欧氏空间复习

欧氏空间复习 一、欧氏空间定义如果V 是实数域R 上维线性空间，而且存在V 上二元实函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l R αβγ∈∈。

则称V 为具有内积(,)的欧氏空间，简称为欧氏空间。

我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有：● 基的度量矩阵正定；● 不同基的度量矩阵合同（由此可以证明标准正交基的存在性） ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补欧氏空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。

标准正交基的存在性一可以通过基的度量矩阵为正定矩阵及其正定矩阵和单位矩阵合同的性质证明。

其次可以通过施密特正交化方法证明。

我们有： ●n 维列向量12,,,n ααα 为n R 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足T A A E =，换句话说A 是正交矩阵。

注意一个正交矩阵决定两组正交基，一个是正交矩阵的列向量组，另外一个是正交矩阵的行向量组。

● 标准正交基的过度矩阵是正交阵。

●根据施密特正交化我们可以推出，对任意实可逆矩阵A 存在正交矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。

●如果12,,,n εεε 为欧氏空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。

设W 为欧氏空间V 的子空间，则W 在V 的内积下也形成欧氏空间。

如果定义：{}(,)0,WV W ααββ⊥=∈=∈则称W⊥为W 的正交补，正交补是直和补，因此有：{0},W W W WV ⊥⊥=⊕= 。

三、重要变换和重要矩阵 ●正交变换：n 维欧氏空间V 上线性变换σ是正交变换的充分必要条件有： 1）(,)(,),,V σασβαβαβ=∀∈； 2）||||,V σααα=∀∈3）(,)(,),,d d V σασβαβαβ=∀∈ 4）σ在标准正交基下矩阵是正交矩阵； 5）σ将标准正交基变为标准正交基。

注意正交变换是可逆变换。

● 正交矩阵n 阶实矩阵A 是正交矩阵的的充分必要条件有： 1）T A A E = 2）1T A A -=3）A 的行向量组为n R （所以n 维实行向量全体）的标准正交基； 4）A 的列向量组为n R （所以n 维实列向量全体）的标准正交基；正交矩阵还具有：所有特征值的长度为1。

● 对称变换：n 维欧氏空间V 上线性变换σ是对称变换的充分必要条件是其在标准正交基下矩阵为实对称矩阵。

●实对称矩阵：实对称矩阵的特征值皆实数，不同特征值下的实特征向量正交，对于实对称矩阵A 我们还有：1） 存在正交矩阵P ，使得1T P AP P AP -=位对角矩阵，即A 可以在实数域上对角化； 2） A 正（负）定充分必要条件是其特征值皆大（小）于0；3） A 半正（负）定充分必要条件是其特征值皆大（小）于或者等于0；四、酉空间及其性质如果V 是复数域C 上线性空间，而且存在V 上二元复函数(,)满足： 1）(,)(,)αββα=2）(,)(,)(,)k l k l αβγαγβγ+=+3）(,)0αα≥，而且等于0的充分必要条件是0α=其中,,,,V k l αβγ∈∈C 。

则称V 为具有内积(,)的酉空间，简称为酉空间。

欧氏空间和酉空间统称为内积空间。

我们有： ●(,0)0α=●1111(,)(,)rsrsi i j j i ji j i j i j k l k lαβαβ=====∑∑∑∑● 2(,)(,)(,)αβααββ≤（可以用其定义角度，证明一些不等式）如果设12,,,n εεε 为V 基，则定义(,)i j n n A εε⨯⎡⎤=⎣⎦，称其为基12,,,n εεε 的度量矩同样我们有： ●基的度量矩阵为厄米特正定矩阵（所谓厄米特矩阵A 是指TA A =，而正定是指对于任意非零复向量X 有0TX AX ≥）； ●如果设1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε== ，则有：(,)T X AY αβ=二、标准正交基和正交补酉空间V 的基12,,,n εεε 称为标准正交基，如果有(,)i j ij εεδ=。

标准正交基的存在性一样可以通过施密特正交化方法证明。

我们有： ●n 维列复向量12,,,n ααα 为n C 标准正交基的充分必要条件是矩阵12[,,,]n A ααα= 满足TA A E =，换句话说A 是酉矩阵。

注意一个酉矩阵决定两组正交基，一个是酉矩阵的列向量组，另外一个是酉交矩阵的行向量组。

● 标准正交基的过度矩阵是酉矩阵。

●根据施密特正交化我们可以推出，对任意复可逆矩阵A 存在酉矩阵U 和上（或者下）三角矩阵T 使得A TU =或者A U T =。

●如果12,,,n εεε 为酉空间V 的标准正交基，而且：1212[,,,],[,,,]n n X Y αεεεβεεε==则有(,)T X Y αβ=。

设W 为酉空间V 的子空间，则W 在V 的内积下也形成酉空间。

如果定义：{}(,)0,WV W ααββ⊥=∈=∈则称W⊥为W 的正交补，正交补是直和补，因此有：{0},W W W WV ⊥⊥=⊕= 。

三、重要变换和重要矩阵 ●酉变换：n 维酉空间V 上线性变换σ是酉变换的充分必要条件有： 1）(,)(,),,V σασβαβαβ=∀∈； 2）||||,V σααα=∀∈3）(,)(,),,d d V σασβαβαβ=∀∈ 4）σ在标准正交基下矩阵是酉矩阵； 5）σ将标准正交基变为标准正交基。

注意酉变换是可逆变换。

● 酉矩阵n 阶复矩阵A 是酉矩阵的的充分必要条件有： 1）TA A E = 2）1T A A -=3）A 的行向量组为nC （所以n 维复行向量全体）的标准正交基； 4）A 的列向量组为n C （所以n 维复列向量全体）的标准正交基；酉矩阵还具有：所有特征值的长度为1。

不同特征值下特征向量正交；注意正交矩阵是酉矩阵。

● 对称变换：n 维酉空间V 上线性变换σ是对称变换的充分必要条件是其在标准正交基下矩阵为厄米特矩阵。

●厄米特矩阵：厄米特矩阵的特征值皆实数，不同特征值下的复特征向量正交，对于实厄米特矩阵A 我们还有：4） 存在酉矩阵P ，使得1TP AP P AP -=为对角矩阵，即A 可以在复数域上对角化； 5） A 正（负）定充分必要条件是其特征值皆大（小）于0；6） A 半正（负）定充分必要条件是其特征值皆大（小）于或者等于0；是非题1）。

设W 是有限维欧氏空间V 的子空间，σ是V 上线性变换，如果W 是σ的不变子空间，则W⊥是σ的不变子空间。

2）。

设σ是有限维欧氏空间V 上线性变换，则σ是正交变换的充分必要条件是σ在V 的基下所对应的矩阵为正交矩阵。

3）。

设σ是有限维欧氏空间V 上线性变换，则σ是对称变换的充分必要条件是σ在V 的基下所对应的矩阵为对称矩阵。

4）。

有限维欧氏空间V 的一组基的度量矩阵是实对称矩阵，但不一定是正定矩阵。

5）。

设12,,,r ααα 是欧氏空间V 中一组元素，而且两两正交，则其线性无关。

6）。

设W 是有限维欧氏空间V 的子空间，则()W W ⊥⊥=。

7）。

设W 是有限维欧氏空间V 的子空间，σ是V 上正交变换，如果W ⊥是σ的不变子空间，则W 是σ的不变子空间。

8）。

设σ是有限维欧氏空间V 上的线性变换，而且任意V α∈有|()|||σαα=，则σ是可逆线性变换。

8）。

有限维欧氏空间V 的子空间W 正交补不唯一。

10）。

设12,,,n e e e 为欧氏空间V 的标准正交基，12,,,n ααα 为V 的一组基，则12,,,n ααα 到12,,,n e e e 的过度矩阵为正交矩阵的充分必要条件是12,,,n ααα 为V 的标准正交基。

11）。

有限维欧氏空间V 的任意两组基的度量矩阵是合同的。

12）。

实对称矩阵正定的充分必要条件是其特征值皆大于0。

1．设A 为欧氏空间V 上的线形变换,且E A =2.1):求证A 是V 上的正交变换的充分且必要条件为A 是V 上的的对称变换.2)设{}αααα=∈=A ,1V V ,{}αααα-=∈=A ,2V V ,求证21V V V +=且是直和. 证: 1) A 是V 上的正交变换的V ∈∀=⇔βαβαβα,),,(),(A AV ∈∀==⇒βαβαβαβα,),,(),(),(2A A A A由于 A 是V 上的对称变换V ∈∀=⇔βαβαβα,),,(),(A AV ∈∀==⇒βαβαβαβα,),,(),(),(2A A A2) V ∈∀α有)(21)(21ααααα+-++=A A ,而且：21)(21,)(21V V ∈+-∈+ααααA A所以21V V V +=。

又因为21V V ⋂∈α时有αααα-==A A ,,则0=α。

所以21V V V +=为直和。

3．设A 是欧氏空间V 上线性变换，记：{}{}V V V V ∈-=∈==αααααααA A 21,,，显然21,V V 为V 的子空间，试分别就A 是V 上对称变换和正交变换求证：21V V V ⊕=（其中⊕表示空间直和）。

证明：设21V V ∈α，则存在V ∈β使得ββαA -=，所以：),(),(),(),(βαβαββαααA A -=-=当A 是对称变换时候，上式为0),(),(),(),(=-=-βαβαβαβαA （因为αα=A ）；当A 是正交变换时候，上式为0),(),(),(),(=-=-βαβαβαβαA A 。

所以0=α，即}0{21=V V ，所以2121V V V V ⊕=+。

又因为：{}0)(1=-=ααI A V ，{}V V ∈-=αα)(2I A即21,V V 分别为线性变换I A -的核和值域，所以有n V V =+21dim dim ，则有21V V V ⊕=。

相似题目：I ．设V 是n 维欧氏空间，内积记为(,)αβ，又设T 是V 的一个正交变换，记1{|}V V T ααα=∈=-，2{|}V T V ααα=+∈。