灰色预测模型介绍

数学模型与数学实验数

课程报告

题目：灰色预测模型介绍专业：

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二0一一年六月

1. 模型功能介绍

预测模型为一元线性回归模型，计算公式为Y=a+b。一元非线性回归模型：Y=a+blx+b2x2+…+bmxm。式中：y为预测值；x为自变量的取值；a,b1,b2……bm为回归系数。当自变量x与因变量y之间的关系是直线上升或下降时，可采用一元线性预测模型进行预测。当自变量x和因变量y之间呈曲线上升或下降时，可采用一元非线性预测模型中的y=a+b1x+b2x2+…+bmxm这个预测模型。当自变量x和因变量y之间关系呈上升一下降一再上升一再下降这种重复关系时，可采用一元线性预测模型中的Y=a+bx这个模型来预测。其中我要在这里介绍灰色预测模型。

灰色预测是就灰色系统所做的预测，灰色系统(Grey System)理论[]1是我国著名学者邓聚

龙教授20世纪80年代初创立的一种兼备软硬科学特性的新理论［95］96］。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色系统的基本原理

公理1：差异信息原理。“差异”是信息，凡信息必有差异。

公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明确地解是非唯一的。

公理3：最少信息原理。灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息”。

公理4：认知根据原理。信息是认知的根据。

公理5：新信息优先原理。新信息对认知的作用大于老信息。

公理6：灰性不灭原理。“信息不完全”是绝对的。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

灰色预测模型实际上是一个微分方程, 称为GM模型。GM（1，N）[]1表示1阶的，N个

变量的微分方程型模型；则是1阶的,1个变量的微分方程型模型。在实际进行预测时, 一般选用GM(1,1) 模型, 因为这种模型求解较易, 计算量小, 计算时间短, 精度较高。

现在下面简单介绍有关于灰色预测的相关知识点：

为了弱化原始时间序列的随机性

在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。

关联度]1[

1、关联系数

GM（1，1）[]1模型的建立

(1)、设时间序列有n个观察值，，通过累加生成新序列，则GM（1，1）模型相应的微分方程为：

其中：α称为发展灰数；μ称为内生控制灰数。

(2)、设为待估参数向量，，可利用最小二乘法求解。解得：

求解微分方程，即可得预测模型：

，

(3)、模型检验

灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。

GM （n ，h ）]1[模型

(1)、残差模型：若用原始经济时间序列建立的GM （1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM （1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM （1，1）的残差模型。

(2)、GM （n ，h ）模型GM （n ，h ）模型是微分方程模型，可用于对描述对象作长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表征量表示为时间序列，并有， （N 表数自然数集），即可用GM 模型对系统进行描述。

2．常用模型[]2

2.1常用模型1——数列预测模型

数列预测就是对某一指标的发展变化情况所作的预测，其预测的结果是该指标在未来各个时刻的具体数值。譬如，在地理学研究中，人口数量预测、耕地面积预测、粮食产量预测、工农业总产值预测，等等，都是数列预测。

数列预测的基础，是基于累加生成数列的GM(1，1)模型。

设(0)(0)(0)(1),(2),,()x x x M 是所要预测的某项指标的原始数据。

一般而言，(0){()}1M t x t =是一个不平稳的随机数列，对于这样一个随机数列，如果数据趋势无规律可循，则无法用回归预测法对其进行预测。

如果对(0){()}1M t x t =作依次累加生成处理，即

(1)(0)(1)(1)x x =

x (1)(2)=x (0)(1)+x (0)

(2)

x (1)(3)=x (0)(1)+x (0)(2)+x (0)(3)

(1)

(0)1(1)

(0)1()()()()k t M

t x k x t x M x t ====∑

∑

则得到一个新的数列(1){()}1M t x t =。这个数列与原始数列(0){()}1M t x t =相比较，其

随机性程度大大弱化，平稳程度大大增加。对于这样的新数列，其变化趋势可以近似地用如下微分方程描述：

在(1)式中，a 和u 可以通过如下最小二乘法拟合得到：

在(2)式中，Y M 为列向量Y M =[x (0)(2)，x (0)(3)，…，x (0)(M)]T

；B 为构造数据矩阵： (1)(1)(1)(1)(1)(1)1/2(1)(2)11/2(2)(3)11/2(1)()1x x x x x M x M ⎡⎤⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦

微分方程(1)式所对应的时间响应函数为：

(3)式就是数列预测的基础公式，由(3)式对一次累加生成数列的预测值

(1)()x t 可以求得原始数的还原值：