平面向量经典习题-提高篇

平面向量：

1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等

于( )

A ．－2

B ．－13

C ．－1

D ．－23

[答案] C

[解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线，

∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.

2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )

A ．－1

B ．－ 3

C ．－3

D ．1 [答案] C

[解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3.

(理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C

[解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直，

∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6

11.

3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( )

A ．150°

B ．120°

C ．60°

D ．30°

[答案] B

[解析] 如图，在▱ABCD 中，

∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形， ∴∠BAD ＝60°，∴〈a ，b 〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3

2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.1

3 C.1

4 D.15

[答案] A

[解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2

－2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，

设|b |＝x ，则1＋x 2－x ＝34，∵x >0，∴x ＝12. 4. 若AB →·BC

→＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形．

5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示c 为( )

A ．－a ＋3b

B ．a －3b

C ．3a －b

D ．－3a ＋b

[答案] B

[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(－2,4)＝(λ＋μ，λ－μ)，

∴⎩⎨

⎧

λ＋μ＝－2

λ－μ＝4

，∴⎩⎨

⎧

λ＝1μ＝－3

，∴c ＝a －3b ，故选B.

(理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC

→＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋1

2b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b

[答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点，∴BE →＝3ED →， ∵DF ∥AB ，∴|AB ||DF |＝|EB |

|DE |，

∴|DF |＝13|AB |，∴|CF |＝23|AB |＝2

3|CD |， ∴AF →＝AC →＋CF →＝AC →＋23CD →＝a ＋23(OD →－OC →) ＝a ＋23(12b －12a )＝23a ＋1

3b .

6. 若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC

→的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B ＝72＋52－622×7×5

＝1935，故AB →·BC

→＝|AB →|×|BC →|×(－cos B )＝7×5×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1935＝－19.

7. 若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( )

A ．12

B ．2 3

C ．3 2

D ．6

[答案] D

[解析] a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝6，等号

在x ＝1

2，y ＝1时成立．

8. 若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA

→＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为( ) A ．－1 B ．0 C.－1＋5

2 D.1＋5

2

[答案] A

[解析] x 2OA

→＋xOB →＋OC →－OB →＝0，∴x 2OA →＋(x －1)OB →＋OC →＝0，由向量共线的充