统计学三大分布及正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1]张柏林 41060045 理实1002班摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质，然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之.1.三大分布函数[2]1.12χ分布2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。

这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。

定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，），则称统计量222212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --⎧≥⎪⎪=Γ⎨⎪⎪<⎩其中伽玛函数1(),0t x x e t dt x +∞--Γ=>⎰，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.卡方分布具有如下基本性质：性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==；性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++；性质3：2n χ→∞→时，（n ）正态分布； 性质4：设)(~22n αχχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条件:αχχαχα==>⎰+∞)(222)()}({n dx x f n P 的点)(2n αχ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查用.2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置.定义：设2~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/XT Y n=服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .t 分布的密度函数为1221()2(;)(1),.()2n n x t x n t n n n π+-+Γ=+-∞<<+∞Γt 分布的密度函数图t 分布具有如下一些性质：性质1：()n f t 是偶函数，221,()()2t n n f t t eϕπ-→∞→=；性质2：设)(~n t T α，对给定的实数),10(<<αα称满足条件；ααα==>⎰+∞)()()}({n t dx x f n t T P 的点)(n t α为)(n t 分布的水平α的上侧分位数. 由密度函数)(x f 的对称性，可得).()(1n t n t αα-=-类似地，我们可以给出t 分布的双侧分位数,)()()}(|{|)()(2/2/2/αααα=+=>⎰⎰+∞-∞-n t n t dx x f dx x f n t T P 显然有.2)}({;2)}({2/2/αααα=-<=>n t T P n t T P 对不同的α与n ，t 分布的双侧分位数可从附表查得.t 分布的上α分位数1.3F 分布F 分布是随机变量的另一种重要的小样本分布，应用也相当广泛. 它可用来检验两个总体的方差是否相等，多个总体的均值是否相等. F 分布还是方差分析和正交设计的理论基础.定义：设22~(),~()X n Y m χχ，,X Y 相互独立，令则称统计量//X nF Y m=服从为第一自由度为n ，第二自由度为m 的F 分布.F 分布的密度函数图F 分布具有如下一些性质：性质1：若~(,),1/~(,)F F n m F F m n 则； 性质2：若)(~n t X ，则2~(1,)X F n ；性质3：设),(~m n F F α，对给定的实数),10(<<αα称满足条件；ααα==>⎰+∞),()()},({m n F dx x f m n F F P的点),(m n F α为),(m n F 分布的水平α的上侧分位数.F 分布的上α分位数F 分布的上侧分位数的可自附表查得.性质4：.),(1),(1m n F n m F αα-=此式常常用来求F 分布表中没有列出的某些上侧分位数.1.4正态分布正态分布是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多统计方法的理论基础. 高斯（Gauss ）在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布，所以正态分布又称为高斯分布. 正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态. 为了应用方便，常将一般的正态变量X 通过u 变换转化成标准正态变量u ，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的标准正态分布N （0，1）. 正态分布的密度函数和分布函数若连续型随机变量X 具有概率密度()f x 为22()2(),,x f x x μσ--=-∞<<+∞其中,(0)μσσ>为常数，则称X 服从参数为μσ，的正态分布，记为2~()X N μσ，.正态分布的密度函数图特征1：正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高；特征2：正态分布以均数为中心，左右对称；特征3：正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ. μ是位置参数，σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴越向左移动. σ是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭. 通常用2（，）表示均数为μ，方差为2σ的正态分布. 用NμσN（0，1）表示标准正态分布.特征4：正态曲线下面积的分布有一定规律。

实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率. 正态曲线下一定区间的面积可以通过标准正态分布函数表求得。

对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计.2. 三大分布与正态分布的密度函数比较[3]2.12χ分布收敛于正态分布设2~()X n χ，则对任意x，有2/2lim )xt n P x e dt --∞→∞≤=.证明：因为2()n χ分布的222111()()()()nnniii i i i E E x E x D x n χ=======∑∑∑22211()()()2n ni i i i D D x D x n χ=====∑∑所以由独立同分布中心极限定理得(0,1)Y N =→ 因为122/21~,0()22n x n X x e x n -->Γ且y =所以x n =+ 因为()()Y X f y dy f x dx =所以11()22/21()()()22n n Y n dx f y n e n dy--=Γ=111()222/21(1)()22n n n n n e n ---+令2n m =，利用Stirling公式：1m!,012m m m m m e e mθθ-=⋅⋅<< 则上式11())(1)m m m m e ---11())(1)m m m m e ---11())(1)m m m m e ---+(1)1)m m e --212y n -→∞−−−所以2χ分布的极限分布为正态分布.下面用MATLAB 来验证上面结论，首先定义2()n χ分布函数和相应的正态分布(,2)N n n ，再依次增大n ，比较两者关系：[4]从上面三个图形可以看出，n 越大，2()n χ分布密度函数与正态分布(,2)N n n 度函数越接近，这就和所证结论相符合.2.2t 分布收敛于标准正态分布若n X 服从自由度为n 的t 分布，2/2lim ()2xt n n P X x e dt π--∞→∞≤=（1）证法1：由于自由度为n 的t 分布的概率密度函数为1221()2p(;)(1),()2nnxx n xn n+-+Γ+-∞<<+∞=因此（1）式等价于2/2,xnx-→∞-∞<<+∞lim（2）先利用Stirling公式：1m!,012mm m mm e emθθ-=⋅⋅<<证明1()2()2nnn→∞+Γ=lim事实上，利用Γ函数的性质1132121 ().......()22222242222()......()2222n n n n k n kn n n n k n k+---+-+ΓΓ=---+-+Γ21(1)(3)......(21)()2222)(4)......(22)()2n kn n n kn kn n n k-+---+Γ=-+---+Γ当2n k=时11()(21)(23)......1()2()2nk kn+Γ--⋅Γ==21221221()12())kk kkeke----≈-⋅2121222222(21)(1)22(1)kkkkkkekkeππ------=-⋅-⋅2111(1))22k nk e-=+⋅→→∞-当21n k=+时亦可推出同样的结果。

另外，由特殊极限公式可得2221122()222lim(1)lim[(1)]nn x n x x n n n x x enn++•---→∞→∞+=+=综合上诉，即证明（2）式所以，t 分布的极限分布是正态分布.下面用MATLAB 来验证上面结论，首先定义()t n 分布函数和相应的正态分布(0,)2nN n -，再依次增大n ，比较两者关系:从上面三个图形可以看出，n 越大，()t n 分布密度函数与正态分布(0,)2nN n -度函数越接近，这就和所证结论相符合.2.3F 分布收敛于标准正态分布若//X m F Y n=服从为第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，则2/21lim ()2xt n n P X x e dt π--∞→∞≤=⎰. 证明：m /m 1P Y →∞−−→当时 所以/n L F X −−→因为222(/)1,(/)n E X n D X n n n=== 所以由中心极限定理，当→∞n 时1(0,1)2L F N n -−−→ 所以F 分布的极限分布是正态分布.下面用MATLAB 来验证上面结论，首先定义(,)F m n 分布函数和相应的正态分布222(2)(,)2(2)(4)n n m n N n m n n +----，再依次增大n ，比较两者关系:从上面三个图形可以看出，n 越大，(,)F m n 分布密度函数与正态分布222(2)(,)2(2)(4)n n m n N n m n n +----度函数越接近，这就和所证结论相符合.在实际应用中我们往往在取得总体的样本后，通常是借助样本的统计量对未知的总体分布进行推断，为此须进一步确定相应的统计量所服从的分布，正态分布、2()n χ分布、t 分布、F 分布是统计学最基本的四种分布，而2()n χ分布、t 分布和F 分布又都收敛于正态分布，可见正态分布在统计学中的地位. 实际上，证明2()n χ分布、t 分布和F 分布收敛于正态分布的方法很多，本质上都是应用了大数定理和中心极限定理.既然三大抽样分布都收敛于正态分布，则当样本容量很大时，就可以用正态分布来近似三大抽样分布. 本文主要还利用了计算机软件来验证数学上的理论证明，在现代数学学习中，我们是离不开计算机的，因此我们也应多学习一些软件的使用.参考文献：[1]XX 学士学位论文. 统计学三大分布与正态分布的差异. 扬州大学．2010[2]范玉妹，汪飞星，王萍，李娜. 概率论与数理统计. 机械工业出版社．2007[3] 宗序平，俊，伟. 统计学上三大分布推导方法.2009[4] 王福昌，曹慧荣. 2()n分布、t分布和F分布的近似计算. 2008[5]李贤平，沈崇圣，陈予毅.概率论与数理统计.复旦大学出版社.2005。