03.摩擦自锁
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① 静摩擦力 F ：wenku.baidu.com最大静摩擦力: 最大静摩擦力 最大静摩擦系数: 最大静摩擦系数
0 ≤ F < Fmax
Fmax = fm ⋅ N fm
静摩擦系数
f
：
0 ≤ f ≤ fm
取决于相互接触物体表面的材料性质和 取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况 接触物体表面的材料性质 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） （如: 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） ② 滑动摩擦力 F ：
α < ϕm
无论压力有多大， 无论压力有多大， 总是推不动物体！ 总是推不动物体！
P
N
F
利用：螺旋千斤顶防滑动等 利用：螺旋千斤顶防滑动等. 防止：自卸车螺旋防自锁等 防止：自卸车螺旋防自锁等.
R
利用：螺旋千斤顶防滑动等 利用：螺旋千斤顶防滑动等，使 α < ϕm 防滑动 n ϕm 原理图 物块不会下滑！ 物块不会下滑！ 斜面倾斜角起 决定性作用！ 决定性作用！
70mm
FHx
70
H
P
B
P = G F = 0.5G ① 选取砖夹AHB作为主要 选取砖夹 作为主要 研究对象, 为矩心 为矩心， 研究对象 H为矩心，有 平衡方程： 平衡方程： 70⋅ F + 70P −b⋅ N = 0
由①②得： N =105G/ b ①②得
F b ≤ tanϕm 应使： 应使： tanα = = N 210
P
F Fmax = fmG
Nϕ
Fmax tgϕm = = fm N
N ϕm
R R 1. 全约束力： 正压力与摩擦力之合力 R. 全约束力： 全约束力与其它力一起，共同使物体平衡。 全约束力与其它力一起，共同使物体平衡。 2. 摩擦角 摩擦角: 静摩擦力达到最大值时，全约束力R与正压力 静摩擦力达到最大值时，全约束力 与正压力 N的夹角 —— 摩擦角 ϕm 的夹角 ( fm = tanϕm )
B
F
化简成： 化简成：
NA − 0.4NB = 0
NB = 800
300S + 200 − 2 3NA = 0
NB (F = fmNB )
S = 3.03m
（刚好平衡时） 刚好平衡时）
梯子就要滑倒！ 结论： 结论： S > 3.03m 梯子就要滑倒！
3.3 摩擦角和自锁现象
如图： 如图：
G
ϕm
Fmax
F = f ′⋅ N
是常数. 动摩擦系数 f ′：是常数. 取决于相互接触物体表面的材料性质和 取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况 接触物体表面的材料性质 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） （如: 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） 一般地， ③ 一般地，有 ： fm > f ′ 粗略地： 粗略地： f ′ ≈ fm
FHy A N
②
b F N
α
P
b ≤ 210 f = 210×0.5 =105(mm)
（压力角 α ）
F
结论：尺寸 小于105mm，才能保证砖不滑掉 结论：尺寸b 小于 ，才能保证砖不滑掉.
作业练习
1.练习： 练习： 练习 思考题： 思考题：3.1 ～ 3.7 习 题：3.1 ～ 3.14 2.书面作业： 书面作业： 书面作业 必作题（上交批改）： 必作题（上交批改）： 3.2 3.12 选作题： 3.7
α α
α > ϕm
防止：自卸车螺旋防自锁等，使 防止：自卸车螺旋防自锁等 防自锁 n ϕ 原理图
m
物块会下滑！ 物块会下滑！ 斜面倾斜角起 决定性作用！ 决定性作用！
α
α
例题. 均匀等直杆AB静止靠在 静止靠在光滑墙面上 例题. 均匀等直杆 静止靠在光滑墙面上，与地面 夹角 60° 地面不光滑,杆重 G = 60N。 ，地面不光滑, 1）先画出 、B端所受约束力 RA, RB与静摩擦力 . 与静摩擦力F. ） 画出A、 端 RA A 2）再计算约束力及全约束力 的大小. 的大小. ）再计算约束力及全约束力R的大小 端所受约束力如图. 解：1）A,B端所受约束力如图. ） , 端所受约束力如图 2）计算约束力的大小. ）计算约束力的大小. ∑Fx = F − RA = 0
R
RB
B C G
∑F
y
= RB −G = 0
F
l ∑MB = RA ⋅ l sin 60° −G⋅ 2 l cos 60° = 0
解得： 解得： F = RA =10 3(N), RB = 60(N)
2 R = RB + F2 = 602 + (10 3)2 =10 39(N)
3.5 如图砖夹与砖之间的静摩擦系数 f = 0.5 , 砖块 共重G，不计砖夹的重量。 共重 ，不计砖夹的重量。 应多大，才能保证砖块不滑掉？ 问：砖夹尺寸 b 应多大，才能保证砖块不滑掉？ 解法1：不等式辅助方法 解法 ：不等式辅助方法. 整体平衡时： 整体平衡时： = G P 两处压力小， 若AD两处压力小，则 两处压力小 AD两处静摩擦力也就 两处静摩擦力也就 砖将下滑！ 小，砖将下滑！ 砖块平衡时有： 砖块平衡时有： 静摩擦力 F = 0.5G. 应当选取砖夹AHB 应当选取砖夹 作为主要研究对象。 作为主要研究对象。
NA A
C
G W
60° °
A
a
S
C
S
60° °
B NB
F
B
∑F = N − F = 0 ① ∑F = N −G −W = 0
x A
y B
②
NA A
C
G W
y
a ∑MB = G⋅ S ⋅ cos60° +W ⋅ 2 cos 60° ③ − NA ⋅ asin 60° = 0
a
S
60° °
x
列辅助方程： 列辅助方程： F ≤ fm ⋅ NB
3.2.2 求解有摩擦时的平衡问题
受力分析时考虑摩擦力， 受力分析时考虑摩擦力，建立物体的平衡 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。
如图. 长为4m， 例3.1 如图. 长为 ，重量 200N 的梯子靠在 光滑的墙上，梯子与地面成60° 光滑的墙上，梯子与地面成 °角, 梯子与地面间的 有一重600 N的人登梯而上。 的人登梯而上。 静摩擦系数 fm = 0.4 ，有一重 的人登梯而上 此人登到何处，梯子就要滑倒？ 试问：此人登到何处，梯子就要滑倒？ 解法 I： ： 作出梯子 作出梯子 的受力图 此乃平面 任意力系 列梯平衡时的 列梯平衡时的 平衡时 方程组如下： 方程组如下：
（参见：P68书——表3-1） 参见： 书——表 ）
3.2 考虑摩擦时的平衡问题
3.2.1 求最值的数学方法 求最值的数学方法
1) 常用方法： 常用方法： ——求某个量的最大最小值时 求某个量的最大最小值时, ——求某个量的最大最小值时 可以在临界 情况下建立方程，解出所求最大最小值。 情况下建立方程，解出所求最大最小值。 2) 不等式法：（一种严密却又繁的方法） 不等式法：（一种严密却又繁的方法） ：（一种严密却又 求某量的最值时， —— 求某量的最值时，据条件列不等式为 辅助方程（ 解出某最值。 辅助方程（如 0 ≤ F ≤ fm ⋅ N ）解出某最值。
解法II： 解法 ：临界状态法 刚好能平衡时， 刚好能平衡时， F = fmNB 即为所求. 刚好能平衡时的 S 即为所求
NA A
C
G W
y
a
S
60° °
x
∑Fx = NA − fmNB = 0
∑F
y
= NB −G −W = 0
① ②
a ∑MB = G⋅ S ⋅ cos60° +W ⋅ 2 cos 60° ③ − NA ⋅ asin 60° = 0
∴ G≤ N ≤
由 ① 得： N = ②
105G ③ b 105G b ≤ 105(mm) 由 ② ③得： G ≤ b 结论：尺寸b 小于105mm，才能保证砖不滑掉 结论：尺寸 小于 ，才能保证砖不滑掉.
b
P = G. F = 0.5G.
解法2：自锁辅助分析法 解法 ：自锁辅助分析法. 在平衡时，仍有： 在平衡时，仍有：
F
Pα
ϕm
α ≤ ϕm
ϕm
3. 掌握自锁现象：若压力与法线的夹角 掌握自锁现象 自锁现象： 压力P 小于摩擦角 (α ≤ ϕm ) 即：压力P位于
摩擦角内时,物体就不可能滑动。 摩擦角内时,物体就不可能滑动。
Fmax
N ϕm
R 4. 自锁实例：螺旋千斤顶。 防自锁实例：自卸车。 自锁实例：螺旋千斤顶。 防自锁实例：自卸车。
④
S a W ⑤ ①②③得出 得出： 由①②③得出： F = G + 3 2 3
B
F
F ≤ fm (G +W)
NB
⑥ ⑦
由⑤ ⑥得出：
S a G+ W ≤ fm (G +W) 3 2 3
代数据入⑦ 平衡时） 代数据入⑦解出： S ≤ 3.03m（平衡时） 梯子就要滑倒！ S > 3.03m 梯子就要滑倒！
3. 推压力分析
不计物块重, 如图: 不计物块重 如图 静摩擦力： 静摩擦力： F = f ⋅ N = f ⋅ Pcosα F ≤ P tan ϕm cosα
P
P x
α
Py
F
水平推力: P = Psin α 水平推力 N α x 物体滑动条件： x 滑动条件 物体滑动条件： P > Fmax Psin α > P tanϕm cosα tanα > tanϕm
第 3 章
摩擦自锁
概述： 概述：
两物体接触表面不可能绝对光滑. 两物体接触表面不可能绝对光滑. 工程实际中，经常不能忽略摩擦力 工程实际中，经常不能忽略摩擦力. 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面. 摩擦有利的一面 摩擦现象的分类: 摩擦现象的分类: 按接触部分有无相对运动划分：静摩擦、动摩擦 接触部分有无相对运动划分： 摩擦、 摩擦. 有无相对运动划分 按相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦 相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦. 类型划分 摩擦 摩擦 按接触表面间有无润滑划分：干摩擦、湿摩擦 接触表面间有无润滑划分： 摩擦、 摩擦. 有无润滑划分
3.1 滑动摩擦
3.1.1 动摩擦的概念
静摩擦：两物体接触面间相对静止，但是有 摩擦：两物体接触面间相对静止， 相对静止 相对运动趋势时的摩擦. 时的摩擦 相对运动趋势时的摩擦. 动摩擦：两物体接触面间有相对运动时的摩擦. 摩擦：两物体接触面间有相对运动时的摩擦. 运动时的摩擦
3.1.2 滑动摩擦力的计算
R
α > ϕm α ≤ ϕm
物体静止条件： x 物体静止条件： P ≤ Fmax 静止条件
tanα ≤ tanϕm
4. 自锁现象： 自锁现象：
物体就不可能滑动。 P 位于 ϕm 内, 物体就不可能滑动。 ϕm ϕm ---压力角 称：α ---压力角 即：压力 注意： 注意：只要保证 ɑ 合压力与法线的夹角小于摩擦角 —— 合压力与法线的夹角小于摩擦角 (α < ϕm )
第3章 de 要点小结 章
1. 会计算全约束力： 会计算全约束力 全约束力： 正压力与摩擦力之合力R. 正压力与摩擦力之合力
(R =
N +F
2
2
)
R
N
2. 理解摩擦角 ( 0 ≤ F ≤ Fmax = fmN ) 理解摩擦角 摩擦角: 静摩擦力达到最大值时，全约束力 静摩擦力达到最大值时， R与正压力 的夹角 — 摩擦角： 与正压力N的夹角 摩擦角： 与正压力
70mm
P
C E H B G
b
F
A
F
D
28cm
砖夹AHB受力如图： 受力如图： 砖夹 受力如图 平衡方程： 平衡方程：
70mm
FHx
70
H
P
B
∑M
A
=70⋅ F + 70P −b⋅ N = 0
则： 105G − b⋅ N = 0 辅助方程： 辅助方程：
①
FHy A F N
∵ 0.5G = F ≤ f ⋅ N = 0.5N
0 ≤ F < Fmax
Fmax = fm ⋅ N fm
静摩擦系数
f
：
0 ≤ f ≤ fm
取决于相互接触物体表面的材料性质和 取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况 接触物体表面的材料性质 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） （如: 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） ② 滑动摩擦力 F ：
α < ϕm
无论压力有多大， 无论压力有多大， 总是推不动物体！ 总是推不动物体！
P
N
F
利用：螺旋千斤顶防滑动等 利用：螺旋千斤顶防滑动等. 防止：自卸车螺旋防自锁等 防止：自卸车螺旋防自锁等.
R
利用：螺旋千斤顶防滑动等 利用：螺旋千斤顶防滑动等，使 α < ϕm 防滑动 n ϕm 原理图 物块不会下滑！ 物块不会下滑！ 斜面倾斜角起 决定性作用！ 决定性作用！
70mm
FHx
70
H
P
B
P = G F = 0.5G ① 选取砖夹AHB作为主要 选取砖夹 作为主要 研究对象, 为矩心 为矩心， 研究对象 H为矩心，有 平衡方程： 平衡方程： 70⋅ F + 70P −b⋅ N = 0
由①②得： N =105G/ b ①②得
F b ≤ tanϕm 应使： 应使： tanα = = N 210
P
F Fmax = fmG
Nϕ
Fmax tgϕm = = fm N
N ϕm
R R 1. 全约束力： 正压力与摩擦力之合力 R. 全约束力： 全约束力与其它力一起，共同使物体平衡。 全约束力与其它力一起，共同使物体平衡。 2. 摩擦角 摩擦角: 静摩擦力达到最大值时，全约束力R与正压力 静摩擦力达到最大值时，全约束力 与正压力 N的夹角 —— 摩擦角 ϕm 的夹角 ( fm = tanϕm )
B
F
化简成： 化简成：
NA − 0.4NB = 0
NB = 800
300S + 200 − 2 3NA = 0
NB (F = fmNB )
S = 3.03m
（刚好平衡时） 刚好平衡时）
梯子就要滑倒！ 结论： 结论： S > 3.03m 梯子就要滑倒！
3.3 摩擦角和自锁现象
如图： 如图：
G
ϕm
Fmax
F = f ′⋅ N
是常数. 动摩擦系数 f ′：是常数. 取决于相互接触物体表面的材料性质和 取决于相互接触物体表面的材料性质和表面状况 接触物体表面的材料性质 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） （如: 表面光洁度、润滑情况、温度、湿度等） 一般地， ③ 一般地，有 ： fm > f ′ 粗略地： 粗略地： f ′ ≈ fm
FHy A N
②
b F N
α
P
b ≤ 210 f = 210×0.5 =105(mm)
（压力角 α ）
F
结论：尺寸 小于105mm，才能保证砖不滑掉 结论：尺寸b 小于 ，才能保证砖不滑掉.
作业练习
1.练习： 练习： 练习 思考题： 思考题：3.1 ～ 3.7 习 题：3.1 ～ 3.14 2.书面作业： 书面作业： 书面作业 必作题（上交批改）： 必作题（上交批改）： 3.2 3.12 选作题： 3.7
α α
α > ϕm
防止：自卸车螺旋防自锁等，使 防止：自卸车螺旋防自锁等 防自锁 n ϕ 原理图
m
物块会下滑！ 物块会下滑！ 斜面倾斜角起 决定性作用！ 决定性作用！
α
α
例题. 均匀等直杆AB静止靠在 静止靠在光滑墙面上 例题. 均匀等直杆 静止靠在光滑墙面上，与地面 夹角 60° 地面不光滑,杆重 G = 60N。 ，地面不光滑, 1）先画出 、B端所受约束力 RA, RB与静摩擦力 . 与静摩擦力F. ） 画出A、 端 RA A 2）再计算约束力及全约束力 的大小. 的大小. ）再计算约束力及全约束力R的大小 端所受约束力如图. 解：1）A,B端所受约束力如图. ） , 端所受约束力如图 2）计算约束力的大小. ）计算约束力的大小. ∑Fx = F − RA = 0
R
RB
B C G
∑F
y
= RB −G = 0
F
l ∑MB = RA ⋅ l sin 60° −G⋅ 2 l cos 60° = 0
解得： 解得： F = RA =10 3(N), RB = 60(N)
2 R = RB + F2 = 602 + (10 3)2 =10 39(N)
3.5 如图砖夹与砖之间的静摩擦系数 f = 0.5 , 砖块 共重G，不计砖夹的重量。 共重 ，不计砖夹的重量。 应多大，才能保证砖块不滑掉？ 问：砖夹尺寸 b 应多大，才能保证砖块不滑掉？ 解法1：不等式辅助方法 解法 ：不等式辅助方法. 整体平衡时： 整体平衡时： = G P 两处压力小， 若AD两处压力小，则 两处压力小 AD两处静摩擦力也就 两处静摩擦力也就 砖将下滑！ 小，砖将下滑！ 砖块平衡时有： 砖块平衡时有： 静摩擦力 F = 0.5G. 应当选取砖夹AHB 应当选取砖夹 作为主要研究对象。 作为主要研究对象。
NA A
C
G W
60° °
A
a
S
C
S
60° °
B NB
F
B
∑F = N − F = 0 ① ∑F = N −G −W = 0
x A
y B
②
NA A
C
G W
y
a ∑MB = G⋅ S ⋅ cos60° +W ⋅ 2 cos 60° ③ − NA ⋅ asin 60° = 0
a
S
60° °
x
列辅助方程： 列辅助方程： F ≤ fm ⋅ NB
3.2.2 求解有摩擦时的平衡问题
受力分析时考虑摩擦力， 受力分析时考虑摩擦力，建立物体的平衡 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。 方程或方程组，也可再列辅助方程，解之。
如图. 长为4m， 例3.1 如图. 长为 ，重量 200N 的梯子靠在 光滑的墙上，梯子与地面成60° 光滑的墙上，梯子与地面成 °角, 梯子与地面间的 有一重600 N的人登梯而上。 的人登梯而上。 静摩擦系数 fm = 0.4 ，有一重 的人登梯而上 此人登到何处，梯子就要滑倒？ 试问：此人登到何处，梯子就要滑倒？ 解法 I： ： 作出梯子 作出梯子 的受力图 此乃平面 任意力系 列梯平衡时的 列梯平衡时的 平衡时 方程组如下： 方程组如下：
（参见：P68书——表3-1） 参见： 书——表 ）
3.2 考虑摩擦时的平衡问题
3.2.1 求最值的数学方法 求最值的数学方法
1) 常用方法： 常用方法： ——求某个量的最大最小值时 求某个量的最大最小值时, ——求某个量的最大最小值时 可以在临界 情况下建立方程，解出所求最大最小值。 情况下建立方程，解出所求最大最小值。 2) 不等式法：（一种严密却又繁的方法） 不等式法：（一种严密却又繁的方法） ：（一种严密却又 求某量的最值时， —— 求某量的最值时，据条件列不等式为 辅助方程（ 解出某最值。 辅助方程（如 0 ≤ F ≤ fm ⋅ N ）解出某最值。
解法II： 解法 ：临界状态法 刚好能平衡时， 刚好能平衡时， F = fmNB 即为所求. 刚好能平衡时的 S 即为所求
NA A
C
G W
y
a
S
60° °
x
∑Fx = NA − fmNB = 0
∑F
y
= NB −G −W = 0
① ②
a ∑MB = G⋅ S ⋅ cos60° +W ⋅ 2 cos 60° ③ − NA ⋅ asin 60° = 0
∴ G≤ N ≤
由 ① 得： N = ②
105G ③ b 105G b ≤ 105(mm) 由 ② ③得： G ≤ b 结论：尺寸b 小于105mm，才能保证砖不滑掉 结论：尺寸 小于 ，才能保证砖不滑掉.
b
P = G. F = 0.5G.
解法2：自锁辅助分析法 解法 ：自锁辅助分析法. 在平衡时，仍有： 在平衡时，仍有：
F
Pα
ϕm
α ≤ ϕm
ϕm
3. 掌握自锁现象：若压力与法线的夹角 掌握自锁现象 自锁现象： 压力P 小于摩擦角 (α ≤ ϕm ) 即：压力P位于
摩擦角内时,物体就不可能滑动。 摩擦角内时,物体就不可能滑动。
Fmax
N ϕm
R 4. 自锁实例：螺旋千斤顶。 防自锁实例：自卸车。 自锁实例：螺旋千斤顶。 防自锁实例：自卸车。
④
S a W ⑤ ①②③得出 得出： 由①②③得出： F = G + 3 2 3
B
F
F ≤ fm (G +W)
NB
⑥ ⑦
由⑤ ⑥得出：
S a G+ W ≤ fm (G +W) 3 2 3
代数据入⑦ 平衡时） 代数据入⑦解出： S ≤ 3.03m（平衡时） 梯子就要滑倒！ S > 3.03m 梯子就要滑倒！
3. 推压力分析
不计物块重, 如图: 不计物块重 如图 静摩擦力： 静摩擦力： F = f ⋅ N = f ⋅ Pcosα F ≤ P tan ϕm cosα
P
P x
α
Py
F
水平推力: P = Psin α 水平推力 N α x 物体滑动条件： x 滑动条件 物体滑动条件： P > Fmax Psin α > P tanϕm cosα tanα > tanϕm
第 3 章
摩擦自锁
概述： 概述：
两物体接触表面不可能绝对光滑. 两物体接触表面不可能绝对光滑. 工程实际中，经常不能忽略摩擦力 工程实际中，经常不能忽略摩擦力. 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面 利用摩擦有利的一面，克服有害的一面. 摩擦有利的一面 摩擦现象的分类: 摩擦现象的分类: 按接触部分有无相对运动划分：静摩擦、动摩擦 接触部分有无相对运动划分： 摩擦、 摩擦. 有无相对运动划分 按相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦 相对运动类型划分：滑动摩擦、滚动摩擦. 类型划分 摩擦 摩擦 按接触表面间有无润滑划分：干摩擦、湿摩擦 接触表面间有无润滑划分： 摩擦、 摩擦. 有无润滑划分
3.1 滑动摩擦
3.1.1 动摩擦的概念
静摩擦：两物体接触面间相对静止，但是有 摩擦：两物体接触面间相对静止， 相对静止 相对运动趋势时的摩擦. 时的摩擦 相对运动趋势时的摩擦. 动摩擦：两物体接触面间有相对运动时的摩擦. 摩擦：两物体接触面间有相对运动时的摩擦. 运动时的摩擦
3.1.2 滑动摩擦力的计算
R
α > ϕm α ≤ ϕm
物体静止条件： x 物体静止条件： P ≤ Fmax 静止条件
tanα ≤ tanϕm
4. 自锁现象： 自锁现象：
物体就不可能滑动。 P 位于 ϕm 内, 物体就不可能滑动。 ϕm ϕm ---压力角 称：α ---压力角 即：压力 注意： 注意：只要保证 ɑ 合压力与法线的夹角小于摩擦角 —— 合压力与法线的夹角小于摩擦角 (α < ϕm )
第3章 de 要点小结 章
1. 会计算全约束力： 会计算全约束力 全约束力： 正压力与摩擦力之合力R. 正压力与摩擦力之合力
(R =
N +F
2
2
)
R
N
2. 理解摩擦角 ( 0 ≤ F ≤ Fmax = fmN ) 理解摩擦角 摩擦角: 静摩擦力达到最大值时，全约束力 静摩擦力达到最大值时， R与正压力 的夹角 — 摩擦角： 与正压力N的夹角 摩擦角： 与正压力
70mm
P
C E H B G
b
F
A
F
D
28cm
砖夹AHB受力如图： 受力如图： 砖夹 受力如图 平衡方程： 平衡方程：
70mm
FHx
70
H
P
B
∑M
A
=70⋅ F + 70P −b⋅ N = 0
则： 105G − b⋅ N = 0 辅助方程： 辅助方程：
①
FHy A F N
∵ 0.5G = F ≤ f ⋅ N = 0.5N