平面向量经典习题-提高篇
高中数学必修4平面向量典型例题及提高题
精品文档平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】【根本概念与公式】aAB 1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：。
或||AB||a或。
2.向量的模：向量的大小〔或长度〕，记作：e1 |e| 是单位向量，那么。
3.单位向量：长度为 1 的向量。
假设00 。
【0的向量。
记作：方向是任意的，且与任意向量平行】 4. 零向量：长度为：方向相同或相反的向量。
5. 平行向量〔共线向量〕：长度和方向都相同的向量。
6. 相等向量BA AB：长度相等，方向相反的向量。
7. 相反向量三角形法那么：8.CB AEABAC BC ACAB BC CD DEAB〔指向被减数〕；；9.平行四边形法那么：ba ba b,a ，以为临边的平行四边形的两条对角线分别为。
b/ a/b a00baa与b与反向。
当 10. 共线定理：时，时，同向；当11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
2 2222)a b|a b| (),ya x( yx a|| |a |a ，，那么，12.向量的模：假设b a cosb| |a| |a b cos13.数量积与夹角公式：；|b|a| |b xy xya b a b 0 xx a//ba yy 0 14.平行与垂直：；22121112题型 1. 根本概念判断正误：。
，那么 1〕假设与共线，〔与 2 共线，那么与〕假设共线。
〔ma naababnm ma mba bcabbca都不是零向量。
与，那么与不共线，那么。
〔 4〕假设〔 3〕假设。
〕假设 6，那么〕假设5〔，那么a//ba b||| a bba| b|||ba a |〔题型 2. 向量的加减运算精品文档．精品文档AC 为 AB 与 ADAC a,BD bAB AD，的和向量，且 4.，那么。
3AC BCBCABAC AB 。
5.点 C 在线段 AB 上，且， ,那么53. 题型向量的数乘运算13,8)( (1, 4),b ab 3a。
最新高中数学必修4平面向量典型例题及提高题
精品文档平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】【基本概念与公式】aAB 1.向量：既有大小又有方向的量。
记作：。
或||AB||a或。
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：e1?|e|是单位向量，则。
3.单位向量：长度为1的向量。
若00。
【0的向量。
记作：方向是任意的，且与任意向量平行】4.零向量：长度为：方向相同或相反的向量。
5.平行向量（共线向量）：长度和方向都相同的向量。
6.相等向量BA?AB?：长度相等，方向相反的向量。
7.相反向量三角形法则：8.CB??AEABAC??BC?ACAB?BC?CD?DEAB（指向被减数）；； 9.平行四边形法则：ba?ba?b,a，以为临边的平行四边形的两条对角线分别为。
???b/?a/b?a0??0baa与b与反向。
当10.共线定理：时，时，同向；当11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
22222)a?b|a?b|?(),ya?x(yx?a||?|a?|a，，则，12.向量的模：若b?a??cosb|?|a|?|a?b?cos 13.数量积与夹角公式：；|b|a|?|?b?xy?xya?b?a?b?0?xx?a//ba??yy?0 14.平行与垂直：；22121112题型1.基本概念判断正误：ma?mba?bcabbca。
，则1）若与共线，（与2共线，则与）若共线。
（ma?naababnm?都不是零向量。
与，则与不共线，则。
（4）若（3）若a//ba?b|||?a?bba|?b|||ba??a?|。
）若6 ，则）若5（，则（题型2.向量的加减运算精品文档．精品文档AC为AB与ADAC?a,BD?bAB?AD?，的和向量，且4.已知，则。
3AC?BCBCABAC??AB。
5.已知点C在线段AB上，且， ,则53.题型向量的数乘运算13,8)(??(1,?4),b?ab?3a?。
已知，则 2.2题型4根据图形由已知向量求未知向量ACAB，AD BC?ABCD的中点，请用向量中，是表示。
数学必修四平面向量提高题答案
数学4（必修） 第二章 平面向量 [提高训练C 组]一、选择题1.C (1,3),(2,3),//326,23AB a AC b AB AC b a a b =-=-⇒-=--=2.C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---122(2PP ==≤= 3.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，与可以为任意向量； ||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角4.C 2236916cos a b a a b b +=++=+= 5.C 21cos ,423a ba b πθθ====6.D 设(2,),b ka k k ==，而||25b =，则,(4,2),(4,2)k b ==±=--或二、填空题1.4 2(2c o s 3,2s i n 1),288s i )164a b a b πθθθ→→-=-+-=+-≤= 2.直角三角形 (1,1),(3,3),0,A B AC A B A C A B A C ==-=⊥3.(2222--或设所求的向量为22(,),220,1,x y x y x y x y -=+===4. 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-= 5．43(,)55- 设2243(,),435,1,,55b x y x y x y x y =-=+===- 三、解答题 1.解：（1）若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c =，这是一个假命题因为,()0a b a c a b c ⋅=⋅⋅-=，仅得()a b c ⊥-（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．这是一个假命题因为向量a 在b 的方向上的投影是个数量，而非向量。
高中数学专项训练(平面向量提升版)(含答案)
高中数学专项训练（平面向量提升版）（含详细解答）1. 若向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗+b⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值为( ) A. −2 B. −4 C. 2 D. 42. 正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ+μ=( )A. 2B. 83C. 65D. 853. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、AD上的点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，连接AC 、MN 交于P 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λ的值为( )A. 35B. 37C. 411D. 4134. 如图，已知△OAB ，若点C 满足，则1λ+1μ=( )A. 13B. 23C. 29D. 925. 已知平面向量a ⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b ⃗⃗)，则向量b ⃗⃗在向量a⃗⃗方向上的投影为( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −26. 若向量a ⃗⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗⃗=(x,1)满足条件3a ⃗⃗−b ⃗⃗与c ⃗⃗共线，则x 的值( ) A. 1 B. −3 C. −2 D. −17. 已知向量BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰非直角三角形 8. 设D 为△ABC 所在平面内一点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，则λ=( ) A. 2 B. 3 C. -2 D. −39. 已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 中点，连BE ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 210. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗+3b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 设向量a ⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2).则与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是( ) A. (3,2) B. (3,−2) C. (4,6) D. (4,−6)A. 25B. −25 C. 35D. −3513. 已知向量m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n ⃗⃗=(2,3)，则m ⃗⃗⃗⃗在n ⃗⃗方向上的投影为( ) A. √13B. 8C. 8√55D. 8√131314. 已知平面向量a ⃗=(−2,x)，b ⃗⃗=(1,√3)，且(a ⃗⃗−b⃗⃗)⊥b ⃗⃗，则实数x 的值为( ) A. −2√3 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√315. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足a ⃗⋅b ⃗⃗=1，|a ⃗⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，则|a ⃗−b⃗⃗|=( ) A. √13 B. 6 C. √11 D. 516. 向量a ⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)，则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=( )A. 6B. 5C. 1D. −617. 已知向量a ⃗=(−√3,1)，b⃗⃗=(√3,λ).若a ⃗⃗与b ⃗⃗共线，则实数λ=( ) A. −1 B. 1 C. −3 D. 318. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=( ) A. 2 B. √3 C. √2 D. 1 19. 已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin17π3，则b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)等于( ) A. 2 B. −1 C. −6 D. −1820. 已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，那么向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°21. 已知向量a →，b →满足|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2，|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|=√13，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为______．22. 已知向量a ⃗=(cos θ,sin θ)，b ⃗⃗=(√3,−1)，则|2a ⃗−b ⇀|的最大值为________． 23. 已知a ⃗=(1,2sinθ)，b ⃗⃗=(cosθ,−1)，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 24. 设x ∈R ，向量a⃗⃗=(x,1)，，且a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则______ ．25. 已知向量a ⃗=(sinθ,1)，b ⃗⃗=(−sinθ,0)，c ⃗=(cosθ,−1)，且(2a ⃗⃗−b ⃗⃗)//c ⃗⃗，则sin2θ等于______ ． 26. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗⃗，e 2⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，且cosθ=14，若向量a ⃗=e 1⃗⃗⃗⃗+2e 2⃗⃗⃗⃗，则|a ⃗|=______． 27. 已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为2π3，|a ⃗⃗|=√2，则a ⃗⃗在b ⃗⃗方向上的投影为______． 28. 设θ∈(0,π2)，向量a ⃗=(cosθ,2)，b ⃗⃗=(−1,sinθ)，若a ⃗⃗⊥b ⃗⃗，则tanθ=______． 29. 在△ABC 中，已知∠ACB =90°，CA =3，CB =4，点E 是边AB 的中点，则CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ______ ．30. 平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则λμ= ______ ．31.已知a⃗=(√3sinx,cosx+sinx),b⃗⃗=(2cosx,sinx−cosx),f(x)=a⃗⋅b⃗⃗．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[5π24,5π12]时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．32.已知向量a⃗=(sinx,34)，b⃗⃗=(cosx,−1)．(1)当a⃗//b⃗⃗时，求cos2x−sin2x的值；(2)设函数f(x)=2(a⃗+b⃗⃗)⋅b⃗⃗，已知f(α2)=34，α∈(π2,π)，求sinα的值．33.已知a⃗=(sinx,−cosx)，b⃗⃗=(√3cosx,−cosx)，f(x)=2a⃗⋅b⃗⃗．(1)求f(x)的解析式；(2)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f(A)=2，b=1，△ABC的面积为√32，求a的值．34.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A2=2√55，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3．(1)求△ABC的面积；(2)若b+c=6，求a的值．35.已知向量a⃗=(3,−1)，|b⃗⃗|=√5，a⃗⋅b⃗⃗=−5，c⃗=xa⃗+(1−x)b⃗⃗．(Ⅰ)若a⃗⊥c⃗，求实数x的值；(Ⅱ)当|c⃗|取最小值时，求b⃗⃗与c⃗⃗的夹角的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和平面向量共线的条件，属于基础题． 先利用平面向量运算法则求出3a ⃗⃗+b ⃗⃗，再由向量共线的条件能求出x ． 【解答】解：∵向量a ⃗=(−2,0),b ⃗⃗=(2,1),c ⃗=(x,1)，∴3a ⃗+b⃗⃗=(−6,0)+(2,1)=(−4,1)， ∵3a ⃗⃗+b ⃗⃗与c⃗⃗共线， ∴x −1×(−4)=0，解得x =−4． 故选B ． 2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量的基本定理，坐标运算和几何应用，属于中档题． 建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出λ，μ． 【解答】解：以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，如图：设正方形边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，M(1,12)，N(12,1)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,12)， BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1)． ∵AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ−12μ=112λ+μ=1，解得{λ=65μ=25．∴λ+μ=85，故选D ． 3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算，共线定理，及三点共线的充要条件，属于中档题． 根据向量加减的运算法则和向量共线的充要条件及三点共线的充要条件即可求出答案．解：∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=45AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(54AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =54λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∵M 、N 、P 三点共线． ∴54λ+32λ=1， ∴λ=411，故选C ． 4.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的运算以及平面向量基本定理，属于基础题．根据向量的三角形法则和向量的数乘运算用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示出向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而求出λ=13，μ=23，再代值计算即可．【解答】解：∵OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+23OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴λ=13，μ=23， ∴1λ+1μ=3+32=92．故选D ． 5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，属基础题．先根据向量垂直，得到a ⃗⋅b⃗⃗=−2，再根据投影公式即可求出． 【解答】解：∵平面向量a ⃗⃗,b ⃗⃗是非零向量，|a ⃗⃗|=2，a ⃗⊥(a ⃗+2b⃗⃗)， ∴a ⃗⃗⋅(a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0，即a ⃗2+2a ⃗⋅b ⃗⃗=0，即a ⃗⋅b ⃗⃗=−2， ∴向量b ⃗⃗在向量a ⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗·b ⃗⃗|a ⃗⃗|=−22=−1．故选B ．【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目． 根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程即可求出x 的值． 【解答】解：∵向量a⃗=(1,0)，b ⃗⃗=(2,1)，c ⃗=(x,1)， ∴3a ⃗−b ⃗⃗=(1,−1)， 又3a ⃗−b⃗⃗与c ⃗⃗共线， ∴x ×(−1)−1×1=0， 解得x =−1． 故选D ． 7.【答案】A【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，属基础题．由已知向量的坐标求得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，可得|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，结合BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0得答案． 【解答】 解：∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,−2)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1)， ∴|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√10． 又BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1×3−3×1=0． ∴△ABC 的形状为等腰直角三角形． 故选A ． 8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．若BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，化简与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，即可得出．【解答】解：若BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(λ∈R)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 化为：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λ−1λAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+43AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗比较，可得：1λ=−13，λ−1λ=43，解得λ=−3． 则λ=−3．故选D ． 9.【答案】B【解析】【分析】考查向量加法的几何意义，相反向量的概念，以及数量积的运算及计算公式．可画出图形，据图可得出BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，从而便得到BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，这样进行数量积的运算即可． 【解答】 解：如图，BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗； ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−EA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=0−1=−1．故选B ．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查平面向量的模和夹角，属于基础题.可知|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=1，这样对|a ⃗⃗+3b ⃗⃗|=√13两边平方即可求出a ⃗⃗⋅b ⃗⃗的值，进而求出cos <a ⃗⃗,b⃗⃗>的值，从而得出a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角． 【解答】 解：(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)2=a ⃗2+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9b ⃗⃗2 =1+6a ⃗⋅b ⃗⃗+9 =13， ∴a ⃗·b⃗⃗=12， ，∴a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为π3． 故选C ．11.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b ⃗⃗=(0,−2)． ∴a ⃗+2b⃗⃗=(2,−3)， ∵(2,−3)⋅(3,2)=6−6=0，∴与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量可以是(3,2)． 故选：A ．求出a ⃗+2b ⃗⃗=(2,−3)，由此利用向量垂直的性质能求出与a ⃗+2b⃗⃗垂直的向量的可能结果． 本题考查向量的坐标运算、向量垂直等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题． 12.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：a⃗+λb⃗⃗=(2−λ,4+λ)，∵a⃗+λb⃗⃗与c⃗⃗共线，∴3(2−λ)−2(4+λ)=0，解得λ=−25．故选B．13.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了向量的投影的定义，属于基础题．m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗⃗|n⃗⃗⃗|，代值计算即可．【解答】解：m⃗⃗⃗⃗=(1,2)，n⃗⃗=(2,3)，则m⃗⃗⃗⋅n⃗⃗=1×2+2×3=8，|n⃗⃗|=√22+32=√13，则m⃗⃗⃗⃗在n⃗⃗方向上的投影为m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗|n⃗⃗|=√13=8√1313．故选D．14.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题．根据题意，由向量坐标计算公式可得a⃗−b⃗⃗的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗=(−2,x)，b⃗⃗=(1,√3)，则a⃗−b⃗⃗=(−3,x−√3)，又由(a⃗⃗−b⃗⃗)⊥b⃗⃗，则(a⃗−b⃗⃗)·b⃗⃗=(−3)×1+(x−√3)×√3=0，解可得x=2√3．故选B．15.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，是基础题．根据平面向量数量积的定义与模长公式，求模长|a⃗−b⃗⃗|即可．【解答】解：向量a⃗⃗，b⃗⃗满足a⃗⋅b⃗⃗=1，|a⃗⃗|=2，|b⃗⃗|=3，∴(a⃗−b⃗⃗)2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗⃗+b⃗⃗2=22−2×1+32=11，∴|a⃗−b⃗⃗|=√11．故选C．16.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的数量积的运算，属于基础题．解：向量a⃗⃗=(2,−1)，b ⃗⃗=(−1,2)， 2a ⃗+b⃗⃗=(3,0)， 则(2a ⃗+b ⃗⃗)⋅a ⃗=6， 故选A ．17.【答案】A【解析】解：∵a ⃗⃗//b ⃗⃗，∴−√3λ−√3=0，解得λ=−1． 故答案为A ．利用向量共线定理即可得出−√3λ−√3=0，解出即可． 熟练掌握向量共线定理是解题的关键． 18.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量坐标减法运算，考查向量模的求法，是基础题． 由已知向量的坐标求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，代入向量模的计算公式求解． 【解答】解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos15°,sin15°)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°,sin75°)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos75°−cos15°,sin75°−sin15°)， 则．故选D ．19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查诱导公式的应用，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，由题意利用两个向量的数量积的定义求得a ⃗⃗⋅b ⃗⃗ 的值，可得b ⃗⃗(2a ⃗−b⃗⃗)的值．属于基础题． 【解答】解：∵向量a⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2√3， a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角的余弦值为sin 17π3=sin (−π3)=−√32，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=1×2√3×(−√32)=−3， ∴b ⃗⃗⋅(2a ⃗−b ⃗⃗)=2a ⃗⋅b ⃗⃗−b ⃗⃗2=2⋅(−3)−12=−18， 故选D ．20.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量数量积的计算公式，关键是掌握向量夹角的计算公式． 【解答】解：根据题意，设向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为θ，又由|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗⋅b ⃗⃗=1，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°；故选B．21.【答案】60°【解析】【分析】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量的数量积的定义，属于基础题．将|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13的等号两边平方，带入|a⃗⃗|=1,|b⃗⃗|=2，解出a⃗⃗与b⃗⃗的夹角的余弦值，从而得到夹角．【解答】解：设a⃗⃗与b⃗⃗的夹角为θ，∵|a⃗|=1,|b⃗⃗|=2，|a⃗⃗−2b⃗⃗|=√13，∴a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=13，即1−4×1×2⋅cosθ+4×4=13，∴cosθ=1，∴θ=60°，2故答案为60°．22.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习．先根据向量的线性运算得到2a⃗−b⃗⃗的表达式，再由向量模的求法表示出|2a⃗−b⇀|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案．【解答】解：∵2a⃗−b⇀=(2cosθ−√3,2sinθ+1)，)≤4．∴|2a⃗−b⃗⃗|=√(2cosθ−√3)2+(2sinθ+1)2=√8+8sin(θ−π3∴|2a⃗−b⃗⃗|的最大值为4．故答案为：4．23.【答案】12【解析】【分析】本题考查三角函数值的求解，涉及向量的垂直和数量积的关系，属于基础题．由题意可得1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简后，由同角三角函数的关系可得答案．【解答】解：由题意可知：a⃗=(1,2sinθ)，b⃗⃗=(cosθ,−1)，∵a⃗⃗⊥b⃗⃗，∴1×cosθ+2sinθ×(−1)=0，化简得cosθ=2sinθ，故tanθ=sinθcosθ=12，故答案为12．24.【答案】5【解析】【分析】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，向量的模，属于基础题．根据题意，由a⃗⊥b⃗⃗可得a⃗⋅b⃗⃗=0，解可得x的值，即可得a⃗⃗的坐标，由向量的坐标计算公式可得a⃗+2b⃗⃗的坐标，由向量模的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量a⃗⃗=(x,1)，b⃗⃗=(1,−2)，因为a⃗⊥b⃗⃗，则有a⃗·b⃗⃗=x−2=0，解得x=2，故a⃗=(2,1)，又由b⃗⃗=(1,−2)，则a⃗+2b⃗⃗=(4,−3)，则，故答案为：5．25.【答案】−1213【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．根据题意，由向量的坐标运算可得求出2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，进而由向量平行的坐标表示方法可得有3sinθ×(−1)=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，进而由二倍角公式变形分析可得sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1，代入tanθ的值计算即可得答案．【解答】解：根据题意，a⃗=(sinθ,1)，b⃗⃗=(−sinθ,0)，c⃗=(cosθ,−1)，则2a⃗−b⃗⃗=(3sinθ,2)，又由(2a⃗−b⃗⃗)//c⃗，则有3sinθ×(−1)=2cosθ，即−3sinθ=2cosθ，化简可得，tanθ=−23，sin2θ=2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=2×(−23)(−23)2+1=−1213，即sin2θ=−1213；故答案为−1213．26.【答案】√6【解析】【分析】利用题意首先求得e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗的值，然后结合平面向量模的计算公式整理计算即可求得最终结果．本题考查平面向量数量积的定义，平面向量模的计算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．【解答】解：由题意可得：e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗=1×1×14=14，则：|a⃗⃗|=√(e1⃗⃗⃗⃗+2e2⃗⃗⃗⃗)2=√e1⃗⃗⃗⃗2+4e1⃗⃗⃗⃗⋅e2⃗⃗⃗⃗+4e2⃗⃗⃗⃗2=√1+4×14+4×1=√6．故答案为√6．27.【答案】−√22【解析】解：根据条件，a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为：|a⃗⃗|cos<a⃗⃗,b⃗⃗>=√2cos2π3=−√22．故答案为：−√22．由条件，可得出a⃗⃗在b⃗⃗方向上的投影为|a⃗⃗|cos2π3，从而求出投影的值．考查向量夹角的概念，向量投影的概念及计算公式．28.【答案】12【解析】【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，也考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．根据两向量垂直时的坐标运算，将向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)代入，列方程即可求出tanθ的值．【解答】解：设θ∈(0,π2)，向量a⃗=(cosθ,2)，b⃗⃗=(−1,sinθ)，若a⃗⃗⊥b⃗⃗，则a⃗·b⃗⃗=0，∴(cosθ,2)·(−1,sinθ)=−cosθ+2sinθ=0，，∴sinθcosθ=12，∵tanθ=sinθcosθ，∴tanθ=12，故答案为12．29.【答案】72【解析】【分析】本题考查平面向量的运算及平面向量的数量积，属于基础题．根据向量的运算法则进行计算即可．【解答】 解：如图：CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =12(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(16−9)=72． 故答案为72．30.【答案】29【解析】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+μ(−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(λ2−μ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， ∴{λ+μ=112λ−μ=0，解得λ=23，μ=13， ∴λμ=29， 故答案为：29根据向量的三角形法则和平行四边形法则计算即可．本题考查了向量的三角形法则和平行四边形法则，属于基础题．31.【答案】解：(1)∵a ⃗=(√3sin x,cos x +sin x),b ⃗⃗=(2cos x,sin x −cos x),f(x)=a⃗⋅b ⃗⃗， ∴f(x)=2√3sinxcosx +(cosx +sinx)(sinx −cosx) =√3sin2x −cos2x =2sin(2x −π6)，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2(k ∈Z)， 解得：−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，所以，函数f(x)的单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)， 单调递减区间为[π3+kπ,5π6+kπ](k ∈Z)．(2)当x ∈[5π24,5π12]时，π4≤2x −π6≤2π3，∴√2≤f(x)≤2，不等式mt 2+mt +3≥f(x)当x ∈[5π24,5π12]时恒成立， 必须且只需mt 2+mt +3≥f(x)max 成立即可， 即mt 2+mt +1≥0对任意的t ∈R ，即可， ①当m =0时，恒成立②当m ≠0时，只需满足{m >0Δ≤0, 解得：0<m ≤4， 综合所得：0≤m ≤4．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量的坐标运算，正弦型函数的单调区间，恒成立问题的应用．属于中档题．(1)首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．(2)根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m 的取值范围．32.【答案】解：(1)因为a ⃗//b ⃗⃗， 所以34cos x +sin x =0， 所以tan x =−34． 故cos 2x −sin2x =cos 2x−2sinxcosx sin 2x+cos 2x=1−2tanx1+tan 2x=1−2×(−34)1+(−34)2=85．(2)f(x)=2(a ⃗+b ⃗⃗)⋅b ⃗⃗ =2sinxcosx −32+2(cos 2x +1)=sin2x +cos2x +32=√2sin (2x +π4)+32，因为f(α2)=34，所以f(α2)=√2sin (α+π4)+32=34， 即sin (α+π4)=−3√28， 因为α∈(π2,π)， 所以3π4<α+π4<5π4，故cos (α+π4)=−√1−(3√28)2=−√468， 所以sinα=sin [(α+π4)−π4]=√22[sin (α+π4)−cos (α+π4)] =√22×(−3√28+√468) =−3+√238．【解析】本题主要考查向量数量积的应用以及向量共线的坐标公式，以及向量和三角函数的综合应用，根据向量数量积的关系求出函数，结合三角函数的性质是解决本题的关键．属于中档题．(1)根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可．(2)根据向量数量积的公式求出函数f(x)的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解．33.【答案】解：(1)f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1；(2)∵f(A)=2sin(2A +π6)+1=2，∴sin (2A +π6)=12， ∵A ∈(0,π)，∴2A +π6∈(π6,13π6)，∴2A +π6=5π6，∴A =π3． ∴S △ABC =12bcsinA =12×1×c ×√32=√32， ∴c =2，由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2−2bccosA =3， ∴a =√3．【解析】本题考查平面向量的数量积及三角函数恒等变换，余弦定理解三角形及面积公式的应用，属于中档题．(1)根据平面向量的数量积公式和三角恒等变换化简即可；(2)根据f(A)=2计算A ，根据面积计算c ，再利用余弦定理求出a ．34.【答案】解：(1)因为cos A 2=2√55， 所以cosA =2cos 2A 2−1=35，sinA =45． 又由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3得bccosA =3，所以bc =5 因此S △ABC =12bcsinA =2． (2)由(1)知，bc =5，又b +c =6，由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bccosA =(b +c)2−165bc =20，所以a =2√5【解析】本题考查向量的数量积是应用，余弦定理的应用，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．(1)利用二倍角公式求出余弦函数值，利用同角三角函数基本关系式求出正弦函数值，利用向量的数量积求出bc ，然后求解三角形的面积． (2)利用余弦定理以及(1)的结果，代入求解即可．35.【答案】解：(Ⅰ)设b⃗⃗=(m,n)， ∴{m 2+n 2=53m −n =−5， 解得{m =−1n =2或{m =−2n =−1，当b⃗⃗=(−1,2)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−1,2)=(4x −1,2−3x)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(4x −1)−(2−3x)=0， 解得x =13，当b ⃗⃗=(−2,−1)时， ∴c ⃗=x(3,−1)+(1−x)(−2,−1)=(5x −2,−1)， ∵a ⃗⊥c ⃗，∴3(5x −2)+1=0， 解得x =13，(Ⅱ)设b ⃗⃗与c⃗⃗的夹角θ 由(Ⅰ)可知，当b⃗⃗=(−1,2)时，c ⃗=(4x −1,2−3x)， 则|c⃗|2=(4x −1)2+(2−3x)2=25x 2−20x +5=25(x −25)2+1， 当x =25时，|c⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(35,45)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=−35+85=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b⃗⃗⋅c ⃗|b⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55当b⃗⃗=(−2,−1)时，c ⃗=(5x −2,−1)， 则|c ⃗|2=(5x −2)2+(−1)2=25(x −25)2+1， 当x =25时，|c ⃗|取最小值，则|c ⃗|=1，c ⃗=(0,−1)， ∴b ⃗⃗⋅c ⃗=1，|b⃗⃗|=√5 ∴cosθ=b ⃗⃗⋅c ⃗|b ⃗⃗|⋅|c ⃗|=√55【解析】(Ⅰ)根据向量的数量积和向量的模，先求出b ⃗⃗，再根据向量的垂直即可求出x的值，(Ⅱ)根据二次函数的性质即可求出x 的值，再根据向量的夹角公式即可求出．本题考查了向量的数量积的运算和向量的垂直以及二次函数的性质，属于中档题．。
平面向量经典习题-提高篇
平面向量：1. 向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，假设向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，假设a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.(理)a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( )A ．－611B ．－116C.611D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，应选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( )A.12B.13C.14D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝*，则1＋*2－*＝34，∵*>0，∴*＝12.4. 假设AB →·BC →＋AB→2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)假设向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b C ．3a －b D ．－3a ＋b [答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，应选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，假设AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b [答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |，∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →) ＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 假设△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 [答案] D[解析] 据得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC →＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.7. 假设向量a ＝(*－1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9*＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．32D ．6 [答案] D[解析] a ·b ＝4(*－1)＋2y ＝0，∴2*＋y ＝2，∴9*＋3y ＝32*＋3y≥232*＋y＝6，等号在*＝12，y ＝1时成立．8. 假设A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，假设O 不在l 上，存在实数*使得*2OA →＋*OB →＋BC →＝0，实数*为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52 D.1＋52[答案] A[解析] *2OA →＋*OB →＋OC →－OB →＝0，∴*2OA →＋(*－1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－*－*2＝1，∴*＝0或－1，当*＝0时，BC→＝0，与条件矛盾，∴*＝－1. 9. (文)P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关 [答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为*轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (*,0)，－1≤*≤1，则AP →＝(*，－3)，∴AP →·(AB →＋AC →)＝(*，－3)·(0，－23)＝6，应选C. (理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，假设∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是()A.12B.32 C.2D.22[答案]D[解析]∵∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1， ∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC →|＝2，∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC→|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC→|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22. 10. 如下图，点P 是函数y ＝2sin(ω*＋φ)(*∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与*轴的交点，假设PM →·PN →＝0，则ω的值为( ) A.π8B.π4 C ．4 D ．8 [答案] B[解析] ∵PM→·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与*轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC→，则λ的值为( ) A.15B.14 C.13D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15. 12. 向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，假设m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( ) A.12B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，应选C.13. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB →等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6 [答案] B [解析] CM →·CB → ＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB →＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45°＝13×32×3×22＝3. 14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________. [答案]152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →， ∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255.16. 向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，假设(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________. [答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. ：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB ，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →， ∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )分别与*轴、y 轴正方向一样的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA→·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.19. 平面向量a ＝(1，*)，b ＝(2*＋3，－*)．(1)假设a ⊥b ，求*的值． (2)假设a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)假设a ⊥b ，则a·b＝(1，*)·(2*＋3，－*)＝1×(2*＋3)＋*(－*)＝0，整理得*2－2*－3＝0，解得*＝－1或*＝3.(2)假设a∥b，则有1×(－*)－*(2*＋3)＝0，则*(2*＋4)＝0，解得*＝0或*＝－2，当*＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝－22＋02＝2，当*＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝22＋－42＝2 5.。
高中数学必修4平面向量典型例题及提高题
平面向量之南宫帮珍创作【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】：既有大小又有方向的量。
记作：AB或a。
AB或||a。
：向量的大小（或长度），记作：||e=。
：长度为1的向量。
若e是单位向量，则||1：长度为0的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
：长度和方向都相同的向量。
：长度相等，方向相反的向量。
AB BA=-。
8.三角形法则：-=+++=；AB AC CB +=；AB BC CD DE AEAB BC AC（指向被减数）：以,a b为临边的平行四边形的两条对角线分别为+，a b-。
a b：//a b a b λ=⇔。
当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。
：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅；cos ||||a ba b θ⋅=⋅14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=： （1）若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线。
（2）若ma mb =，则a b =。
（3）若ma na =，则m n =。
（4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（5）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（6）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB =，AD =。
5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC =BC ，AB =BC 。
(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -=。
题型4根据图形由已知向量求未知向量ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，暗示AD 。
数学4必修第二章平面向量提高训练C组及答案
3t),
f
(t )
1 (t3 4
3t)
4 解：Q AB AC, AB AC 0.
Q AP AQ, BP AP AB,CQ AQ AC, uBuPurCuQuur (AuPuur ABuu)ur(AQuuurACu)uur
AP AQ AP AC AB AQ AB AC
r 3,1),b
(
1, 2
3) 2
得
ar gb
0, ar
2, b
1
[ar (t2 3)b ]g(kar tb) 0,kar 2 tar gb k(t 2 3)ar gb t(t2 3)b 2 0
4k
t3
3t
0,k
1 (t 3 4
三、解答题
1 已知 ar ,b, cr 是三个向量，试判断下列各命题的真假 （1）若 ar b ar rc 且 ar 0 ，则b cr （2）向量 a 在 b 的方向上的投影是一模等于 ar cos （ 是 a 与 b 的夹角），方向与 a 在
b 相同或相反的一个向量
2 证明：对于任意的 a,b, c, d R ，恒有不等式 (ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 )
3 C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b 0 时， a 与 c 可以为任意向
量；
| a b | | a b | ，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
4 5
C C
ar
r 3b
ar
2
6ar gbr
r 9b
2
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】().doc
一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理昼 ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度;⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ） A.4个B. 5个C.6个D.7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若丨a \ = \ b I ,贝ij a=b ；③若店=& ,则ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有乔 =&；⑤若 m =n. n =k,则 m=k ；⑥若a//b,b//c ，贝\\a//c.以下说法错谋的是（ ）A. 零向虽与任一非零向虽平行 C. 平行向量方向相同B. 零向量与单位向量的模不相等D.平行向量一定是共线向量—》 1 —> —> —》 —》 1 ―> AC=-BC (C) BA = BC (D) BC=- AC 2(C) MB + AD-BM(D) OC-OA + CD---------------------------——•I -------- ►已知向量0M = (3,—2),CW = (-5-1),则/MN 等于(已知向量"（3-1）,/? = （-1,2）,则-3a 一 2b 的坐标是（A.①②③B.④⑤C.④⑤⑥D.⑤⑥4. 已知B 是线段AC 的中点, 则卜-列各式正确的是（） 5. 下列四式不能化简为朮的是（(A) (AB+CD) +BC(B) CAD+MB ) + ^BC + CM6、 A. (8,1)B. (-8,1)C ・（4冷）D.（-4冷） 7、A. (7,1)B. (-7-1)C. (-7,1)D ・(7-1)3.(A) A^=~BC (B)8. 与向量a=(-5, 4)平行的向量是( )5 4A. (-5k, 4k)B.C. (-10, 2)D. (5k, 4k)k k9.已知a = (_1,3)上=(兀厂1), SLa // b ,贝!J x 等于( )A. 3B. -3 c. 13D. -13—>10.已知d ==(昇) ，b = (-#,#),下列各式正确的是( )-> -> b (B) a ■ b -> T-》—>(A) a =J丿=1 (C) a = b (D)a与〃平行11.在四边形ABCD中，AB=DC ,且花・BD=0,则四边形ABCD是( )(A)矩形(B)菱形(C)直角梯形(D)等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式屮正确的个数是( )①0Q = 0②H・b=bV③疋=\a\z@)@・b)C = U(b・C⑤云・b <a-b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313.已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且篇=；,AD = b f则旋 =( )(A) h + ^a (B) b _(C) a +^h(D) a —^h-- 》—► > —> -- A14.已知ABCDEF 是正六边形，.FL AB = a , AE = b ,则BC =( )T T -> T -> ->(A) y(/z- b) (B) j(b-a) (C) d+*b15.设a, 〃为不共线向量，AB =6t+2ft, BC =—4 a—b, CD= —5 a—3〃,-> ->(D) ^(a+b)则卞列关系式中正确的是（）16. 设;与幺;是不共线的非零向量，凡与;+kw ；共线，则k 的值是()(A) 1(B) -1(C)±1(D)任意不为零的实数17. 在MBC 中,M 是 BC 的中点，AM=1,点 P 在 AM 上满足一 PA = 2PM PA (PB + ~PC )等于 ( ) 4 4 4 4 A.- B.- C.——D.——9 33918.己知a 、〃均为单位向量，它们的夹角为60。
平面向量提高题
D．16
8. 如图，O 为 ABC 的外心，AB 4, AC 2,BAC 为钝角，M 是边 BC 的中点，则 AM AO 的
值为（ ）
A． 4
B． 5
C． 6
D． 7
9.
（2020·山东省高三二模）如图，在
ABC
中，
BAC
3
，
AD
2DB
，
P
为
CD
上一点，且
满足
AP
m
AC
1 2
AB
，若
AC
3
，
D．5
6. 如图，在 ABC 中， AD AB ， DC 2BD ，| AB | 2 ，则 AC AB 的值为
B AD
C
A． 4
B． 3
C． 2
D． 8
7. 如图，点 O 为 ABC 内一点，且 OA OB OC 0 ，OAOB 0 ，AB 2 ，则 CACB （ ）
A．2
B．4
C．8
初高中数学学习资料的店
11. 在 ABC 中， AC 2AB 2 ， BAC 120 ， O 是 BC 的中点， M 是 AO 上一点，且
AO 3MO ，则 MB MC 的值是______.
12.
是半径为1的圆 O 的直径， 是圆 O 上一点， Q 为平面内一点，且 BQ 1 BP 2 AB ，
AB AD ( )
A． 1 3
B． 2 3
C．1
D．2
15. （湖南省永州市 2018 届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题）在 ABC 中，
BAC 60 ， AB 5 ， AC 6 ， D 是 上一点，且 AB CD 5 ，则 BD 等于
A．1
数学提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案
数学提高题专题复习平面向量多选题练习题及答案一、平面向量多选题1．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（ ）A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是2D ．向量a 的单位向量是⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断； 对于B:利用模的计算公式； 对于C:利用投影的计算公式； 对于D:直接求单位向量即可． 【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是2||(3)a b b ⋅==--，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是55⎛ ⎝⎭，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．2．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ）A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++= D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD 【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项. 【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅，||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 32OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 13,63ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,22BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b⋅进行求解.3．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k =B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD 【分析】先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确. 故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.4．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.5．下列各式结果为零向量的有（ ） A ．AB BC AC ++ B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD 【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确. 【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确； 对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确. 故选：CD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．1233BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅> D ．4S =【答案】BD 【分析】利用向量的共线定义可判断A ；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B ；利用向量数量积的定义可判断C ；利用三角形的面积公式即可判断D. 【详解】由20PA PC +=，2QA QB =，可知点P 为AC 的三等分点，点Q 为AB 延长线的点， 且B 为AQ 的中点，如图所示：对于A ，点P 为AC 的三等分点，点B 为AQ 的中点， 所以PB 与CQ 不平行，故A 错误； 对于B ，()22123333BP BA AP BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+, 故B 正确；对于C ，cos 0PA PC PA PC PA PC π⋅==-<，故C 错误； 对于D ，设ABC 的高为h ，132ABCS AB h ==，即6AB h =， 则APQ 的面积1212226423233APQS AQ h AB h =⋅=⋅⋅=⨯=，故D 正确； 故选：BD 【点睛】本题考查了平面向量的共线定理、共线向量、向量的加法与减法、向量的数量积，属于基础题7．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-= B ．0DA EB FC ++=C ．若3 ||||||AB AC ADAB AC AD+=，则BD 是BA在BC的投影向量D．若点P是线段AD上的动点，且满足BP BA BCλμ=+，则λμ的最大值为18【答案】BCD【分析】对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B 正确.对选项C，首先根据已知得到AD为BAC∠的平分线，即AD BC⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据,,A P D三点共线，设(1)BP tBA t BD，01t≤≤，再根据已知得到12ttλμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228ty t t，即可判断选项D 正确.【详解】如图所示：对选项A，20AB AC AD AD AD AD+-=-=≠，故A 错误.对选项B，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB=------111111222222AB AC AB BC AC BC=--+-++=，故B正确.对选项C，||ABAB，||ACAC，||ADAD分别表示平行于AB，AC，AD的单位向量，由平面向量加法可知：||||AB ACAB AC+为BAC∠的平分线表示的向量.因为3||||||AB AC ADAB AC AD+=，所以AD为BAC∠的平分线，又因为AD为BC的中线，所以AD BC⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BD BA BBABD BA，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确. 对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线， 设(1)BPtBA t BD ，01t ≤≤.又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12tt λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤.令21111()2228t ytt ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量：1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－1B ．－ 3C ．－3D ．1 [答案] C[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611.3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] B[解析] 如图，在▱ABCD 中，∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.13 C.14 D.15[答案] A[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12. 4. 若AB →·BC→＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )A ．－a ＋3bB ．a －3bC ．3a －bD ．－3a ＋b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，∴⎩⎨⎧λ＋μ＝－2λ－μ＝4，∴⎩⎨⎧λ＝1μ＝－3，∴c ＝a －3b ，故选B.(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC→＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b[答案] B[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB ||DE |，∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝23|CD |， ∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →) ＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋13b .6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC→的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，故AB →·BC→＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19.7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )A ．12B ．2 3C ．3 2D ．6[答案] D[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号在x ＝12，y ＝1时成立．8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA→＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋52 D.1＋52[答案] A[解析] x 2OA→＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知，1－x －x 2＝1，∴x ＝0或－1，当x ＝0时，BC →＝0，与条件矛盾，∴x ＝－1.9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB→＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．最小值为2 C ．是定值6 D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB→＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)， 设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP→＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是( )A.12 B.32 C. 2 D.22[答案] D[解析] ∵∠A ＝120°，AB →·AC→＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos120°＝－1， ∴|AB →|·|AC→|＝2， ∴|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC→|＝4， ∵D 为BC 边的中点，∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∴|AD →|2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－2)≥14(4－2)＝12，∴|AD →|≥22.10. 如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN→＝0，则ω的值为( )A.π8 B.π4 C ．4 D ．8[答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.11. 如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC→，则λ的值为( )A.15B.14 C.13 D.12[答案] A[解析] 如图，取CD 的三等分点M 、N ，BC 的中点Q ，则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ，易知AK →＝15AC →，∴λ＝15.12. 已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－2 D ．－12[答案] C[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)， 由条件知(2m －4)·(－1)－(3m ＋8)×4＝0， ∴m ＝－2，故选C.13. 在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．6[答案] B[解析] CM →·CB → ＝(CA →＋AM →)·CB → ＝(CA →＋13AB →)·CB → ＝CA →·CB →＋13AB →·CB → ＝13|AB →|·|CB →|·cos45° ＝13×32×3×22＝3.14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD→＝________. [答案] 152[解析] 由条件知，|AB →|＝|AC →|＝|BC →|＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，〈AB →，CB →〉＝60°，CD →＝23CB →，∴AB →·AD →＝AB →·(AC →＋CD →)＝AB →·AC →＋AB →·23CB →＝3×3×cos60°＋23×3×3×cos60°＝152.15. 已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－2,1)，则a 在b 方向上的投影等于________．[答案] －255[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－25＝－255.16. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(2a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝________.[答案] 1[解析] ∵〈a ，b 〉＝2π3，|a |＝1，|b |＝4，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1×4×cos 2π3＝－2，∵(2a ＋λb )⊥a ，∴a ·(2a ＋λb )＝2|a |2＋λa ·b ＝2－2λ＝0，∴λ＝1.17. 已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n ＝________. [答案] 3[解析] 设mOA→＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE→|＝n |OB →|＝3n ， 两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC→|sin30°＝1tan30°＝3，∴mn ＝3.18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________． [答案] 5[解析] 由条件知，i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0，∴OA →·OB →＝(－2i ＋j )·(4i ＋3j )＝－8＋3＝－5，又OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉＝55cos 〈OA →，OB →〉，∴cos 〈OA →，OB →〉＝－55，∴sin 〈OA →，OB →〉＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →，OB →〉＝12×5×5×255＝5.(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)①sin A ＋cos A ＝15 ②AB →·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0. [答案] ④[解析] 若A 为锐角，则sin A ＋cos A >1，∵sin A ＋cos A ＝15，∴A 为钝角，∵AB →·BC →<0，∴BA →·BC →>0，∴∠B 为锐角，由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形；由正弦定理b sin B ＝c sin C 得，3sin30°＝33sin C ，∴sin C ＝32，∴C ＝60°或120°，∵c ·sin B ＝332，3<332<33，∴△ABC 有两解，故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形．④由tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝tan A tan B tan C >0，及A 、B 、C ∈(0，π)，A ＋B ＋C ＝π知A 、B 、C 均为锐角，∴△ABC 为锐角三角形．19. 已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )．(1)若a ⊥b ，求x 的值． (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解析] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0， 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 则x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2， 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)| ＝(－2)2＋02＝2，当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)| ＝22＋(－4)2＝2 5.20. 已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2.(1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标．[解析] (1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝a 2＋a ·b －2 ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos2x 2＋32sin2x －12＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)， ∴周期T ＝2π2＝π.(2)向左平移π6个单位得，y ＝sin[2(x ＋π6)－π6] ＝sin(2x ＋π6)，横坐标伸长为原来的3倍得， g (x )＝sin(23x ＋π6)，令23x ＋π6＝k π得对称中心为(3k π2－π4，0)，k ∈Z .21. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b－a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －aa ＋b ＝b －ac ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知 cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3) ＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]， ∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]．(理)在钝角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos(π3－2B )的值域．[解析] (1)由m ∥n 得(2b －c )cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∵sin(A ＋C )＝sin B ， ∴2sin B cos A －sin B ＝0，∵B 、A ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴A ＝π3. (2)y ＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B ＝1－12cos2B ＋32sin2B ＝sin(2B －π6)＋1， 当角B 为钝角时，角C 为锐角，则 ⎩⎪⎨⎪⎧π2<B <π0<2π3－B <π2⇒π2<B <2π3，∴5π6<2B －π6<7π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)， ∴y ∈(12，32)．当角B 为锐角时，角C 为钝角，则⎩⎪⎨⎪⎧0<B <π2π2<2π3－B <π⇒0<B <π6，∴－π6<2B －π6<π6，∴sin(2B －π6)∈(－12，12)， ∴y ∈(12，32)，综上，所求函数的值域为(12，32)．22. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R .(1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π3]，求x ；(2)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值．[解析] (1)依题设，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋π6)．由1＋2sin(2x ＋π6)＝1－3，得sin(2x ＋π6)＝－32， ∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4.(2)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )平移后得到函数y ＝2sin2(x －m )＋n 的图象，即函数y ＝f (x )的图象．由(1)得f (x )＝2sin2(x ＋π12)＋1. ∵|m |<π2，∴m ＝－π12，n ＝1.23. 已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)，f (x )＝OP →·OQ→. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值． [解析] (1)∵OP→＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)，OQ →＝(cos x ，－1)， ∴f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1)cos x －(cos2x －sin x ＋1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)， ∴函数f (x )最小正周期T ＝2π. (2)∵x ∈[0，π2]，∴x ＋π4∈[π4，3π4]，∴当x ＋π4＝π2，即x ＝π4时，f (x )＝2sin(x ＋π4)取到最大值 2.24. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)． [解析] (1)因为m ⊥n ，所以－cos B cos C ＋sin B sin C －32＝0，即cos B cos C －sin B sin C ＝－32，所以cos(B ＋C )＝－32， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以cos(B ＋C )＝－cos A ，所以cos A ＝32，A ＝30°.(2)方案一：选择①②，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1,2c －(3＋1)b ＝0，由余弦定理得，12＝b 2＋(3＋12b )2－2b ·3＋12b ·32解得b ＝2，所以c ＝6＋22，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12·2·6＋22·12＝3＋14， 方案二：选择①③，可确定△ABC ， 因为A ＝30°，a ＝1，B ＝45°，C ＝105°，又sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝6＋24， 由正弦定理c ＝a sin C sin A ＝1·sin105°sin30°＝6＋22， 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12·1·6＋22·22＝3＋14. (注意：选择②③不能确定三角形)(理)如图，⊙O 方程为x 2＋y 2＝4，点P 在圆上，点D 在x 轴上，点M 在DP 延长线上，⊙O 交y 轴于点N ，DP →∥ON →，且DM →＝32DP →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设F 1(0，5)、F 2(0，－5)，若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点，求F 2A →·F 2B →的取值范围．[解析] (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， ∵DM →＝32DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32y 0x ＝x 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝23yx 0＝x，代入x 20＋y 20＝4得，x 24＋y 29＝1. (2)①当直线AB 的斜率不存在时，显然F 2A →·F 2B →＝－4，②当直线AB 的斜率存在时，不妨设AB 的方程为：y ＝kx ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5x 24＋y 29＝1得，(9＋4k 2)x 2＋85kx －16＝0，不妨设A 1(x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－85k 9＋4k 2x 1x 2＝－169＋4k 2，F 2A →·F 2B →＝(x 1，y 1＋5)·(x 2，y 2＋5)＝(x 1，kx 1＋25)·(x 2，kx 2＋25)＝(1＋k 2)x 1x 2＋25k (x 1＋x 2)＋20＝－16(1＋k 2)9＋4k 2＋－80k 29＋4k 2＋20＝－96k 2－169＋4k 2＋20 ＝－4＋2009＋4k2，∵k 2≥0，∴9＋4k 2≥9，∴0<2009＋4k2≤2009， ∴－4<F 2A →·F 2B →≤1649，综上所述，F 2A →·F 2B →的取值范围是(－4，1649]．25. 在平面直角坐标系内，已知两点A (－1,0)、B (1,0)，若将动点P (x ，y )的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ，2y )，且满足AQ →·BQ →＝1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)过点B 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM→＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[解析] (1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，2y )， 依据题意得，AQ→＝(x ＋1，2y )，BQ →＝(x －1，2y )． ∵AQ →·BQ→＝1，∴x 2－1＋2y 2＝1. ∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22＋y 2＝1. (2)因直线l 过点B ，且斜率为k ＝－22， ∴l ：y ＝－22(x －1)，联立方程组⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝－22(x －1)，消去y 得，2x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12，∴y 1＋y 2＝－22(x 1－1)－22(x 2－1) ＝－22(x 1＋x 2)＋2＝22.由OM →＋ON →＋OH →＝0得，OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)， 即H (－1，－22)，而点G 与点H 关于原点对称，∴G (1，22)，设线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，k GH ＝22，则有 l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －24＝2(x －12)，y ＝－2x解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28)． 因此，可算得|O 1H |＝(98)2＋(328)2＝3118，|O 1M |＝(x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝3118.所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118.。