线性代数第三章补充题及其答案
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补充练习三 矩阵
一、选择题：
（1）设A 和B 均为n 阶方阵，则必有（ ）。
（A ）|A+B|=|A|+|B|； （B ）AB=BA （C ）|AB|=|BA| （D ）（A+B ）-1=A -1+B -1 （2）设A 和B 均为n 阶方阵，且满足AB=0，则必有（ ）。 （A ）A=0或B=0 （B ）A+B=0 （C ）|A|=0或|B|=0 （D ）|A|+|B|=0 （3）设
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
312322
211312
11a a a a a a a a a A ，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+++=133312
32113113121123
2221
a a a a a a a a a a a a B ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10
000
10101P ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10101000
12P ，则必有（ ）。 （A ）AP 1P 2=B ； （B ）AP 2P 1=B ； （C ）P 1P 2A=B ； （D ）P 2P 1A=B （4）设n 维行向量⎪⎭⎫
⎝⎛=21,0,,0,2
1
α，矩阵ααT E A -=，ααT E B 2+=，其中
E 为n 阶单位矩阵，则AB=（ ）。
（A ）0； （B ）E ； （C ）-E （D ）ααT
E + （5）设n 阶方阵A 非奇异（n ≥2），A *是A 的伴随矩阵，则（ ）。 （A ）(A *)*=|A|n-1A ； （B ）(A *)*=|A|n+1A ； （C ）(A *)*=|A|n-2A ； （D ）(A *)*=|A|n+2A
（6）设n 阶方阵A 、B 、C 满足ABC=E ，其中E 是n 阶单位矩阵，则必有（ ）。 （A ）ACB=E ； （B ）CBA=E ； （C ）BAC=E ； （D ）BCA=E
（7）设⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=4443
42
41
3433323124232221
14131211
a a a a a a a a a a a a a a a a A ，⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4142
43
44
31323334212223
2411121314
a a a a a a a a a a a a a a a a B ，⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001010000101000
1P ，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡=10
000010010000012P ，其中A 可逆，则B -1等于（ ）。 （A ）A -1P 1P 2； （B ）P 1A -1P 2； （C ）P 1P 2A -1； （D ）P 2A -1P 1
（8）已知⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且满足PQ=0，则（ ）。 （A ）t=6时，P 的秩必为1； （B ）t=6时，P 的秩必为2； （C ）t ≠6时，P 的秩必为1； （D ）t ≠6时，P 的秩必为2
（9）设A 是m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆方阵，r(A)=r ，矩阵B=AC 的秩为r 1，则（ ）。 （A ）r=r 1 （B ）r>r 1 （C ）r （11）设矩阵A m ×n 的秩r(A)=m （C ）A 通过初等行变换，必可化为（E m ,0）形式； （D ）非齐次线性方程组AX=B 一定有无穷多组解。 （12）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩等于1，则必有（ ）。 （A ）a=b 或a+2b=0； （B ）a=b 或a+2b ≠0； （C ）a ≠b 且a+2b=0； （D ）a ≠b 或a+2b ≠0； 二、填空题： （1）已知：)3,2,1(=α；⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=31,21,1β，设βαT A =，其中T α是α的转置，则 A n =_____________。 （2）设⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡--=1133422 1t A ，B 为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=___________。 （3）设⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=101020101A ，而n ≥2为正整数，则A n -2A n-1=_______________。 （4）设α为3维列向量，αT 是α的转置，若ααT =⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111111111，则 αT α=_________________。 （5）设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随矩阵A *的秩为________________。 （6）设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡=00 B A X 为分块矩阵，则X -1=___________。 （7）设n 阶方阵A 满足A 2+A -4E =0，其中E 为n 阶单位矩阵，则 （A-E ）-1=___________________。 （8）设矩阵⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡-=3211A ，B=A 2-3A+2E ，则B -1=_______________。 （9）设A 、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知AB=2A+B ，⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡=202040202B ，则（A-E ）-1=________________。 （10）设n 维向量T