正态分布讲解(含标准表)

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知识讲解正态分布

知识讲解正态分布正态分布【学习⽬标】1.了解正态分布曲线的特点及曲线所表⽰的意义。

2.了解正态曲线与正态分布的性质。

【要点梳理】要点诠释：要点⼀、概率密度曲线与概率密度函数1．概念：对于连续型随机变量，位于轴上⽅，落在任⼀区间（a，b]内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的⾯积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做的概率密度曲线，以其作为图象的函数叫做的概率密度函数。

2、性质：①概率密度函数所取的每个值均是⾮负的。

②夹于概率密度的曲线与轴之间的“平⾯图形”的⾯积为1③的值等于由直线，与概率密度曲线、轴所围成的“平⾯图形”的⾯积。

要点⼆、正态分布1.正态变量的概率密度函数正态变量的概率密度函数表达式为：，（）其中x是随机变量的取值；µ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.2．正态分布（1）定义如果对于任何实数随机变量满⾜：，则称随机变量服从正态分布。

记为。

（2）正态分布的期望与⽅差若，则的期望与⽅差分别为：，。

要点诠释：（1）正态分布由参数和确定。

参数是均值，它是反映随机变量取值的平均⽔平的特征数，可⽤样本的均值去估计。

是标准差，它是衡量随机变量总体波动⼤⼩的特征数，可以⽤样本的标准差去估计。

（2）经验表明，⼀个随机变量如果是众多的、互不相⼲的、不分主次的偶然因素作⽤结果之和，它就服从或近似服从正态分布．在现实⽣活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某⼀地区同年龄⼈群的⾝⾼、体重、肺活量等；⼀定条件下⽣长的⼩麦的株⾼、穗长、单位⾯积产量等；正常⽣产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺⼨、纤维的纤度、电容器的电容量、电⼦管的使⽤寿命等）；某地每年七⽉份的平均⽓温、平均湿度、降⾬量等；⼀般都服从正态分布．要点三、正态曲线及其性质：1. 正态曲线如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

2．正态曲线的性质：①曲线位于轴上⽅，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在时达到峰值；④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边⽆限延伸时，以x轴为渐近线，向它⽆限靠近.⑤曲线与轴之间的⾯积为1；⑥决定曲线的位置和对称性；当⼀定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所⽰，曲线随着的变化⽽沿轴平移。

正态分布图制图步骤知识讲解

操作说明
1.统计数据个数；任意选个单元格，如B1，输入
count(A1:A10)；
2.求最大值；如B2中输入：max(A1:A10)
3.求最小值；如B3中输入：min(A1:A10)
4.求平均值；如B4中输入：average(A1:A10)
5.求标准偏差：如B5中输入：stdev(A1:A10)
6.获得数据区间；用最大值减最小值；如B6中输入：B3-B2
7.获得直方图个数；个数的开放加1
，如B7中输入：sqrt
（B1）+1
8.获得直方图组距；用区间除以(直方图个数-1)，如B8中输入B7/(B7-1)
下面就开始作图了：
1.任选个空单元格：如C列第一个单元格C1，令C1等于最小值，即输入=B3
2.在C2中输入=C1+$B$8 (最小值逐渐累加，绝对引用)
3.选中C2，然后向下拉，直到数据大于最大值就可以了；比如你拉到C5了。

4.统计频数，如在D1中输入frequency（A1:A10，C1:C5）确定，然后将选中D1到D5，将光标定位到公式栏，同时按住Ctrl+Shift+Enter
5.统计正态分布的数据，E1中输入normdist（C1，
$B$4,$B$5,0）回车；然后选中E1，下拉到E5。

概率分布正态化总结讲解

a
1 b
(
1
1)
b
0.5772

2
标准差
ab 23
x (e 2 1)e(2 2 )

1
ab
( 2 1) [( 1 1)]2
b
b
1 6

x
4 2
统计参数向分布参数的转化
第一章：为什么要研究随机变量的分布
目前概率论预测方法的应用已经遍及自然科学和社会科学的各个领域。从电子、航空、宇航、核能等尖端工业部门扩展到电机与电力系统、机械设备、动力、土木建筑、冶金、化工等部门。可靠性的应用也从复杂航天器的设计推广普及到日常生活中的机电产品设计之中,并贯穿于产品的开发研制、设计、制造、试验、使用、运输、保管及维修保养等各个环节。
第二章：常见的随机变量的分布类型
正态分布均匀分布指数分布对数正态分布极值分布（ Gumbel ）瑞利分布（Rayleigh）韦伯分布（ Weibull ）
正态分布概要
正态分布是在统计以及许多统计测试中最广泛应用的一类分布。在概率论中, 正态分布是几种连续分布和离散分布的极限分布。各种各样的心理学测试和物理现象都被发现近似地服从正态分布。
正态分布概要
由上图可以看出约68%的数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为 "68-95-99.7法则"或"经验法则".
关于非正态分布需要转化的一些说明
由于正态分布具有上述一些优良的特性，而且工程界的大多数参数都是服从正态分布的，因此在目前比较成熟的可靠性分析方法中，很多方法（改进一次二阶矩方法，一次、二次响应面法）往往都是针对正态分布展开的，因此我们对非正态分布变量需要采用当量正态化。具体方法将在第三章中详细介绍，为了能更好的理解各种分布类型的相关特性，对实验数据的获得提供相应参考，本章将对一些常见的非正态变量的分布类型分类进行简要阐述。

3.5正态分布

【课题】 3．5正态分布【教学目标】知识目标：理解正态分布的概念、会利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率．能力目标：学生的数学计算技能和数学思维能力得到提高．【教学重点】正态分布的概念．【教学难点】服从二项分布的随机变量的概率的计算．【教学设计】从统计中职学校学生的身高，画出频率分布直方图等学生已经掌握的知识入手，对直方图进行分析，直观地引入概率密度曲线与概率密度函数的概念． “ξ在区间(,)a b 内取值的概率恰好为图中阴影部分图形的面积”是非常重要的，它是后面计算的基础．研究正态曲线形状的时候，结合参数为,μσ的课件进行，帮助学生认识正态曲线的三个特征． 0,1μσ==的正态分布叫做标准正态分布，即~(0,1)N ξ．相应的曲线叫做标准正态分布曲线．利用图形，介绍标准正态分布的概率的关系式．例1、例2和例3都是利用“标准正态分布表”求概率的基本题．要注意合理选择公式与正确查“标准正态分布表”．这里都是近似计算，一般要求保留4个有效数字．正态随机变量在区间(2,2)μσμσ-+以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)μσμσ-+以外取值的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．例4就是应用这个原理来制定质量控制指标的题目．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】正正正图3－3概率密度曲线精确地反映了随机变量ξ在各个范围内取值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做ξ的概率密度函数．图3－4正态曲线具有以下性质（如图3－4所示）：=对称；（1）曲线在x轴的上方，并且关于直线xμ=时处于最高点，由这点此向左、右两边（2）曲线在xμ延伸时，曲线逐渐降低，呈现"中间高，两边低"的形状；（3）曲线的对称轴位置由μ的值确定，曲线形状由σ的值确定，σ越大，曲线越"矮胖"；σ越小，曲线越"高瘦"．图3－5设随机变量~(0,1)N ξ．由概率密度曲线的定义知道，任给区间（—∞，a ），()P a ξ<的值为图3－5中阴影部分的面()a b ξ<<的值为图3－6中阴影部分的面积．因此，图3－60x <）可以通过教材附录中“标准正态分布表”求出．表中与0x 相对应的值0()x φ就是随机变量ξ小于0x图3－7由此可知，00()1()x x φφ=--．图3－8由图中可以看出，正态随机变量在区间(2,μσμ-+以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)μσμσ-+以外取值的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能【教师教学后记】第3章概率与统计（教案）。

正态分布-讲义(学生版)

正态分布一、课堂目标1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．2．理解正态分布和标准正态分布的概念．3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．4．掌握正态分布的实际应用问题．二、知识讲解现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.1. 正态曲线知识精讲（1）正态曲线的概念如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和为参数）．显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的图像为正态密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的性质①曲线位于轴上方，与轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（）．巩固练习A.B.C.D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（）．2. 正态分布知识精讲（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若，则．若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积．（2）原则若，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间的概率越大，即集中在周围概率越大．特别有，①，②，③．由知，正态总体几乎总取值于区间之内．而在此区间以外取值的概率只有．，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．经典例题3.已知随机变量服从正态分布，若，则．4.设随机变量，则服从的总体分布可记为．巩固练习A.B.C.D.5.随机变量服从正态分布，且，则（）．A.B.C.D.6.设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为（）．，，，，经典例题（1）（2）7.已知随机变量，且正态分布密度函数在上是增函数，在上为减函数，．求参数，的值．求．A.人B.人 C.人D.人8.某校高三年级的名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布，则该年级学生数学成绩在分以上的学生人数大约为（）．（附数据：，）巩固复习A. B.C.D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则果实直径在内的概率为（）．附：若，则，．10.某市高二名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为，标准差为，成绩服从正态分布，则成绩在的人数为．参考数据：，，．经典例题11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能（1）（2）成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布，其中，分别为答题者的平均成绩和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求．（精确到）附：①，；②，则，；③，．12.年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．（1）12（2）频率组距竞赛成绩（分）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果四舍五入到整数）．若从所有参赛学生中(参赛学生数大于)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．附：若随机变量服从正态分布，则，，．巩固练习（1）（2）13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：质量指标值频率组距求这件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．12由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．利用该正态分布，求．已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值的定价为元；若为次品（质量指标值，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元．若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求．附：．若，则，．（1）12（2）14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取个零件，并测量其尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．假设生产状态正常，记表示一天内抽取的个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望．一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．试说明上述监控生产过程方法的合理性．下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，则，，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．3. 标准正态分布知识精讲若随机变量，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分布．标准正态分布的密度函数为，，其相应的密度曲线称为标准正态曲线．如图所示：由于标准正态总体在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，相应于的值是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部分所示．由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值的值，因此，如果，那么由下图根据面积相等知．知识点睛一般的正态分布均可以化成标准正态分布来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态分布来说，取值小于的概率．所以，可以利用公式可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．经典例题15.随机变量服从标准正态分布，如果，则．巩固练习16.设随机变量服从标准正态分布，在某项测量中，已知，则在内取值的概率为．A.B.C.D.17.已知随机变量，记，则下列结论不正确的是（）．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测18.已知随机变量服从正态分布，且，则．A.B.C.D.19.设两个正态分布和的密度曲线如图所示，则有（）．，，，，A. B.C.D.20.某小区有户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量在度以上的居民户数约为（）．（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，）21.11频率组距质量指标值（1）（2）从某企业的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图求这件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求；②某用户从该企业购买了件这种产品，记表示这件产品中质量指标值位于区间的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求．附：．若～，则，．。

第三节正态分布

第三节正态分布
主要内容：主要内容：一、正态分布概念二、正态分布的特点三、应用
一、正态分布概念
正态分布又称高斯分布，常态分布，是一种数据的波动规律的表达，主要反映了试验的随机误差。
强度分组为横坐标，以频数为纵坐标,绘成强度—频数直方图
12 10 8 6 4 2 0 18 20 22 24 26 3 7 5 2 10
应用
1．可疑数据的舍弃； A. 莱特准则（ 3σ 原则）：由于落在 (u3σ,u+3σ)的概率为99.73％，处在3σ之外的概率(即误差概率)仅为0.27％，接近0，对于常规一般仅进行几十次的测量，如处在3σ之外则说明属于随机误差，应剔除。由于次判据是建立在n趋向于无穷得基础上得，所以当n有限时，尤其是n较小时这一判据并不十分可靠。但是由于其使用方便，故常常被使用。
（一）正交设计的基本方法
试验设计包括三方面的内容： 1. 因素和水平选择 2. 误差控制：试验方案的制定 3. 数据处理：分析试验结果
一般来说,为保证结论的可靠性，在选取因素时应把所有影响较大的因素选入试验，某些因素之间可能还有交互作用，所谓交互作用，就是这些因素在同时改变水平时，其效果会超过单独改变某一因素水平时的效果。影响较大的因素还应包括那些单独变化水平时效果可能不太，大与其他因素同时变化时交互作用较大的因素，这样才能保证试验的代表性。因素变化越多越好，取值不能少于3个，这样才能看出曲线，看出其变化的趋势。某一因素取值变化的次数即水平数，为了减少试验次数，往往取两水平(现行工艺水平和新工艺水平)或三水平(低于现行工艺水平或理论值、现行工艺水平、高于现行工艺水平)。水平变化的范围不宜太大。
且从图12－2还可以看出，按趋势，增加水分与碾压料重、抗折强度，还有可能提高，因此还应扩大试验范围，试探其强度趋势。

条件概率、二项分布及正态分布(讲解部分)

考法二正态分布问题的解题方法
例2 (2018河北石家庄新华模拟,19)“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕,A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如下:
(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
∴E(X)=4×1 =2.
2
方法总结 1.对于正态分布N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知 (1)P(X≥μ)=P(X≤μ)=0.5; (2)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a); (3)P(X<x0)=1-P(X≥x0); (4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a). 2.服从N(μ,σ2)的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法: (1)利用P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值直接求; (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解.
(2)①由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),
利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率; ②将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列和数学期望. 附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ= 142.75 ≈11.95; 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 4. 解题导引

第10讲-指数分布、正态分布讲解

例15 设打一次电话所用的时间X ~e(1/10)(单位：min)，
如果某人刚好在你前面走进电话间，求你需等待10分钟
到20分钟之间的概率. 解 X 的密度函数为
f
x

1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10~20分钟 }
则
PB P10
X
20
(2) (1.25)
0.9772 0.8944 0.0828 .
引理2.1 若 X ~ N(, 2)，则 Z X ~ N (0,1)
证明 Z X μ的分布函数为 σ
P{Z

x}
P

X
σ
μ

x
P{ X

μ

σx}

1
μ σx
正态分布是概率论中最重要的分布
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．

P{X s P{X
t} s}

1 F(s t) 1 F(s)

e ( st ) es

et

P{X

t}
本定理描述了指数分布的重要性质：“无记忆性”
例16 已知某地在任何长为 t 周的时间内发生地震的次数 N( t ) ~ π(t), 求
(1)相邻两次地震的时间间隔 T 的概率分布;

离散型随机变量均值(正态分布)

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x=b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率： (1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业：书本第75页习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2σμN3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

正态分布完整课件

正态分布完整课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学六年级下册第117页至119页，主要学习了正态分布的概念及其图形表示。

通过本节课的学习，让学生能够理解正态分布的特点，学会绘制正态分布图，并能够运用正态分布解决实际问题。

二、教学目标1. 理解正态分布的概念，掌握正态分布图的绘制方法。

2. 能够运用正态分布解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。

三、教学难点与重点重点：正态分布的概念及其图形表示。

难点：正态分布图的绘制方法和在实际问题中的运用。

四、教具与学具准备教具：PPT、黑板、粉笔、正态分布图模板。

学具：笔记本、尺子、圆规、剪刀、彩笔。

五、教学过程1. 情景引入：教师通过展示一组身高数据，引导学生观察数据的分布情况，引发学生对分布图的兴趣。

2. 自主学习：学生自主阅读教材，了解正态分布的概念，并尝试绘制正态分布图。

3. 课堂讲解：教师通过PPT讲解正态分布的特点，演示正态分布图的绘制方法，并解释正态分布在实际生活中的应用。

4. 动手操作：学生分组合作，根据给定的数据绘制正态分布图，并交流分享绘制心得。

5. 例题讲解：教师通过PPT展示典型例题，讲解解题思路，引导学生运用正态分布解决实际问题。

6. 随堂练习：学生独立完成随堂练习题，巩固所学知识。

8. 课后作业：学生完成课后作业，进一步巩固正态分布的知识。

六、板书设计板书内容：正态分布的特点、正态分布图的绘制方法、正态分布的应用。

七、作业设计数据：一组学生的身高（单位：cm）：140, 145, 150, 155, 160, 165, 170, 175, 180。

答案：略答案：略八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课通过引导学生观察实际数据，激发学生对正态分布的兴趣。

在课堂讲解过程中，注意运用PPT和黑板辅助教学，使学生更好地理解正态分布的概念和图形表示。

同时，通过分组合作和动手操作，培养学生的团队协作能力和观察能力。

人教B版选修2-3高中数学2.4《正态分布》ppt课件1

单侧95%正常值范围： X 1.64S (上限)
X 1.64S （下限）
12
2. 百分位数法
双侧95%正常值范围： P2.5～P97.5 单侧95%正常值范围： < P95（上限）
或 > P5（下限）适用于偏态分布资料
13
第三节计数资料的统计描述
一、计数资料的数据整理二、常用相对数指标三、应用注意事项
如：治愈率、病死率、阳性率、人群患病率等
17
2.构成比（proportion）：
说明某一事物内部，各组成部分所占的比重。也叫百分比。
构成比=（某部分观察单位数/各组成部分观察单位总数）×100%
如：教研室16人高级职称有4人，占 25％;中级职称有8人，占50％;初级职称有4人，占25％。
18
正态曲线（normal curve）
2
二、正态曲线（ normal curve ）
f(X)

图形特点：
1. 钟型 2. 中间高 3. 两头低 4. 左右对称 5. 最高处对应
于X轴的值就是均数
X 6. 曲线下面积为1
7. 标准差决定曲线的形状
3
N (1,0.82 )
0.6 f (X )
0.5
22
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。

正态分布知识点总结正态分布运算法则正态分布μ和σ代表什么

正态分布知识点总结正态分布的定义：如果随机变量的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：xR，则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用来表示。

当=0，=1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。

叫标准正态曲线。

正态曲线xR的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=对称，且在x=两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=处达到最高点;(4)当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越矮胖，表示总体分布比较离散，越小，曲线越瘦高，表示总体分布比较集中。

在标准正态总体N(0，1)中：高中数学关于正态分布知识总结【2】二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，在相同条件下等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有恰好恰有字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k 的意义。

人教版高中数学第二章2.4正态分布

归纳升华
解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行
转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
[变式训练] 某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70，102)，如果规定低于 60 分为不及格，求：
归纳升华 1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1. 2．熟记 P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)， P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
3．注意概率值的求解转化：
(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
1－P（μ－b<X<μ＋b）
得 σ＝4.
故该正态分布的概率密度函数是 φμ，σ(x)＝4 12πe－ 3x22 ，
x∈(－∞，＋∞)．答案：φμ，σ(x)＝4 12πe－x322，x∈(－∞，＋∞)
类型 2 利用正态曲线的对称性求概率
[典例 2] 在一次测试中，测量结果 X 服从正态分布 N(2，σ 2)(σ＞0)，若 X 在(0，2)内取值的概率为 0.2，求：
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”

75正态分布课件

回归分析
用于研究变量之间的相关关系，通过建立回归方程来描述自变量和因变量之间的数量关系，并进行预测和控制。
正态分布在方差分析和回归分析中的应用
在方差分析中，正态分布假设是前提之一，用于判断实验结果的可靠性；在回归分析中，正态分布假设用于建立回归模型并进行参数估计和假设检验。
04 正态分布在概率论中作用
检验统计量与拒绝域根据样本数据计算检验统计量，并根据显著性水平和检验统计量的分布确定拒绝域。
3
P值与决策根据检验统计量的值和拒绝域计算P值，并根据P 值与显著性水平的比较做出决策。
方差分析与回归分析应用
方差分析
用于研究不同因素对实验结果的影响程度，通过比较不同组间的方差和组内方差来判断因素对实验结果是否有显著影响。
定理意义
中心极限定理揭示了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的规律，为统计学中的许多推断方法提供了理论基础。
正态分布与其他分布关系
正态分布与t分布关系
当总体服从正态分布且样本量n较大时，t分布近似于标准正态分布。因此，在实际应用中，当样本量足够大时，可以使用正态分布的方法对t分布进行近似处理。
关键知识点总结回顾
正态分布的定义和性质
01
正态分布是一种连续型概率分布，具有钟形曲线特点，其概率
密度函数由均值和标准差决定。
正态分布的参数估计
02
通过样本数据可以估计正态分布的均值和标准差，常用方法有
最大似然估计和矩估计。
正态分布的应用
03
正态分布在实际问题中广泛应用，如质量控制、假设检验、回
归分析等。
75正态分布课件
目录
பைடு நூலகம்
• 正态分布基本概念 • 正态分布性质与定理 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在概率论中作用 • 正态分布在实际问题中运用 • 正态分布课件总结回顾与拓展延伸

正态分布(一) 【完整版】

课题：正态分布(一)〖教学目标〗(1)深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.(2)理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.(3)能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.(4)会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.(5)会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.〖教学重点〗正态分布的意义,正态分布的主要性质.〖教学难点〗正态分布的意义及性质,标准正态总体,标准正态曲线的概念.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1．复习提问(1)运用多媒体画出(图1－3)频率分布直方图．(2)当n由100增至200时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．[来源:通过实例，说明正态分布(密度)是最基本、最重要的一种分布．如学生的学习成绩、气象中的平均气温、平均湿度等等，都服从或近似地服从正态分布．二、讲解新课1．正态分布与正态曲线(1) 总体密度曲线可以用一个函数()y f x =的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数与它相近似(2) 如果随机变量ξ的概率密度为()f x =22()22x e μσπσ--(,,x R μσ∈为常数，且σ0>)，称ξ服从参数为,μσ的正态分布,用ξ～()2,N μσ表示,()f x 的表达式可简记为()2,N μσ,它的密度曲线简称为正态曲线.其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差例1 下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ． (1)22()2x f x π-=(2)2(1)8()2x f x π--=(3)22(1)()x f x π-+=(答案：μ＝0，σ＝1；μ＝1，σ＝2；μ＝－1，σ＝2．正态曲线的性质通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、且关于某条直线对称.结合正态曲线，归纳其以下性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．[来源:曲线关于直线x ＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x＜μ时，曲线上升(增函数)；当x＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．(5)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”，总体分布越集中；五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．例2正态总体的函数表示式是22(1) ()xf xπ-+=,(1)求f(x)的最大值．(2)利用指数函数性质说明其单调区间，以及曲线的对称轴．3.标准正态分布与标准正态分布表(1)当μ＝0、σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是22()2xf xπ-=（-∞＜x＜+∞）,记作ξ～(0,1)N.其相应的曲线称为标准正态曲线．标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．(2)标准正态分布的分布函数.若ξ～(0,1)N ,则ξ的分布函数通常用()x Φ表示,且有()x Φ=()P x ξ≤.对于一切0x ≥,()x Φ的值可在标准正态分布表中查到;对于0x <的()x Φ的值,可用()x Φ=1-()x Φ-求出.(3)()P a b ξ<≤的计算.若ξ～(0,1)N ,则()P a b ξ<≤=()()b a Φ-Φ,即通过查标准正态分布表中,x a x b ==时的()x Φ的值,可计算概率()P a b ξ<≤.三.练习[来源:面练习1.习题1.四.小结五.课后作业〖教学反思〗正态分布问题解决的两个途径：(1) 正态分布←正态曲线[来源:正态分布←标准正态总体←标准正态曲线注意μ和σ的几何意义是解决问题的一个重要环节. 研究正态曲线要注意各区间面积的求法及其意义.。

正态分布讲解（含标准表）

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x ex 式中的实数、)0(是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b ，随机变量X 满足,()()b aP aXB x dx ,则称X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作),(2N ．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～),(2N .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2N ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f ，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22xex f x（２）),(,221)(8)1(2xex f x （３）22(1)2(),(,)2x f x ex 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p 有11)2()1()2(p=1)1()2(=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x 是总体取值小于0x 的概率，即)()(00x xP x ，其中00x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P xx 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00x 时，)(1)(00x x ；而当00x 时，Φ（0）=0.52.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于x 的值)(0x 是指总体取值小于x 的概率，即)()(00x xP x ，)0(0x ．若00x ，则)(1)(00x x ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x，2x x 与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x xx x x ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(xx F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可在这里重点掌握如何转化首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=(1.2)-(-2.32)=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝)(＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2N 取值的概率：68.3%2σx95.4%4σ99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(xex f x ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(f ＝21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的其密度函数可写成：22()21(),(,)2xf x ex ，（σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的常把它记为),(2N 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。

正态分布说课课件

四、教学方法分析
教学问题1
如何引导学生理解正态分布？
教学如何引导学生了解正态分布的特征？问题2 启发引导法：引导学生观察正态曲线和动图展示，了解σ和μ的实际意义
如何引导学生建立正态分布模型解决问题？教学问题3
五、教学过程分析
提创出问设题情境引入新课
高斯：正态分布
提问出问题题探究新课讲解
设计意图：通过数学史的介绍，提升学生对本节课的兴趣
复第二习环旧节知：问题探究、新课讲解
前面学习了离散型随机变量，那么，对于连续型随机变量我们该如何研究呢？
问题1：(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
追问：随着样本数据量增大，分组越来越多，组距越来越小，得到的图形有什么特征？
设计意图：通过对动画的展示，让学生感悟参数μ和σ对正态曲线的影响，以及结合离散型随机变量的研究，了解μ和σ的实际意义
问题4：观察正态分布曲线我们可以知道，是一个对称图形，那么下面我们来看一下特殊区间内的概率
若X ~ N (, 2 ),则
3 原则
P( X ) 0.6827;
P( 2 X 2 ) 0.9545;
问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?
追问正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
设计意图：通过问题2和追问，让学生发现并总结正态曲线的性质，提升学生逻辑推理和数学直观想象核心素养
第三环节：问题思考，性质探究
问题3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?μ和σ的意义是什么？
7.5 正态分布
CONTENTS

标准正态分布

标准正态分布标准正态分布是统计学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

正态分布又称为高斯分布，是一种连续的概率分布，其曲线呈钟形，因此也被称为钟形曲线。

在标准正态分布中，均值为0，标准差为1，这使得它具有许多重要的性质和特点。

本文将对标准正态分布的定义、性质以及应用进行详细的介绍。

首先，让我们来了解一下标准正态分布的定义。

标准正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。

其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，e表示自然对数的底，π表示圆周率。

这个概率密度函数描述了标准正态分布曲线的形状，而其均值为0，标准差为1。

标准正态分布的曲线呈对称的钟形，且在均值处达到最大值，随着离均值的距离增大，曲线逐渐下降。

这种特殊的形状使得标准正态分布在统计学中有着重要的地位。

其次，我们来探讨一下标准正态分布的性质。

标准正态分布有许多重要的性质，其中最著名的就是68-95-99.7法则。

根据这一法则，约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。

这一法则为我们在实际应用中提供了重要的参考依据。

此外，标准正态分布还具有线性变换不变性和独立性等重要性质，这些性质使得标准正态分布在统计推断中有着广泛的应用。

最后，让我们来看一下标准正态分布的应用。

标准正态分布广泛应用于各个领域，例如自然科学、社会科学、工程技术等。

在实际应用中，我们经常需要对数据进行标准化处理，以便进行统计推断和分析。

标准正态分布还在假设检验、置信区间估计、回归分析等统计方法中发挥着重要的作用。

此外，标准正态分布还在金融领域的风险管理、医学领域的疾病诊断等方面有着重要的应用价值。

综上所述，标准正态分布作为统计学中的重要概念，具有着重要的理论和应用价值。

通过对标准正态分布的定义、性质和应用的介绍，我们对这一概念有了更深入的了解，相信在实际应用中能够更加灵活地运用标准正态分布进行数据分析和统计推断。