06二项分布及泊松分布

●Bernoulli 试验（Bernoulli T est）：

将感兴趣的事件A出现的试验结果称为“成功”，事件A不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验

●二项分布（binomial distribution）：

是指在只会产生两种可能结果如阳性或阴性之一的n次独立重复试验中，当每次试验的阳性概率π保持不变时，出现阳性次数X=0,1,2，…，n的一种概率分布。

●Poisson分布（Poisson distribution）：

随机变量X服从Poisson分布式在足够多的n次独立试验中，X取值为1,2,…,的相应概率为

…的分布。

★二项分布成立的条件：

①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。

★二项分布的图形：

当∏=0.5，二项分布图形是对称的，当∏不等于0.5，图形是偏态的，随着n增大，图形趋于对称。当n趋于无穷大时，只有∏不太靠近0或者1，二项分布近似正态分布。

★二项分布的应用

总体率的区间估计，样本率与总体率比较，两样本率的比较

★Poisson 分布的应用

总体均数的区间估计，样本均数与总体均数的比较，两个样本均数的比较：两个样本计数均较大时，可根据Poisson 分布的正态近似性对其进行u 检验。

★Poisson 分布成立的条件：

①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

Poisson 分布，X～P（μ），X 的均数μX =μ，X的方差σ2 =μ，X的标准差σX

★Poisson分布的性质

1、总体均数λ与总体方差相等是泊松分布的重要特点。

2、当n增大，而∏很小，且n∏=λ总体均数时，二项分布近似泊松分布。

3、当总体均数增大时，泊松分布渐近正态分布，一般而言，总体均数》20时，泊松分布资料做为正态分布处理。

4、泊松分布具有可加性。

★泊松分布的图形

当总体均数越小，分布就越偏态，当总体均数越大，泊松分布就越趋近正态分布。当总体均数小于等于1时，随X取值的变大，P(X)值反而变小；当总体均数大于1时，P(X)值先增大而后变小，若总体均数取整数时，则P(X)在X=总体均数，和X=总体均数—1取得最大值。

★二项分布和泊松分布的特性

1．可加性

二项分布和Poisson 分布都具有可加性。

如果X1，X2，⋯Xk 相互独立，且它们分别服从以ni，p（i=1,2, ⋯,k）为参数的二项分

布，则X=X1＋X2＋⋯＋Xk 服从以n，p（n=n1+n2+⋯+nk）为参数的二项分布。如果X1，X2，⋯，Xk相互独立，且它们分别服从以μi（i=1,2, ⋯,k）为参数的Poisson 分布，则X=X1＋X2＋⋯＋Xk服从以μ（μ=μ1+μ2+⋯+μk）为参数的Poisson 分布。

2．近似分布

特定条件下，二项分布、Poisson 分布可近似于某种其它的分布，这一特性拓宽了它们的应

用范围。二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0 也不接近1 时，二项分布B（n,π）近似正态分布N（n π, np (1 -p) ）。二项分布的Poisson分布近似：当n很大，π很小，np = l为一常数时，二项分布近似于Poisson 分布。Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P（μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。

★二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布

二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0 也不接近1 时，二项分布B（n,π）近似

正态分布N（nπ, np (1 -p) ）。Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P（μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。

★在何种情况下，可以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差

当率P所来自的样本近似服从正态分布时，即n 较大，P不接近0 也不接近1 时，可

以用率的标准误Sp 描述率的抽样误差。