北师大版高中数学必修《函数的单调性》PPT(新版)2
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北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT
(2)y′=-4<0,y=-4x是减函数.
(3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数.
知识点拨
一、函数的单调性与其导数正负的关系
一般地,函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负之间具有如下的关系:
(1)在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递增 ;
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 视察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
当 Δ>0,即 a> 3或 a<- 3时,令 f′(x)>0,即 3x2+2ax+1>0,
－a＋ a2－3
－a－ a2－3
解得 x>
或 x<
;
3
3
2
2
－a－
a
－3
－a＋
a
－3
2
令 f′(x)<0,即 3x +2ax+1<0,解得
<x<
.
3
3
－a－ a2－3 －a＋ a2－3
故函数 f(x)的单调递增区间是－∞，
高一数学函数的单调性2课件北师大
应用
（1）函数 f (x) x2 2bx1在区间 [1， 2]上是单调函数b，的则取值 范围是____.
（2）函数 f (x)是定义在区间 [1， 1]上增函数f (， x1) f (1x) 则x的取值范围__是_._
（3）已知函数f (x)是定义在(0，＋∞) 上的增函数，且f (2)＝1，且
证明：设x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2， 因为g(x)在[a，b]上单调递减，
所以g(x1)＞g(x2)， 又f(x)在R上递增，
而g(x1)∈R，g(x2)∈R， 所以f[g(x1)]＞f[g(x2)]， 所以f[g(x)]在[a，b]上是减函数．
复合函数的单调性
已知函数f(x)的定义域是F，函数g(x)的定 义域是G，且对于任意的x∈G，g(x)∈F， 试根据下表众所给的条件，用“增函数”、 “减函数”填空：
（3）函f(数 x) x 的递增区 __间 _. _是 x1
（4）函数 f (x)
2 的单调
x2 4x3
间是____值, 域_____. _
（5）函数y=|x|+3的单调区间是 ； （6）函数y=x2-2|x|-3的单调区间是 ；
(x1)2, x 0,
（7）函数 y
的单调区间是
2x, x 0
.
问题：定义在R上的函数f（x）满足： 任意x、y∈R，有f（x+y）= f（x）+ f （y）， 当 x＞0，f（x）＜0， f（－1）= 2. 求证：（1）判断函数f（x）的奇偶性 ； （2） f（x）在R上是减函数; （3）求函数在区间[－ 3，3]上的最值.
问题：定义在A={x|x≠0}函数f（x）满足： 任意x、y∈A，有f（x y）= f（x）+ f （y）. （1）求 f（1）； （2）判断 f（x）的奇偶性; （3）若 f（4）=1，f（3x+2）+f（2）≤3，
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例3 （2）
讨论函数 f ( x) ( x 1) x 的单调性
2 3
解 （1）该函数的定义域为( , )
2 2 1 5x 2 / 3 3 f ( x ) x ( x 1) x 1 3 3x 3 2 / 令 f ( x ) 0得 x , 显然 x =0为f ( x )的不可导点, 5 2 于是 x 0, x 分定义区间为三个子区间 5 2 2 ( , 0), (0, ), ( , ) 5 5
/
( x 0)
所以f ( x)在区间[0, )内单调增加, 又f (0) 0 因此, 当x 0时, 恒有f ( x) f (0), x 即 ln(1 x) 1 x
二、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
x ln(1 x ) 证法 2 证明不等式 1 x
x 设函数f ( x) ln(1 x) , 1 x 因为f ( x)在[0, )上连续, 当x 0时, 1 1 x x x f ( x) 0, 2 2 1 x (1 x) (1 x)
x f/(x) f(x)
（ ， -
7 ） 6
7 6
7 7 （ ， ） 6 10
7 10
7 （ ， ） 10
+
不可导 极大值
-
0 极小值
+
从表中可知：
7 7 x1 是极大值点，极大值f ( ) 0 6 6 7 7 7 3 x2 是极小值点，极小值f ( ) 980 10 10 50 7 7 单调增加区间（-， ），（ ， ） 6 10 7 7 单调减少区间（ ， ）。 6 10
新教材北师大版高中数学必修一 2.3.1函数的单调性(第2课时) 教学课件
04
第十三页，共二十六页。
f(x2) － f(x1) ＝ f[(x2 － x1) ＋ x1] － f(x1) ＝ f(x2 － x1)f(x1) － f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数．
第十四页，共二十六页。
微练
第十五页，共二十六页。
环节三
由含参函数单调 性求参
新教材北师大版高中数学必修一 2.3.1函数的单调性（第2课时） 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材北师大版 适用范围：【教师教学】
3.1函数的单调性 第2课时
第一页，共二十六页。
教学目标
01
抽像函数用 定义法证明
02
已知含参函数单 调性求参
第二页，共二十六页。
重点 难点
由含参函数的单调性求参
①每一段都是增函数；
②相邻两段函数中，自变量取值小的一 段函数的最大值(或上边界)，小于等于自变量 取值大的一段函数的最小值(或下边界)。
第二十一页，共二十六页。
分段函数在其定义域内是减函数必须满足 两个条件：
①每一段都是减函数； ②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数 的最小值(或下边界)，大于等于自变量 取值大的一段 函数的最大值(或上边界)。
最关键的步骤
第十页，共二十六页。
两种构造方法核心步骤对比
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
直接作差,再比大小
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2).
放缩法，得大小
第十一页，共二十六页。
例2.已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝ f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．
第十三页，共二十六页。
f(x2) － f(x1) ＝ f[(x2 － x1) ＋ x1] － f(x1) ＝ f(x2 － x1)f(x1) － f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
∴f(x)在R上是减函数．
第十四页，共二十六页。
微练
第十五页，共二十六页。
环节三
由含参函数单调 性求参
新教材北师大版高中数学必修一 2.3.1函数的单调性（第2课时） 教学课件
科 目：数学 适用版本：新教材北师大版 适用范围：【教师教学】
3.1函数的单调性 第2课时
第一页，共二十六页。
教学目标
01
抽像函数用 定义法证明
02
已知含参函数单 调性求参
第二页，共二十六页。
重点 难点
由含参函数的单调性求参
①每一段都是增函数；
②相邻两段函数中，自变量取值小的一 段函数的最大值(或上边界)，小于等于自变量 取值大的一段函数的最小值(或下边界)。
第二十一页，共二十六页。
分段函数在其定义域内是减函数必须满足 两个条件：
①每一段都是减函数； ②相邻两段函数中，自变量取值小的一段函数 的最小值(或下边界)，大于等于自变量 取值大的一段 函数的最大值(或上边界)。
最关键的步骤
第十页，共二十六页。
两种构造方法核心步骤对比
f(x1)－f(x2)＝f(x＋y)－f(y)＝f(x)＋f(y)－1－f(y)＝f(x)－1.
直接作差,再比大小
f(x1)＝f[x2＋(x1－x2)]＝f(x2)＋f(x1－x2)－1>f(x2).
放缩法，得大小
第十一页，共二十六页。
例2.已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝ f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.求证：f(x)在R上是减函数．
新教材北师大版必修第一册 第二章函数3函数的单调性2函数的单调性的应用 课件(40张)
有
()
A.f(-2)<f(1)<f(3)
B.f(1)<f(-2)<f(3)
C.f(3)<f(-2)<f(1)
D.f(3)<f(1)<f(-2)
【解析】选A.因为对任意的x1,x2∈R,且x1≠x2,都有(x1-x2)[(f(x1)-f(x2)]>0, 当x1<x2时,x1-x2<0,则f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2);当x1>x2时,x1-x2>0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是增函数, 所以f(-2)<f(1)<f(3).
y
-f(y).
(1)证明:函数f(x)是增函数;
(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f( 1 )<2.
3
课堂检测·素养达标
1.函数y= 1 在[2,3]上的最小值为 ( )
x－1
A.2 B. 1
2
C ．1
D．－1
3
2
【解析】选B.y= 1 在[2,3]上单调递减,
x 1
所以x=3时取最小值为 1 .
的取值范围是 ( )
A.(3,+∞) B.(-∞,3)
C.[2,3)
D.[0,3)
【思路导引】从定义域,单调性两个方面列不等式求范围.
【变式探究】 本例的条件若改为“单调递增”,试求m的取值范围. 【解析】因为f(x)的定义域为[0,+∞), 由f(2x-4)>-1,得f(2x-4)>f(2), 因为f(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以2x-4>2,解得x>3.
北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT
有以下三种：
①定义；
②图像；
③导数.
利用导数判断函数单调性的一般步骤如下：
1.确定函数()的定义域
2.求出导数f ′(x).
3.解不等式f ′(x)＞0，得函数f (x)的单调递增区间；
解不等式f ′(x)＜0，得函数f (x)的单调递减区间.
4.结合定义域写出单调区间
梳理小结
布置作业
情境引入
此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些
特殊的点，如(−2,60),(3, −65)等，就可以画出函
数的大致图像.右图即为 = 2 3 − 3 2 −
36 + 16的大致图像.
y
60
40
20
–4
–3
–2
–1 O
–20
–40
–60
1
2
3
4
5
x
实例分析
情境引入
抽象概括
课堂练习
判断函数单调性的基本方法有哪些？
（3） = = −3 + 4
解：
（1）′ = 1
（2）′ = 2
（3）′ = −3
函数（1）（2）的导数是正的，在定义域(−∞, +∞)上
函数值都是随的增加而增加的；
函数（3）的导数是负的，在定义域(−∞, +∞)上
函数值都是随的增加而减少的.
情境引入
实例分析
抽象概括
实例分析
抽象概括
讨论下列函数的单调性：
（1） = 2 2 − 5 + 4
课堂练习
梳理小结
（2） = 3 − 3
解：
（1）′ = 4 − 5
5
当′ > 0时， >
高中数学北师大版必修一 函数的单调性 课件(35张)
[迁移探究 1]
(变换条件、改变问法)将典例 2 中区
间“(2，＋∞)”改为“(0，2)”，试判断函数 f(x)的单调 性并证明． 4 解：函数 f(x)＝x＋ 在(0，2)上是减函数． x 证明：任取 x1，x2∈(0，2)，且 x1<x2，
4 4 则 f(x1) － f(x2) ＝ x1 ＋ － x2 － ＝ (x1 － x2) ＋ x1 x2 4（x2－x1） x1x2－4 ＝(x1－x2) . x 1 x2 x1x2
1 1 (2)y＝ 的图象可由函数 y＝x 的图象向右平移一 x－1 个单位得到， 如图所示， 其单调递减区间是(－∞， 1)和(1， ＋∞)．
答案：(1)[－5，－2)，[1，3) (2)(－∞，1)，(1，＋∞)
[－2，1)，[3，5]
归纳升华 1． 利用函数图象确定函数的单调区间， 具体做法是： 先化简函数解析式， 然后画出它的草图， 最后根据函数定 义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间． 2．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用 “和”“， ”连接，不能用“∪”“或”连接．
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那 么就说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 f(x)的单调区间．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( (2)函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( ) )
证明：任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 4 4 则 f(x1) － f(x2) ＝ x1 ＋ － x2 － ＝ (x1 － x2) ＋ x1 x2 4（x2－x1） x1x2－4 ＝(x1－x2) . x1x2 x1x2
北师大版必修一第二章2.3.1函数的单调性课件
__减__小__．
2.在区间_(_0_,_+__∞_)_上，f(x)的值随着x的增大而
_增__大__.
概念讲授
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自变
量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
由于x1,x2 0, ,得x1x2>0,又由
x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
推广：反比例函数的单调性 y k (k 0) x
结论：k 0时，
函数在（ ，0）和（0， ）
例2 证明函数f (x) 3x 2在R上是增函数.
证明：任取 x1 ， x2 (, ) ，且 x1 x2 ，则
f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x2 )
x1 x2
x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f (x) 是1减小的.
x
练习：证明：函数 f (x) 1 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 1 x2 x1 . x1 x2 x1x2
(3)函数的单调区间是其定义域的子集；
(4)一般地，函数f(x)在区间A、B上都是增（减） 函数，并不能说函数f(x)在A∪B上是增（减）函数.
2.在区间_(_0_,_+__∞_)_上，f(x)的值随着x的增大而
_增__大__.
概念讲授
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自变
量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
由于x1,x2 0, ,得x1x2>0,又由
x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
推广：反比例函数的单调性 y k (k 0) x
结论：k 0时，
函数在（ ，0）和（0， ）
例2 证明函数f (x) 3x 2在R上是增函数.
证明：任取 x1 ， x2 (, ) ，且 x1 x2 ，则
f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x2 )
x1 x2
x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f (x) 是1减小的.
x
练习：证明：函数 f (x) 1 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 1 x2 x1 . x1 x2 x1x2
(3)函数的单调区间是其定义域的子集；
(4)一般地，函数f(x)在区间A、B上都是增（减） 函数，并不能说函数f(x)在A∪B上是增（减）函数.
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
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11
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
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谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
《函数单调性北师大》PPT课件
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
精选课件ppt
9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
精选课件ppt
9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
北师大版高中数学必修第一册2.3.1函数的单调性课件
第1课时 函数的单调性
【最新课标】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
教材要点 要点一 增函数与减函数的定义
f(x1)<f(x2)
增函数
f(x1)>f(x2)
减函数
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明 时不能以特殊代替一般；
解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4， ∴a＝－3.
答案：D
答案：ABD
答案：D
3．(5分)若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0，3)上不单调，则实
数m的取值范围为( )
A．[0，2]
B．(0，2)
C．(－∞，0]
答案：B
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系
式正确的是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(1)<f(－1)
答案：C
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞， 2]上单调递减．因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1)．故选C.
4 ． 函 数 y ＝ (2m － 1)x ＋ b 在 R 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ________.
题型1 利用函数图象求单调区间——自主完成 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
【最新课标】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
教材要点 要点一 增函数与减函数的定义
f(x1)<f(x2)
增函数
f(x1)>f(x2)
减函数
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明 时不能以特殊代替一般；
解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4， ∴a＝－3.
答案：D
答案：ABD
答案：D
3．(5分)若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0，3)上不单调，则实
数m的取值范围为( )
A．[0，2]
B．(0，2)
C．(－∞，0]
答案：B
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系
式正确的是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(1)<f(－1)
答案：C
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞， 2]上单调递减．因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1)．故选C.
4 ． 函 数 y ＝ (2m － 1)x ＋ b 在 R 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ________.
题型1 利用函数图象求单调区间——自主完成 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
北师大版必修一：第二章3函数单调性(共23张PPT)
④判断：根据定义得出结论.
分享心得
？ 你学到了什么知识？ ？掌握了什么方法？ ？ 收获了什么思想？
证步 明骤
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
能 不 能 说 y 1 (x 0)在 定 义 域(, 0) (0,合函数的图象可知上述说 法是错误的.
函 数 在 （ - ， 0 ） 上 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ： 证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 , 则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
函数图象如图
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2 )函 数 在 （ ， 0 ） 上 和 （ 0 ， ） 上 都 是 减 函 数 .
【思考交流】
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 . 所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
即f(x1)f(x2） .
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 . x
探究一 函数单调性的定义
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
分享心得
？ 你学到了什么知识？ ？掌握了什么方法？ ？ 收获了什么思想？
证步 明骤
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
能 不 能 说 y 1 (x 0)在 定 义 域(, 0) (0,合函数的图象可知上述说 法是错误的.
函 数 在 （ - ， 0 ） 上 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ： 证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 , 则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
函数图象如图
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2 )函 数 在 （ ， 0 ） 上 和 （ 0 ， ） 上 都 是 减 函 数 .
【思考交流】
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 . 所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
即f(x1)f(x2） .
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 . x
探究一 函数单调性的定义
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
2.3函数的单调性ppt课件高中数学必修1北师大版(2)
④当c>0时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；当c<0时，
函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.
【典例训练】
1.下列函数在指定区间上是减少的为(
(A) y (B) y
2 x , x∈(-∞,0)∪(0,+∞) 2 , x∈(1,+∞)
)
x 1 (C)y=x2,x∈R
(D)y=|x|,x∈R
④判断差值的符号.必要时，需进行一定的分类讨论；
⑤结论.根据函数单调性的定义得出函数在区间上是增加或减 少的结论.
以上五个步骤可以简记为“取值——作差——变形——定号—
—结论”，此方法一般也是证明一个函数在某区间上是增加的 或减少的常用方法.
(2)图像法 根据图像的“上升趋势”或“下降趋势”，从而得到函数的单 调性.
【解析】∵函数f(x)=9-x2的二次项系数为-1，且-1<0,∴其图
像开口向下，对称轴为y轴，∴函数f(x)在［0，3］上是减少 的，∴当x=0时，f(x)取得最大值，即f(x)的最大值为9-02=9. 答案：9
1.对函数单调性的理解
(1)包含性：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即
单调区间是定义域的子集，如函数y=x2的定义域为R，当x∈ ［0,+∞)时是增加的，当x∈(-∞,0)时是减少的.
(3)性质法
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次 函数、反比例函数的单调性可直接利用.掌握以下结论，对于
判断函数的单调性有一定好处.
①当f(x)>0时，函数 f(x)<0也成立.
y
1 f (x )
与y=f(x)的单调性相反，对于
②在公共定义域内，两增函数的和仍为增的，增函数减去一个 减函数所得的函数为增的. ③函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.
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北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
1、粗描函数y=x2在[0，+∞）的图象，观察 当x的值由0逐渐增大时，函数y的变化情况。
x01234…
y 0 1 4 9 16 …
y
16
●
观察得出：函数y=x2
图象在[0，+∞）上
9
●
，随着x值的逐渐增
4
●
大y值也逐渐增大,
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
观察第二组函数图象，指出其变化趋势.
y
y=-x+1
1
O1x
y
1
O1 x
y
1
O1 x
从左至右图象呈_下__降___趋势.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
观察第三组函数图象，指出其变化趋势.
y
y y=x2
y
O1
-1
1
x
-1
1
O1 x
1
O1
x
从左至右图象呈_局__部__上__升__或__下__降_趋势.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是单调增函数
； 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函 数 f (x)在R上是增函数；
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
N
M
I x1 x2
区间I内随着x的增大，y也增大
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于区间I上的任意
定 两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) f(x2 <)，
义 那么就说 f (x)在区间I上
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是 增函数；
x 1, x 2 取值的任意性
y
f(2)
f(1) O 1 2x
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
例1.判断函数 y 1x在(0，＋∞)单调 区间上的单调性，并给出证明。
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
？
对区间I内 任x意1，x2 ， 当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
y
图象在区间I逐渐上升
f(x2)
f(x1) O
2.1.3 函数的单调性
知识目标：
理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；能够根 据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。
能力目标：
通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观 察、归纳、抽象的能力和语言表达能力
情感目标:
通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良 好习惯； 通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣.
y
f(x2) f(x1)
O
N
M
I x1 x2
图象在区间I逐渐上升
区间I内随着x的增大，y也增大
？
对区间I内 x1，x2 ，
当x1<x2时， 有f(x1)<f(x2)
x
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
y
f(x2) f(x1)
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
判断1：函数 f (x)= x2 在, 是 y
单调增函数；
函数单调性是针对某个区间而言的， 是一个局部性质;
o
y x2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
是单调增函数I 称，为 f (x)的单调
增区间.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
y
y1 x
x
如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， 当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函那么就说在f(x)这个区间上是单调
1● ●
图像上升。
o 1234 x
2、粗描函数y=x2在（-∞，0]的图象，观察当 x的值由-∞逐渐增大时，函数y的变化情况。
x … -4 -3 -2 -1 0
y … 16 9 4 1 0
y
●
16 观察得出：函数y=x2
图象在（-∞，0]上，随
●
9
着x值的逐渐增大y值逐
渐减小，图像下降。
●
4
函数在某个区间上增大或减
数，I称为f(x)的单调 区增间.
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
单调区间
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单 调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上 具有单调性。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减 函数的图象是下降的。
● 1 小的性质，我们称单调性。
●
x
-4 -3 -2 -1 o
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
y
10
8
6
4
2
I
O -2
2
4
6
81 0
1 2
1 4
16 1 8
20 2 2
24 x
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2
永切隔数形数焉数
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远莫离形少无能与
联忘分结数形分形
系几家合时时作本
华莫何万百难少两是 罗分代事般入直边相 庚离数休好微觉飞倚
统
依
一
体
观察第一组函数图象，指出其变化趋势.
y
y=x+1
1
O1 x
y
1
O1
x
y
1
O1
x
从左至右图象呈_上__升___趋势.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》PPT （新版 ）2