方差分析方差分析的意义当试验的处理数目
方差分析
第七章方差分析●了解方差分析的概念和作用；●掌握方差分析的基本原理和步骤；●掌握单向分组资料的方差分析；●掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。
能力目标：●学会完全随机试验资料进行方差分析；●学会单向分组资料进行方差分析；●学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。
对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。
而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不宜应用。
其原因是当k≥3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。
因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。
方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。
第一节方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOV A）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。
即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
一、自由度与平方和分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。
因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。
下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。
假设有k 个处理，每个处理有n 个观察值，则该试验资料共有nk 个观察值，其观察值的组成如表7-1。
表7-1中，i 代表资料中任一样本；j 代表样本中任一观测值；x ij 代表任一样本的任一观测值；T t 代表处理总和；t x 代表处理平均数；T 代表全部观测值总和；x 代表总平均数。
表7-1 每处理具n 个观测值的k 组数据的符号表处理观察值处理总和T t 处理平均t x 12 … j … n 1 x 11 x i 2 … x 1j … x 1n T t1 1t x 2 x 21 x i 2 … x 2j … x 2n T t2 2t x… … … … … … … … …i x i1 x i 2 … x ij … x in T ti ti x… … … … … … … … …kx k 1x k 2… x kj…x k nT tk tk xT =∑xx在表7-1中，总变异是nk 个观测值的变异，故其自由度v =nk -1，而其平方和SS T 则为： =T SS 221()nk ij x x x C -=-∑∑ (7-1)（7-1）式中的C 称为矫正数：22()x T C nknk==∑ (7-2) 产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。
方差分析
二期矽肺 100.67 93.47 74.97 88.06 113.52 101.14 95.10 118.98
三期矽肺 97.58 83.58 103.81 107.10 108.42 82.58 89.01 77.11
方差分析的基本思想
总变异：从例中看出，32个观察值大小参差不 齐，这种个体值与总均数之间的差异称为总变 异。
多个样本均数间的多重比较
多个样本均数间的多重比较：也称为两两 比较，主要用于探索与证实多组均数中， 哪两个总体均数间有差别，哪两个均数间 没有差别。 如果多组均数的比较采用两样本均数比较 的t检验，会加大I型错误。
多个样本均数间的多重比较
LSD-t检验：最小显著差法
容易获得P<0.05，但是假阳性率较高；
完全随机设计资料的方差分析
方差分析结果表 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649 ν 39 3 36 MS F P <0.05
15.030 12.990 1.157
3.确定P值和作出推断结论：以ν组间=3，ν组内=36， 查F界值表得P<0.05， 按α=0.05水准拒绝H0 ，接受 H1，故可以认为给予不同剂量的三菱莪术液，小鼠瘤 重间差别有统计学意义。
方差分析
主要内容
方差分析的基本思想 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设 计、交叉设计和析因设计资料方差分析的 基本过程
多个样本均数的比较
两个样本均数的比较：
1次t-test，α=0.05；
三个样本均数的比较：
3次t-test，α=1-（1-0.05）3=0.14；
四个样本均数的比较：
6次t-test，α=1-（1-0.05）6=0.26；
试验的方差分析
结果解释和结论
统计推断
根据方差分析的结果，对自变量对因变量的影响进行统计推断，如 比较不同组间的均值差异、判断组间差异是否显著等。
结果解释
结合实际情境对分析结果进行解释，阐明自变量对因变量的作用机 制。
结论总结
根据分析结果得出结论，提出相应的建议或展望，为实际应用提供 指导。
05 方差分析的局限性
背景
在科学实验、社会科学调查、工业生产等领域，经常需要对 多组数据进行比较，以了解不同条件或处理对结果的影响。 方差分析为此类问题提供了一种有效的解决方案。
方差分析的定义和重要性
定义
方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种统计技术，用于比较两个或更多独立样本的均值是否显著不 同。它通过分析数据的方差来检验各组数据的分散程度，判断数据是否受到单一或多个因素的影响。
适合社会科学研究
SPSS在社会科学领域应用广泛，提供了许多针对社会科学研究的统计 方法。
R语言
开放性
R语言是一个开源软件， 用户可以自由获取和使 用源代码，同时也可以 自己编写函数进行数据 分析。
灵活性高
R语言提供了丰富的数 据结构和函数库，可以 灵活地进行各种数据分 析操作。
社区支持强大
R语言拥有庞大的用户 社区，遇到问题可以快 速得到解答和帮助。
样本收集
按照实验设计方案采集样本，确保样本的代表性和随 机性。
数据预处理和模型拟合
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值 检测与处理等。
数据转换
根据分析需求对数据进行适当的转换，如标准化、对数转换等。
模型拟合
选择合适的方差分析模型，利用样本数据拟合模型，为后续分析提 供依据。
方差分析
第7章方差分析摘要：多组资料均数比较一般采用方差分析的方法，SAS中方差分析的功能非常全面，能实现方差分析功能的过程有ANOV A过程和GLM过程。
对于两个平均数的假设测验，一般采用t测验来完成，对于多个平均数的假设测验，若采用t测验两两进行，不仅非常麻烦，而且容易犯第一类错误。
方差或称均方，即标准差的平方，它是一个表示变异程度的量。
在一项试验或调查中往往存在着许多种影响生物性状变异的因素，这些因素有较重要的，也有较次要的。
方差分析就是将总变异分裂为各个因素的相应变异，作出其数量估计，从而发现各个因素在变异中所占的重要程度；而且除了可控制因素所引起的变异后，其剩余变异又可提供试验误差的准确而无偏的估计，作为统计假设测验的依据。
当试验结果受到多个因素的影响，而且也受到每个因素的各水平的影响时，为从数量上反映各因素以及各因素诸水平对试验结果的影响，可使用方差分析的方法。
SAS系统用于进行方差分析的过程主要有ANOV A过程和GLM过程，对于均衡数据的分析一般采用ANOV A过程，对于非均衡数据的分析一般采用GLM过程。
方差分析和协方差分析在SAS系统中由SAS/STAT模块来完成，其中我们常用的有ANOV A过程和GLM过程。
前者运算速度较快，但功能较为有限；后者运算速度较慢，但功能强大，我们做协方差分析时就要用到GLM过程。
本章将首先介绍方差分析所用数据集的建立技巧，然后重点介绍这两个程序步。
§7.1 方差分析概述一、方差分析的应用场合、基本思想和前提条件1．应用场合当影响因素是定性变量（一般称为分组变量或原因变量），观测结果是定量变量（一般称为结果变量或反应变量），常用的数据处理方法是对均数或均值向量进行假设检验。
若只有一个原因变量，而且其水平数k≤2，一元时常用U检验、t检验、秩和检验，多元时用多元检验（T2检验或wilks’^检验）；若原因变量的水平数k≥3或原因变量的个数≥2，一元时常用下检验，也叫一元方差分析（简写成ANOV A）或非参数检验，多元时用多元方差分析（简写成MANOV A，其中最常用的是Wilks’^检验）。
9方差分析
随机区组设计的多个样本均数的比较可用多
个样本均数比较的两因素方差分析。两因素是指 主要的研究因素和配伍组（区组）因素，研究因 素有k个水平，共有n个区组。
表9－7
A.B.C三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量(g/L))
区组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A方案 2.21 2.32 3.15 1.86 2.56 1.98 2.37 2.88 3.05 3.42 10 2.5800 0.2743 B方案 2.91 2.64 3.67 3.29 2.45 2.74 3.15 3.44 2.61 2.86 10 2.9760 0.1581 C方案 4.25 4.56 4.33 3.89 3.78 4.62 4.71 3.56 3.77 4.23 10 4.1700 0.1605
X ij
ni Xi s i2
19 5.8000 18.1867
表9－4 方差分析试验数据示意图
用Xij表示第i个处理组的第j个观察值； 方差分析的目的就是通过分析各个处理组均数之间的差 i=1、2…k; j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数总例数 别，推断它所代表的k个总体均数间是否存在差别。 N =∑ni。第i个处理组的均数用 X i 表示，全部实验结果的 总均数用 X 表示。
9.23 3.93
9.11 10.90 6.55 4.83
9.24 4.86
9.55 10.28 3.88 3.89
9.12 5.38
8.75 4.08
如要进行两两比较的t检验，即10个样本每两个进行，
其比较的次数为： m k k k 1 1010 1 45 2
2 2
表9－3 .45次比较中5次有统计学意义的结果 实验结果表示：若＝0.05，则在45次比较中，发现有5次 有统计学意义，结果见表9－3。从理论上讲10个样本均来自同 样本编号k 1与3 1与6 1与7 1与9 1与10 一正态总体，应当无差别，但我们用两样本比较的t检验时，规 t 2.601 2.329 2.372 2.727 2.918 定＝0.05，其实际犯第一类错误的概率为5/45＝0.11,显然比 p 0.013 0.025 0.023 0.029 0.006 所要控制的0.05要大。 需采用本章介绍的方差分析(ANOVA)
生物统计学-方差分析
： ：
： ：
： ：
： ：
： ：
x1j x1n
x2j
x3j
xij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
上述模型中，包括两类不同的处理效应。 第一类处理效应称为固定效应(fixed effect)， 它是由固定因素(fixed factor)所引起的效应。 若因素的a个水平是经过特意选择的，则该 因素称为固定因素。例如，几个不同的实验 温度，几个不同的化学药物或一种药物的几
种不同浓度，几个作物品种以及几个不同的
第二类处理效应称为随机效应（random effect），它是由随机因素（random factor）所引起的效应。若因素的a 个水平， 是从该因素全部水平的总体中随机抽出的样 本，则该因素称为随机因素。从随机因素的 a 个水平所得到的结论，可以推广到这个因 素的所有水平上。处理随机因素所用的模型 称为随机效应模型（random effect model）。例2.2 的动物窝别，是从动物所有可 能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考 查在窝别之间，出生重是否存在差异，因而 “窝别”是随机因素。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
第九章----方差分析
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组 间变异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起 作用。根据计算出的检验统计量F值, 查界值表 得到相应的P值, 按所取检验水准α作出统计推断 结论。
检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体;
2、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性
五、方差分析的用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较; 2、分析两因素或多因素间的交互作用; 3、用于回归方程的线性假设检验。
六、方差分析的优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数; 2、可同时分析多个因素的作用; 3、可分析因素间的交互作用.
一、多个样本均数间的比较能否用 t 检 验或 u 检验？为什么？
原因:
五个样本均数进行比较, 每次两个均数作一次 t 检验, 共需作10（C52=10）次 t 检验。若每次比 较的检验水准α＝0.05, 则每次比较不犯Ⅰ型错误 的概率为（1-α）＝0.95。当这些检验独立进行 时, 则10次比较均不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510＝ 0.5987, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的检验水准 α变为1-0.5987＝0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型错 误的概率增大, 可能将原本无差别的两个总体推 断为有差别, 误判为有统计意义。因此多重比较 不宜用的 t 检验或 u检验作两两比较。
已知各组均数、标准差和样本含量时F值 的简便计算方法。
当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和 样本含量时, 可进行如下计算, 分两种情况: 1、各组样本含量ni相等; 2、各组样本含量ni不等。
方差分析
第九章方差分析第一节方差分析的一般问题一、方差分析的意义在工农业生产和科学研究中，经常要搞一些试验活动。
比如，为了解某个新品种的种植效果，需要在土壤条件、温度、湿度、施肥、灌溉等因素相同的情况下，将新品种与其他同类品种的种植结果作比较。
商品的包装方式和在商场里的摆放位置，对吸引顾客是有帮助的，那么为确定某商品合适的包装和销售位置，也可以进行观察试验。
在化工生产中，原料的成分、反应温度、压力、时间、催化剂、设备水平、操作规程等，对产品的得率和质量有很大的影响，通过实验研究，可以帮助我们找到一个最优的生产方案。
在试验基础上取得的数据，称为试验数据。
方差分析技术是对试验数据进行分析的一种比较有效的统计方法。
方差分析是费暄在马铃薯种植试验中首先提出来的，当初他采用的处理方法是，把观察数据看作是马铃薯品种与试验误差共同影响的总和，然后把条件（马铃薯品种）变异和随机试验误差进行比较，以此分析马铃薯品种之间是否存在显著的差异。
后来费暄给出的总结性意见是，方差分析是在若干个能够互相比较的资料组中，把产生变异的原因（主要是条件因素和随机因素）加以明确区分的方法和技术。
二十世纪二十年代，费暄又对方差分析作了系统的研究，并把他的研究成果写在《供研究人员用统计方法》等著作中。
关于单个总体均值和两总体均值差的检验内容，我们在前面已作了比较系统的介绍。
从形式上看，方差分析把这一类检验问题向前拓展了一步，它能够同时对若干个总体均值是否相等的假设进行检验，从而大大提高了统计分析的效率。
另外，方差分析对样本的大小没有更多的限制。
无论是大样本还是小样本，均可以使用方差分析方法。
方差分析方法的最大好处在于，在资料分析过程中所带来的种种便利性，其一，它能够使资料的层次结构清晰有序，其二，它能把一切需要进行的假设检验归结成一种共同格式。
有鉴于此，方差分析的思想逐渐渗透到统计学的许多方法之中。
比如，我们在相关与回归分析一章中所述的总离差平方和的分解，实际上就是方差分析思想的应用。
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或两个以上样本均值是否存在显著差异。
通过对不同组之间的方差进行比较，判断样本均值之间是否存在显著性差异。
方差分析广泛应用于实验设计和数据分析中，是一种重要的统计工具。
一、方差分析的基本概念方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的统计方法。
在进行方差分析时，我们通常将数据分为不同的组别，然后比较这些组别之间的均值差异是否显著。
方差分析的基本思想是通过比较组间变异与组内变异的大小，来判断总体均值是否存在显著差异。
在方差分析中，有三种不同的方差：1. 总体方差（Total Variance）：所有数据点与总体均值之间的离差平方和。
2. 组间方差（Between-group Variance）：各组均值与总体均值之间的离差平方和，反映了不同组别之间的差异。
3. 组内方差（Within-group Variance）：各组内部数据点与各自组均值之间的离差平方和，反映了组内数据的离散程度。
二、方差分析的应用领域1. 实验设计：方差分析广泛应用于实验设计中，用于比较不同处理组之间的均值差异，判断实验处理是否显著。
2. 医学研究：在医学研究中，方差分析常用于比较不同药物治疗组的疗效差异，评估治疗效果的显著性。
3. 市场调研：在市场调研中，方差分析可用于比较不同产品或广告策略对消费者行为的影响，帮助企业制定营销策略。
4. 教育评估：在教育领域，方差分析可用于比较不同教学方法或教育政策对学生成绩的影响，评估教育改革效果。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：明确研究问题，提出原假设（各组均值相等）和备择假设（至少有一组均值不相等）。
2. 收集数据：根据研究设计，收集各组数据。
3. 方差分析：计算总体方差、组间方差和组内方差，进行方差分析。
4. 判断显著性：通过计算F值，比较P值与显著性水平，判断各组均值是否存在显著差异。
医学统计学：04 方差分析
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
F 分布曲线
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10,2 10
2F
3
4
F 界值表
附表4 F界值表（方差分析用，单侧界值） 上行：P=0.05 下行：P=0.01
分母自由度
υ2
1
161 1
4052
18.51 2
98.49
4.21 27
• 随机区组设计又称随机单位组设计、配伍组设计，也叫双因 素方差分析（two--way ANOVA）。是配对设计的扩展。
具体做法：
① 将受试对象按性质（如性别、年龄、病情等） （这些性质是
非处理因素，可能影响试验结果）相同或相近者组成m个单位 组（配伍组），每个单位组中有k个受试对象，分别随机地分 配到k个处理组。
2
7
33.4
18
2
8
38.3
19
2
9
38.4
20
2
10
39.8
21
3
1
32.9
22
3
2
37.9
23
3
3
30.5
24
3
4
31.1
25
3
5
34.7
26
3
6
37.6
27
3
7
40.2
28
3
8
38.1
29
3
9
32.4
30
3
10
35.6
35.51667
(Xij X )2
【生物统计】第六章 方差分析
722 922 562 1162 SSt C 7056 504 n 4
Ti 2
dft k 1 4 1 3
SSe SST SSt 602 504 98
dfe dfT dft k (n 1) 4 (4 1) 12
yij y
Ｃ
试 验 误 差
yi y
Ａ ＢLeabharlann yij yiＡ Ｂ Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｃ
-2 -2 -2 -2
0 0 0 0
2 2 2 2
-3 -2 -2 -1
-1 0 0 1
0 1 2 5
-1 0 0 1
-1 0 0 1
-2 -1 0 3
SSt n( yi y )2 32
SST ( yij y )2 50
2 2
因为
SST ( yij y ) ( yij yi yi y )
2
( y y ) 0
i
所以 SST SSt SSe
第一节 方差分析的基本原理
自由度的分解 总自由度： 处理项自由度： 误差项自由度：
dfT nk 1
dft k 1
dfe dfT dft k (n 1)
SSe ( yij yi )2 18
第一节 方差分析的基本原理
通过前面的平方和的直观分解可以看出： SSe SSt
SST SSt SSe
2
当然也可以由公式推导出来：
( yij yi ) ( yi y ) 2 (yij yi ) ( yi y )
18 23 14 29
y 21
第一节 方差分析的基本原理
方差分析
（一）方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变量，例 如失业持续时间。 自变量：作为原因的、把观测结果分成几个组以 进行比较的变量例如奖金水平。 在方差分析中，自变量也被称为因素(factor)。 因素的不同表现，即每个自变量的不同取值称为 因素的水平。
（一）方差分析中的几个基本概念
F
p
总和
SST
n-1
7.2.4 方差分析的步骤与方差分析表
4.确定决策规则并根据实际值与临界值的 比较，或者p-值与α 的比较得出检验结论。 在零假设成立时组间方差与组内方差的比值服从
服从自由度为(r-1, n-r) 的 F 分布
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2
一份研究伐木业对热带雨林影响的统计研究报告指 出，“环保主义者对于林木采伐、开垦和焚烧导致 的热带雨林的破坏几近绝望”。这项研究比较了类 似地块上树木的数量，这些地块有的从未采伐过， 有的1年前采伐过，有的8年前采伐过。根据数据， 采伐对树木数量有显著影响吗？显著性水平α=0.05。
例2 热带雨林 （2）
f(X)
X
3 1 2 4
X
失业保险案例：实验结果……
110 100 90 80 70 1 2 3 4
失 业 时 间
奖金水平
1=无奖金 2=低奖金 3=中奖金 4=高奖金。根据 实验结果，可以认为各总体的平均失业时间相同 吗？
研究方法：两样本的t检验？
用t检验比较两个均值：
从未采 伐过 27 22 29 21 19 33 16 20 24 27 28 19 1年前采 伐过 12 12 15 9 20 18 17 14 14 2 17 19 8年前采 伐过 18 4 22 15 18 19 22 12 12
方差分析(1)
表9-2 各秩次距下的Rα
K
2
3
SSR0.05 SSR0.01
第九章 方差分析
第一节 方差分析的意义
当试验的处理数目K≥3时，不能直接应用t测验及u测验 的两两测验方法进行平均数假设测验的原因有三：
1. 当有K个处理平均数时，将有[k(k-1)]/2 个差数， 要对这诸多差数逐一进行比较测验，程序实为繁琐。
2. 试验误差估计的精确度要受到损失。
3. 两两测验的方法会随着K的增加而大大增加犯α错误 的。概率。
多重比较常用的方法有以下两种：
（一）保护性最小显著差数法，即 PLSD法。 步骤：1. 根据 dfe 查出 tα 。 2. 计算平均数差数标准误 3. 计算显著尺度PLSDα值： PLSDα = tα × 平均数差数标准误 4. 将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处理之间的差值，
将各差值均与PLSDα相比较，作出差异显著性判断。 PLSD0.01 > 平均数差值 ≥ PLSD0.05，则两处理平均数间差异为显著； 平均数差值 ≥ PLSD0.01，则两处理平均数间差异为极显著； PLSD0.05 > 平均数差值 ，则两处理平均数间差异为不显著。
因此，当处理数目K≥3时应该采用方差分析法。方差分 析的特点是将全部数据看成是一个整体，分析构成变量的变 异原因，进而计算不同变异来源的总体方差的估值。然后
进行F测验，判断各样本的总体平均数是否有显著差异，在 达到差异显著的基础上，再对两两样本的总体平均数间的 差异显著性作出判断。（看表9-1解释）
二、F测验
St2 = SSt / dft
Se2 = SSe/ dfe
F = St2 / Se2
此步骤分析的目的是判断各个处理平均数之间是否存在显著差异。
实习课六-方差分析
SStotal ( xij x ) 2； vtotal n 1
2、组内变异：同一水平处理组内，各个观察值并不完全相等， 该变异称为组内变异或误差变异，主要由个体差异和随机测量误 差造成，统称随机误差；
SSerror ( xij xi ) 2 ;
verror =n k
x1n1
n1 x1
x2n2
n2
x2
……
xknk
nk
xk
n ni
x
10
中 国 医 学 科 学 院
．基 础 医 学 研 究 所
五、问题？
为什么不用t检验？
—两个组之间的比较当然可以！
但是，同批数据多次反复使用t检验显然会使犯α错误的概率增大。
统计学上的显著性差异从来就不是绝对的，而是概率，α=0.05，表示实际无差异，而 检验得到有差异结果的概率。
F值多大算和1差别大呢？和其他假设检验一样，我们可以：
查表：查自由度为ν1 ν2的F界值表 或更省事的办法直接看软件计算的结果
7
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三、方差分析的基本思想
根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平方和及自由度 分解为两个或多个部分，除随机误差外，其余每个部分的变 异可由某些特定因素的作用加以解释。 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方MS），借助F分布做 出统计推断，从而判断某因素对观察指标有无影响
2 xj
0.9677
0.2032
9.6148
0.4296
38.7813
0.5133
42.5230
0.4600
( x ) 91.8868
(S )
方差分析
（1.2）
27 May 2020
方差分析
一、单因素方差分析的统计模型：
yij
诸 ij
i ij , j 1, 2,..., mi , i
相互独立，且都服从N
1,（21,..3.）., r,
(0, 2 )
总均值与效应的概念:
1）称诸 i 的平均
为总均值(或一般平均).
2）称第 ia水i=平i -下的为均A值i 的效i 与应总。均1n值ir1m的i 差i :
27 May 2020
方差分析
第26页
➢ 由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间 的差异，故由效应不同引起的数据差异可用组间
偏差平方和 SA r mi ( yi• y )2 表示，也称为 i 1
因子A的偏差平方和(或称为因子A的效应平方 和) ，其自由度为 fA=r1；
27 May 2020
27 May 2020
方差分析
第11页
本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为 此，我们把饲料称为因素，记为A，而三种不同的配方称为因素A的三 个水平，记为A1, A2, A3，使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表 示，i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。
我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此， 需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用 方差分析的方法进行解决。
27 May 2020
方差分析
第15页
为对假设（1.1）进行检验，需要从每一水平下的
r
总体抽取样本，设n从 i第1 mi i个水平下的总体获得mi个试验结
果，记 yij 表示第i个总体的第j次重复试验结果。共得如
正交试验设计的方差分析
F比 = S
f因素
(2) F分布表及其查阅方法
误差
f 误差
为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个 标准来衡量F比值，此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表，F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。
114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08
C mZn (g)
122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03
空白列
10min内H2的 产率
119.9 117.56 114.22 39.96 39.18 38.07 1.89
(5) F值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差 的平均偏差平方和的比值称为F值，即：
S因素
F =S
f因素 f 误差
误差
用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。 显然，只有当比值大于1时，才能表明因素水平的 改变对实验指标的影响，即超过了实验误差所产生 的影响。
为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小， 须将计算得到的F值与从F分布表上查到的相应临界 值进行比较。当F值大于临界值时，表明该因素对实 验结果影响显著。 就本例而言：FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36 查F检验的临界值表可知： F0.10(2, 6)=3.46， F0.05(2, 6)=5.14， F0.01(2, 6)=10.9 由于FA> F0.10(2, 6)，所以我们可以认为，有99%以上 的把握判断因素A的水平改变对实验结果有极为显 著的影响，以“**”标记。由此可得出如下结论： 对10minH2产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。
生物统计学：方差分析
二、平方和与自由度的剖分
在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量资料的变异程度的。
表1中全部观测值的总变异可以用总均方来度 量。
ai 是 第 i 个 处理的效应 （treatment effects） 表示处理i对试验结果产生的影响。显然有
k
i 0 (5)
i 1
εij是试验误差，相互独立，且服从正态分布N （0，σ2）。
（4）式叫做单因素试验的线性模型（linear
model）亦称数学模型。
在这个模型中Xii表示为总平均数μ、处理效应 αi、试验误差εij之和。
2. 试验因素(experimental factor) 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验 因素。如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配 方、猪的品种、饲养方式、环境温湿度等都对日 增重有影响，均可作为试验因素来考虑。
当试验中考察的因素只有一个时，称为单因 素试验；
若同时研究两个或两个以上的因素对试验指 标的影响时，则称为两因素或多因素试验。试验
由εij 相 互独立且服从正态分布 N（0，σ2）， 可知各处理Ai(i=1，2，…，k)所属总体亦应具正 态性，即服从正态分布N(μi,σ2)。尽管各总体的均 数 i 可以不等或相等，σ2则必须是相等的。所 以，单因素试验的数学模型可归纳为：
效应的可加 性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性（homogeneity）。 这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。
第4章 方差分析
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
方差分析基本思想：
方差分析，是按变异的不同来源，将全部观察值总的
离均差平方和和自由度分解为两个或多个部分，除随机误 差外，其余每个部分的变异可由某个因素的作用加以解释， 通过比较不同来源变异的均方（MS），借助F分布做出统 计推断，从而了解该因素对观察指标有无影响。
1 k i , i i k i 1
xij i ij
（4-1）
若令
则（4-1）式可以改写为
xij i ij
（4-2）
其中， 为全试验观测值总体平均数； 显然有
i 是第i个处理的效应，表示处理i对试验结果产生的影响。
i 1
k
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单 2.
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数 计算公式为
xi
x
j 1
ni
ij
ni
(i 1,2,, k )
18/46
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
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浙江科技学院本科课程《化工数据处理》
三、问题的一般提法
1. 设因素有k个水平，每个水平的均值分别用 1 , 2, , k 表示 2. 要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提 出如下假设： H0 ： 1 2 … k H1 ： 1 , 2 , ，k 不全相等
2. 3. 4.
差平方和 反映各总体的样本均值之间的差异程度，又称组 间平方和 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 计算公式为
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观
处理间变异
察
值
总
处理内变异
变
（误差）
异
SST = SSt+ SSe dfT= dft+ dfe
n
st2
se2
(x x)2 i
SSt
k 1 (x xi )2
k(n 1)
dft
SSe dfe
二、F测验
F=
st2
se2
F测验分析的目的是判断各个处理平均数之
间是否存在显著差异，即可测验:
Ho:1 2 H A:k
不1、相2等、 k
三、多重比较
如果F测验的结果为各处理间的差异不 显著，则分析结束，否则将进行多重比 较。多重比较分析的目的是进一步判断 两两处理平均数之间的差异显著性。
（一）保护性最小显著差数法（protected least significant difference），即 PLSD法。
（三）、多重比较
＝
SSd SSe
SSd SSe
l(m 1) lm(n 1) l(mn 1)
三、随机区组设计资料的方差分析
（一）单因素资料的方差分析
此资料为两向分组资料（交叉分组资料），其行为 处理，列为区组，为 k 行 r 列的两向表，即可看作是试 验因素具有 k 个水平和区组因素具有 r 个水平的两因素 试验。
方法仅有以下三点区别，其余步骤完全相同。
1. 矫正数 C =
T2
ni
2. 处理平方和
SSt
k 1
(Ti2 ) C ni
3.以n0代替n进行平均数差数标准误和平均数标
准误的计算： n0 = 1 ( k 1
ni
ni2 ) ni
第三节 方差分析的数学模型
一、线性可加模型
线性可加模型是指每一个观察值可以划分成若干 个线性组成部分。它是分解平方和与自由度的理论 依据,不同类型资料的线性可加模型是各不相同的。 前述资料观察值的数学模型为：
x=
μ
ij
+
τi
+
εij
（二）期望均方（EMS）
Se2的EMS是σe2；
St2的EMS是
2 e
n
2
∴ F=
st2
2 e
n
2
se2
2 e
F测验有效性的保证条件之一是分子均方 s12
的EMS仅比分母均方s
2 2
的EMS多一个分量（线
性组成部分）。
（三）固定模型和随机模型
固定模型是指试验的各处理都抽自其特定的处理
PLSD0.01 x1 x2 PLSD0.05 差异为显著；
x1 x 2 PLSD0.01
差异为极显著；
x1 x 2 PLSD0.05
差异为不显著。
（二）最小显著极差法(least significant ranges) ，
即LSR法。
主要介绍SSR法。SSR法即邓肯氏新复极差法。
步骤：1.根据平均数秩次距k和dfe查出SSRα值。 秩次距是指相比较的两个平均数之间（含这两个平
方差分析的基本特点是：
将全部变量看成一个整体，进行观察值
的变异原因分析，求出各变异原因方差的
估计值 →
进行F测验
，以判断各处理平均数间的差异状况
→ 在此基础上，进行平均数的多重比较， 以明确两两处理之间的差异状况。
表 1 kn个观察值的单向分组资料的模式
处理
观察值 x
总和Ti 平均 xi
1
x11 x12 x13 … … x1n
表 2 各秩次距下的Rα
K
2 3 4 ……
SSR0.05
SSR0.01 R0.05
R0.01
多重比较结果的字母表达：
（1）以小写英文字母表示α=0.05水平下的比 较结果；以大写英文字母表示α=0.01水平下 的比较结果。
（2）以相同字母表示差异不显著的比较结果， 不同字母表示差异显著。
若各处理的重复次数不相等，其分析过程 与上述
N
(0,
2
)
的一组随机样本，因而处理效应
是随机的，随
i
试验的不同而不同。若重复做试验，必然是从总
体 N (中0,随2 )机抽取一组新的样本。其分析的目的
不在于研究处理效应，而是在于研究 的变异 i
度，故推断也不是关于某些供试处理，而是关于
抽出这些处理的整个总体。所以方差分析要测验
的假设是
对H
0：
Байду номын сангаас2
均数）包含的平均数个数。
2.计算平均数标准误：
s x
=
se2 n
3.计算各秩次距下的显著尺度LSRα或Rα值：
LSRα或Rα =
SSR
S x
4.将处理平均数由大到小排序，并依次求
出各处理平均数之间的差值，将各均数差值
与相应秩次距下的显著尺度进行比较，作出
差异显著性判断。同样有：
（1）相应秩次距的 R0.01 > 平均数差值 ≥ 相应 秩次距的R0.05，则两处理平均数间差异为显著； （2）平均数差值 ≥相应秩次距的 R0.01 ，则两处 理平均数间差异为极显著； （3）相应秩次距的R0.05 > 平均数差值 ，则两处 理平均数间差异为不显著。
0
H
A：
2
0
第四节 常用试验设计资料的方差分析
一、完全随机设计资料的方差分析（见前述） 二、巢式设计资料的方差分析
处理间变异（组间变异）
观
察
值
亚组间变异
总
变
异
误差
（一）平方和与自由度分解
按照上述变异原因分解进行各项平方和与自由度 的计算。
（二）F测验
巢式设计的资料属于系统分组资料，应注意在进 行处理间（即组间）差异的F测验时，分母应为亚组 间方差；而进行亚组间差异的F测验时，分母应为误 差方差。当亚组间的差异未达到显著时，则应将亚组 间变异与误差进行合并，求出新的误差量，再对组间 差异进行F测验
T1
x1
2
x21 x22 x 23 … … x2n
T2
x2
┋
┋ x
┋┋
┋
┋
┋┋
k
xk1 xk2 xk3 … … xkn
Tk
xk
Σxij
T
x
注：i = 1，2，3， … … k ; j = 1，2，3， … … n
第二节 方差分析的基本步骤 重点呦！
一、平方和与自由度的分解 分析目的：获得各项变异来源方差的估计值。
步骤：1. 根据 dfe 查出 tα 。 2. 计算平均数差数标准误：
s = x1x2
2S
2 e
n
3. 计算显著尺度PLSDα值：
PLSDα = tα ×
s x1 x2
4. 将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处 理平均数之间的差值，将各均数差值均与PLSDα 相比较，作出平均数间差异显著性判断：
总体，这些总体遵循N(μi, σe2)，因而处理效应τi =(μi - μ)是固定的。我们分析的目的就在于研究τi ， 如果重复做试验，处理不变，而所要测验的假设则
是:H0:τi =0或 H0:μi=μ对HA:
不等。1，故 2我，们的k
推断也仅限于供试处理范围之内。
随机模型是试验的各处理皆是随机抽自