晶体结构的对称
晶体结构的对称性
滑移面—滑移反映操作：由反应与平移组成的复 合对称操作。根据滑移方向的不同分为3类。第 一类轴线滑移面a(或b,c)：如图虚线所示，对应的 操作为反映后，再沿a(或b,c)轴方向平移a/2（或 b/2,c/2)；第二类对角 5 线滑移面n:如图B所 示。实点和虚点分别 4 a 3 是位于纸面的上方和 下方，且距离相等处。 对应的操作使反映后 a 2 沿a轴方向移动a/2,再 沿b轴方向移动b/2,即 1' 1 b 反映后又平移a/2+b/2
分子对称性与警惕宏观对称性对照表
分子对称性 晶体宏观对称性
对称操作及 其符号 旋转L(a) 反映M 倒反I 对称元素及其 对称操作及其 对称元素及 符号 符号 其符号 旋转 对称轴C 旋转轴n 对称面s
n
反映 反演 旋转反映
反映面或镜 面m 对称中心i 反轴
对称中心i 象转轴Sn
旋转倒反 L(a)I
1.2 晶体结构的对称性
1.2.1 晶体的对称元素和对称操作
晶体结构最基本的特征是具有空间点阵结构。 晶体的点阵结构使晶体的对称性和分子的对称性 有差别。分子结构的对称性是点对称性，只有4种 类型的对称元素和对称操作。 （1）旋转轴—旋转操作； （2）镜面—反映操作； （3）对称中心—反演操作； （4）反轴—旋转反映操作。 晶体的点阵结构，包括平移的对称操作。一方面 使晶体结构的对称性在上述点对称性的基础上还 增加下列3种类型的对称元素和对称操作。
对同一晶体，在划分平行六面体时，由于选择 向量的大小和方向不同，有许多划分方法，也就 能找到多种不同形状的晶胞。这些晶胞基本分为 二类：素晶胞和复晶胞。素晶胞包含的内容实质 上就是结构基元。若不考虑其他因素，任何晶体 均可划分为素晶胞。如图： 晶胞的基本要素：一个是晶胞的大小和形状， 可用晶胞参数（a,b,c,a,b,g）表示；另一个是晶 胞中原子的位置，通常用分数坐标（x,y,z)表示。 晶胞参数的定义与空间点阵的参数完全相同。 根据a,b,c,选择晶体的坐标轴X,Y,Z，使它们分别 和向量a,b,c平行。因此将a,b,c表示的方向也叫 晶轴。
23晶体的对称性和分类
操作前后晶体保持自身重合的操作,称为对称 操作.
晶体借以进行对称操作的轴、平面或点.称为对 称元素（简称对称素）.
6)表示纯转动对称操作(或转动轴)；i表示中心反演
（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）。
这种表示方法属于国际符号(International
notation)标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮
(Mauguin)制订的，在晶体结构分析中经常使用。
还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记， 是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为熊夫利 符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中Cn 表 示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；Ci 表示中心反 演；Cs 表示镜面反映。
x x
y
y
cos
z
sin
z
y
sin
z
cos
x 1 0 0 x
y0 cos siny z 0 sin cos z
所以，绕x轴旋转的变换矩阵为：
1 0
0
Ax
0
cos
sin
0 sin cos
同理可得绕y轴和绕z轴的变换矩阵
cos 0 sin
Ay
0
1
0
sin 0 cos
cos sin 0
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴， 称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明 B
A
如图,A为格点,B为离A最近的 格点之一,则与 平A 行B 的格点
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
晶体对称性
晶体对称性晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它是晶体结构的关键，可以解释晶体的外观、性质以及界面问题。
其中，最常见的是空间群，它用数学表示法确定变换的形式。
接下来，让我们来更多地了解晶体对称性：一、空间群1. 什么是空间群：空间群是一种变换群，也是对称性理论的基础，可以描述物体在特定坐标系中的集合子空间上的空间操作。
举个例子，如果一个物体只可以在空间系中做180°旋转，那么它就只具有一种（即旋转）拓扑群。
2. 空间群划分：空间群可以根据对称性来划分，主要包括有限对称群、无限对称群和单调对称群三类。
其中，有限对称群表示法子群的形状、大小或空间构造不变；无限对称群指的是无限种变换，其轴心、空间点或空间构造不变；而单调的对称群是单一的元素组成的，在该空间群中任何对称性都不变。
二、对称性1. 什么是对称性：对称性是空间群的基础，一般来说，它表示物体在某种坐标下有特定形状和空间操作的属性，也可以用数学表示法来表达这种特征。
2. 对称性的类型：对称性的类型可以分为四大类，分别是正交对称性、立体对称性、平面对称性和点对称性。
其中，正交对称性主要涉及空间中的空间坐标变换，立体对称性是指物体在立体坐标系下的操作，而平面对称性是指物体在平面坐标系下的操作，而点对称性则是指物体在特定空间构造下的操作。
三、晶体对称性1. 晶体对称性是什么：晶体对称性是晶体学研究的一个重要组成部分，它涉及到晶体结构的外观、性质以及界面问题的解释。
2. 晶体对称性的应用：晶体对称性可以用来研究和设计多种材料，如金属、半导体、有机分子晶体、生物晶体等，它们是将材料化学性质同物理性质关联起来，从而更好地理解材料的特性。
此外，晶体对称性也可用于分类、指导结构分析以及材料的设计和合成等。
四、总结从上文可以看出，晶体对称性是一个非常重要的概念，它不仅仅可以用来描述物体的形状、大小和空间结构，而且可以应用于许多不同的领域，如材料的研究与设计等。
晶体的结构及其对称性
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
1-4 晶体结构的对称性
2.滑移反映面
先经过某面进行镜象操作，再沿平行于 该面的某个方向平移T/2后，晶体自身重合， 则称该面为滑移反映面。（见图）
考虑了平移操作后，晶体 共有230种对称类型，B格 子共有14种对称类型，称 为14种B格子。
2 2
2.中心反演对称性(用i表示) 中心反演对称性( 表示)
以晶体中一点O为中心。将 晶体中的位矢r变为－ r以后， 晶体完全重合的操作。 O点称为反演中心。
请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
C1
3.镜象操作－－－用σ表示
在晶体中选一平面，以这平面为镜面进 行镜象操作，若操作后晶体能自身重合， 则说该晶体具有镜象操作对称性。 若镜面是与X轴垂直的Y－Z面，镜象操 作相当于坐标变换：x -x, y,z不变。 请看动画《对称操作》 请看动画《对称操作》
强调：
• 对称性不同的晶体属 于不同的群， • 结构不同的晶体，按 对称性分类，可以属 同一类，即可属于相 同的群，例如，NaCl 和Cu均属Oh群。 • σ３ σ２
•
σ1
1 ：E，C 3,
• c3V群
•
C32,
σ 1 σ 2, σ 3
把晶体按照点对称性进行分类， 可分成32类 把B格子按照点对称性进行分 B 类，可分成7类，称为七种晶系。
三.分数周期平移T/n 平移：a.周期平移T，晶体自身重合； b.分数周期平移T/n，本身并不
能使晶体自身重合，再与转动或镜象 操作结合后才能使晶体重合，即二者 结合构成一个操作。
1.n度螺旋轴U：绕轴旋转2π/n，再
沿该轴平移 T/n的k倍，其中T为轴方 向的周期，k为小于等于n的整数， n=1,2,3,4,6。
群的定义：
若有一个元素的集合G＝（E，A，B，……） 满足以下条件，则称该集合G构成一个群。 （1）封闭性； （2）G中有单位元E； （3）逆元素； （4）结合律 A（BC）＝（AB）C
化学晶体对称性操作方法
化学晶体对称性操作方法化学晶体的对称性操作是描述晶体结构中存在的各类对称性操作的方法。
对称性操作可以帮助我们研究和理解化学晶体的结构和性质。
下面我将详细介绍几种常见的对称性操作方法。
1. 旋转对称性操作旋转对称性操作是指将晶体结构围绕某个旋转轴进行旋转，使得旋转前后晶体结构完全重合。
旋转轴根据旋转角度的不同尽可能地进行分类，即2倍旋转轴、3倍旋转轴、4倍旋转轴等。
例如，围绕二倍旋转轴旋转180度可以使晶体结构不变。
在晶体学中，通常用符号n来表示旋转轴，如2倍旋转轴用2表示，3倍旋转轴用3表示。
2. 反射对称性操作反射对称性操作是指将晶体结构通过镜面进行翻转，使得镜面两侧的晶体结构完全重合。
反射镜面可以是垂直平面、水平平面或倾斜平面，根据其位置和方向可分为不同的反射面。
在晶体学中，通常以hkl指数来表示反射面，其中hkl为该反射面的法线方向。
反射对称性操作常常与旋转对称性操作结合使用，形成复合对称性操作。
3. 傍轴对称性操作傍轴对称性操作是指将晶体结构按照某个傍轴进行旋转，使得沿着傍轴方向的晶体结构重复周期性地出现。
傍轴包括，n倍傍轴（n为整数），以及基于六方晶系或立方晶系的三倍傍轴。
傍轴对称性操作可以是绕轴旋转和镜面反射操作的组合。
4. 滑移对称性操作滑移对称性操作是指将晶体结构平行于某个平面上滑动一个特定的偏移量，使得滑移后的晶体结构与滑移前完全重合。
滑移对称性操作对于晶体中平面的分子或离子的排列非常重要，及其对晶体的结构和性质产生显著影响。
5. 旋转反射对称性操作旋转反射对称性操作是指将晶体结构旋转到特定的角度，然后在镜面上进行翻转。
这种对称性操作通常出现在晶体的中心对称结构中，例如立方晶系和六方晶系。
总之，对称性操作是描述晶体结构中旋转、反射、滑移等各类对称操作的方法。
借助对称性操作，我们能够更好地理解晶体的结构和性质，并且为进一步研究和应用晶体提供了基础。
通过研究晶体对称性操作，我们可以发现晶体结构中的规律和现象，为新材料的设计合成和性质预测提供重要的参考依据。
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
晶体结构和对称性
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体化学(晶体对称性)
划分正当晶胞或单位的原则中，主要做了两方
面的规定：
划分了七个晶系
一、应当尽量选取较规则的形状；
二、应当尽量选取含点阵点少的.
划分出十四种空间 点阵型式
立方 P, I, F
六方 H
晶 三方 R 系 四方 P，I
简单P 型 底心C 式 体心I
正交 P，C（或侧心），I，F
面心F
单斜 P，C
侧心A或B
三斜 P
∴3垂直一平面点阵
3
b3 T3
T1
a1b1
b2 a2
T2
a3
3. 晶体中对称轴的轴次 A
设晶体中有一轴次为 n 的旋转轴，通
过点阵点O垂直纸面
B
则在晶体的空间点阵中，必有一平 面点阵与 n 垂直.
取直线点阵Tm=ma，并设素向量为 a
根据点阵与平移群的关系:
点阵点
平移群
a作用于O必得A点(为点阵点)，-a作用于O 得 A'
4
对称操作
倒反
I
反映
M
旋转 旋转 旋转 旋转 旋转 旋转倒反
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 ) L(60 ) L(90 )I
二、宏观对称元素的组合和32个点群
晶体宏观对称元素的组合 晶体的独立的宏观对称元素只有八种，但在某一晶体中可以只存在 一个独立的宏观对称元素，也可能有由一种或几种对称元素按照 组合程序及其规律进行合理组合的形式存在。 晶体中，宏观对称元素组合时，必受以下两条的限制：
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
晶体学中的晶体对称性与晶体结构研究
晶体学中的晶体对称性与晶体结构研究简介晶体学是自然科学中一门研究晶体结构和性质的学科。
晶体的对称性和结构是晶体学的重要内容。
晶体学的研究不仅有基础研究价值，还有着广泛的应用价值。
本文将从晶体对称性角度出发，探讨晶体结构研究的方法和应用。
晶体对称性晶体对称性是指晶体内部各部分具有相同的排列规律和几何形状。
在晶体学中，对称性是衡量晶体完美度的重要指标之一。
晶体对称性有两种：点对称性和空间对称性。
点对称性是指在晶体中存在一个点，经过该点进行旋转、镜像后，晶体的内部结构与原来完全相同。
空间对称性是指晶体在三维空间中存在对称操作，包括：旋转、镜像和反演。
常见的点对称性包括：• 二重轴对称性：具有一个旋转轴，使得晶体绕该轴旋转180°之后，晶体内部结构不变。
• 旋转对称性：具有一个旋转轴，使得晶体绕该轴旋转360/n，n为正整数，晶体内部结构不变。
• 镜像对称性：具有一个镜面，可以将晶体分为两个相等的部分，其中一部分镜像另一部分。
• 反演对称性：把晶体的每个点关于一个特定点反转，即点P 关于点O反演以后的点P'在O点所连的向量上，并且OP'=OP。
常见的空间对称性包括：• 立方晶系：八面体对称性，有三个互相垂直的二重对称轴和四个三重对称轴。
• 正六角柱晶系：具有六重对称轴和三个对面对称面。
• 单斜晶系：具有垂直于晶面的二重对称轴和平行于晶面的镜面对称性。
• 菱面体晶系：具有正四面体对称性和八面体对称性。
晶体结构研究晶体结构研究是晶体学的重要组成部分，其目的是通过测定晶体结构，揭示其性质和物理、化学等科学规律，从而为新材料开发和新制备方法提供依据。
测定晶体结构需要使用X射线衍射和电子衍射等技术。
现代技术使得晶体结构的测定更加快速、精确。
应用晶体学的应用范围很广，包括：• 材料科学：晶体学为材料科学领域提供了重要手段，例如材料的研究、优化和制备。
• 生物科技：晶体学技术为生物分子结构研究提供了关键信息，如解决蛋白质三维结构、探寻酶催化机理等。
晶体结构的对称性.
晶胞的选取
晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞
时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼 顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时 使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交 角接近直角。
关系，旋转角度为的反轴和旋转角为(p)的映轴是 等价的对称轴，这一关系也很容易从他们的表示矩 阵看出。所以1次， 2次， 3次， 4次和6次反轴分 别等价于2次， 1次， 6次， 4次和3次映轴。
_ ~_ ~_ ~_ ~_ ~ 1 2, 2 1 , 3 6, 4 4, 6 3
晶体结构的对称性
主要内容
晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞
晶体学中的对称操作元素：
(旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋 轴和滑移面) 晶体学点群，晶系和点阵型式 空间群及其应用：空间群符号，等效点系，分数 坐标，不对称单位
晶体性质
晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中 周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同性 质： 1. 均匀性;
σv) 或 垂直于(horizontal ， σh) 主轴。 在二个C2轴之间角平分线的一个垂直平面叫作双面镜面， σd （ dihedral plane ）。
通过yz面的反映。
旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ，
Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转 操作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作 称为记为
晶胞内部 1
石墨晶体结构
三维点阵和晶胞
晶体结构的特点
晶体结构的特点
晶体结构的特点包括：
1. 有序性：晶体的原子或分子按照一定的规律排列，形成有序的结构。
2. 重复性：晶体的结构单元（晶胞）在空间中周期性地重复出现，使得整个晶体具有无限的空间延伸。
3. 对称性：晶体具有各种对称性，包括旋转对称性、镜面对称性和反射对称性等。
这些对称性使得晶体在物理性质上呈现出一定的规律性。
4. 紧密堆积：晶体的原子或分子通常以紧密堆积的方式排列，以最大程度地填充空间。
5. 晶面和晶向：晶体的表面由一系列平行的晶面组成，而晶体内部有一些特定的方向，称为晶向。
6. 晶体的周期性：晶体的物理性质在晶体内部是呈现出周期性变化的，例如电子结构和光学性质等。
7. 晶体的各向同性：晶体的物理性质在各个方向上是相同的，即晶体的性质与其晶向无关。
8. 晶体的非均匀性：晶体内部的原子或分子的排列存在一定的偏差
和不规则性，使得晶体在微观上不是完全均匀的。
晶体的对称性
晶体的对称性
在晶体结构中，最常见的是面心立方(fcc)、体心立方（bcc）和密排六方(hcp)三种典型结构，其中fcc和hcp系密排结构，具有最高的致密度和配位数。
这三种典型结构的晶胞分别含有4、2、6个原子。
利用刚球模型可以算出晶体结构中的间隙，以及点阵常数与原子半径之间的关系。
金属晶体的结合键是金属键，故往往构成具有高度对称性的简单晶体结构，如fcc、bcc和hcp等。
但是，工业上广泛使用的金属材料绝大多数是合金。
由于合金元素的加入，使形成的合金相结构变得复杂。
合金组元之间的相互作用及其所形成的合金相的性质主要是由它们各自的电化学因素、原子尺寸因素和电子浓度三个因素控制的。
合金相基本上可分为固溶体和中间相两大类。
1 晶体结构及其对称性(研)
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵 §1.4 晶体的宏观对称性 §1.6 晶体X射线衍射
固体分类
晶体定义：原子、分子、离子、原子团有规则 地在三维空间的周期性重复排列形成的固体， 具有长程序。
晶体分单晶体和多晶体。
非晶体：内部粒子在三维空间不是周期性的有规 则的排列。长程无序，但在一个原子附近的若干 原子的排列是有一定规则的排列——短程有序。
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2。，n3 、 、
a1 a2
格点 与（n1, n2, n3）一一对应。
11 1
故采用截距的倒数 u、 、v ，w并约化为三个互质的整数
h、k、l
1 来标志晶面，即：u
:
1 v
:
1 w
h。:
k
:
l
将（hkl）放在圆括号中，就称为该晶面的密勒指数（hkl）． 如果有负数，负号标在该数的上面，与晶向指数中的表示相同。
一个晶面簇中的各个晶面，其晶面指数相同．
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
若方一法个：晶以面单在胞其基三矢个坐基标矢系方为向例上说的明截晶距面分的别密为勒ua、指数v、（b hk，lw）c．
用u、v 、w 三个数字就可以标志晶面的空间方位。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9. 10.
http:/www.cryst.ehu.es/ ........
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ：
C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( 3.旋转轴加通过该轴的镜面： C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm 4.旋转反演轴 S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3 ) ,4/m,6/m
8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)
T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m
点群与物理性质
从晶体的点群对称性，可以判明晶体有无对映体、旋
光性、压电效应、热电效应、倍频效应等。
1.旋光性出现在15种不含对称中心的点群。 2.热电性出现在10种只含一个极性轴的点群。 3.压电性出现在20种不含对称中心的点群(432除外)。 4.倍频效应出现在18种不含对称中心的点群。
Z轴总是平行于唯一的4次旋转（反演）轴， 无 X和Y轴相互垂直，并都与Z轴成直角。 Z轴总是平行于唯一的3次或6次旋转（反演） 在三方晶系，三次轴选为 轴，X和Y轴都垂直于Z轴，并相互间交角为 初基单胞的对角线，则 120 。 a=b=c,a=b=g 90。 晶轴总选为平行于三个相互垂直的2次轴或 4次轴，而四个三次轴平行于平行于立方晶 胞的体对角线。 无
对称操作分类
只产生可重合物体的操作统称为第一类操作；而产 生物体对映体（镜像）的操作统称为第二类操作。 第一类操作：真（纯）旋转；螺旋旋转。 第二类操作：反射；反演；滑移；非真旋转（旋转 反演，旋转反映） 没有反轴对称性的晶体是手性晶体。
晶系(The seven crystal systems)
立方
群的定义
假设G是由一些元素组成的集合，即G= {…， g，…}。 在G中定义了
一种二元合成规则(操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成规则
满足以下四个条件： a)封闭性： G中任意两个元素的乘积仍然属于G。
f , g G fg = h G
b)结合律： f , g , h G
32种点群的符号表示符号及性质
5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622
6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：
D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm
7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; -42m,-3m
1.把所有滑移面全部转换成镜面；
2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。
例如： 空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
参考书和互联网资源
1. 2. 3. 4. 5. 6. “粉末衍射法测定晶体结构”梁敬魁编著，科学出版社， 2003年。 “Fundamentals of Powder diffraction and Structural Characterization”, V.K.Pecharsky, P.Y. Zavalij, Kluwer Academic, 2003 “晶体结构测定”，周共度著，科学出版社，1981年。 “固体科学中的空间群"， G. 本斯，格莱泽著，高等教育出版社， 1984年 “对称性原理(一)对称图象的群论原理”，唐有祺著，科学出版社， 1984年
晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操作后
物体中至少有一个点是不动的。 晶体学中，点对称操作只能有轴次为1,2,3,4,6的旋 转轴和反轴。(对称中心= ，镜面= ) 如果把点对称操作元素通过一个公共的点按所有可 能组合起来，则一共可以得出32种不同的组合方式， 称为32个晶体学点群。
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
四方晶系：68个；六方晶系：27个
立方晶系：36个。
有对称中心90个，无对称中心140个。
73 个 symmorphic (点式) ， 157个 nonsymmorphic。
对称方向
晶系 第一 三斜 单斜 正交 四方 六方 三方 (R) 立方 无 b [010] a [100] c [001] c [001] a+b+c [111] a [100]/[010]/ [001] b [010] a [100]/[010] a [100]/[010] a-b [1 `1 0] a+b+c [111] a+b [110] c [001] a+b [110] 2a+b [120] 对称方向 第二 第三
晶胞
如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a， b和c确定的方向称 为晶体学的晶轴 X， Y， Z。 如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 (primitive)。
晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个 边的长度a， b， c三个边之间的夹角a， b， g表示。
晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了
( fg )h = f ( gh)
c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， f G 有
ef = fe = f
d)可逆性。 对任意元素 f G ，存在逆元素 f 1 G ，使 f 1 f = ff 1 = e 则称集合G为一个群。
晶体学点群
晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称作
“Fundamentals of Crystallography”, C. Giacovazzo et al, Oxford Univ. Press, 1992.
7.
8.
“X射线晶体学导论”， (英) M.M. Woolfson著，科学出版社， 1981年年。
“晶体学中的对称群”，王仁卉，郭可信著，科学出版社， 1990年。
晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。
一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为：
晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵
点阵、结构和单胞
1. 点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子) 。
2. 点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。
3. 初基点阵矢量： 可选择的最小点阵矢量。 4. 初基晶胞： 初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个
不同晶系中的标准单胞选择规则
晶系 三斜 单斜 正交 四方 六方/三方 标准单胞选择 晶轴间交角尽可能接近直角，但90。 Y轴平行于唯一的二次轴或垂直于镜面，b 角尽可能接近直角。 晶轴选择平行于三个相互垂直的2次轴（或 垂直于镜面）。 变通单胞选择 容许轴间交角= 90 同标准选择，但Z轴代替 Y轴，g角代替b角。 无
晶体点阵与晶体对称性
点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，
点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三维空间 中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。选任意一 个阵点作为原点，三个不共面的矢量a， b和c作为坐标轴的 基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下：
此平行六面体称为晶胞。
反过来，在晶体结构分析中，可以借助物理性质的测
量结果判定晶体是否具有对称中心。
14种空间点阵型式示意图(14个Bravais点阵)
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
32个点群
230个空间群
空间群分布
三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个； 三方晶系：25
使空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作，如平 移，螺旋转动和滑移反映。
对称操作和对称元素
对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变 换前不可区分（复原，重合）。 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。 点群： 保留一点不变的对称操作群。 空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群 对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体学点群与 14 个Bravais 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带 心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性 操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。
晶系 第一位 可能对称 元素 方向 第二位 可能对称 元素 无 2，m Y 无， 2，m X 方向 第三位 可能对称 元素 方向 点群
三斜 1,`1
单斜 2,m,2/m 正交 2，m 四方 4,`4， 4/m 三方 3,`3 六方 6,`6, 6/m
任意 无
Y X Z
无
无 2，m Z 无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
晶体结构 的对称性
晶体性质
晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中
周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同
性质： 1. 均匀性; 2. 各向异性; 3. 自范性; 4. 对称性; 5.稳定性。
对称性的不同含义
物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、 等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元 的排列构型的精确对应。
晶系：按照晶胞的特征
晶系 特征对称元素 无或反演中心
对称元素可以分成7个 三斜 不同类型，称为晶系。 单斜
正交 三方 四方 六方 立方
唯一的2次轴或镜面
三个相互垂直的2次旋转轴 或反轴。 唯一的3次旋转轴或反轴。 唯一的4次旋转轴或反轴。 唯一的6次旋转轴或反轴。 沿晶胞体对角线的四个3次 旋转轴或反轴