状态和状态空间表达式

的一个最小j,
❖ 即状li的定态义反为: 馈解耦(6/16)
❖该解耦条件的证明思路为:
根据上述定义的li,定义
若选取状反态馈矩反阵K馈和解前馈耦矩阵(7H/如1下6)
至此,把所得的代入闭环系统状态空间模型,得:
则可以证状明态系统反闭环馈传解递函耦数(矩8阵/1为6)
❖是可一以个看完出状全W态(解s)耦是反系对馈统角解。线矩耦阵(9,所/1以6其) 闭环系统
u2
-
Gc 21 ( s) Gc22 (s)
r1
1
2s 1
1
r2
1
s 1
对象
y1
-
y2
解 由图4-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:
根据补偿器补G偿c(s)器的求解解耦公式(,6有/7)
❖的基解于耦所控求制解补系的偿统补。偿器器解Gc耦(s)(,可7/实7现) 如图4-3示
个例元4-8素求出得现的分解子耦多补项偿式器阶G次c(s高)的于传分递母函多数项阵式的阶某次, 这会带来该解耦控制器工程上物理实现的困难,一 般工程上只能做到近似实现。
前者方法简单,但将使系统维数增加,
后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的 条件比补偿器解耦相对苛刻。
4.4.1 补偿器补解耦偿器解耦(1/7)
❖图4-3所示的为前馈补偿器解耦框图。
图4-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵, Gc(s)为补 偿的传递函数矩阵,即解耦控制器。
U (s)
-
Gc (s)
即
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
分别用 补偿， 器[I-W解(s)耦]-1左(乘3/与7右) 乘上式，有
❖为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因 此, I-W(s)也为对角线矩阵。
故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合
适补偿器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
另外,传递函数对角元素均是积分环节,故称这样 的系统为具有积分型的解耦系统。
下面通过例子来说明如何借助状态反馈实现解 耦。
状态反馈解耦(10/14)
❖ 例4-9 设系统的状态空间模型为：
试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。
状态反馈解耦(11/16)
因此,系统存在耦合现象。 系统的状态图如图4-6所示。
对上述状系统态,构反造如馈下解状态耦反(馈2控/1制6律): u=-Kx+Hv 使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。
❖这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个 m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。
❖我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出 时,求使该系统解耦的K和H的问题称为借助于 状态反馈的解耦问题。
❖ 此状时闭态环反系统馈状态解方程耦和输(1出5方/程1为6：)
其传状递函态数为反馈解耦(15/16)
则系统变成两个互相无耦合的子系统,如图4-7所示。
状态反馈解耦(16/16)
u1
y1
u2
y2
图4-7 解耦后的系统框图
❖另一方面,从式(4-34)可以看出,积分型解耦系 统的闭环极点全是零,显然系统是不稳定的,所 以这种解耦方法不令人满意。
对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦 控制律存在的条件。
❖状态反馈状解态耦条反件馈解耦(5/14) 对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦 系统实现输入输出间完全解耦的充分必要条件为 如下定义的矩阵E是非奇异矩阵。
其中 量,
是系统输出矩阵C中第i行向
是从0到n-1之间的某一正整
数,且li 应该满足不等式
❖如图4-5状所示态的反为用馈状解态耦反馈(3实/1现6解) 耦的系统。
v
H
u
-B
x
y
-
C
A
K
图4-5 用状态反馈实现解耦
❖上将,状可态得反状如馈下态解闭耦反环控控馈制制解律系作耦统用状(在4态/状1空态6间)空模间型模型
状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K 与H,从而使闭环系统是解耦的。
Y (s)
Gp (s)
图4-3 串联解耦方框图
❖补根偿据器串后联前组补向合偿通系路统器的的解传传递耦递函函(2数数/7为公)式可知串接
G(s)= Gp(s)Gc(s)
其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I,
那么系统的闭环传递函数为: W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)
用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有 [I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s)
状态反馈解耦(12/14)
u1
x1
y1
+
x2
1
2
u2 -
- x3
x3 x2
y2
-
3
图4-6 开环系统方框图
由 状态反馈解耦(13/16)
C1B=[1 0], C2B=[0 1] 知
此时有
l1=l2=0
由于状E是态非奇反异阵馈,所解以耦系统(1可4以/解16耦)。 ❖ 因此,状态反馈解耦矩阵为
❖例4-8补已偿知系器统解如耦图4(-44所/7示)—, 例6-8
u1 -
Gc11 (s) Gc12 (s)
r1
1
对象Байду номын сангаас
y1
2s 1
1
u2
-
Gc 21 ( s) Gc22 (s)
r2
1
s 1
-
y2
补偿器解耦(5/7) 试设计一补偿器Gc(s),
使闭环系统的传递
u1 -
Gc11 (s)
函数矩阵为:
Gc12 (s)
4.4.2 状态状反馈态解反耦馈解耦(1/16)
❖所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反 馈律,构造状态反馈闭环控制系统,使得闭环 系统的输入输出间实现解耦。
❖状态反馈解耦问题的模型描述为:
对给定的被控系统的状态空间模型为
其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B 为n×m矩阵,C为m×n矩阵。
不过可以对完全解耦的每个SISO子系统单独设 计一个状态反馈律将每个解耦的子系统的极点
有在着许重多要工的程系意问义题统。中解,特别耦是(过2程/3控)制中,解耦控制
❖目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于投入 运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题的研究十 分重要。
❖若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学 系统,其传递函数矩阵是一个对角线有理多项 式矩阵
❖实现解耦有两系种统方解法:耦(3/3) 补偿器解耦 状态反馈解耦。