高中数学必修4三角函数常考题型：正弦函数、余弦函数的性质(一)

正弦函数、余弦函数的性质(一)

【知识梳理】

1．函数的周期性

(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．

2．正弦、余弦函数的周期性

正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.

3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．

【常考题型】

题型一、函数的周期

【例1】 求下列三角函数的周期：

(1)y ＝3sin x ，x ∈R ；

(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；

(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；

(4)y ＝|cos x |，x ∈R .

[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.

(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.

(3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13

x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，

由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.

(4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示，

由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.

【类题通法】

求函数最小正周期的常用方法

求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y

＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|

求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期．

【对点训练】

求下列函数的最小正周期：

(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.

解：(1)由T ＝2ππ2

＝4，可得函数的最小正周期为4. (2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，

所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.

题型二、三角函数的奇偶性

【例2】 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性．

(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R .

且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，

∴函数为奇函数．

[答案] A

(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34

x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34

x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．

【类题通法】

与三角函数奇偶性有关的结论

(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；

(2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2

(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2

(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．

【对点训练】

若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )

A ．0

B.π4

C.π2 D ．π

解析：选C 法一：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2

. 法二：因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2

＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2

＋k π.又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π2

. 题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用

【例3】 若函数f (x )是以π2

为周期的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－17π6的值． [解] ∵f (x )的周期为π2

，且为偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝f ⎝

⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫π6.

而f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，

∴f ⎝⎛⎭

⎫－17π6＝1. 【类题通法】

解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法

利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．

【对点训练】

若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．

解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)．

∴f (x ＋2)＝f (x )，即T ＝2.

∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12.

又∵f (x )为奇函数，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，

∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭

⎫－12 ＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，故f ⎝⎛⎭

⎫92＝0. 【练习反馈】

1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

解析：选A 由于x ∈R ，

且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，

所以f (x )为奇函数．

2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )

A ．最小正周期为2π的奇函数

B ．最小正周期为2π的偶函数

C ．最小正周期为π的奇函数

D ．最小正周期为π的偶函数

解析：选B 由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos x ，其最小正周期为2π，且为偶函数．

3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．

解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 答案：奇

4．函数y ＝cos (1－x )π2

的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2

＝2π×2π

＝4. 答案：4

5．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈