2 0 1 012. 将1、2、3、……、15、16填入右图的16个方格中，并满足下列条件．(1)10=++F C A ； (2) R H B =+；(3) 13=-C D ； (4) 126=⨯M E ； (5) 21=+G F ； (7) 2=÷J G ；(7) 36=⨯M H ： (8) 80=⨯P J ； (9) Q N K =-．那么L =__________．答案：（1）59（2）351（3）120（4）90（5）33（6）33（7）960（8）7（9） 2（10）18（11）6（12）1757。

2011年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2011“数学解题能力展示”（迎春杯）高年级组复试题姓名：填空题：① 计算：定义一种新运算 a ☆b 满足：a ☆b ＝b ×10＋a ×2．那么2011☆130＝_____________．②从 1999 年到2010 年的12 年中，物价涨幅为150%（即1999 年用100 元能购买的物品，2010 年要比原来多花150 元才能购买）．若某个企业的一线员工这12 年来工资都没变，按购买力计算，相当于工资下降了 %．③右图中大圆的半径是 20 厘米，7 个小圆的半径都是10 厘米．那么阴影图形的面积是平方厘米（π取3.14）．④某届“数学解题能力展示”读者评选活动初试共有12000 名学生参加，分为初中、小学高年级、小学中年级三个组别．小学的两个组共占总人数的1615 ，不是小学高年级组的占总人数的21．那么小学中年级组参赛人数为___________．⑤右图是一个除法竖式．这个除法竖式的被除数是___________．⑥算式 1!×3－2!×4＋3!×5－4!×6＋…＋2009!×2011－2010!×2012＋2011!的计算结果是___________．⑦春节临近，从2011 年1 月17 日（星期一）起工厂里的工人陆续回家过年，与家人团聚．若每天离厂的工人人数相同，到1 月31 日，厂里还剩下工人121 名，在这15 天期间，统计工厂工人的工作量是2011 个工作日（一人工作一天为1 个工作日，工人离厂当天及以后不需要统计）．其中周六、日休息，且无人缺勤．那么截至到1 月31 日，回家过年的工人共有___________人．⑧有一个整数，它恰好是它的约数个数的2011 倍．这个整数的最小值是___________．⑨一个新建 5 层楼房的一个单元每层有东西 2 套房；各层房号如右图所示，现已有赵、钱、孙、李、周五家入住．一天他们5 人在花园中聊天：赵说：“我家是第3 个入住的，第1 个入住的就住我对门．”钱说：“只有我一家住在最高层．”孙说：“我家入住时，我家的同侧的上一层和下一层都已有人入住了．”李说：“我家是五家中最后一个入住的，我家楼下那一层全空着．”周说：“我家住在106 号，104 号空着，108 号也空着．”他们说的话全是真话．设第1、2、3、4、5 家入住的房号的个位数依次为A、B、C、D、E，那么五位数ABCDE ＝___________．⑩6 支足球队，每两队间至多比赛一场．如果每队恰好比赛了 2 场，那么符合条件的比赛安排共有___________种．0～9 可以组成两个五位数A 和B，如果A＋B 的和是一个末五位数字相同的六位数，那么A×B 的不同取值共有___________个．甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，在AB 间往返行走；甲出发的同时，丙也从A 出发去B．当甲、乙两人第一次迎面相遇在C 地时，丙还有100 米才到C；当丙走到C 时，甲又往前走了108 米；当丙到B 时，甲、乙正好第二次迎面相遇．那么A、B 两地间的路程是___________米．如右图，大正方形被分成了面积相等的五块．若AB 长为3.6厘米，则大正方形的面积为___________平方厘米．用36 个3×2×1 的实心小长方体拼成一个6×6×6 的大正方体．在各种拼法中，从大正方体外的某一点看过去最多能看到___________个小长方体．平面上有15 个红点，在这些红点间连一些线段．一个红点连出了几条线段，就在这个红点上标几．已知所有标有相同数的红点之间互不连线，那么这15 个红点间最多连了___________条线段．。

2009年数学解题能力展示(迎春杯)高年级组复赛试题及详细解析

2009年迎春杯高年级组复赛试题1. 计算：216471370216128625302829÷⨯= ． 2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．90023. 用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 175.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．7.A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．9.从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C⨯⨯=．CAB11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．12.如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果△ASM、△MTB与△DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为．MNTSDC BA13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸15.老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．2009年迎春杯高年级组复试解析1.计算：216471370216128625302829÷⨯= ．【分析】分析：对于这种分数计算题，应当先将其化成假分数再进行约分．原式1253028291370 211286253066472829+=⨯⨯⨯⨯+2872530419921286158272829=⨯⨯⨯到了这一步，由于15827，4199，2829都较大，不容易直接进行判断，但是对于287，2530，286，可以看出它们有因子7，41，11，23，13等，可以进行约分，再看看15827，4199，2829等较大的数中是否有因子7，41，23，13，如果有，相应地进行约分，最后可得结果为5．具体的式子如下：原式74125112313323215211137732323341⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯(其中323还可以分解成1719⨯，但是由于分子、分母中的323可以直接约掉，所以计算过程中不需要对它进行分解)2.在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为．9002e f22d 22dedcba990109002【分析】首先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ⨯=⨯为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ⨯所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则929abc d =÷，d 只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．3.用数字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9组成五个四位数，要求这5个数的和的各位数字都是奇数，那么这个和数最大是．【分析】由于一个数除以9的余数等于这个数的各位数字之和除以9的余数，那么这五个四位数的和除以9的余数，就等于这五个四位数的各位数字之和除以9的余数，而这五个四位数的各位数字之和为()0129290++++⨯=L ，除以9的余数为0，所以这五个四位数的和除以9的余数也是0，也就是说这五个四位数的和是9的倍数．由于每个四位数都小于10000，所以这五个四位数的和小于50000，那么这个和的首位不超过4，由于各位数字都是奇数，所以首位最大为3，千位和百位最大为9．当前三位分别为3、9、9时，要使这个和是9的倍数，后两位数字的和除以9应余6，可能为6和15；然而这两个数都是奇数，它们的和为偶数，所以只能是6，那么这两个数应分别为5和1才能使和最大，此时最大和为39951．而当这五个四位数分别为9348，9247，8236，7115，6005时，它们的和恰好为39951，因此所求的最大值为39951．4.在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如右图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最高区域的分数．如果比赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中次飞镖．411 17【分析】假设投中17分、11分、4分的次数分别为x 次、y 次和z 次，那么投中飞镖的总次数为()x y z ++次，而总得分为17114x y z ++分，要想获奖，必须17114120x y z ++=．由于17120x <，得到6x ≤．当x 的值一定后，要使()x y z ++最小，必须使y 尽可能大．若6x =，得到11418y z +=，此时无整数解；若5x =，得到11435y z +=，此时1y =，6z =，51612x y z ++=++=；若4x =，得到11452y z +=，此时y 最大为4，当4y =时2z =，这种情况下10x y z ++=；若3x =，得到11469y z +=，此时3y =，9z =，33915x y z ++=++=；若2x =，得到11486y z +=，此时y 最大为6，当6y =时5z =，这种情况下13x y z ++=；若1x =，得到114103y z +=，此时y 最大为9，当9y =时1z =，这种情况下11x y z ++=；若0x =，得到114120y z +=，此时y 最大为8，当8y =时8z =，这种情况下16x y z ++=．经过比较可知()x y z ++的值最小为10，所以至少需要投中10次飞镖才能获奖．5.在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有20%的狗认为它们是猫；有20%的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是只．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，有80%的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：()()80%32%:32%20%4:1--=．而狗比猫多180只，所以狗的数目为()180414240÷-⨯=只． 6.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人：一种是永远说真话的老实人，一种是永远说假话的骗子．一天，这个部落的2009个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：“我左右的两个人都是骗子”．第二天，会议继续进行，但一人因病未能到会，因此只有2008个人参加第二天的会议．大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”．参加第一天圆桌会议的人之中共有位老实人．【分析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有1个是老实人．可见每相邻的三个人中至少有1个老实人．由于200936692÷=L ，可以先选取两个人，其中至少有1个是老实人(即任意选取1个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至少有1个老实人，所以第一天至少有1669670+=个老实人．第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人．可见每相邻的三个人中至多有1个老实人．由于200836691÷=L ，可以先任意选取1个骗子，再将剩下的2007个人每相邻的三人分为一组，共分成669组，那么每组中至多有1个老实人，所以第二天至多有669个老实人．由于第二天有一个人没来，所以第一天比第二天至多多1个老实人，那么第一天至多有6691670+=个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有670个老实人，所以第一天恰好有670个老实人． 7. A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．【分析】本题采用折线图来分析较为简便．如图，箭头表示水流方向，A C E →→表示甲船的路线，B D F →→表示乙船的路线，两个交点M 、N 就是两次相遇的地点．由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC 和DE 的长度相同，AD 和CF 的长度相同．那么根据对称性可以知道，M 点距BC 的距离与N 点距DE 的距离相等，也就是说两次相遇地点与A 、B 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了()10020240-÷=千米和1004060-=千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:403:2=．而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为()432312÷-⨯=米/秒，那么两船在静水中的速度为12210-=米/秒．8.一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是．【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x ，那么个位数上的数字之和为45x -，则五个两位数上的数字之和为1045459x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54320，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，210，，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件．所以最大值为()45954210153+⨯++++=．9. 从1～999中选出连续6个自然数，使得它们的乘积的末尾恰有4个0，一共有种选法．【分析】连续的6个自然数中，必有3个偶数，这3个偶数是3个连续偶数，其中至少有1个是4的倍数，那么这3个偶数的积肯定是42的倍数，所以任意的连续6个自然数的积都是42的倍数．另外，连续的6个自然数中，至少有一个5的倍数，至多有两个5的倍数： ⑴如果其中只有1个5的倍数，由于末尾要有4个0，那么这个5的倍数应是45的倍数，即是625的倍数，又小于1000，只能是625，那么这6个数可以是621～626，622～627，623～628，624～629，共4种；⑵如果其中有2个5的倍数，那么只能是这连续6个自然数中的最大数和最小数都是5的倍数．由于这两个5的倍数不可能同时是25的倍数，所以其中必有一个是35125=的倍数，可能为125，250，375，500，625，750，900．对于其中除625外的6个数，每个数都可以是这连续6个自然数中的最大数和最小数，所以对这6个数，每个数都有2种取法，共有2612⨯=种取法；而对于625来说，与另一个5的倍数相乘，将会是55的倍数，要想使末尾恰有4个0，则这连续6个自然数的乘积要是42的倍数但又不是52的倍数．检验620～625和625～630这两组的连续6个自然数，后者满足题意，前者则不合题意．所以有2个5的倍数的情况下共有12113+=种选法．根据加法原理，共有41317+=种选法．小结：本题容易出错的地方在于容易忽略掉625～630这一组数，因为在平常做题中面对此类问题基本上都是2比5多的情况，所以学生可能对于2比5少的可能性根本不予考虑．10.请将1，2，3，…，10这10个自然数填入图中的10个小圆圈内，使得图中的10条直线上圆圈内数字之和都相等．那么乘积A B C ⨯⨯= ．CBA【分析】对于本题，可以通过“10条直线上圆圈内数字之和都相等”(实际上是11条)这一等量关系，将每一个小圆圈中的数表示出来．由于每一条直线上的数之和都为A B C ++，可得图中每一个小圆圈中的数如下图：A+C可以得到，332A B C B C A C ++=-=-，可得2A B C =+，代入得2333B C B C +=-，即6B C =，只能是1C =，6B =，28A B C =+=，则86148A B C ⨯⨯=⨯⨯=．11.三个两两不同的正整数，和为126，则它们两两最大公约数之和的最大值为．【分析】假设这三个数分别为a ，b ，c ，且a b c <<，则126a b c ++=，要求的是()()(),,,a b b c a c ++的最大值．由于(),a b 是a 和b 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道(),a b 也是b a -和a 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以(),a b a ≤，()(),,a b a b a b a =-≤-．同理可得，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-；(),a c a ≤，(),a c c a ≤-．由(),a b a ≤，(),a b b a ≤-得到()()7,2553a b a b a b a ≤+-=-；由(),b c b ≤，(),b c c b ≤-得到()()7,344b c b c b c b ≤+-=-；由(),a c a ≤，(),a c c a ≤-得到()7,7a c a ≤；三式相加可得()()()()7,7,7,53474a b b c a c b a c b a a b c ++≤-+-+=++，故()()()()44,,,1267277a b b c a c a b c ++≤++=⨯=．也就是说()()(),,,a b b c a c ++的最大值为72．要使等号成立，必须使五个不等式(),a b a ≤，(),a b b a ≤-，(),b c b ≤，(),b c c b ≤-，(),a c a ≤中的等号都成立，即(),a b a =，(),a b b a =-，(),b c b =，(),b c c b =-，(),a c a =，得到2b a =，4c a =，即::1:2:4a b c =时等号成立．在本题中就是a ，b ，c 分别为18，36，72时它们两两最大公约数之和取得最大值72．小结：本题的结论1:2:4较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到::1:2:3a b c =时取到最大值，这是错误的．12.如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果△ASM 、△MTB 与△DSN 的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为．MNTSDC B AMN TSDCBA【分析】连接MN 、AC 、BD ．由于M 是AB 的中点，所以AMN ∆与BMN ∆的面积相等，而MTB ∆比ASM ∆的面积大1，所以MSN ∆比MTN ∆的面积大1；又由于N 是CD 的中点，所以DMN ∆的面积与CMN ∆的面积相等，那么CTN ∆的面积比DSN ∆的面积大1，所以CTN ∆的面积为9．假设MTN ∆的面积为a ，则MSN ∆的面积为1a +．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知ASD∆的面积为481a +，BTC ∆的面积为63a．要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为1，3或7．由于ADM ∆的面积为ABD ∆面积的一半，BCN ∆的面积为BCD ∆面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和为四边形ABCD 面积的一半，所以ADM ∆与BCN ∆的面积之和等于四边形BMDN 的面积，即： 4863697181a a a a +++=+++++，得4863211a a a+=++．将1a =、3、7分别代入检验，只有7a =时等式成立，所以MTN ∆的面积为7，MSN ∆、ASD ∆、BTC ∆的面积分别为8、6、9．四边形ABCD 的面积为()6789260+++⨯=．小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．13.一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇千米．F E D C BA【分析】如图，甲、乙两人从B 地出发，丙从A 地出发，甲、丙相遇在C 处，此时乙到达D 处，C 、D 相聚20千米；三人继续前进，当丙和乙在E 处相遇时，甲到达F 处，E 、F 相聚30千米．当甲、丙相遇时，甲、丙两人合走了一个全程，且此时甲比乙多走了20千米；当丙和乙分别从C 、D 出发走到E 处相遇时，丙和乙合走了20千米，丙和甲合走了30千米，甲比乙多走了10千米．由于10:201:2=，可见丙和甲合走的30千米就是全程的一半，那么全程为60千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为()60:60203:2-=，那么两人相遇时丙走了2602423⨯=+千米，甲走了3603623⨯=+千米，乙走了362016-=千米，丙和乙的速度比为24:163:2=，那么当丙到达东镇时，乙距西镇2601203⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭千米．14.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍． ⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【分析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAABCDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．15. 老师给前来参加“迎春晚会”的31位同学发放编号：1，2，……，31．如果有两位同学的编号的乘积是他们编号和的倍数，则称这两位同学是“好朋友”．从这31位同学中至少需要选出人，才能保证在选出的人中一定可以找到两位同学是“好朋友”．【分析】如果a b ，()a b <两个编号的同学是“好朋友”，那么ab ka kb =+，则2k a k b k=+-．2k =时满足条件的()a b ，有()36，； 3k =时满足条件的()a b ，有()412，； 4k =时满足条件的()a b ，有()520，、()612，； 5k =时满足条件的()a b ，有()630，； 6k =时满足条件的()a b ，有()824，、()520，、()520，； 8k =时满足条件的()a b ，有()1224，； 10k =时满足条件的()a b ，有()1530，； 12k =时满足条件的()a b ，有()2030，、()2128，；则全部同学相互之间的关系网如图(其余311516-=名学生未列)：101552030634122482821189关系网图可分为不关联的3部分，其中包含11个人的部分最多可以选出6名互不是“好朋友”的同学，包含2个人的两个部分各可选出1人，以保证互不是“好朋友”，加上未列出的16人，所以31人中最多可以选出1661124+++=人互不是“好朋友”，此时只要再选出一人，即可保证选出的人当中有两位同学是“好朋友”，所以至少应该选出25人．小结：本题容易忽略掉21和28这一对“好朋友”．。

2013年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷

2
30 3 mod9 ，所以这个数的和为 30．
8．定义： a a a 1 a 2 … 2a 2 2a 1 ，例如： 5 5 6 7 8 9 ，那么： 1 2 3 … 19 20 的计算结果是．答案：4200 难度：★★★ 命题者：高思教育苏霖解析：将这些数填入下表中，第 1 行代表 1 ，第 2 行代表 2 ，依次类推，第 20 行代表 20 ；为方便观察，将此表顺时针旋转 135 ，如图 2，此时每行的平均数均为 20，表中共有 1 2 … 20 210 个数，所以和为 210 20 4200 ．
E M A H Q D P K O C B N F
G
答案：2684 难度：★★★☆ 命题者：学而思教育赵璞铮解析：如图，连接 AM 、 OM 、 OQ ， OQ 交 AD 于点 K ；
E M A H Q D P K O C B N F
G
∵ Q 为等边三角形 ADH 的中心， △ AOD 与 △ ADH 完全一样， 1 ∴ QK OK 3 4 ∴ OQ OK 3 △OQM 的高为 OQ ，底为 OM ； △ AOD 的高为 OK ，底为 AD ，由于 OM AD ， 4 ∴ S△OQM S△ AOD 3 1 1 又∵ S△OQM S阴影， S△ AOD S ABCD 4 4 4 4 ∴ S阴影 S ABCD 2013 2684 （平方厘米） 3 3
14．现有一个立方体 ABCD EFGH ，将其过 B B 点的三个表面的正方形染成红色，现在剪开其中的若干条棱得到它的平面展开图，若展形图中三个红色正方形都没有公共边，那么共有种不同的剪法．（剪开的棱相同但剪的顺序不贩算作同一种剪法）

2009年“数学解题能力展示活动”中年级组

2009年“数学解题能力展示活动”中年级组一、填空题（每题8分）1、123×17+2009=__________。

2、右图是体操运动员小雪倒立时看到镜子里另一正常站立的运动员小帆的号码，则小帆号码是__________ 。

3、由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和。

小雪选的5个数的和是120，小帆选的5个数的和是111。

如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_________。

4、如图，有一张长为12厘米，宽为10厘米的长方形纸片，按照虚线将这个纸片剪成两部分，这两部分的周长之和是________厘米。

二、填空题（每题10分）5、A、B、C、D、E、F六只足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场，胜者得3分，负者得零分，平局每队各得1分。

比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第三名的队得了8分，那么这次比赛中共有______场平局。

6、将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数排成一行，使得第一个数是第二个数的整数倍，前两个数的和是第三个数的整数倍，前三个数的和是第四个数的整数倍，……，前八个数的和是第九个数的整数倍。

如果第一个数是6，第四个数是2，第五个数是1，最后一个数是_______。

7、过年了，妈妈买了七件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件。

其中姐姐的儿子小帆想从智力拼图和遥控骑车中选一个，朋友的女儿小雪想从学习机和遥控骑车中选一件。

那么妈妈送出的这五件礼物共有______种方法。

8、早上8点，小雪和小帆从甲、乙两地同时出发，以不变的速度相向而行。

9：20两人相距10km，10点时，两人相距还是10km。

11点时小雪到达乙地，这是小帆距甲地________km。

三、填空题（每题12分）9、一个数列，从第三项起，每一项都等于前面两项的和，这个数列的第二项为39，第十项为2009，那么前八项的和是________。

北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组复试试题

北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组
复试试题
苏晓玲
【期刊名称】《数学小灵通：小学5-6年级版》
【年(卷),期】2007()6
【总页数】4页(P42-44)
【关键词】高年级;数学解题能力;北京市
【作者】苏晓玲
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G62
【相关文献】
1.北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组复试试题 [J], 苏晓玲;
2.北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动中年级组初试试题 [J], 苏晓玲;
3.1996年北京市中学生数学竞赛高一年级复试试题 [J], 周春荔
4.1991年北京市中学生数学竞赛高中一年级复试试题及解答 [J], 周春荔
5.北京市2006年“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组初试试题 [J], 苏晓玲
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