数学建模校内选拔

美国大学留学申请问题的数学模型

摘要

本文将申请美国大学研究生录取的问题和根据自身经济条件选择学校数问题分别转化成层次分析问题和线性规划中的 0-1 规划问题，从而帮助申请人做结果的定性和定量评估。首先利用层次分析法考虑影响录取因素对申请留学的学生进行分析，得出一个申请人被录取的可能性；再考虑申请人是否曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖等优势条件对模型进行改善。在资金有限的条件下，对于申请学校数问题，我们利用0-1规划方法，在极大可能性被录取的条件下，用Matlab软件计算被录取的学校和最少的费用支出。在以上模型的条件下，本文给出了合理选择学校的分析报告，帮助申请人能取得好的申请结果，多拿“offer”。本文的最终模型可扩展性好，算法复杂度低，较好的解决了本文提出的所有问题。

关键词：集对分析法层次分析法 0-1规划比例系数

一问题重述

现在，越来越多的学生选择去海外留学，尤其是美国。校园中随处可见考托、考G者的身影。申请的程序很繁杂，录取的时候影响因素也很多。为了这些同学都能取得好的申请结果，多拿“offer”。现在我们建立一个模型，来帮助他们做结果的定性和定量评估。本次模型主要考虑的对象是申请美国研究生的同学，包括硕士研究生（master）和博士研究生（Ph.D.）。不考虑申请其它国家和申请本科、博后的情况。

问题一：一个申请人是否能够被录取，需要考虑很多因素，比如申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名等等。现在，我们假设一个申请人只能申请一个学校。请根据以上列举的影响因素建立模型，来计算一个申请者录取的可能性。如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等），这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer”。请考虑以上两个因素，进而改善你们的模型。

问题二：大多数情况下，一个申请人会同时申请多个学校。申请的学校越多，获得录取的可能性也就越大。但是，每一次申请都需要缴纳不菲的申请费和材料寄送费。如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是成功的，在资金有限的情况下，他/她应该申请几个学校呢？请建立模型，帮助你的同学做分析。

问题三：几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知，比如麻省理工学院、哈佛大学、斯坦福大学等。可是，学校的排名越高，获得录取的可能性就越小。根据你的模型，写一份分析报告，帮助申请人合理的选择学校。

二模型的假设

模型假设

1．学校择优录取，成绩好的被录取的可能大，即不考虑人际关系等等因素；

2．各年GRE成绩变化是一平缓的过程；

3．各年申请者的GDP变化是一平缓过程；

4．各年被申请学校的录取标准基本不变。

三符号说明

四模型的建立与分析

美国大学研究生录取问题和公司人力资源配置问题非常类似，都是通过双向选择更好地优化组织的人员结构，提高组织的整体效能。由于在实际操作中尚缺乏科学，可行的方法，往往达不到理想的效果。我们知道，组织是一个多因素，多层次的人造系统，是由许多相互作用相互依存的要素组成的有机整体，要使它形成一个合理、有效的结构，必须将人员配置的方法建立在对构成组织的相关要素进行综合、系统分析和客观评价的基础上。

考虑到组织的人员结构是不同素质、不同能力的人在组织内各岗位上的分布状态。我们建模的思路是，以使申请人拿到更多的“offer”为目标，通过对申请人、学校进行定量测评和综合分析，建立一个系统优化模型，以此寻求申请人申请合理的学校及学校数，实现申请的优化。

以下就方法和模型的建立分步阐述：

（一）、用层次分析法对申请人进行分析

（1）层次分析法介绍：层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，它用来帮助我们处理决策问题。特别是考虑的因素较多的决策问题，而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候，层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法。

层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的。现在便用层次分析法模型来对10名申请人做排序。设最上层为目标层，即某个美国大学；中间层为准则层，申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名语等 5个准则；最下层为方案层，有 10 名学生供选择。各层联系用相连的直线表示。（如下图）

目标层 准则层 方案层

图 1：申请人录取的层次结构

通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重。 这些权重在各所美国大学的录取过程中通常是定性的，而在层次分析法中则要给出得到权重 的定量方法。

考虑到待选学生 5 个评测因素中，申请的专业、他/她的平均成绩（GPA ）、托福分数、GRE 分数、班级/专业排名语等 5个准则等相比并不太重要，因此我们现在主要对这 5 个因素分配合理的权重，而权重的计算一般用 Saaty 提出的 AHP 法。

（2）具体计算权重的 AHP 法：

AHP 法是将各要素配对比较，根据各要素的相对重要程度进行判断，再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量W k 。

被所报学校录取

GPA 分 数 GRE 分 数

专 业 排 名

专 业 热 门 成 度

托 福

学生

Step1. 构造成对比较矩阵

比较第二层5个因素C1，C2，C3，C4，C5。对一层因素Z的影响，每次两个因素Ci，Cj，用Cij表示Ci和Cj对Z的影响之比，全部比较结果构成成对比较矩阵，也叫正互反矩阵。

Step2.计算该矩阵的权重

通过解正反矩阵的特征值，可求得相应的特征向量，经归一化后即为权重向量

Step3. 一致性检验

为了度量判断的可靠程度，可计算此时的一致性度量指标CI

λ-n）/（n-1）

CI= （

m ax

λ表示矩阵C的最大特征值，CI越小说明权重的可靠性越高。当CR = 其中m ax

CI/< 0.1 时，（CR称为一致性比率，RI是通过大量数据测出来的随机一致RI

性指标，可查表找到（详见附录1））可认为判断是满意的，此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵。进入 Step4. 否则说明矛盾，应重新修正该正互反矩阵。转入 Step2.

Step4. 得到最终权值向量将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就

得到所需的权重向量。

（3）按权重大小进行申请人录取

将计算出来的方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，也即不同申请人在多因素考虑下的最终权重。这样一来，我们就可以按权重大小进行申请人录取工作了。

假设第一层（目标层）只有一个元素，第二层（规则层）有 5 个元素，第三层（方案层）有10个元素。假设通过第二层对第一层的正互反矩阵计算得到第二层对第一层的权向量为W2∈5R，同样方法构造第三层对第二层的每一项的正互反矩阵，将得到5个10 * 10 的矩阵，求解得到5个权向量W r3∈5R , r =1,2,...,5，将这p个向量排成一个矩阵Q∈5*10

R，则Q *W2为一个 10维的列向量，其中的第i个元素就代表方案i对目标的权重，三层以上的情况可以类似得到。

五模型的实现及求解

1.问题一建立一个模型，计算一个申请者是否能被录取

为了讨论该模型合理性，需要计算一组数据。因为每年申请大学的学生的成绩完全是随机的，即成绩的分布没有固定的比例，故可以用计算机模拟出少数样