等效法处理电场中的圆周运动

例1 光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若

小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .

例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：

（1）小球的最小动能是多少？

（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？

（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，

若小球在0.04s 后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．

例3、如图12所示为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K 发出（初速度可忽略不计），经灯丝与A 板间的电压U 1加速，从A 板中心孔沿中心线KO 射出，然

后进入两块平行金属板M 、N 形成的偏转电场中（偏转电场可视为匀强电场），电子进入M 、N 间电场时的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P 点。 已知M 、N 两板间的电压为U 2，两板间的距离为d ，板长为L ，电子的

质量为m ，电荷量为e ，不计电子受到的重力及它

们之间的相互作用力。

（1）求电子穿过A 板时速度的大小；

（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量；

（3）若要使电子打在荧光屏上P 点的上方，可采

取哪些措施？

1、解析：小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中. 小球受到的等效重力为mg mg mg G 332)33()(22=+=' 等效重力加速度g m G g 3

32='=' 与竖直方向的夹角︒=30θ，如图甲所示.所以B 点为等效 重力场中轨道的最高点，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B 点时的速度R g v B '=

在等效重力场中应用机械能守恒定律

2202

1)cos (21B mv R R g m mv ++'=θ 将g '、B v 分别代入上式，解得给小球的初速度为

gR v )13(20+= 2、解：（1）、（2）小球在电场和重力场的复合场中运动，因为小球在A 点具有最大动能，所以复合场的方向由O 指向A ，在AO 延长线与圆的交点B 处小球具有最小动能E kB ．设小球在复合场中所受的合力为F ，则有；

R

v m F N A 2=- 即：4

.08.01202kA A E v m F ==- 带电小球由A 运动到B 的过程中，重力和电场力的合力做功，根据动能定理有：

-F 2R = E KB -E KA = -32

由此可得：F = 20N ，E KB =8J

即小球的最小动能为8J ，重力和电场力的合力为20N ．

（3）带电小球在B 处时撤去轨道后，小球做类平抛运动，即在BA 方向上做初速度为零的匀加速运动，在垂直于BA 方向上做匀速运动．设小球的质量为m ，则：

2R = 12 F m

t 2 得：m = Ft 24R

= 0.01kg

图甲

3解：（1）设电子经电压U l加速后的速度为v0，由动能定理得

解得：

（2）电子以速度v0进入偏转电场后，垂直于电场方向做匀速直线运动，沿电场方向做初速度为零的匀加速直线运动，设偏转电场的电场强度为E，电子在偏转电场巾运动的时间为t，加速度为a，电子离开偏转电场时的侧移量为y，由牛顿第二定律和运动学公式得

，，。

，

。

（3）减小加速度电压U1；增大偏转电压U2。