06二项分布及泊松分布
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项分布与泊松分布
二项分布在实际 生活中广泛应用 于成功率已知的 n次独立重复试 验中，例如抛硬 币、扔骰子等。
二项分布的公式和参数
二项分布公式：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中X表示成功次数，n表示试验次数， p表示每次试验成功的概率 参数解释：n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率，X表示成功次数
定义上的区别和联系
二项分布：表示在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数概率分布。
泊松分布：表示在单位时间内（或单位面积上）随机事件发生的次数概 率分布。 联系：两者都是离散概率分布，但二项分布强调的是成功次数，而泊松 分布强调的是发生次数。
区别：二项分布需要满足独立重复的条件，而泊松分布则没有这个限制。
它以法国数学家西莫 恩·德尼·泊松的名字 命名，他在19世纪早 期研究了这种分布。
泊松分布适用于描述 在固定时间段内独立 随机事件发生的次数， 例如电话呼叫、到达 的顾客等。
泊松分布的参数是平 均发生率，决定了分 布的形状。
泊松分布的公式和参数
公式：P(X=k) = λ^k * e^(-λ) / k! 参数：λ (lambda)，表示单位时间内随机事件的平均发生率 适用场景：泊松分布常用于描述单位时间内随机事件发生的次数 特点：当λ较小时，泊松分布与二项分布接近
公式中各符号的含义：C(n, k)表示组合数，即从n次试验中选取k次成功的组合方式数
二项分布的应用场景：适用于独立重复试验，例如抛硬币、扔骰子等概率试验
二项分布在概率论中的应用
描述独立重复试验的概率 模型
计算概率和期望值
应用于保险、生物统计学 等领域
与泊松分布的关系和区别
二项分布在统计学中的应用
描述：二项分布是统计学中用来描述成功或失败次数的一种概率分布。 应用场景：在生物统计学、医学统计、可靠性工程等领域有广泛应用。 实例：在医学统计中，二项分布常用于研究某种疾病的发生率、治疗成功率等。 注意事项：在使用二项分布时，需要注意数据的独立性和试验次数的限制。
泊松分布与二项分布的关系
泊松分布与二项分布的关系在统计学中，泊松分布和二项分布都是常见的概率分布类型。
虽然它们看起来非常不同，但实际上它们之间存在一定的联系和相互影响。
本文将讨论泊松分布和二项分布之间的关系，并探讨它们在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下泊松分布和二项分布的定义和特点。
泊松分布是一种用于估计在特定时间或空间内某事件发生的次数的离散概率分布。
它的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^-λ) / k!其中，λ是事件发生频率的参数，k是事件发生的次数，e是自然对数的底数。
而二项分布则是一种用于描述在n次试验中，成功次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率，C(n,k)是组合数。
二项分布可以看作是将n次独立的伯努利试验加和得到的结果，因此也称为伯努利分布之和。
而泊松分布则是在极大n的情况下，二项分布的近似值。
通常情况下，n都很大且p较小的时候二项分布就可以近似为泊松分布，这个规律被称为泊松定理。
那么，我们来看一下泊松分布和二项分布的关系具体是如何体现的。
在实际问题中，我们往往需要推测某一事件在一定时间或者空间中发生的次数。
如果我们知道了该事件的发生概率p和该时间或空间内事件的频率λ，我们可以使用二项分布或者泊松分布进行估计。
当n很大p很小时，我们可以使用泊松分布，即：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!而当n相对较小或p较大时，则需要使用二项分布计算成功或失败的概率，再根据概率推出发生次数的期望值。
另外，泊松分布也是一种极限分布，它可以解释一些实际现象。
比如，在大型超市里，商品的销售数量一般是服从泊松分布的，即售出数量与时间和地点无关，只与其具体的特性有关。
同样，在医院里，急诊室的病人数量也是服从泊松分布的，即在一段时间内出现病人的数量与该时间的长度无关。
二项分布与泊松分布
正态分布，； 当n足够大，但π很小时，如n≥100而π<0.1或π>0.9时
，二项分布近似于泊松分布。
样本率均数 样本率标准差
p
x
n
n
n
pnx
n(1)
n
(1)
n
样本率p的标准差
pnx
n(1)
n
(1)
二项分布（binomial distribution）
贝努利试验列中成功次数k的概率为： P(X=k)=Cnk πk (1-π)n-k (0<π<1) ，
k=0 , 1 , …，n， 而 Cnk πk (1-π)n-k 二 项 式 恰 好 是 牛 顿 展 开 式 ((π+(1-π)) n的项，故又称为二项分布。
二项分布与泊松分布
n重贝努利试验
在同一条件下独立重复n次试验，每次试验只 有两个可能的对立结果，A与非A , 如成功与 失败 , 其概率P（A）=π , (0< π<1) , 则称这 一系列独立重复试验为n重贝努利试验（贝努 利试验序列）。
n重贝努利试验的三个条件
（1）每次试验只有两个可能的对立结果， A与非A （2）每次试验的条件不变，即每次试验中， 结果A发生的概率P（A）=π （3）各次试验独立，即任一次试验结果与 其它次试验结果无关。
医学中Poisson分布
单位时间（空间、面积）内某稀有事件 发生次数的分布。
如研究细菌、某些血细胞、粉尘等在单 位面积或容积内计数结果的分布，放射 性物质在单位时间内放射出质点数的分 布，在单位空间中某些野生动物或昆虫 数的分布，在一定人群中某种低患病率 的非传染性疾病患病数或死亡数分布。
二项分布与泊松分布公式概览与详解
二项分布与泊松分布公式概览与详解一、二项分布的公式概览与详解二项分布是概率论中的一种离散概率分布，用于描述在n次独立重复试验中成功的次数。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功的次数，k表示具体的成功次数（0≤k≤n），n表示总的试验次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
该公式中的组合数C(n, k)可以用以下公式计算：C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二项分布的公式可以用于计算在一定的概率下，进行一系列独立重复试验中成功次数的分布情况。
比如，在一个公平的硬币实验中，进行10次抛掷硬币，每次抛掷正面朝上的概率为0.5，我们可以利用二项分布公式计算在这10次抛掷中正面朝上的次数为1、2、3等的概率分布情况。
二、泊松分布的公式概览与详解泊松分布是在离散空间上定义的一种概率分布，用于描述在一定时间或空间区间内随机事件发生的次数。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X表示随机事件发生的次数，k表示具体的发生次数，λ表示在一定时间或空间区间内平均每单位时间或空间发生的次数。
对于泊松分布，其平均值和方差都等于λ。
这意味着泊松分布可以很好地描述那些事件发生率较低，但难以精确预测每次事件的具体发生时间或空间位置的情况。
比如，用来描述单位时间内平均发生1次交通事故的情况，我们可以利用泊松分布的概率质量函数计算在单位时间内发生0次、1次、2次等交通事故的概率分布情况。
三、二项分布与泊松分布的联系与区别在一些特定的情况下，二项分布和泊松分布之间存在联系。
当进行二项分布的试验次数n较大，每次试验成功的概率p较小，而成功次数np约等于一个较小的常数λ时，二项分布可以近似地用泊松分布来描述。
这是因为在这种情况下，二项分布的计算较为复杂，而泊松分布的计算则相对简单。
另外，泊松分布可以看作是二项分布的一种特殊情况，即当试验次数无穷大、每次试验成功的概率无穷小时，可以用泊松分布来近似表示。
二项分布与泊松分布
二项分布的应用
2 正态近似法：应用条件：np及n(1−p)均≥5
p±uαsp
例：在某地随机抽取329人，做HBsAg检验，得阳性 率为8.81%，求阳性率95%置信区间。 已知：p=8.81%，n=329，故：
s p p ( 1 p ) /n 0 .0( 1 8 0 .0 8) 8 /3 1 8 2 0 .0 1 9 1 1 .5 % 5 6 6
第一节 二项分布和总体率的估计
一、二项分布 （一）二项分布的概念
在生命科学研究中，经常会遇到一些事物， 其结果可分为两个彼此对立的类型，如一个病 人的死亡与存活、动物的雌与雄、微生物培养 的阳性与阴性等，这些都可以根据某种性状的 出现与否而分为非此即彼的对立事件。这种非 此即彼事件构成的总体，就称为二项总体 （binomial population）。
二、二项分布的应用
(一 )、总体率的估计
1 查表法：附表6百分率的置信区间表直接
列出了X≤n/2的部分。其余部分可以查nx的阴性部分的QL~QU再相减得 PLand pU PL=1-QL 1-QU 例：某地调查50名儿童蛔虫感染情况，发现有10人大便
中有蛔虫卵，问儿童蛔虫感染率的95%置信区间是多少？
1份混合样本中含有k份阳性的概率为当k0时p0是说混合样品中没有1阳性样品的原始概率反映的是混合样品阴性的概率当收集的样本数量很大时全部检验费时费力可以用群检验的方法进行解决若每个标本的阳性概率为则其阴性概率为q1便是某个群m个标本均为阴性的概率一个群为阴性的群的概率而1q就为一个群阳性的概率
二项分布与泊松分布
第一节 二项分布和总体率的估计
二项分布(binomial distribution) 就是对这种只具有两种互斥结果的离散型 随机变量的规律性进行描述的一种概率分 布。由于这一种分布规律是由瑞士学者贝 努里(Bernoulli)首先发现的，又称贝努里 分布。
医学统计学第6章二项分布与泊松分布(108页)
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MEDICAL STATISTICS
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《医学统计学》目录
第1章 绪论 第2章 定量资料的统计描述 第3章 总体均数的区间估计和假设检验 第4章 方差分析 第5章 定性资料的统计描述 第6章 总体率的区间估计和假设检验 第7章 二项分布与Poisson分布 第8章 秩和检验 第9章 直线相关与回归 第10章 实验设计 第11章 调查设计 第12章 统计表与统计图
3.二项分布名称: 也称为贝努里分布（Bernoulli distribution）或贝努里模型，是由法国数学家 J.Bernoulli于1713年首先阐述的概率分布。
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贝努里模型应具备下列三个基本条件。
1. 试验结果只出现对立事件A或AA，两者只能出
x
Pn ( X x) P( X ) X 0
X=0,1,2，…，x (7.4)
至少有x例阳性的概率为：
n
Pn ( X x) P( X ) X x
X=x，x+1，…，n (7.5)
公式（7.4）为下侧累计概率，公式（7.5）为上侧累计概率。
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8. 了解：常用的拟合优度检验方法。
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第一节 二项分布及其应用
一、二项分布的概念及应用条件
1.二项分布（binominal distribution） 是一种重要的离散型分布，在医学上常遇到属 于两分类的资料，每一观察单位只具有相互独 立的一种结果，如检查结果的阳性或阴性，动 物试验的生存或死亡，对病人治疗的有效或无 效等。
二项分布和泊松分布
二项分布和泊松分布
泊松分布和二项分布是讨论某单一变量分布的特点，泊松分布是二项分布n很大而P很小时的特殊形式。
双变量分布是单变量分布向多维的推广，其讨论的是两个变量的分布情况。
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
泊松分布
泊松分布，台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布。
泊松分布是以18～19世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
概率分布二项分布与泊松分布
概率分布二项分布与泊松分布概率分布 - 二项分布与泊松分布概率分布是统计学中非常重要的概念，用于描述随机变量在不同取值下的可能性。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常用的概率分布模型。
本文将介绍这两种分布，并比较它们的特点和应用场景。
二项分布（Binomial Distribution）二项分布是用来描述在重复的独立试验中，成功事件发生的次数的概率分布模型。
在每次试验中，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为q=1-p。
二项分布的随机变量是成功事件发生的次数，记作X~B(n,p)，其中n表示试验的次数。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数，表示在n次试验中取出k次成功事件的组合数。
p^k表示成功事件发生k次的概率。
q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
二项分布的期望值和方差分别为：E(X) = n * pVar(X) = n * p * q二项分布常用于二分类问题，比如抛硬币、赌博等。
泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是离散的概率分布模型，用于描述在一定时间或空间范围内，事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的随机变量是事件发生的次数，记作X~P(λ)，其中λ表示单位时间或空间范围内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中e表示自然对数的底数。
k!表示k的阶乘，即k(k-1)(k-2)...1。
泊松分布的期望值和方差均为λ，即：E(X) = λVar(X) = λ泊松分布常用于描述稀有事件的发生频率，比如电话呼叫的次数、自然灾害的发生次数等。
二项分布与泊松分布的比较二项分布与泊松分布都是离散型概率分布，但它们的应用场景和性质有所不同。
二项分布适用于确定次数的独立重复试验，比如投掷硬币、赌博等。
而泊松分布适用于连续时间或空间范围内的事件发生次数，比如电话呼叫、自然灾害等。
二项分布与泊松分布
P { X 2 } 0 .137 P {X 6 } 0 .109 P { X 3 } 0 .205 P {X 7 } 0 .055
P { X k } 0 .001 , 当 k 11 时
P { X 10 } 0 .002
在二项分布中，对不同的k，事件( X k )的概率 P( X k )一般是不同的.
P{ X k } C2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, , 20.
P { X 0 } 0 .012
P { X 4 } 0 .218
P { X 8 } 0 .022
P { X 1} 0.058
P { X 5 } 0 .175
P { X 9 } 0 .007
P( X 10) P( X 11) 1 P( X 11) =1-0.0137=0.9863.
由以上的计算可知，保险公司办理该业务亏 本的概率很小，而盈利10万元以上的可能性接 近99%.
本讲小结
这一讲我们学习了二项分布与泊松分布. 下一讲 我们将学习另一类随机变量
连续型随机变量
三 二项分布的泊松近似
定理 （泊松定理） 设Xn B(n, pn ), 若
当 n 时，npn ( 0常数). 则对固定的
k, k 0,1, 2, , 有
lim
n
C
k n
pnk
(1
pnBiblioteka )nkkek!.
证明：(略)
一般的，当n 较大，p较小，np大小适中时，有
C
k n
pnk (1 pn )nk
2500
C
k 2500
(0.002)k
(0.998)2500
k
k 16 2500 k
二项分布与泊松分布的关系
二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布是概率论中两种重要的离散概率分布。
它们在描述随机事件发生的次数或概率方面有着密切的联系和区别。
本文将从二项分布和泊松分布的定义、特点、应用以及二者之间的关系等方面展开讨论。
## 一、二项分布的定义与特点### 1. 二项分布的定义二项分布是指在一次独立重复试验中，每次试验只有两种可能的结果，且这两种结果发生的概率相同，记为p和q（q=1-p）。
若事件A发生的概率为p，事件A不发生的概率为q，则n次试验中事件A发生k次的概率可以用二项分布来描述。
### 2. 二项分布的特点- 二项分布的概率质量函数为$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$，其中$C_n^k$表示组合数。
- 二项分布的期望为$E(X) = np$，方差为$Var(X) = npq$。
- 当n趋向于无穷大，p趋向于0，但np保持为一个常数时，二项分布逼近于泊松分布。
## 二、泊松分布的定义与特点### 1. 泊松分布的定义泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的次数很多，但每次事件发生的概率很小的情况。
### 2. 泊松分布的特点- 泊松分布的概率质量函数为$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}$，其中$\lambda$为单位时间（或单位面积、单位体积）内事件的平均发生率。
- 泊松分布的期望和方差均为$\lambda$。
## 三、二项分布与泊松分布的关系### 1. 二项分布逼近于泊松分布当n趋向于无穷大，p趋向于0，但np保持为一个常数时，二项分布逼近于泊松分布。
这是因为在这种情况下，二项分布中的n很大，每次试验成功的概率p很小，但总体事件发生的次数np保持不变，符合泊松分布的特征。
### 2. 二项分布转化为泊松分布当二项分布中的n很大，p很小，且事件发生的次数k较小时，可以通过将二项分布转化为泊松分布来简化计算。
二项分布和泊松分布的剖析
概率是 ｔ 的高阶无穷小。则 Ｘ 的概率函数为：
ｋ
Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝
! Ｋ！
－!
ｅ ，ｋ＝０，１，２，．．．
其 中 Ｅ（ Ｘ） ＝!．!＞０，称 Ｘ 服 从 泊 松 分 布 Ｐ（!）， 这 里 的
条件下文中称为泊松条件。一般随机过程著作中使用母
函数工具推导泊松分布的概率函数 。
（ 三） 对定义的剖析
泊松分布和二项分布都是对应于 “一 定 范 围 内 事 件
我 们 看 一 个 实 例： 二 战 期 间 伦 敦 南 部 的 ５７６ 个 小 区
的公式近似计算二项分布的概率。
域 被 ５３５ 枚 Ｖ－ １ 飞 弹 击 中， 计 算 随 机 的 一 个 小 区 域 恰 好
（ 二） 启发式数学表述
被击中 ２ 次的概率。
前面泊松分布的概率函数从一个满足泊松条件的计
一般都不假思索， 设为随机的一个小区域被击中的
Ａ 发生的次数”的问题， 二项分布指的“一 定 范 围 ”是 次 贝
努 里 试 验 。 泊 松 分 布 中 的 “时 间 段 ”的 概 念 引 申 为 空 间
（用体积 度 量）， 区 域（用 面 积 度 量）等， 泊 松 分 布 中 的 “一 定
范围”指的是诸如体积面积长度重量时间的范围， 下文中
称为区间， 故一般教材中这样表述： 在一定条件下， 单位
二项分布的理论概率 泊松分布的理论概率 二项分布的理论频数 泊松分布的理论频数 实际频数 二项分布的百分比误差 泊松分布的百分比误差
０．３９４７０
０．３９５０２
２２７．３５
２２７．５３
２２９
０．００７２６７
０．００６４５５
０．３６７２４
０．３６６９０
二项分布与泊松分布
P(X k) k e
k!
则称服X从参数为 的Poisson分布，记为X～P( )。
服从Poisson分布的三个条件
平稳性 x的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关
独立增量性（无后效性） 在某个观察单位上x的取值与其他各观察单位上x的取值无关
普通性 在充分小的观察单位上x的取值最多为1
练习
二项分布 课本练习3.6
Poisson分布 课本练习3.9
P( X
k)
C
k n
k (1 ) nk
则称X服从参数为n， 的二项分布，记为X～
B(n， )。
二项分布适用条件(贝努利试验序列)
每次试验的结果只能是两种互斥结果中的一种(A 或者非A)；
各次试验的结果互不影响，即各次试验独立； 在相同试验条件下，各次试验中出现某一结果A具
有相同的概率 (非A的概率为1 )。
二项分布的正态近似
二项分布的图形完全取决于n和π的大小 当π=0.5时图形对称，随n增大，渐近于正 态分布图形 当π≠0.5时图形偏态，但随n增大，图形逐 渐对称，趋向于正态分布
当n足够大，p和1-p均不太小时(np与n(1-p) 均大于5)，样本率p近似正态分布
二项分布
若X ～B(n， )
似于正态分布 N(n , n (1 ))
Poisson分布与正态分布 当 20 ， Poisson 分布渐进正态分布。
课本55页例5.17
任意打开一数据 Transform---compute Target variable (p) Functions Cdf . Poisson (q,mean) q为样本中事件发生数，mean为理论事件发生数 选入numeric expression，填入450，500 ok
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在实际问题中的应用非常广泛，本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数X服从的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
二项分布的期望和方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用二项分布来描述产品合格率；在医学研究中，可以用二项分布来描述治疗成功率；在市场调研中，可以用二项分布来描述产品销售成功率等。
二、泊松分布泊松分布是指在一定时间或空间范围内，事件发生的次数X服从的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间或单位空间范围内事件的平均发生率。
泊松分布的期望和方差均为λ。
泊松分布的应用也非常广泛，例如在电话交换机中，可以用泊松分布来描述单位时间内电话呼叫的次数；在交通流量研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内车辆通过的次数；在自然灾害研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内地震发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的关系当n趋向于无穷大，p趋向于0，且np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
这是因为在这种情况下，二项分布的期望和方差均趋于λ，与泊松分布的期望和方差相等。
四、二项分布与泊松分布的应用举例1. 二项分布的应用举例：某工厂生产的产品合格率为0.95，每天生产100个产品。
求当天有90个产品合格的概率。
解：根据二项分布的概率质量函数，代入n=100，p=0.95，k=90，计算得到P(X=90)≈0.021。
2. 泊松分布的应用举例：某地区每小时平均发生3次交通事故。
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论和统计学中常见的两种分布模型。
它们在实际问题的建模和分析中具有广泛的应用。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的定义、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布是一种离散型概率分布，描述了一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其中，伯努利试验是一种只有两种可能结果的随机试验，成功和失败。
二项式分布的参数包括试验次数n和成功概率p。
二项式分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示成功的次数，C(n, k)表示组合数，p 表示每次试验成功的概率，1-p表示每次试验失败的概率。
二项式分布的特点是：概率质量函数是离散的，且呈现出对称性；概率密度函数的形状由参数n和p决定；当n很大时，二项式分布可以近似为正态分布。
二项式分布在实际中的应用非常广泛。
例如，在制造业中，可以使用二项式分布来描述产品的合格率；在市场调研中，可以使用二项式分布来分析客户购买某个产品的概率；在投资领域，可以使用二项式分布来模拟股票价格的涨跌。
二、泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，描述了单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
泊松分布的参数是平均发生率λ。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，X表示事件发生的次数，k表示事件发生的次数，e是自然对数的底。
泊松分布的特点是：概率质量函数是离散的；泊松分布是无记忆的，即过去的事件发生与否对未来事件发生的概率没有影响；当事件发生率λ很小时，泊松分布可以近似为二项式分布。
泊松分布在实际中的应用非常广泛。
例如，在保险业中，可以使用泊松分布来估计某个地区在一段时间内发生车祸的次数；在电信网络中，可以使用泊松分布来描述信号的到达率；在人口统计学中，可以使用泊松分布来估计某地区在一年内出生人数的分布。
二项分布 泊松分布 负二项分布
一、二项分布二项分布是一种描述离散型随机变量的概率分布。
当试验只有两种可能结果时，且每次试验是独立的并且成功概率固定时，可以使用二项分布来描述这个随机变量的分布。
1.定义二项分布的定义如下：如果随机变量X代表进行了n次相同的独立伯努利试验中成功的次数，且每次试验成功的概率为p，那么X服从参数为n和p的二项分布，记作X～B(n,p)。
2.概率质量函数二项分布的概率质量函数如下：\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}\] 其中，C_n^k代表组合数，表示在n次试验中取出k次成功的可能数量。
3.期望和方差二项分布的期望和方差分别为E(X)=np，Var(X)=np(1-p)。
4.应用领域二项分布广泛应用于工程、科学、商业等领域，例如在质量控制、软件测试、市场调研等方面都有着重要的应用。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积等）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布适用于事件的发生是无规律的、偶然的、事件之间相互独立且平均发生率固定的情况。
1.定义泊松分布的定义如下：随机变量X代表单位时间（或单位面积、单位体积等）内某一事件发生的次数，且事件发生率为λ，那么X服从参数为λ的泊松分布，记作X～P(λ)。
2.概率质量函数泊松分布的概率质量函数如下：\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^k}{k!}\] 其中e为自然对数的底数，k!表示k的阶乘。
3.期望和方差泊松分布的期望和方差均为E(X)=λ，Var(X)=λ。
4.应用领域泊松分布在实际生活中的应用非常广泛，例如在交通流量、通联方式信号的到达、全球信息站访问次数等方面都可以使用泊松分布进行描述和分析。
三、负二项分布负二项分布是描述进行伯努利试验中，直到第r次成功（r为固定的正整数）需要进行的失败次数的概率分布。
负二项分布适用于描述一系列独立的伯努利试验中成功次数的分布情况。
泊松分布与二项分布的关系
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●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）：
将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验
●二项分布（binomial distribution）：
是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。
●Poisson分布（Poisson distribution）：
随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为
…的分布。
★二项分布成立的条件：
①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。
★二项分布的图形：
当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。
当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。
★二项分布的应用
总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较
★Poisson 分布的应用
总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。
★Poisson 分布成立的条件：
①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。
Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX
★Poisson分布的性质
1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。
2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。
3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。
4、泊松分布具有可加性。
★泊松分布的图形
当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。
当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。
★二项分布和泊松分布的特性
1．可加性
二项分布和Poisson 分布都具有可加性。
如果X1，X2，⋯Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ⋯,k）为参数的二项分
布，则X=X1＋X2＋⋯＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+⋯+nk）为参数的二项分布。
如果X1，X2，⋯，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ⋯,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋⋯＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+⋯+μk）为参数的Poisson 分布。
2．近似分布
特定条件下，二项分布、Poisson 分布可近似于某种其它的分布，这一特性拓宽了它们的应
用范围。
二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0 也不接近1 时，二项分布B（n,π）近似正态分布N（n π, np (1 -p) ）。
二项分布的Poisson分布近似：当n很大，π很小，np = l为一常数时，二项分布近似于Poisson 分布。
Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P（μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。
★二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布
二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0 也不接近1 时，二项分布B（n,π）近似
正态分布N（nπ, np (1 -p) ）。
Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P（μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。
★在何种情况下，可以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差
当率P所来自的样本近似服从正态分布时，即n 较大，P不接近0 也不接近1 时，可
以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差。