拉普拉斯变换

第十三章 拉普拉斯变换 —学习过渡过程的复频域分析方法

本章内容:

1．复习拉氏变换及拉氏变换的性质 ( 列写微分方程→求时域响应 2．拉氏变换的部分分式展开 列代数方程 → 求复频域响应 3．拉氏变换的运算电路 →积分变换→求时域响应) 4．拉氏变换的线性电路的分析 本章重点：

1．拉氏变换的部分分式展开 2．拉氏变换的运算电路

本章重点：应用运算电路求电路的频率响应

§13-1 拉普拉斯变换的定义

对于一个多个动态元件的电路，用直接求解微分方程的方法比较困难，麻烦；故通过积分变换法，把已知的时域函数（时间域）变换为频域（s 域）函数，从而将时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出频域函数后，再作变换，返回时域，即可求出响应。

积分变换的方法有：拉普拉斯变换和傅里叶变换，拉普拉斯变换应用广，故采用。 一、拉普拉斯变换（拉氏变换）

如果函数f(t)在t ≥0时有定义，且⎰∞

--0)(dt e t f st 为有限值（收敛）则，f(t)的拉氏变换为：

⎰

∞

--

=

0)()(dt e t f S st F

式中：ωσj S +=为复数变量，称复频率，单位为HZ ； F （S ）是f(t)的象函数（F （S ）象函数） f(t)是 F （S ）的原函数（f(t)是原函数）。

二、拉普拉斯反变换（拉氏反变换）

⎰

∞

+∞

-=

j c j c st dt e S F j

)(21πf(t)

三、举例

例13-1求以下函数的象函数

（1） 单位阶跃函数（2）单位冲激函数（3）指数函数。 解：（1）单位阶跃函数

（2） 单位冲激函数

（3）指数函数。

§13-2 拉普拉斯变换的性质

一、线性（组合）性质

设F1（S）、F2（S）是f1(t)和f2(t)的象函数，A1A2是两个任意实数则有：

二、微分性质

设F（S）是f(t)的象函数，则有

三、积分性

设F（S）是f(t)的象函数，则有

四、延迟性质

设F（S）是f(t)的象函数，则有

应用拉普拉斯变换可求出原函数和象函数的对应关系，得出294页表，那么，

如何利用表中函数对应的关系，由象函数求原函数呢，我们复习部分分式法。

§13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

在用拉普拉斯变换求解线性电路的时域响应时，需要将频域响应的拉氏变换式子反变换为时间函数，如果象函数较简单，则可查表求原函数；如较复杂，则要分解为简单的、能从表中查到的项，再利用查表求原函数。

电路响应的象函数可表示为两个实系数的s多项式之比（有理分式）为：

把F(s)分解成若干个简单项之和，利用拉氏变换表求原函数，这种方法称为部分分式展开法（分解定理）

用部分分式展开法要化成真分式

一、实数单根

设D（s）=0有n个实数单根，p1、p2…p n。则有：

求待定系数

1．

2．当求待定系数遇到零比零（不定式）时用下面极限的方法

因为

确定待定系数后，原函数查表13-1为

例13-6求的原函数。

解：

各待定系数为：

原函数为：

二、共轭复根

设共轭复根为：

K1、K2是一对共轭复根，设则有则：

例13-7 求的原函数

解：

三、重根

若D(S)含有重根，则应含有（s-p1）n因式，设含有3重根，F（S）可分解为（含有单根P2和重根P1）：

单根的求解方法不变；重根K值的求法为将式的两边乘以3重因子有

（1）

对（1）求导可求K12

同理可求导可求K13为：

当有q阶重根时有：

例题13-8 求的原函数解：D（S）有2个重根P1=-1，P2=-0

由原式知两边同乘以(s+1)3有

则有：

同理：

K21=1 K22=-3可得像函数为

原函数为：

§13-4 运算电路

要进行复频域分析，就要把时域电路变成复频域电路，即运算电路一、基尔霍夫的复频域形式：

二、RLC的运算电路

1．电阻元件

2．电感元件

**

3．电容元件

**

4．两个耦合电感的运算电路为

5．RLC 串联运算电路

§13-5 拉普拉斯变换法分析线性电路

例题13-9 电路处于稳态，t=0时s 闭合，试用运算法求电流i 1(t) 解：U s 的拉氏变换为1/s ；由于开关闭合前电路稳态，则

i L (0-)=0 u c (0-)=1V

设出回路电流，应用回路法可列出方程为：

求0)22(2=++s s s 的根为s=0 , s=-1+j , s=-1-j

待定系数2

12

4310

2=

++=

=S S S 1K

0145122

21

2212

431j j

S e j S S =--=++=+-=2K

1451232

212212

431j j S e

j S S K ---==+-=

++=

响应为：

例13-10 电路为RC 并联，激励为电流源，分别求激励为阶跃函数和冲激函数时电路的响

应u(t)。

解：

（1）

（2）

例13-11 电路如图，t=0时开关s 闭合，求响应u L (t)。已知u s1=2e -2t ，u s2=5v,R 1=R 2=5Ω，

L=1H 。

解：