高等数学同济大学下第125全微分方程

同济大学《高等数学》第五版下册习题答案

练习 12-6
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练习 8-6
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总习题八
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练习 12-4
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同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xg

2 2
x2 2 xy 3 dx − 3 x 2 y 2 dy d( 3 ) = y y6
7
常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式
1) d x ± d y = d ( x ± y ) 3) xd x + yd y = d (
1 (x2 2
2) xd y + yd x = d ( x y )
+y ))
2
= d(
x2 + y2 )
8
思考: 思考如何解方程
∂P ∂Q Q =1 = −1 ∂y ∂x
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程： 2
即
1 2 y d ( x ) − d ( ) = 0, 2 x
或
1 2 y d ( x − )= 0 2 x
9
二、积分因子法
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
3
例1. 求解
yd x − xd y x 7) = d ( arctan ) 2 2 y x +y
11
例1：求下列微分方程的通解 1. yd x − xd y = yd y
y 解法1：解法：写成全微分方程的形式： d x − ( x + y )d y = 0 ∂P ∂Q 由于 Q =1 = −1 原方程不是全微分方程 ∂y ∂x yd x − xd y x 1 Q = d( ) 在方程两边同时乘以 2 2 y y y x yd x − xd y d y 即 d = d (ln y ) 得： = y y y2

同济大学《高等数学(下)》模拟试卷(二)及参考答案

同济大学模拟试卷课程名称高等数学（下）姓名学号适用专业考试形式闭卷考试时间 120分钟一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xyz xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.A. 2B. 1C. 12D.三．计算题（每题8分，共48分）1、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .2、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .3、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .4、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 5、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、 222{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、222e dx e dy + 3、10(,)y eedy f x y dx⎰⎰4、11)12 5、12()xy C C x e =+二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A三、计算题（每题8分，共48分）1、解： 12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→==- 2'1210223013ij ks n n i j k →→→→→→→→→=⨯==-++- 6'∴直线方程为24231x y z --==- 8' 2、解：令sin cos x yu x y v e +== 2' 12cos cos x yz z u z v f x y f e x u x v x+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 6' 12(sin sin )x yz z u z v f x y f e y u y v y+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂ 8'3、解：:0014D r πθ≤≤≤≤， 3'21400arctan 64D Dy dxdy r drd d rdr x ππθθθθ∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 8' 4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'220,200A ACB =>-=>∴极小值为(3,1)8f -=- 8'5．解：sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-，有cos 2,cos ,x x PQe y e y yx ∂∂=-=∂∂2'取(2,0),:0,A a OA y x =从02a → 4'L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++⎰⎰2()2D D Q P dxdy dxdy a x y π∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰ 6'∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +⎰＝220a a ππ-= 8'6．解：321,(1)1P Q x x =-=++ 2'∴通解为113()()112[()][(1)]dx dx P x dxP x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰ 4'13222(1)[(1)](1)[(1)]3x x dx C x x C =+++=+++⎰ 8'四、解答题1、解：（1）令1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin23lim lim 132sin 3n n n n n n n nu u ππ+++→∞→∞==<4' 12sin 3nn n π∞=∴∑收敛， 11(1)2sin 3n n nn π∞-=∴-∑绝对收敛 6' （2）令1()n n x s x n ∞==∑1111()1n n n n x s x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===⎪-⎝⎭∑∑， 2' 0()()(0)ln(1)xs x s x dx s x '⇒=+=--⎰ 4'2、解：构造曲面1:1,z ∑=上侧122xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ 2'22110(211)44r dv dv d rdr dz πθΩΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1208(1)2r rdr ππ=-=⎰4' 6' 8'122I xdydz ydzdx zdxdyπ∑∴=-++⎰⎰ 10'2xyD dxdy ππ=-=⎰⎰ 12'。

高等数学下册-全微分 ppt课件

取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02
1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
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2. 误差估计
利用
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
( B) f x ( x, y ) , f y ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; (C ) z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
当 (x) 2 (y ) 2 0 时是无穷小量 ; z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
5. 已知
答案:
作业
P24 1 (3) , (4) ; 8 ; 10 3; 5;
第四节目录
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备用题
证明函数在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连续, 而 f ( x, y ) 在点 (0,0) 可微 . 1 x2 y2 证: 1) 因 xy sin xy 2 x2 y2 所以
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0 f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
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2) f ( x,0) 0 , f x (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0. 3) 当( x, y ) (0,0)时 , 1 x2 y f x ( x, y ) sin 2 2 x y ( x 2 y 2 )3

1.5全微分方程及积分因子 .

2 y
(x,y)
(0,0)
u( x, y )

x 0 x

( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于和都是连续的从而有 , yx xy
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y

高等数学同济大学第七章微分方程-5

0 0
思考题
2x y2 3 x2 是否为全微分方程？ dy 0 方程 3 dx y y4
思考题解答
P 2 x 6x 3 4, y y y y
Q y 2 3 x 2 6x 4, 4 x x y y
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
3 2
x
y
x4 3 2 2 y4 x y , 4 2 4
x4 3 2 2 y4 x y C. 原方程的通解为 4 2 4
2x y2 3x2 例2 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
P Q 全微分方程 . y x
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 全微分方程
P Q 法一：应用曲线积分与路径无关. y x
通解为 u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
P 6 x Q 解 4 , 是全微分方程, y y x 1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
2
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
公式法:
ye

1 dx 1 x
[ x e
2

1 dx 1 x
Hale Waihona Puke dx C ],x x 通解为 y xy C. 3 4

12-5全微分方程

d(1y)d(xy32)
d(
1 y
x2 y3
),
原方程的通解为
1 y
x2 y3
C.
例3 求微分方程
2 x (1 x 2y)d xx 2y d y 0 的.通
解 2 x d 2 xx x 2 y d x x 2 y d 0 y ,
d ( x 2 ) x 2 y d ( x 2 ) x 2 y d 0 y ,
0
0
x43x2y2y4,
42
4
原方程的通解为 x43x2y2y4C.
42
4
方法二
因为 P6xyQ, 原方程是全微分方程,
y
x
所以
ux33x2,yuy33x2y,
x
y
从而
u (x 3 3 x 2 ) d y 1 x x 4 3 x 2 y 2 (y ) 42
( y) 为任意连续可微函数。而
u y3 3x2y y
所以故
3 x 2 y (y ) y 3 3 x 2 y
( y) 1 y4
4
u1x43x2y21y4 42 4
原方程的通解为 1x43x2y21y4C
42 4
例2 求方 2 yx 3d程 x y2 y4 3x2dy 0的通 .
解 Py 6yx4 Q x, 是全微分方程, 将左端重新组合 y12dy(2yx3dx3yx42dy)
u (x ,y )x (x 2 x 3 y )d xyd,y
0
0
B 凑微分法:
d ( x y d y) d y x 2 d x x x 3 d 0 x ,
dyd(x)ydx3dx40， 34
x3 x4 d(yxy )0.
34

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高等数学同济下册教材目录

高等数学同济下册教材目录第一章无穷级数1.1 数项级数1.1.1 数项级数的概念1.1.2 数项级数的性质1.1.3 极限形式的级数1.2 幂级数1.2.1 幂级数的概念1.2.2 幂级数的收敛域1.2.3 幂级数的和函数1.3 函数项级数1.3.1 函数项级数的概念1.3.2 函数项级数的一致收敛性第二章傅里叶级数2.1 傅里叶级数的定义2.1.1 周期函数的傅里叶级数2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数2.2 傅里叶级数的性质2.2.1 傅里叶级数的线性性质2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分 2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 2.3 傅里叶级数的收敛性2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性2.3.3 局部函数化的傅里叶级数第三章一元函数积分学3.1 定积分3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质3.1.3 线性运算与换元积分法3.2 反常积分3.2.1 第一类反常积分3.2.2 第二类反常积分3.3 微积分基本定理3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.3.2 积分求导法3.3.3 函数定积分的应用第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续4.1.1 多元函数的极限4.1.2 多元函数的连续性4.2 多元函数的偏导数与全微分 4.2.1 多元函数的偏导数4.2.2 多元函数的全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数 4.3.1 隐函数的偏导数4.3.2 参数方程的偏导数第五章多元函数的积分学5.1 二重积分5.1.1 二重积分的概念5.1.2 二重积分的性质5.1.3 二重积分的计算方法5.2 三重积分5.2.1 三重积分的概念5.2.2 三重积分的性质5.2.3 三重积分的计算方法5.3 曲线积分与曲面积分5.3.1 第一类曲线积分5.3.2 第二类曲线积分5.3.3 曲面积分第六章多元函数的向量微积分6.1 多元函数的梯度、散度与旋度 6.1.1 多元函数的梯度6.1.2 多元函数的散度6.1.3 多元函数的旋度6.2 多元函数的曲线积分与曲面积分 6.2.1 多元函数的第一类曲线积分 6.2.2 多元函数的第二类曲线积分6.2.3 多元函数的曲面积分第七章序列与函数的多元极限7.1 多元函数的序列极限7.1.1 多元函数序列极限的概念7.1.2 多元函数序列极限的性质7.2 多元函数的函数极限7.2.1 多元函数函数极限的概念7.2.2 多元函数函数极限的性质第八章多元函数的泰勒展开8.1 函数的多元Taylor展开8.1.1 函数的多元Taylor展开定理 8.1.2 函数的多元Taylor展开的应用 8.2 隐函数存在定理与逆函数存在定理 8.2.1 隐函数存在定理8.2.2 逆函数存在定理第九章向量场与散度定理9.1 向量场9.1.1 向量场的定义9.1.2 向量场与流线9.2 散度与散度定理9.2.1 向量场的散度9.2.2 散度定理的概念与性质第十章曲线积分与斯托克斯定理10.1 向量值函数的曲线积分10.1.1 向量值函数的曲线积分的定义 10.1.2 向量值函数的曲线积分的计算 10.2 Stokes定理10.2.1 Stokes定理的概念与性质第十一章重积分与高斯定理11.1 二重积分与三重积分的概念11.1.1 二重积分与三重积分的定义 11.1.2 二重积分与三重积分的性质 11.2 高斯定理11.2.1 高斯定理的概念与性质第十二章序列与级数的广义极限12.1 无穷小量和无穷大量12.1.1 无穷小量的概念与性质12.1.2 无穷大量的概念与性质12.2 级数极限与广义极限12.2.1 级数极限的概念与性质12.2.2 广义极限的概念与性质第十三章多项式逼近与傅里叶级数近似13.1 约束方程组的最小二乘解13.1.1 约束方程组的最小二乘解的概念 13.1.2 约束方程组的最小二乘解的计算 13.2 多项式逼近13.2.1 多项式逼近的概念与性质13.2.2 最佳一致逼近13.3 傅里叶级数的近似13.3.1 傅里叶级数的收敛性13.3.2 傅里叶级数的部分和逼近第十四章偏微分方程初步14.1 偏导数14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 高阶偏导数14.2 偏微分方程的分类与例子14.2.1 第一阶偏微分方程14.2.2 二阶线性偏微分方程14.2.3 泊松方程与拉普拉斯方程第十五章全微分方程初步15.1 微分方程的定义与解15.1.1 微分方程的概念与性质15.1.2 微分方程解的存在唯一性 15.2 一阶线性微分方程15.2.1 齐次线性微分方程15.2.2 非齐次线性微分方程15.3 可降阶的高阶线性微分方程15.3.1 可降阶的高阶线性微分方程第十六章复变函数初步16.1 复数的性质与运算16.1.1 复数的概念与性质16.1.2 复数的运算与表示16.2 复变函数的导数16.2.1 复变函数的导数的定义 16.2.2 复变函数的导数的性质 16.3 复变函数的积分16.3.1 复变函数的积分的定义 16.3.2 复变函数的积分的性质第十七章应用篇17.1 牛顿法与割线法17.1.1 牛顿迭代法17.1.2 割线法17.2 微分方程的应用17.2.1 放射性衰变方程17.2.3 流体的入口速度与出口速度之间的关系17.3 级数的应用17.3.1 泰勒级数的应用17.3.2 调和级数的收敛性与发散性希望以上内容能满足您对《高等数学同济下册教材目录》的需求，如有任何疑问或其他需求，请随时告知。

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析

word 完美格式第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

高等数学同济五版125全微分方程

种群动态模型
描述种群数量变化的全微分方程，如动物种群数量与出生率、死亡率之间的关系。
神经网络模型
描述神经元之间信息传递的全微分方程，如大脑神经网络的信号传递。
传染病模型
描述传染病传播规律的全微分方程，如病毒在人群中的传播速度和范围。
THANK YOU
感谢聆听
02
全微分方程的解法
初值问题与通解
初值问题定义
给定一个微分方程和一组初始条件，求未知函数在某点的值。
通解概念
满足微分方程和初始条件的所有解的集合。
通解的求解方法
通过积分求解微分方程，并满足初始条件。
初值问题的特解
02
01
03
特解的定义
满足微分方程但不满足初始条件的解。
特解的求解方法
通过代入法、常数变易法等求解微分方程，得到特解。
欧拉方法简单易懂，但精度较低，对于复杂的问题可能需要较大的步长才能得到满意的精度。
龙格-库塔方法
龙格-库塔方法是一种高精度的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用已知的初值和导数值来逼近微分方程的解。
龙格-库塔方法的基本公式是 (y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n))，其中 (h) 是步长，(f(t_n, y_n)) 是微分方程在 (t_n, y_n) 处的导数。
高等数学同济五版125全微分方程
目
CONTENCT
录
• 引言 • 全微分方程的解法 • 全微分方程的稳定性 • 全微分方程的数值模拟 • 实际应用案例
01
引言
全微分方程的定义与重要性
定义
全微分方程是一种特殊的常微分方程，其解可以用全微分的形式表示。

高等数学同济第五版下微分方程

解：方程变形为 2 y y 2 y 2 c o sx s in 2 x
令 z y 2 , 方程化为
z 2 z c o s x s i n 2 x
二、伯努利 ( Bernoulli )方程（数一）
伯努利方程的标准形式:
d y P (x )y Q (x )y n(n 0 ,1 ) d x
y e P ( x ) d x Q ( x ) e P ( x ) d x d x C
2. 伯努利方程 dyP(x)yQ(x)yn (n0,1) dx
令 uy1n, 化为线性方程求解.
思考与练习
判别下列方程类型:
提示:
(1) xdyyxydy
dx
dx
y1dydx
y
x
可分离变量方程
(2)xdyy(lynln x)
齐次方程通解
非齐次方程特解
例1. 解方程 dy2y(x1)52. dx x1
解:
先解
dy 2y 0, 即 dx x1
dy 2dx y x 1
积分得 ly n 2 lx n 1 lC n ,即 yC(x1)2
用常数变易法求特解. 令 y u(x)(x 1 )2,则 y u ( x 1 ) 2 2 u ( x 1 )
解分离变量方程 g ( y ) d y f( x ) d x
分离变量方程的解法:
g ( y ) d y f( x ) d x ①
设 y＝ (x) 是方程①的解, 则有恒等式 g ( ( x ) ( x ) ) d x f ( x ) d x
两边积分, 得 g(y)dyf(x)dx
则有
G(y)
x
dx
dx
代入原方程得 uxdu(u)
dx

全微分方程的解法

故通解为 (2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为 ,则有
所以从而即
(3) 凑微分法:
根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为：
练习：验证方程是全微分方程，并求它的通解。
方程的通解为：
积分因子法
一、概念二、积分因子的求法
一、定义: m ( x, y ) 0 连续可微函数，使方程 m( x , y ) P ( x , y )dx m( x , y )Q ( x , y )dy 0成为全
Q y x
，故曲线积分与路径无关。因此
( x, y )
( x, y)
( x0 , y0 )
P( x, y)dx Q( x, y)dy
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
( x, y) P( x, y)dx Q( x0 , y)dy
x0 y0
x
y
或 ( x, y)
2 P 2 Q , xy y yx x 又因为 P( x, y), Q( x, y) 偏导数连续， P Q 2 2 所以，即 y x xy yx
所以
（2）证明充分性
P Q ，求一个二元函数 ( x, y) 使它满足设 y x d ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)dy 这里 ( x0 , y0 ) R P( x, y), Q( x, y) 即 x y x 由第一个等式，应有 ( x, y ) P( x, y )dx ( y )
( m P ) ( m Q ) m P P m m Q Q m , y y x x y x
P Q m m Q P m x y y x