实数系基本定理等价性的完全互证

第38卷第24期2008年12月数学的实践与认识M AT HEM A TICS IN PRACTICE AND T HEORY V o l.38　No.24　

D ecem.,2008　

教学园地

实数系基本定理等价性的完全互证

刘利刚(浙江大学数学系,浙江杭州　310027)

摘要:　综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法.

关键词:　实数系;连续性;等价;极限收稿日期:2005-06-10

实数系基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础,也称为实数系的连续性定理.能够反映实数连续性的定理很多,它们是彼此等价的.现有的教材都是按照某一顺序将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性[1-2].虽然不同的教材对于循环证明的顺序有所不同,但每一次循环证明看起来都似乎没有关联,并没有综合归纳其中的方法技巧.这么多相互独立的证明使得不少学生都感到数学分析中这部分内容太抽象,难以理解.因而当遇到一个教材中没有给出的2个定理之间的等价性证明时就无从下手.为此,在讲述这些定理的时候,我们把这些定理的相互证明详细地整理出来,并且归纳给出了这些定理的完全互证方法与规律,使学生在学习这部分内容时不再感到无所适从.

我们使用的教材[1]中给出的实数系的六个基本定理及其描述为:

1)确界存在定理(pp .12):上(下)有界的非空数集必存在唯一上(下)确界.

2)递增(减)有界数列必有极限(pp.34).

3)闭区间套定理(pp.41):设I 1,I 2,…,I n ,…是一串有界闭区间,I 1 I 2 … I n

…,且I n 的长度 I n →0,称{I n }为闭区间套.则闭区间套{I n }的交∩∞

n =1

I n 必不空且为单点集.

4)Bo lzano -Weierstrass 定理(pp.44):有界数列必有收敛子列.

5)Cauchy 收敛准则(pp.299):数列{x n }收敛 {x n }是基本数列.

6)有限开覆盖定理(pp.308):若开区间族{O }覆盖了有界闭区间[a ,b ],则从{O }中

必可挑出有限个开区间O 1,O 2,…,O n 同样覆盖了[a ,b ]:[a ,b ] O 1∪O 2∪…∪O n .

在证明之前,我们首先必须要理解这六个定理的每一个在说些什么,只要概念清楚了,并且理解其方法,证明并不难.

定理1)～5)属于同一类型,它们都指出,在某一条件下,便有某种“点”存在,这种点分别是确界(点)(定理1)),极限点(定理2)5)),公共点(定理3)),子列的极限点(定理4)).定理

6))是属于另一种类型,它是前5个定理的逆否形式.

1　教材中的证明

教材[1]中完成的证明如图1所示.另外,教材中给出练习的有:

图1　教材[1]中完成的基本定理之间的证明

4)!2)pp.45

3)!1)pp.47

1)!6)pp.309

6)!1)pp .309

5)!1)pp.309

我们首先回顾一下教材中给

出的证明过程[1].

分析:单调有界数列必收敛,事实上就是收敛到其确界.有了这个理解后,就很容易利用确界存在定理1)来证明2)了:只要将确界找到,证明此确界就是数列极限即可.

证明　不妨设数列{x n }单调递增.由于{x n }有界,由1)知它的确界存在且有限,设为 .由上确界定义, 是{x n }的上界,即∀n ∈N ,x n # ;且∀ >0, - 不是上界,即∃N ,使得x N > - .

由于{x n }单调递增,所以∀n >N , %x n %x N > - ,即 x n - < .

由极限定义可知,lim n →∞

x n = ,即{x n }收敛.2)!3)pp.41

分析:由于闭区间套的每个区间的左端点单调递增有上界,右端点单调递减有下界,即可得它们都收敛,然后利用闭区间套的长度趋向零证明这两个极限相等,为所有闭区间的公共点,并且唯一性也易得证.

证明　设I n =[a n ,b n ],a n #b n ,由I n +1 I n 可知a n #a n +1,b n +1#b n ,由此可见a n ↑且a n #b 1,b n ↓且b n %a 1,因此!=lim n →∞a n ,∀=lim n →∞

b n 都存在,并且!为{a n }的上确界,∀为{b n }的下确界.因为 I n =b n -a n →0,故∀=lim n →∞a n +lim n →∞

(b n -a n )=!,这说明!=∀∈I n ,从而.至此已证明∩∞n =1

I n 非空.再由∩∞n =1I n I n 及 I n →0可知集合∩∞

n =1

I n 至多包含一点.3)!4)pp .44

分析:按二等分取闭区间,每个闭区间含有数列的无穷多项.由闭区间套定理套住的唯一点就是某个子列的极限.

证明　设{x n }是有界数列,则存在闭区间I 1使得∀x n ∈I 1.将I 1等分为左右两个闭区间,则至少有一个半区间包含{x n }中的无穷多项,取为I 2.同样的办法将等分后取出I 3,…最终得到一闭区间套I 1 I 2 … I n …, I n →0,每个I n 中包含{x n }中的无穷多项.

根据闭区间套定理,存在唯一点∩∞

n =1

I n ={!}.下面构造收敛到!的子列:任取x n 1∈I 1,由于I 2包含{x n }中的无穷多项,故必能在I 2取出n 1项以后的项n 2,即x n 2∈I 2,n 2>n 1.类247

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