北师大版初一数学下册利用图形证明整式乘法公式
北师大版七年级数学下册《整式的乘法》整式的乘除PPT优质课件
已知 求 的值.
所以m、n的值分别是m=1，n=2.
解：
所以2m+2＝4且3m＋2n＋2=9.
故 m=1, n＝2
ZYT
例2 有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长 xm，宽 ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·4x2=12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
×
ZYT
计算：(1) 5x3·2x2y ； (2) －3ab·(－4b2) ；(3) 3ab·2a； (4) yz·2y2z2；
(1)5x3·2x2y＝(5×2)·(x3·x2)·y＝10x5y.(2)－3ab·(－4b2)＝[(－3)×(－4)]·a·(b·b2)＝12ab3.(3)3ab·2a＝(3×2)·(a·a)·b＝6a2b.(4)yz·2y2z2＝2·(y·y2)·(z·z2)＝2y3z3.
解：
ZYT
5.若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积为 _____.【解析】长方形的长是2a2，所以长方形的面积 为a2·2a2=2a4.
2a4
6.一个三角形的一边长为a，这条边上的高的长度是它的 那么这个三角形的面积是_____.【解析】因为三角形的高为 ，所以这个三角形的 面积是
＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝－20a2＋9a.
原式＝－20×4－9×2＝－98.
方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．
ZYT
先化简再求值:
解：原式=x4-x3+x2-x4+x3-x2+5x
数学北师大版七年级下册乘法公式
2
2
二項式乘積公式：
（a+b)(c+d）= ac + ad + bc + bd a b 我們可以用兩種方式來 這個公式是怎麼來的呢？ 表示大長方形的面積： 讓我們用以下的圖形來說明：
ac
甲
ad bc 丙 bd 丁 d
用（甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面 積來算 （甲+ 乙+ 丙+ 丁）的面積 ＝ ac + ad + bc + bd
c
用原長方形的長×寬來算 長×寬＝ （a+b）（c+d）
乙
（a+b）（c+d）= ac + ad + bc + bd
3
二項式乘積公式：
由乘法對加法的分配律，我們可以得到以下的式子
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc+ bd
ac
bc
ac
ad
bc bd
ad
bd
4
和的(完全)平方公式：
a b 若將二項式成績公式中的 c用a代換，d用b代換 我們可以得到以下的結果 d + bc a+ d b)= a c a + ab a + bd b (a+b)( c 2 2 = a + ab + ba + b a2 ab a
乘法公式
又新学校
姓名：马福东
1
乘法公式
二項式乘積公式：
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd 和的完全平方公式：
初中数学北师大七年级下册整式的乘除-整式的乘法PPT
二：典例分析
• 例1： 2 a 2b4c 3 ab3
5
4
二：典例分析
• 例1： 2a 2 x y2 3a3bx y3
变式练习
变式练习
• 计算：
2 p2q3
p4qm
3 2
pq
变式练习
• 计算： xy2 3 1 x2 y 9xy2z 2 3
总结： • 1、积的系数是___各__因__式__的___系__数__的__积_____________________________. • 2、相同字母按___同__底__数___幂__的__运__算___法__则__进__行___计__算______________________. • 3、只在一个因式中出现的字母，连同__它__的___指__数____________,一起作为积的
1 2 天 1 9 小 时 4 2 分 即 1 1 0 7 7 2 0 秒 近 似 的 ห้องสมุดไป่ตู้ 为 1.1106 秒 ， 火 箭 的 速 度 为7.5103 m / s ， 则
运 行 的 路 程 =7.5103 1.1106 m
7.5103 1.1106
问题1：上述式子如何进一步计算？ 问题2：问题2：将上述的数字变为字母，比如ac3×bc6，又该如何计算？
情境导入
问题探究：
长 征 三 号 乙 遥 二 十 三 运 载 火 箭 以 7.5103 m / s 的 速 度 ， 经 历 了 1 2 天 1 9 小 时 4 2 分 ， 将 执 行探月工程的嫦娥三号月球探测器成功送达到月球表面．这是中国首次实现月球软 着陆．那么我们来估计一下，整个从发射带着陆的过程中，火箭运行的路程．
2023年北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除第10课时平方差公式(2)
第10课时 平方差公式(2)
C NTENTS
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
·数学
1.(2022新课标)理解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，了解公 式的几何背景. 2.(2022新课标)能利用平方差公式进行简单的计算和推理.
抽象能力 运算能力 几何直观
知识点一：利用图形验证平方差公式
(北师7下P21、人教8上P107)如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b的小正方形. (1)图1中的阴影部分面积为 a2－b2 ；
·数学
图1
·数学 (2)小颖将阴影部分拼成一个长方形(如图2)，这个长方形的 长为 a＋b ，宽为 a－b ，它的面积为 (a＋b)(a－b)； (3)通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等 式是 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 .
6.【例3】计算：(a＋1)(a－1)－a(a＋3). 解：原式＝a2－1－(a2＋3a) ＝a2－1－a2－3a＝－1－3a.
·数学
10.化简：(a＋b)(a－b)＋2b2. 解：原式＝a2【例4】先化简，再求值：(1＋a)(1－a)－a(2－a)，其中 a＝12. 解：原式＝1－a2－2a＋a2＝1－2a. 当a＝12时，原式＝1－2×12＝1－1＝0.
·数学
·数学
4.【例1】如图，利用图1和图2的阴影面积相等，写出一个 正确的等式： (a＋2)(a－2)＝a2－4 .
·数学
8.(创新题)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方 形(a＞b).把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等 腰梯形(如图)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式， 这个等式是( A ) A.a2－b2＝(a＋b)(a－b) B.(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 C.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D.a2－ab＝a(a－b)
北师大版七年级数学下册课件第一章第四节整式的乘法
对点训练
1.(1)计算a·3a的结果是( B )
A.a2
B.3a2
C.ห้องสมุดไป่ตู้a D.4a
(2)化简(－3x2)·2x3的结果是( C ) A.－3x5 B.18x5 C.－6x5 D.－18x5
知识点二:单项式与单项式相乘的一般步骤
(2)4y·(－2xy2);
解:(1)原式＝(3×5)(x2·x3)＝15x5.
(2)原式＝[4×(－2)]x(y·y2)＝－8xy3.
(3)(3x2y)3·(－4x);
(4)(－2a)3·(－3a)2.
解:(3)原式＝27x6y3·(－4x)＝[27×(－4)](x6·x)y3＝－108x7y3.
第一章 整式的乘除
整式的乘法(1)
学习目标
1.经历探索整式乘法运算法则的过程,进一步体会类比方法的 作用,以及乘法分配律在整式乘法运算中的作用. 2.(课标)能进行简单的整式乘法运算(单项式乘单项式).
知识要点 知识点一:单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘的运算法则: 单项式与单项式相乘,把它们的 系数 、相同字母的幂分 别 相乘 ,其余字母连同它的 指数不变 ,作为积的因式.
3
27
＝－2x5y5－ 1x7y5.
3
7.【例4】(北师7下P15)一家住房的结构如图所示,这家房子 的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要多少平 方米的地砖?如果某种地砖的价格是a元/m2,那么购买所需地 砖至少需要多少元?
解:根据题意,得xy+2xy+8xy＝11xy(m2), 则把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要11xy m2的地砖,购 买所需地砖至少需要11axy元.
数学北师大版七年级下册用图形验证整式乘法恒等式课件
做中感悟
提炼方法
有若干张如图所示的正方形卡片A类， B 类和长方形卡片C类，如果要拼成一个长 为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需 2 张，B类卡片____ 1 张，C类卡 要A类卡片____ 3 张，请你在右下角的大长方形中画 片____ 出一种拼法. a
A
A
b B b b C
C
B A a+b
思维拓展 活学活用
拓展练习1如图①是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚 线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼 成一个“回形”正方形（如图②）.
a b 、ab 之间的等量关 (1)观察图②请直接写出 a b 、 2 2 a b a b 4ab ； 系 (2)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示.如图③, 2 2 a b 3 a b 3 a 4 ab b 它表示的代数恒等式为 ； (3)试画出一个几何图形,使它的面积能表示
河北保定师范附属学校刘琳如图从边长为abcm的正方形纸片中剪去一个边长为abcm的正方形ab剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形不重叠无缝隙那么通过计算两个图形阴影部分的面积可以验证成立的公类和长方形卡片c类如果要拼成一个长为2ab宽为ab的长方形则需片张请你在右下角的大长方形中画出一种拼法
用图形验证整式乘法恒等式
河北保定师范附属学校 刘琳
成果展示 2 问题1 请用几何图形验证 a a 2b a 2ab 成立.
线下反馈
线下反馈
成果展示
问题2 如图,从边长为 （a+b）cm 的正方形纸片中剪
去一个边长为 （a-b）cm的正方形 （a>b） ,剩余部分
北师大版七年级数学下册《整式的乘法》整式的运算PPT课件
运算过程用到哪些运算性质？
第五页，共四十五页。
探究
将数换成字母：
(3105) (5102 )
(a c5) (b c2 )
又该如何运算？
第六页，共四十五页。
探究 运算过程要用哪些运算律？
(a c5) (b c2 ) (a b) (c5 c2 ) abc7
3
2
解
:
原式
2 3
ab2
1 2
ab
2ab
1 2
ab
1 3
a2b3
a2b2
(2) (2x2 2 x 4) (9x) (3) (x - 3y) (-6x2 )
解
:
39
原式 2x2
9x
2 3
x
9
x
4
9
9x
18x3 6x2 4x
第二十一页，共四十五页。
(3) (x - 3y) (-6x 2 )
第十七页，共四十五页。
1：计算
解(1:)原2式4 112
24
1 3
11424
1
12 8
6
10
2
3
4
(2) 2a b
(3) ma b
解 : 原式 2a 2b
解 : 原式 ma mb
(4) ma b c
解 : 原式 ma mb mc
第十八页，共四十五页。
单项式与多项式相乘法则: 概括：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘
运算顺序该怎样？ 先算乘方，再算乘法，后算加减。
第十四页，共四十五页。
归纳 运算顺序：
先算乘方，再算乘法，后算加减。
北师大版七年级下册 1.4 整式的乘法 课件(23张PPT)
（2）2 − (2 − 5)
2
1 3 2 + − 2
2
2
= 3mn· +3·
− 3 ·
3
2 2
3
= 3m n + 3 − 3
2
=
=
=
22 − (2 − 5)
22 − · 2 + ·5
22 − 22 + 5
温馨提示：
5
=+3+2+6 −( − 2+ −2 )
加括号
=+3+2+6 − + 2 − +2
=5++8
温馨提示：
1、注意运算顺序
2、减号后面的整体要加括号
及时巩固
1.先化简，再求值：
(x＋1)(2x－1)－(x－3)2，其中x＝－2.
解析
原式＝(2x2－x＋2x－1)－(x－3)(x－3)
2 ( + 2)( + 3) −
− ( + 1)( − 2)
解析
− 1 2 + + 1
=· 2 +·+·1 − 1 · 2 − 1 · − 1 × 1
= 3 + 2 + − 2 − − 1
= 3 − 1
不要漏乘
( + 2)( + 3) − ( + 1)( − 2)
1.4 整式的乘法
知识回顾
单项式乘法的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同
字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不
变，作为积的因式。
单项式与多项式相乘的法则：
数学北师大版七年级下册用图形验证整式乘法恒等式教案
课型专题复习课主题用图形验证整式乘法恒等式主备人刘琳日期教材分析本节课内容，是在学生已经熟练掌握了整式乘法和利用简单图形表示整式乘法公式的基础上，通过计算、割补、拼摆的方式，探索、验证整式乘法恒等式，从而使学生对整式乘法有一个直观的认识，发展几何直观，进而渗透数形结合的数学思想方法.目标重构知识目标：（1）进一步巩固用图形解释整式乘法公式的方法。
（2）通过代数运算和图形验证相结合体会数形结合的思想.能力目标：（1）在操作中思考，在思考中操作，将直观操作与简单推理结合起来，促进学生推理意识的建立。
加强对推理过程的理解和归纳。
（2）在和同伴的交流中，能够用自己的语言清晰的表达自己的发现或说明理由。
情感目标：能在数学活动中体会数学也有独特的美，学习数学也是在接受一种文化的熏陶，彰显数学文化的魅力，通过介绍著名数学家的名言和观点引发学生对数学文化内涵的追求和向往。
教学重点、难点教学重点：（1）通过对问题的解决进一步对图形验证的方法深刻理解；（2）通过利用图形验证的方法体会数形结合的思想。
教学难点：对恒等式的推理验证和图形验证的思路进行简洁明了的归纳，将归纳出的方法内化为思维方式并灵活使用。
学情分析学生已经熟练掌握了整式乘法运算法则，并且学习了用几何直观的方法对平方差和完全平方公式进行解释，具有将数赋予几何意义的初步的活动经验。
教学环节教师活动学生活动绿色评价（一）线下反馈成果展示导语：师：在前面的学习中，同学们对用一个图形解释整式乘法公式有了初步了解。
接下来，我们将在验证整式乘法恒等式过程中提炼方法并体会方法背后蕴含的重要数学思想。
首先，反馈一下昨天我在线上布置的预学任务（两个问题），各组任务完成的非常好，并且将制作的微视频上传至网络平台！下面展示一下各组的优秀成果：指令语言：观看完视频请同学们结合自己解决问题的方法谈谈你的认识，作出评价问题1请用几何图形验证()222a ab a ab+=+成立.（教师播放学生们上传至学习平台上的自制微视频1）师：这组同学由抽象的代数式联想到具体的几何图形，用不同代数式表示图形面积验证了等式成立。
新北师大版数学七年级下整式的乘除(20201127220606)
知识点总结1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘, 底数不变 , 指数相加。
m n m na a a （m,n 都是正数），是幕的运算中最基本的法则m n p mn pa a a a（其中 m 、 n 、p 均为正数）；m n m n公式还可以逆用： a a a （m 、n 均为正整数）2、幕的乘方法则：（a m ）n a mn （m,n 都是正数），是幕的乘法法则为基础推导出来的， 但两者不能混淆•在应用法则运算时 , 要注意以下几点 :（1）底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与（-a ）时不是同底，但可以利用乘方法则化成 同底，如将（-a ）3化成-a 3（2） 底数化同：底数有时形式不同，但可以化成相同，对解题有帮助。
（3） 要注意区别（ab ） n 与（a+b ） n 意义是不同的，不要误以为（a+b ） n =a n +b n （ a 、b 均不 为零）。
3、 积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab ）n a n b n （n 为正整数）。
公式逆用：幂的乘方与积的乘方法则均可逆向运用，对解题有帮助。
4、 同底数幕的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减，即a m a n a m n （a 工0,m 、n 都是正数，且m>n ）.5、 科学记数法：a x 10n 的形式，其中 KI a I <10，n 为负整数，丨n 丨等于这个数的第一个不为零的 数字前面所有零的个数（ 包括小数点前面的一个零）。
① a 的取值 K a<10 ;扩展取值 KI a 丨<10;② n 与整数位m 的关系：n=m-1;（ m 为第一个数字到小数点的位数）I n I =m （m 为小数点到第一个不为零的数字的位数）；7、多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加。
2（x a ）（ x b ） x 2 （a b ）x ab ，其二次项系数为 1 ，一次项系数等于两个因 式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。
北师大版本七年级下册第一单元《整式的乘除》全章知识讲解+经典练习
《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
北师大七年级下1.6整式的乘法1
回顾交流：
本节课我们学习了那些内容？ 单项式乘以单项式的依据是什么？ 如何进行单项式与单项式乘法运算？
x米
1 8x mx米
（1）对于上面的问题小明得到如下的结果：
第一幅画的画面面积是
米2
第二幅画的画面面积是
米2
结果可以表达得更简单些吗？
（2）类似地，3a2b 2ab3 和 (xyz) y2z可 以表达得更简单些吗？为什么？
如何进行单项式与单项式相乘的 运算？
单项式与单项式相乘， 把它们的系数、相同字母的 幂分别相乘，其余字母连同 它的指数不变，作为积的因 式。
例1计算：
1、
2、 3、
练一练：
1、计算： ①
②
③
2、一种电子计算机每秒可做
它工作10分钟可做多少次运算？
次计算，
动脑筋：
一家住房的结构如图
y
2y
示，房子的主人打算把
卧室以外的部分全都铺 上地砖，至少需要多少 x
卫生间 厨房
卧室
4x
平方米的地转？如果某
2x
客厅
种地转的价格是a元/平
方米，那么购买所需地 4y
6、方
同底数幂的除法 零指数幂性质
负整数指数幂性质
做一做
1、 2、 3、 4、
5、
京京用两张同样大小的纸，精心
制作了两幅画，如下图所示，第
面积 是多
一幅画大小与纸的大小相同，第 少呢？
二幅画的画面在纸的上、下各留
有
1 8
x
米的空白
1x 8
北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的乘除PPT教学课件
议
• 1、对议了解感知部分
• 2、组议深入学习和迁移应用两部分
• 3、小组总结如何进行单项式乘以多项式的
计算，பைடு நூலகம்要注意什么？
展：探索法则
我们来回顾引言中提出的问题：为了扩大
绿地的面积，要把街心花园的一块长
方形绿地，向两边分别加宽a 米和c 米，你能用几种方
法表示扩大后的绿地的面积？
a
b
c
探索法则
（1）3（
2
3
2
2
x
（
x
y
）=
2
x
2
x
；
（2）
（3）
（-3x 2）
（x-y）=-3x3 -3x 2 y；
2
3
（
5
a
）
（
a
b
）=
5
a
+5ab.
（4）
巩固法则
（- 4 x 2）
（3 x+1）；
2 2
1
（ ab -2ab） ab.
3
2
5（
x 2 x 2 -4x 3）；
（- 2a）
（a -ab+b ）
2
2
你在计算这3 个小题时，分别用到了学过的哪些知
识、法则或运算律？
导
• 学习目标：
1．理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式
与多项式相乘的法则进行计算．
2．理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”
观念，体会转化、数形结合和程序化思想．
• 学习重点：
单项式与多项式相乘的法则的运用．
思
• 同学们认真阅读课本，完成导学提纲
单项式乘以单项式的问题
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（1）较易：
（2）稍有困难，
学生操作，演示
关键理解长：a+b
2、学生尝试用数学语言描述：
如图1，阴影部分的面积表示为
如图2，阴影部分的面积表示为
因为它们表示同一个阴影部分的面积
所以：
（二）学生拼摆、画图、证明。
有方法的同学上黑板扮演
（三个大组比拼）
(三)、学生在一个开放的环境下展示、交流转化后的图形（转化后的图形可能有：长方形、平行四边形、梯形……），并在交流面积时，一方面验证乘法公式，一方面体会数形结合思想。并类比此探究，进入完全平方公式的证明。或解决实际问题。
达标检测题
目标对应点
利用乘法公式计算机推理。
板书设计
利用图形证明整式乘法公式
平方差公式；完全平方公式：
图形：图形：
理由:理由:
教学反思
成功
之处
创设情境，学生体会数学的实用性。在操作、观察、表达等活动中，感悟数形结合的思想及转化的思想。
不足
之处
开头创设的情境要注意把问题说完整，让学生用自己的语言描述一下要解决的问题。避免操作的盲目性。
第二环节：目标导航
出示本节学习目标
第三环节：观察、操作、验证
（一）利用图形验证平方差公式
1.课件出示书第21页图1-5,1-6
观察，尝试解决(1)-（3）
对于（2），请学生尝试用手中卡片剪、拼一下2.订正结果，并变式。去掉(1)(2),直接出示（3）去证明。
根据学生的描述，教师完善板书。并总结。
3.思考：
1、平方差公式
完全平方公式
2、利用承上启下的描述，学生明确以前学习的内容及即将学习的内容。、
二、阅读目标:明确学习方法及学习内容。
1.了解乘法公式的几何背景.
2.经历用”面积算两次”去证明整式乘法公式的过程.
3.经历从不同角度分析问题和解决问题的过程，体会”转化”和“数形结合“的思想
三、利用问题串引发思考，尝试解决问题
教学策略
启发，观察，操作，演示，引导
教具学具
课件、正方形卡片等，剪刀
课时教学设计
教
学
流程师生双Fra bibliotek活动备注
第一环节：
温故知新：
1.我们已经学习了整式乘法公式，请回忆一下，并用符号表示这一公式
2.前面我们是从”数”的角度，归纳出整式乘法公式，今天我们将从“形”的角度出发，利用图形证明整式乘法公式。
（板书课题）
课时教学设计
设计：樊瑞琴
课题
利用图形证明整式乘法公式
课型
新授课
第2课时
教学时间
2017年3月29日星期三
班级
人数
55班41人
教材分析
教材第21页和第23页分别要求利用图形解释整式乘法公式，前者是用3个问题串，引导学生证明平方差公式，后者是只给了图，放手让学生自己解释完全平方公式。
学情分析
在七年级下册第一章整式乘法法则的推导过程中，学生初步经历了利用图形直观得出算法的过程，积累了一些经验，并尝试用数学语言描述这一过程。为本节利用面积算两次提供了基础。
阴影部分还能通过分割、剪、拼成什么图形再去验证呢？（引入“梯形”）
注意;
在此刻教学可以机动
（二）挑战完全平方公式
（三）实践、应用、拓展、提升
课件出示题目
情境思考
先独立思考，再小组讨论
第四环节：
实践应用
去年小张把一块边长为a(a>4)米的正方形土地租给了小李。
今年小张对小李说：“我把这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”
三维教学目标
1.了解乘法公式的几何背景，发展几何直观。
2.经历用”面积算两次”去证明乘法公式的过程，进一步发展符号意识和推理能力。
3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体会”转化”和“数形结合“的思想。
教学重点
体会整式乘法公式的几何背景，能证明和解决问题。
教学难点
用数学语言描述乘法公式的几何背景。
注意学生数学语言的培养，及课题时间的调控。
改进
措施
在平时的操作类型的课中，有意识地培养学生数学语言的表达能力，形成勇于发表见解的积极学习氛围。教师发挥好引导及帮扶的作用。
四、达标测评
1.学生思考，独立试做
2、集体交流
从“数”(计算，求面积，再比较)
“形”（画图，直观感知面积变小）两方面试做，体会“不会答应”的原因
五、学生反思及交流
学生畅所欲言，表达这节课的学习感受。
我学会了……
我感触最深的是……
值得我学习的同学是……
遇到的困难是……
六、了解作业
通过拼图、分割等，给出整式乘法公式的一个几何解释，对公式有一个直观的认识，发展几何直观。
如果你是小李，会答应吗？
第五环节：
归纳小结
组织学生小结这节课所学的内容，并作适当的补充。
第六环节：
布置作业。
(一).基础作业：
1、请利用图中所给的信息：选用其中一部分图形或所有图形，
利用组成图形的面积，
尝试写出等式。看谁写的又对又多。
(二).拓展作业：
试用直观的方法说明不等于，
其中a不等于0
一、学生回忆
通过设置问题,引导学生通过观察、操作、类比等感知。
操作性强又富有挑战性的数学活动，激发了学生学习的兴趣，
通过几何图形面积之间的数量关系对平方差公式做出几何解释。
体会数形结合的思想。
通过几何直观的方法，不仅使学生更清晰地“看”到公式的结构，同时感受这样的抽象代数运算也有直观的背景。
最后提出一个挑战性的问题，让学生更加急迫地要充实新知识解决未解决的问题