计数原理

8. 1 计数原理

一、知识要点

1．分类计数原理（加法原理）：

做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法．

2．分步计数原理（乘法原理）：

做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有 N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．

二、例题分析

例1．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两

个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

变式：把问题中选出5个数组成子集改为选出4个数组成子集，结果如何?

例2．关于正整数2160，求：

（1）它有多少个不同的正因数？ （2）它的所有正因数的和是多少？

例3．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？

（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？

（4）可以组成多少个能被3整除的数字不允许重复的三位数？（数字问题）

例4．（1）三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传

球方法的种数是（ ）

A 、6

B 、8

C 、10

D 、16

（2）1，2，3，4号足球运动员各有一件球衣在4人中互相赠送（每一个运动员不能拿自己

的球衣），则不同的赠送方法有（ ）

A ．6种

B ．9种

C ．11种

D ．23种

评注：第（2）小题是著名的贝努利装错信封问题当4n =时的特例．原意是，若一个人写

了n 封不同的信和n 只相应的不同的信封，问这个人把这n 封信都装错了信封的装法有

多少种？问题可转化为：n 个不同元素12,,,n a a a 进行排列，其中()1,2,,i a i n = 不排第i 个位置的排法种数．由容斥原理，可得相应的排法种数为：

()()()()()12!1!2!1!1k

n

k n n n n n n C n C n C n k C -⋅-+⋅--+-⋅-++- ．

例5．如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多

次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( )

D. 60

变式：若变为图二,图三呢? 图四呢？（染色问题）

例6．（1）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图（1））.现要栽种4

种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有多少？ （2）（2010天津理）如图（2），用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） （A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种

三、规律总结

1．弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.

2．分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础，解题中要力争做到“步骤完整、不重不漏”．

3．元素能重复的问题往往用两个计数原理解决.

图一

图二

图三

图四

四、巩固练习

1．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），那么获得冠军的可能种数为（ ）

A ．3

5

B ．5

3

C ．35A

D ． 35C

2．（2009辽宁卷理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 （ ） A ．70种 B ． 80种 C ． 100种 D ．140种

3．（08全国卷1）如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种

不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，

则不同的种法总数为 （ ）

A ．96

B ．84

C ．60

D ．48 4．从{一3,－2,－1，0，1，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线方程c bx ax y 2++= 的系数，如果抛物线经过原点，且顶点在第一象限，则这样的抛物线共有 （ ） A. 7条 B. 8条 C. 9条 D. l0条

5．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是 （ ） A. l2 B. 11 C. 24 D. 23

6．甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁三人中的一人，第二次由拿球 者再传给其他三人中任一人，这样共传了4次，则第四次仍传回到甲的方法共有（ ）A 、21种 B 、24种 C 、27种 D 、42种

7．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一

人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种

8．某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 （ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种

9．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 ( )

A.8种

B.12种

C.16种

D.20种 10．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个

11．乘积)c ...c c )(b ...b b )(a ...a a (k 21m 21n 21+++++++++展开后的项数为_______. 12．72的正约数共有__________个.

13．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中有6个焊接点A ，B ， C ，D ，E ，

F ，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有

14．用1,2,3,,9 这九数字填写在如上图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每

一列从上到下依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有 ．

15．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张另人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有__________种．

16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.

现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）

①

②

③

④

⑤