第八章 图论(第1-3节)

如果满足
a it (v it , v it 1 )(t 1,2,...,k 1) ，则称为从
v i1 到 v i 的一条路。 k
第38页
v 例： 1
a4
v5
a5 v4
a1
a3
v2
a2
v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a3,v4)不是一条路，因为弧a1≠(v1,v2)， a3≠(v3,v4)。
为同一个点，则称此链为圈。
第46页
例：
v1
a4
v5
a5
a6 a1 a3
v4
v2
a2 v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一个圈。
第47页
在有向图 D = ( V, A ) 中，一个点、弧交错序列
v
i1 , a i1 , v i2 , a i2 ,...,v i k 1 , a i k 1 , v ik
几何位置的解题方法”的论文，有效地解决了哥尼
斯堡七桥难题（欧拉证明了每个点都只与奇数条线 相关联，所以从某一点开始，不重复地走过7座桥， 最后回到出发点是不可能的），这是有记载的第一 篇图论论文，欧拉被公认为图论的创始人。
第3页
A
C
D
B
第4页
2. 图论的发展
1736 年—— 1936 年：匈牙利数学家 O. KÖnig 于 1936 年出版了名为《有限图与无限图的理论》，为 图论研究的第一本专著。从 1736 年欧拉的第一篇
如果满足
eit [v it , v it 1 ](t 1,2,...,k 1) ，则称为连接
v i1 和 v i 的一条链。 k
第37页
称为点
v i1 , v i2 ,...,v ik
为链的中间点。
在有向图 D = ( V, A )中，一个点、弧交错序列
v
i 1 , a i 1 , v i 2 , a i 2 ,..., v i k 1 , a i k 1 , v i k
证明 9个工厂之间，不可能只有4个工厂只与偶数
个工厂有业务联系。 （P278页习题8.1）
证：如果只有4个工厂与偶数个工厂有业务联系，
则另外5个工厂与奇数个工厂有业务联系。这5个
工厂均为奇点，与定理2矛盾。
第35页
定理 3 有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶
点的出次之和，即

vV
d (v )

，如果满足
a it (v it , v it 1 )(t 1,2,...,k 1) ，且 v i1 和v ik
为同一个点，则称此路为回路。
第48页
例：
v1
a4
v5
a5
a6 a1 a3
v4
v2
a2 v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)是一个回路。
第49页
v1
a4
v5
a5
顶点 v 的次，记为 d(v)。
第24页
v1 e1 v2
e4
v4
e5 e6
v5
e3
e2 v3 e7
e9
v6
e8
v7
d(v1)=2，d(v2)=2，d(v3)=4 d(v4)=3，d(v5)=3，d(v6)=2 d(v7)=2
第25页
注：环的顶点的次数为 2 次。
例：
e1 v1
v2 e4
v4 v5 e5
第39页
2. 初等链和初等路
若链
v
i1 , e i1 , v i 2
, ei2 ,...,v ik 1 , eik 1 , v ik

中，点
v i1 , v i 2 ,...,v i k 均不相同，则称之为初等链。
注：初等链中点无相同的，边也无相同的。
第40页
若路
v
i1 , a i1 , v i2 , a i2 ,...,v ik 1 , a ik 1 , v ik
顶点 u 是弧 a 的始点，称顶点 v 是弧 a 的终 点。
u
v
第14页
2. 关联边（弧） 无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称边 e 是顶点 u 的关联边，也称边 e 是顶点 v 的关联
边。 u e
v
第15页
有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a = ( u, v ) ∈ A，称 弧 a 是始点 u 的关联弧，也称弧 a 是终点 v 的 关联弧。
vV2 vV
vV1
d (v ) 2q d (v )
vV2
第33页
2q 和 d (v)
vV2
均为偶数
2q - d (v)
vV2

为偶数
故
vV1
d (v )
也为偶数
又因为 d (v)（v∈V1）的值为奇数，所以 d(v) （v∈V1）的个数为偶数。
第34页
若链
v
i1 , e i1 , v i 2
, ei2 ,...,v ik 1 , eik 1 , v ik

中，边
e i1 , e i2 ,...,e ik 1 均不相同，则称之为简单链。
注：简单链中边无相同的，但可有相同的点。
第43页
若路
v
i1 , a i1 , v i2 , a i2 ,...,v ik 1 , a ik 1 , v ik
、ak=(u, v)∈A，即由始点 u 指向终点 v 的弧多于
一条，称这些弧为多重弧。 a1 u ai ak v
a1
u a2
v
第18页
4. 环
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, u ] ，即边的两
个端点相同，称该边为环。
u
e
第19页
有向图 D =( V, A ) 中，弧 a = (u, u) ，即弧的始 点和终点相同，称该弧为环。
a
u
v
第16页
3. 多重边（弧）
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e1=[u, v]、e2=[u, v]、…
、ek=[u, v]∈E，即两个端点 u 和 v 之间的边多于 一条，称这些边为多重边。
e1
u
ei
ek
v
第17页
有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a1=(u, v)、a2=(u, v)、…
集合。
由点和弧所构成的图，称为有向图，记为 D = ( V, A )
，式中 V 是有向图的点集合G ； A 是有向图 G 的弧集
合。
第10页
无向图
有向图
第11页
5. 无向图中顶点数、边数的表示方式
顶点数：p(G)，简记为p。
边 数：q(G)，简记为q。
6. 有向图中顶点数、弧数的表示方式
顶点数：p(D)，简记为p。
v2 e4
v4
v5
e5
e2
v3
e3
d(v4)=1
第28页
3. 孤立点 次数为 0 的顶点称为孤立点。 如上例中的顶点 v5 。 4. 奇点 次数为奇数的顶点称为奇点。
如上例中的顶点 v3 和 v4 。
5. 偶点 次数为偶数的顶点称为偶点。
如上例中的顶点 v1 和 v2 。
第29页
例：
e1 v1
v2 e4
第八章 图 论
第1页
第一节 图的基本知识 第二节 欧拉图与中国邮路问题
第三节 树 第四节 最短路（链）问题
第五节 网络最大流问题 第六节 最小费用流问题
第2页
1. 图论的产生
图论是运筹学应用十分广泛的一个分支。瑞士数学
家欧拉（E Euler）于 1736 年发表了一篇题为“依据
一、图的基本概念
1. 图
由一些点和一些点之间的连线所组成的二元组
，称为图。 2. 顶点 图中点集 V = { v i } 中的元素 v i 称为顶点。
第7页
3. 边和弧
图中，两顶点之间的连线为无向的（不带箭头），
称为边，记为 E = { ei }。一条连接顶点 vi 和 vj 的边 记为 [ vi , vj ] 。 vi ei vj

中，弧
a i1 , a i2 ,...,a ik 1均不相同，则称之为简单路。
注：简单路中弧无相同的，但可有相同的点。
第44页
例： v1 a4
v5
a5
a6 v4 a3 a2 v3
a1
v2
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1,a4,v5,a5,v4)不是一条初等路，但是
一条简单路。
第45页
论文，到这本专著的出版，前后经历 200 年之久，
这一时期图论的发展是缓慢的。
第5页
1936年——20世纪中期：电子计算机和离散数学问 题的发展，使得作为提供离散数学模型的图论得以 迅速发展。 目前图论被广泛应用到管理科学、计算机科学、信
息论、控制论等各个领域，并取得了丰硕的成果。
第6页
第一节 图的基本知识
a6 a1 a3
v4
v2
a2 v3
(v1,a1,v2,a2,v3,a6,v1)不是一个回路。
第50页
5. 初等圈和初等回路
若圈 v i1 , ei1 , v i2 , ei2 ,...,v ik 1 , eik 1 , v i1


中，点
v i1 , v i2 ,...,v ik 1 都不相同，则称之为初等圈。
边 数：q(D)，简记为q。
第12页
二、图的引申概念
1. 端点、始点、终点 无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称