中考数学真题分类汇编(第三期)专题28 解直角三角形试题(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
专题28 解直角三角形(58题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编

专题28解直角三角形(58题)一、单选题1.(2024·吉林长春·中考真题)2024年5月29日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A 时,位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米,仰角为θ,则此时火箭距海平面的高度AL 为()A .sin a θ千米B .sin aθ千米C .cos a θ千米D .cos aθ千米2.(2024·天津·2cos451- 的值等于()A .0B .1C .212-D 213.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图,在ABC 中,5AB AC ==,4sin 5B =,则BC 的长是()A .3B .6C .8D .94.(2024·四川自贡·中考真题)如图,等边ABC 钢架的立柱CD AB ⊥于点D ,AB 长12m .现将钢架立柱缩短成DE ,60BED ∠=︒.则新钢架减少用钢()A .(243m-B .(243m-C .(2463m-D .(243m-5.(2024·四川德阳·中考真题)某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD 的高度,在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB ,小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒,在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒.(AB CD 、在同一平面内,B D 、在同一水平面上),则建筑物CD 的高为()米A .20B .15C .12D .10+6.(2024·广东深圳·中考真题)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒,小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒,则电子厂AB 的高度为()(参考数据:sin 5345︒≈,cos5335︒≈,tan 5343︒≈)A .22.7mB .22.4mC .21.2mD .23.0m7.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,,E F 是边BC 上两点,且BE EF FC ==,连接,,DE AF DE 与AF 相交于点G ,连接BG .若4AB =,6BC =,则sin GBF ∠的值为()A .10B .10C .13D .238.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,菱形ABCD 中,点O 是BD 的中点,AM BC ⊥,垂足为M ,AM 交BD 于点N ,2OM =,8BD =,则MN 的长为()A 5B 455C 355D 259.(2024·四川乐山·中考真题)如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,1AB =,点P 是BC 边上一个动点,在BC 延长线上找一点Q ,使得点P 和点Q 关于点C 对称,连接DP AQ 、交于点M .当点P 从B 点运动到C 点时,点M 的运动路径长为()A .36B 33C 32D 310.(2024·山东泰安·中考真题)如图,菱形ABCD 中,=60B ∠︒,点E 是AB 边上的点,4AE =,8BE =,点F 是BC 上的一点,EGF △是以点G 为直角顶点,EFG ∠为30︒角的直角三角形,连结AG .当点F 在直线BC 上运动时,线段AG 的最小值是()A .2B .432-C .23D .411.(2024·四川泸州·512-的美感.如图,把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折,点B 落在点B '处,AB '交CD 于点E ,则sin DAE ∠的值为()A 55B .12C .35D 25512.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)如图,在正方形ABCD 中,点H 在AD 边上(不与点A 、D 重合),90BHF ∠=︒,HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ,连接AC 交BH 于点M ,连接BF 交AC 于点G ,交CD 于点N ,连接BD .则下列结论:①45HBF ∠=︒;②点G 是BF 的中点;③若点H 是AD 的中点,则sinNBC ∠BN =;⑤若12AH D H =,则112BND AHM S S =△△,其中正确的结论是()A .①②③④B .①③⑤C .①②④⑤D .①②③④⑤二、填空题13.(2024·黑龙江绥化·中考真题)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒,测得底部点B 的俯角为45︒,点A 与楼BC 的水平距离50m AD =,则这栋楼的高度为m (结果保留根号).14.(2024·内蒙古赤峰·中考真题)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB 的高度.如图,点C 处与古树底部A 处在同一水平面上,且10AC =米,无人机从C 处竖直上升到达D 处,测得古树顶部B 的俯角为45︒,古树底部A 的俯角为65︒,则古树AB 的高度约为米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 650.906︒≈,cos 650.423︒≈,tan 65 2.145︒≈).15.(2024·湖北武汉·中考真题)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点,享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中,某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处,测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒,底端B 的俯角为63︒,则测得黄鹤楼的高度是m .(参考数据:tan632︒≈)16.(2024·四川内江·中考真题)如图,在矩形ABCD 中,3AB =,5AD =,点E 在DC 上,将矩形ABCD 沿AE 折叠,点D 恰好落在BC 边上的点F 处,那么tan ∠=EFC .17.(2024·江苏盐城·中考真题)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升距地面30m 的点P 处,测得教学楼底端点A 的俯角为37︒,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m 至点Q 处,测得教学楼顶端点B 的俯角为45︒,则教学楼AB 的高度约为m .(精确到1m ,参考数据:sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈)18.(2024·北京·中考真题)如图,在正方形ABCD 中,点E 在AB 上,AF D E ⊥于点F ,CG DE ⊥于点G .若5AD =,CG 4=,则AEF △的面积为.19.(2024·甘肃临夏·中考真题)如图,对折边长为2的正方形纸片ABCD ,OM 为折痕,以点O 为圆心,OM 为半径作弧,分别交AD ,BC 于E ,F 两点,则 EF的长度为(结果保留π).20.(2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题)如图,数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时,发现了如“花朵”形的美丽图案,他们将等腰三角形OBC 置于平面直角坐标系中,点O 的坐标为(00),,点B 的坐标为(1)0,,点C 在第一象限,120OBC ∠=︒.将OBC △沿x 轴正方向作无滑动滚动,使它的三边依次与x 轴重合,第一次滚动后,点O 的对应点为O ',点C 的对应点为C ',OC 与O C ''的交点为1A ,称点1A 为第一个“花朵”的花心,点2A 为第二个“花朵”的花心;……;按此规律,OBC △滚动2024次后停止滚动,则最后一个“花朵”的花心的坐标为.21.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)矩形ABCD 中,3AB =,4BC =,将AB 沿过点A 的一条直线折叠,折痕交直线BC 于点P (点P 不与点B 重合),点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上,则PC 长为.22.(2024·山东泰安·中考真题)在综合实践课上,数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度,他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机,如图,无人机在河上方距水面高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为50︒,测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6︒,已知瞭望台BC 高12米(图中点A ,B ,C ,P 在同一平面内),那么大汶河此河段的宽AB 为米.(参考数据:3sin 405︒≈,9sin 63.610︒≈,6tan 505︒≈,tan 63.62︒≈)23.(2024·四川达州·中考真题)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒.点D 在线段BC 上,45BAD ∠=︒.若4AC =,1CD =,则ABC 的面积是.24.(2024·贵州·中考真题)如图,在菱形ABCD 中,点E ,F 分别是BC ,CD 的中点,连接AE ,AF .若4sin 5EAF ∠=,5AE =,则AB 的长为.25.(2024·广东深圳·中考真题)如图,在ABC 中,AB BC =,5tan 12B ∠=,D 为BC 上一点,且满足85BD CD =,过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ,则CEAC=.26.(2024·黑龙江绥化·中考真题)在矩形ABCD 中,4cm AB =,8cm BC =,点E 在直线AD 上,且2cm DE =,则点E 到矩形对角线所在直线的距离是cm .三、解答题27.(2024·内蒙古通辽·0322sin60(π)-+︒--.28.(2024·四川甘孜·中考真题)如图,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东37︒方向,距离灯塔100海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P 的南偏东45︒方向上的B 处.这时,B 处距离A 处有多远?(参考数据:sin 370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan 370.75︒≈)29.(2024·北京·中考真题)计算:()0582sin 302π-︒+-30.(2024·湖南长沙·中考真题)计算:()011(32cos 30π 6.84-+-︒-.31.(2024·广东深圳·中考真题)计算:()112cos 45 3.14124π-⎛⎫-⋅︒+-++ ⎪⎝⎭.32.(2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题)先化简,再求值:22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭,其中cos60m =︒.33.(2024·吉林·中考真题)图①中的吉林省广播电视塔,又称“吉塔”.某直升飞机于空中A 处探测到吉塔,此时飞行高度873m AB =,如图②,从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒,看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒,求吉塔的高度CD (结果精确到0.1m ).(参考数据:sin 370.60︒=,cos370.80︒=,tan 370.75︒=)34.(2024·青海·018tan 452π︒+--.35.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)计算:301tan6032(π2024)2-⎛⎫--+︒-+- ⎪⎝⎭.36.(2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,无人机在离地面40米的D 处,测得操控者A 的俯角为30︒,测得楼BC 楼顶C 处的俯角为45︒,又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC 之间的水平距离是80米,则楼BC 的高度是多少米?(点A B C D ,,,都3 1.7≈)37.(2024·内蒙古通辽·中考真题)在“综合与实践”活动课上,活动小组测量一棵杨树的高度.如图,从C 点测得杨树底端B 点的仰角是30︒,BC 长6米,在距离C 点4米处的D 点测得杨树顶端A 点的仰角为45︒,求杨树AB 的高度(精确到0.1米,AB ,BC ,CD 在同一平面内,点C ,D 在同一水平线上.参考数据:3 1.73)≈.38.(2024·湖南·中考真题)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形ABCD ,其示意图如下:测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ,使得点C ,B ,E 在同一条直线上;②过点E 作GH CE ⊥,并沿EH 方向前进到点F ,用皮尺测得EF 的长为4米;③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒,45BFG ∠=︒,21.8AFG ∠=︒;④用计算器计算得:sin60.30.87︒≈,cos60.30.50︒≈,tan60.3 1.75︒≈.sin21.80.37︒≈,cos21.80.93︒≈,tan21.80.40︒≈.请根据表格中提供的信息,解决下列问题(结果保留整数):(1)求线段CE 和BC 的长度:(2)求底座的底面ABCD 的面积.39.(2024·贵州·中考真题)综合与实践:小星学习解直角三角形知识后,结合光的折射规律进行了如下综合性学习.【实验操作】第一步:将长方体空水槽放置在水平桌面上,一束光线从水槽边沿A 处投射到底部B 处,入射光线与水槽内壁AC 的夹角为A ∠;第二步:向水槽注水,水面上升到AC 的中点E 处时,停止注水.(直线NN '为法线,AO 为入射光线,OD 为折射光线.)【测量数据】如图,点A ,B ,C ,D ,E ,F ,O ,N ,N '在同一平面内,测得20cm AC =,45A ∠=︒,折射角32DON ∠=︒.【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据,解答下列问题:(1)求BC 的长;(2)求B ,D 之间的距离(结果精确到0.1cm ).(参考数据:sin 320.52︒≈,cos320.84︒≈,tan 320.62︒≈)40.(2024·河南·中考真题)如图1,塑像AB 在底座BC 上,点D 是人眼所在的位置.当点B 高于人的水平视线DE 时,由远及近看塑像,会在某处感觉看到的塑像最大,此时视角最大.数学家研究发现:当经过A ,B 两点的圆与水平视线DE 相切时(如图2),在切点P 处感觉看到的塑像最大,此时APB ∠为最大视角.(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠.(2)经测量,最大视角APB ∠为30︒,在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒,点P 到塑像的水平距离PH 为6m .求塑像AB 的高(结果精确到0.1m 3 1.73≈).41.(2024·天津·中考真题)综合与实践活动中,要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度(如图①).某学习小组设计了一个方案:如图②,点,,C D E 依次在同一条水平直线上,36m,DE EC AB =⊥,垂足为C .在D 处测得桥塔顶部B 的仰角(CDB ∠)为45︒,测得桥塔底部A 的俯角(CDA ∠)为6︒,又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角(CEB ∠)为31︒.(1)求线段CD 的长(结果取整数);(2)求桥塔AB 的高度(结果取整数).参考数据:tan310.6,tan60.1︒≈︒≈.42.(2024·四川乐山·中考真题)我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》,其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的:平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?词写得很优美,翻译成现代汉语的大意是:有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推进10尺(5尺为一步),秋千的踏板就和某人一样高,这个人的身高为5尺.(假设秋千的绳索拉的很直)(1)如图1,请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度;(2)如图2,将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放,秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA '',两次位置的高度差PQ h =.根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度?如果能,请用含α、β和h 的式子表示;如果不能,请说明理由.43.(2024·山东·中考真题)【实践课题】测量湖边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点B .测量A ,B 两点间的距离以及∠PAB 和PBA ∠,测量三次取平均值,得到数据:60AB =米,79PAB ∠=︒,64PBA ∠=︒.画出示意图,如图【问题解决】(1)计算A ,P 两点间的距离.(参考数据:sin640.90︒≈,sin790.98︒≈,cos790.19︒≈,sin370.60︒≈,tan370.75︒≈)【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:如图2,选择合适的点D ,E ,F ,使得A ,D ,E 在同一条直线上,且AD DE =,DEF DAP ∠=∠,当F ,D ,P 在同一条直线上时,只需测量EF 即可.(2)乙小组的方案用到了________.(填写正确答案的序号)①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.44.(2024·北京·中考真题)如图,在四边形ABCD 中,E 是AB 的中点,DB ,CE 交于点F ,DF FB =,AF DC .(1)求证:四边形AFCD 为平行四边形;(2)若90EFB ∠=︒,tan 3FEB ∠=,1EF =,求BC 的长.45.(2024·甘肃临夏·中考真题)乾元塔(图1)位于临夏州临夏市的北山公园内,共九级,为砼框架式结构,造型独特别致,远可眺太子山露骨风月,近可收临夏市城建全貌,巍巍峨峨,傲立苍穹.某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后,开展了测量乾元塔高度AB 的实践活动.A 为乾元塔的顶端,AB BC ⊥,点C ,D 在点B 的正东方向,在C 点用高度为1.6米的测角仪(即 1.6CE =米)测得A 点仰角为37︒,向西平移14.5米至点D ,测得A 点仰角为45︒,请根据测量数据,求乾元塔的高度AB .(结果保留整数,参考数据:sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan370.75︒≈)46.(2024·安徽·中考真题)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点B 处发出,经水面点E 折射到池底点A 处.已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒,点B 到水面的距离 1.20BC =m ,点A 处水深为1.20m ,到池壁的水平距离 2.50m AD =,点B C D ,,在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β,折射角为γ,求sin sin βγ的值(精确到0.1,参考数据:sin 36.90.60︒≈,cos36.90.80︒≈,tan 36.90.75︒≈).47.(2024·浙江·中考真题)如图,在ABC 中,AD BC ⊥,AE 是BC 边上的中线,10,6,tan 1AB AD ACB ==∠=.(1)求BC 的长;(2)求sin DAE ∠的值.48.(2024·甘肃·中考真题)习近平总书记于2021年指出,中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH 垂直于地面,测角仪CD ,EF 在AH 两侧, 1.6m CD EF ==,点C 与点E 相距182m (点C ,H ,E 在同一条直线上),在D 处测得简尖顶点A 的仰角为45︒,在F 处测得筒尖顶点A 的仰角为53︒.求风电塔筒AH 的高度.(参考数据:sin 5345︒≈,cos5335︒≈,tan 5343︒≈.)49.(2024·河北·中考真题)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离4m BQ =,仰角为α;淇淇向前走了3m 后到达点D ,透过点P 恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ 的距离 1.6m ==AB CD ,点P 到BQ 的距离 2.6m PQ =,AC 的延长线交PQ 于点E .(注:图中所有点均在同一平面)(1)求β的大小及tan α的值;(2)求CP 的长及sin APC ∠的值.50.(2024·四川广元·中考真题)计算:()2012024π32tan 602-⎛⎫-++︒- ⎪⎝⎭.51.(2024·四川广元·中考真题)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sin sin αβ叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征.(1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且7cos 4α=30β=︒,求该介质的折射率;(2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A ,B ,C ,D 分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形2121A D D A 对角线交点O 处射入,其折射光线恰好从点C 处射出.如图②,已知60α=︒,10cm CD =,求截面ABCD 的面积.52.(2024·内蒙古包头·中考真题)如图,学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB 的高度”的实践活动.教学楼周围是开阔平整的地面,可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离;测角仪的功能是测量角的大小).(1)请你设计测量教学楼AB 的高度的方案,方案包括画出测量平面图,把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用,m n 等表示,测出的角用,αβ等表示),并对设计进行说明;(2)根据你测量的数据,计算教学楼AB 的高度(用字母表示).53.(2024·甘肃·中考真题)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知O 和圆上一点M .作法如下:①以点M 为圆心,OM 长为半径,作弧交O 于A ,B 两点;②延长MO 交O 于点C ;即点A ,B ,C 将O 的圆周三等分.(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O 的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法);(2)根据(1)画出的图形,连接AB ,AC ,BC ,若O 的半径为2cm ,则ABC 的周长为______cm .54.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC ,对垂直于地面CD 的建筑物AD 的高度进行测量,BC CD ⊥于点C .在B 处测得A 的仰角=45ABE ∠︒,然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG 处,FG CD ⊥于点G ,测得A 的仰角58AFE ∠=︒,BF 的延长线交AD 于点E ,求建筑物AD 的高度(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈)55.(2024·广东·中考真题)中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求,某小区增设了充电站,如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图,矩形ABCD 是其中一个停车位.经测量,60ABQ ∠=︒, 5.4m AB =, 1.6m CE =,GH CD ⊥,GH 是另一个车位的宽,所有车位的长宽相同,按图示并列划定.根据以上信息回答下列问题:(结果精确到0.1m 3 1.73≈)(1)求PQ 的长;(2)该充电站有20个停车位,求PN 的长.56.(2024·广东广州·中考真题)2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图,该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点,再垂直下降到着陆点C ,从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒,17AD =米,10BD =米.(1)求CD 的长;(2)若模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点,求模拟装置从A 点下降到B 点的时间.(参考数据:sin 36.870.60︒≈,cos36.870.80︒≈,tan 36.870.75︒≈)57.(2024·青海·中考真题)如图,某种摄像头识别到最远点A 的俯角α是17︒,识别到最近点B 的俯角β是45︒,该摄像头安装在距地面5m 的点C 处,求最远点与最近点之间的距离AB (结果取整数,参考数据:sin170.29︒≈,cos170.96︒≈,tan170.31︒≈).58.(2024·陕西·中考真题)问题提出(1)如图1,在ABC 中,15AB =,30C ∠=︒,作ABC 的外接圆O .则 ACB 的长为________;(结果保留π)问题解决(2)如图2所示,道路AB 的一侧是湿地.某生态研究所在湿地上建有观测点D ,E ,C ,线段AD AC ,和BC 为观测步道,其中点A 和点B 为观测步道出入口,已知点E 在AC 上,且AE EC =,60DAB ∠=︒,120ABC ∠=︒,1200m AB =,900m AD BC ==,现要在湿地上修建一个新观测点P ,使60DPC ∠=︒.再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ,并修通三条新步道PF PD PC ,,,使新步道PF 经过观测点E ,并将五边形ABCPD 的面积平分.请问:是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在,求此时PF 的长;若不存在,请说明理由.(点A ,B ,C ,P ,D 在同一平面内,道路AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计,结果保留根号)。
人教版九年级数学下第28章 解直角三角形专题复习讲义设计(含答案)

解直角三角形 专题复习讲义中考考点梳理一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =c ,BC =a ,AC =b正弦:sinA =∠A 的对边斜边=a c余弦:cos A =∠A 的邻边斜边=b c余切:tanA =∠A 的对边∠A的邻边=a b二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中,∠C =90°,则:(1)三边关系:a 2+b 2=c 2;(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°;(3)边与角关系:sinA =cos B =a c ,cos A =sinB =b c ,tanA =a b;(4)sin2A+cos2A=1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角:仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角俯角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i=________坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tanα坡度越大,α角越大,坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】如图,PA,PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA,PB于C,D.若⊙O的半径为r,△PCD 的周长等于3r,则tan∠APB的值是()A.51312B.125C.3135D.2133【答案】B.在Rt △PBF 和Rt △OAF 中,FAO FBP OFA PFB∠=∠∠=∠⎧⎨⎩, ∴Rt △PBF ∽Rt △OAF .∴2332AF AO r FB BP r ===, ∴AF=23FB , 在Rt △FBP 中,∵PF 2-PB 2=FB 2∴(PA+AF )2-PB 2=FB 2 ∴(32r+23BF )2-(32r )2=BF 2, 解得BF=185r ,∴tan∠APB=18125352rBFPB r==,故选:B.考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义.【点睛】本题主要考查了切线的性质,相似三角形及三角函数的定义,解决本题的关键是切线与相似三角形相结合,找准线段及角的关系.【举一反三】如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是()A.B.1 C.D.2【答案】D.考点:相似三角形的判定及性质;勾股定理.二、锐角三角函数的计算【例2】在△ABC 中,若|cosA-12|+(1-tanB )2=0,则∠C 的度数是( ) A .45° B .60° C .75° D .105°【答案】考点:特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方;三角形内角和定理.【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算,往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合.此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性,属于基础题,关键是熟记一些特殊角的三角形函数值,也要注意运用三角形的内角和定理.【举一反三】下列式子错误的是( )A .cos40°=sin50° B.tan15°•tan75°=1C .sin 225°+cos 225°=1 D.sin60°=2sin30°【答案】D .【解析】试题分析:选项A ,sin40°=sin (90°﹣50°)=cos50°,式子正确;选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1,式子正确;选项C ,sin 225°+cos 225°=1正确;选项D ,sin60°=23,sin30°=21,则sin60°=2sin30°错误.故答案选D .考点:互余两角三角函数的关系;同角三角函数的关系;特殊角的三角函数值.三、解直角三角形【例3】在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,∠C=45°,sinB=13,AD=1.求BC 的长.【答案】22+1.考点:解直角三角形;勾股定理.【点睛】本题考查了三角形的高的定义,勾股定理,解直角三角形,难度中等,分别解Rt △ADB 与Rt △ADC ,得出2,DC=1是解题的关键.将三角形转化为直角三角形时,注意尽量不要破坏所给条件.【举一反三】如图,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为( )21.A 55.B 1010.C 552.D【答案】B.考点:锐角三角函数函数;三角形面积公式;勾股定理.考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】如图,在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N 有20km.以轮船以36km/h的速度航行,上午10:00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向,上午10:40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向,且与灯塔C相距12km.(1)若轮船照此速度与航向航向,何时到达海岸线?(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由.(参考数据:≈1.4,≈1.7)【答案】(1)轮船照此速度与航向航向,上午11::00到达海岸线;(2)轮船不改变航向,轮船可以停靠在码头,理由详见解析.【解析】试题分析:(1)延长AB交海岸线l于点D,过点B作BE⊥海岸线l于点E,过点A作AF⊥l于F,易证△ABC是直角三角形,再证明∠BAC=30°,再求出BD的长即可解决问题.(2)在RT△BEC中,求出CD的长度,和CN、CM比较即可解决问题.试题解析:(1)延长AB交海岸线l于点D,过点B作BE⊥海岸线l于点E,过点A作AF⊥l于F,如图所示.考点:解直角三角形的应用.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解方位角角的定义,及勾股定理的表达式,要注意根据题意构造直角三角形,并解直角三角形;注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.【举一反三】如图,小东在教学楼距地面9米高的窗口C处,测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°,旗杆底部B 点的俯角为45°.升旗时,国旗上端悬挂在距地面2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sian37°=0.60, cos37°=0.80,tan37°=0.75)【答案】国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.考点:解直角三角形的应用.课后自测小练习1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是()A. B.4 C.83 D.43【答案】D.考点:解直角三角形.2. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=54,AC=6cm ,则BC 的长度为( ) A .6cm B .7cm C .8cm D .9cm【答案】C .【解析】试题分析:已知sinA=AB BC =54,设BC=4x ,AB=5x ,又因AC 2+BC 2=AB 2,即62+(4x )2=(5x )2,解得:x=2或x=﹣2(舍),所以BC=4x=8cm ,故答案选C .考点:解直角三角形.3.如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°,测角仪高AD 为1m ,则旗杆高BC 为 m (结果保留根号)【答案】103+1.考点:解直角三角形的应用.4. 如图,长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD 为45°,则调整后的楼梯AC 的长为( )A .23mB .26mC .(23﹣2)mD .(26﹣2)m【答案】B.【解析】试题分析:在Rt △ABD 中,∠D=90°,∵sin ∠ABD=ADAB,∴AD=4sin60°=23(m ),在Rt △ACD 中,∠D=90°,∵sin ∠ACD=ADAC ,∴AC=6245sin 32=︒(m ).故选B. 考点:解直角三角形的应用.5. 如图,若点A 的坐标为)3,1(,则sin∠1= .【答案】23.考点:1三角函数;2坐标与图形性质.6. 一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处,沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处,则该船行驶的速度为 海里/小时.【答案】334040+. 【解析】试题分析:设该船行驶的速度为x 海里/时,3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处,由题意得:AB=80海里,BC=3x 海里,在Rt △ABQ 中,∠BAQ=60°,∴∠B=90°﹣60°=30°,∴AQ=21AB=40,BQ=3AQ=403, 在Rt △AQC 中,∠CAQ=45°,∴CQ=AQ=40,∴BC=40+403=3x ,解得:334040+=x .即该船行驶的速度为334040+海里/时.考点:解直角三角形的应用.7. 如图,测量河宽AB (假设河的两岸平行),在C 点测得∠ACB=30°,D 点测得∠ADB=60°,又CD=60m ,则河宽AB 为 m (结果保留根号).【答案】30 3.考点:解直角三角形的应用.8. 如图,一山坡的坡度为i=1:,小辰从山脚A 出发,沿山坡向上走了200米到达点B ,则小辰上升了米.【答案】100.【解析】试题分析:根据坡比的定义可得tan ∠A=3331==AC BC ,即可得∠A=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系可得BC=21AB=21×200=100m . 考点:解直角三角形的应用.9. 如图,为测量一座山峰CF 的高度,将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段,每一段山坡近似是“直”的,测得坡长800=AB 米,200=BC 米,坡角︒=∠30BAF ,︒=∠45CBE .(1)求AB 段山坡的高度EF ;(2)求山峰的高度CF .(414.12≈,CF 结果精确到米)A B CF E【答案】(1)400;(2)541.考点:解直角三角形的应用.10. 为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。
九年级数学下册《第二十八章 解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版
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九年级数学下册《第二十八章解直角三角形及其应用》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名:___________考号:____________一、单选题1.图,在Rt△ABC中△ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,过点E作EF⊥AB交AC于点F,若BC=4,sin△CEF= 3,则△AEF的面积为()5A.3B.4C.5D.62.小丽在小华北偏东40°的方向,则小华在小丽的()A.南偏西50°B.北偏西50°C.南偏西40°D.北偏西40°3.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15︒,B处的心角为60︒,若斜面坡度为,则斜面AB的长是()米.A.B.C.D.4.如图,某渔船正在海上P处捕鱼,先向北偏东30°的方向航行10km到A处.然后右转40°再航行到B处,在点A的正南方向,点P的正东方向的C处有一条船,也计划驶往B处,那么它的航向是()A .北偏东20°B .北偏东30°C .北偏东35°D .北偏东40°5.如图,某建筑物的顶部有一块宣传牌CD .小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°,沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的仰角为45°,已知斜坡AB 的坡角为30°,10AB =米,15AE =米,则宣传牌CD 的高度是( )米A .20-B .20+C .15+D .56.如图,已知正六边形ABCDEF 内接于半径为r 的O ,随机地往O 内投一粒米,落在正六边形内的概率为( )A B C D .以上答案都不对7.如图,小明利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度,已知标杆BE 的长为1.2米,测得AB =85米,BC =425米,则楼高CD 是( )A .6.3米B .7.5米C .8米D .68.如图,点E 是⊥ABCD 的边AB 上一点,过点E 作EF ∥BC ,交CD 于F ,点P 为EF 上一点,连接PB 、PD .下列说法不正确的是( )A .若⊥ABP =⊥CDP ,则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上B .若AE :EB =2:3,EP :PF =1:2,则S △BEP :S △DFP =3:4C .若S △BEP =S △DFP ,则点P 在AC 上D .若点P 在BD 上,则S △BEP =S △DFP9.如图,一棵大树被台风拦腰刮断,树根A 到刮断点P 的距离是4米,折断部分PB 与地面成40︒的夹角,那么原来这棵树的高度是( )A .44cos 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米B .44sin 40+︒⎛⎫ ⎪⎝⎭米C .()44sin 40+︒米D .()44tan 40+︒米10.如图,等腰Rt △ABC 中⊥A =90°,AB =AC ,BD 为△ABC 的角平分线,若2CD =,则AB 的长为( )A.3 B .2 C .4 D 2+二、填空题11.在Rt ABC 中90C ∠=︒,有一个锐角为60︒,6AB =若点P 在直线..AB 上(不与点A ,B 重合),且30PCB ∠=︒,则AP 的长为_______.12.如图,将扇形AOB 沿OB 方向平移,使点O 移到OB 的中点O '处,得到扇形A O B '''.若⊥O =90°,OA =2,则阴影部分的面积为______.13.如图,在一次数学实践活动中小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度,他从古塔底部点处前行30m 到达斜坡CE 的底部点C 处,然后沿斜坡CE 前行20m 到达最佳测量点D 处,在点D 处测得塔顶A的仰角为30︒,已知斜坡的斜面坡度i =A ,B ,C ,D ,在同一平面内,小明同学测得古塔AB 的高度是___________.14.如图,在直角坐标系中点A 的坐标为(0,点B 为x 轴的正半轴上一动点,作直线AB ,⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称,点D ,E 分别为AO ,AB 的中点,连接DE 并延长交BC 所在直线于点F ,连接CE ,当⊥CEF 为直角时,则直线AB 的函数表达式为__.15.如图,平行四边形OABC 的顶点O 是坐标原点,A 在x 轴的正半轴上,B ,C 在第一象限,反比例函数1y x =的图象经过点C ,()0k y k x=≠的图象经过点B .若OC AC =,则k =________.16.在⊥ABC 中AB =6AC =且45B ∠=,则BC =______________.17.如图,大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1:2,(即BC :AC=1:2),若坡面AB 的水平宽度AC 为12米,则斜坡AB 的长为________米.18.如图,等边ABC 中115,125AOB BOC ∠=︒∠=︒,则以线段,,OA OB OC 为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________.三、解答题19.实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动.有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱,两座圆柱后面有一斜坡,且圆柱底部到坡脚水平线MN 的距离皆为100cm .王诗嬑观测到高度90cm 矮圆柱的影子落在地面上,其长为72cm ;而高圆柱的部分影子落在坡上,如图所示.已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN 互相垂直,并视太阳光为平行光,测得斜坡坡度1:0.75i =,在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下,请解答下列问题:(1)若王诗嬑的身高为150cm ,且此刻她的影子完全落在地面上,则影子长为多少cm ?(2)猜想:此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内.请直接回答这个猜想是否正确?(3)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm ,则高圆柱的高度为多少cm ?20.八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动,当天,他们先从基地门口A 处向正北方向走了450米,到达菜园B 处锄草,再从B 处沿正西方向到达果园C 处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D 处进行手工制作,最后从D 处回到门口A 处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数)参考数据:sin65°≈ 0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈ 0.60,cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.7521.如图是某水库大坝的横截面,坝高20m CD =,背水坡BC 的坡度为11:1i =.为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B之间的距离. 1.41 1.73≈结果精确到0.1m )参考答案与解析1.C【分析】连接BF ,由已知CE AE BE ==得到A FBA ACE ==∠∠∠,再得出CEF ∠与CBF ∠的关系,由三角函数关系求得CF 、BF 的值,通过BF AF =,用三角形面积公式计算即可.【详解】解:连接BF⊥CE 是斜边AB 上的中线 ⊥12CE AE BE AB ===(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)⊥A FBA ACE ==∠∠∠又⊥90BCA BEF ==︒∠∠在⊥ABC 中180902CBF ACB A ABF A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠在⊥AEC 中180902CEF AEF A ACE A =︒-∠-∠-∠=︒-∠∠⊥CEF CBF ∠=∠3sin sin 5CBF CEF ∴∠=∠=4BC =,设3,5CF x BF x ==则222BC CF BF +=,即()()222435x x +=解得1x =(负值舍掉)3,5CF BF ∴== ⊥EF 是AB 的垂直平分线, ⊥5BF AF ==11·541022AFB S AF BC ∴==⨯⨯=△ 152AEF ABF S S ∴==△△故选:C .【点睛】本题综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、勾股定理及三角函数等相关知识,熟练利用相关定理和性质进行计算是解决本题的关键.2.C【分析】画出示意图,确定好小丽和小华的的方向和位置即可.【详解】解:如图所示,当小丽在小华北偏东40°的方向时,则小华在小丽的南偏西40°的方向.故选:C【点睛】本题考查了方位角的知识点,确定好物体的方向和位置是解题的关键.3.B【分析】过点A 作AF BC ⊥于点F ,根据三角函数的定义得到30ABF ∠=︒,根据已知条件得到3045HPB APB ∠∠=︒=︒,求得60HBP ∠=︒,解直角三角形即可得到结论.【详解】如图所示:过点A 作AF BC ⊥于点F斜面坡度为AF tan ABF BF ∠∴=== 30ABF ∠∴=︒在P 处进行观测,测得山坡上A 处的俯角为15︒,山脚B 处的俯角为60︒3045HPB APB ∠∠∴=︒=︒,60HBP ∠∴=︒9045PBA BAP ∠∠∴=︒=︒,PB AB ∴=303060PH PH m sin PB PB =︒===,解得:)PB m =故AB =故选:B .【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解直角三角形的应用-坡度坡角问题,正确得出PB AB =是解题关键.4.C【分析】连接BC ,由锐角三角函数定义得AC A = km ,则AC =AB ,再由等腰三角形的性质得⊥ACB =⊥ABC =35°,即可得出结论.【详解】解:如图,连接BC由题意得:⊥ACP =⊥ACD =90°,⊥P AC =30°,P A =10km ,⊥BAE =40°,AB =⊥⊥BAC =180°—⊥P AC —⊥BAE =180°—30°—40°=110°⊥cos⊥P AC =ACPA =cos30°=⊥AC =P A =×10= km⊥AC =AB⊥⊥ACB =⊥ABC =12×(180°—⊥BAC )=12×(180°—110°)=35°即B 处在C 处的北偏东35°方向故选:C .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义等知识,由锐角三角函数定义求出AC 的长是解题的关键.5.A【分析】过点B 分别作AE 、DE 的垂线,垂足分别为G 、F ,在Rt ⊥ABG 中由已知可求得BG 、AG 的长,从而可易得EF 及EG 、BF 的长度,由等腰直角三角形的性质可得CF 的长度,在Rt ⊥DAE 中由正切函数关系可求得DE 的长度,从而可求得CD 的长度.【详解】过点B 分别作AE 、DE 的垂线,垂足分别为G 、F ,如图在Rt ⊥ABG 中⊥BAG =30゜⊥152BG AB ==米,cos3010AG AB =︒==⊥15)EG AG AE =+=米⊥BG ⊥AE ,BF ⊥ED ,AE ⊥ED⊥四边形BGEF 是矩形⊥EF =BG =5米,15)BF EG ==米⊥⊥CBF =45゜,BF ⊥ED⊥⊥BCF =⊥CBF =45゜⊥15)CF BF ==米在Rt ⊥DAE 中⊥DAE =60゜,AE =15米⊥tan DE AE DAE =∠=米)⊥155(20CD CF EF DE =+-=+-=-米故选:A【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用,理解坡角、仰角的含义,构造辅助线得到直角三角形是解题的关键.6.A【分析】连接OB ,过点O 作OH ⊥AB 于点H ,由正六边形的特点可证得⊥OAB 是等边三角形,由特殊角的三角函数值可求出OH 的长,利用三角形的面积公式即可求出⊥OAB 的面积,进而可得出正六边形ABCDEF 的面积,即可得出结果.【详解】解:如图:连接OB ,过点O 作OH ⊥AB 于点H⊥六边形ABCDEF 是正六边形⊥⊥AOB =60°⊥OA =OB =r⊥⊥OAB 是等边三角形⊥AB =OA =OB =r ,⊥OAB =60°在Rt OAH △中sin OH OA OAB r =⋅∠==⊥21122OAB S AB OH r =⋅==△⊥正六边形的面积226== ⊥⊥O 的面积=πr 2⊥米粒落在正六边形内的概率为:222rπ 故选:A .【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形;熟练掌握正六边形的性质,通过作辅助线求出⊥OAB 的面积是解决问题的关键.7.B【分析】先判断出⊥ABE ⊥⊥ACD ,再根据相似三角形对应边成比例解答.【详解】⊥AB =85,BC =425 ⊥AC =AB +BC =10⊥BE ⊥AC ,CD ⊥AC⊥BE ⊥CD⊥AB :AC =BE :CD ⊥85:10=1.2:CD⊥CD =7.5米.故选:B .【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中利用相似三角形的相似比,列出方程,通过解方程求出建筑物的高度,体现了方程的思想.8.D【分析】根据平行四边形的性质和判定进行判断即可.【详解】解:A 、若⊥ABP =⊥CDP ,则点P 在⊥ABCD 的对角线BD 上,说法正确;B 、若AE :EB =2:3,EP :PF =1:2则S △BEP :S △DFP =3:4,说法正确;C 、过点P 作GH AB ∥,分别交AD ,BC 于G ,H⊥GH AB ∥ GA HB ∥⊥四边形ABHG 是平行四边形同理:四边形CDGH 、四边形BHPE ,四边形DGPE 都是平行四边形 ⊥12BEP BHPE S S =△ 12DFP DGPF S S =△又BEP DFP S S =△△⊥BEPH DGPF SS = ⊥ABHG ADFE S S =同理:BCFE CDGH S S =⊥点P 在AC 上,C 说法正确;D 、若点P 在BD 上,不能得出EP =PF ,所以S △BEP 不一定等于S △DFP ,说法错误;故选:D .【点睛】此题考查平行四边形的判定和性质,掌握平行四边形的性质是解题的关键.9.B【分析】通过解直角三角形即可求得.【详解】解:在Rt ABP △中4==sin sin 40AP BP ABP ∠︒ 故原来这棵树的高度为:4=4sin 40AP BP ⎛⎫++ ⎪︒⎝⎭(米) 故选:B .【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键.10.D【分析】过点D 作DE ⊥BC 于点E ,设AB =AC =x ,则AD =x -2,根据等腰Rt △ABC 中90,A AB AC ∠=︒= 得到⊥C =45°,根据BD 为△ABC 的角平分线,⊥A =90°,DE ⊥BC ,推出DE =AD =x -2,运用⊥C 的正弦即可求得.【详解】解:过点D 作DE ⊥BC 于点E ,则⊥DEB =⊥DEC =90°设AB =AC =x ,则AD =x -2⊥等腰Rt △ABC 中,⊥A =90°,AB =AC ,⊥⊥C =(180°-⊥A )=45°⊥BD 为△ABC 的角平分线⊥DE =AD =x -2⊥sin sin 452DE C CD ︒===⊥22x -⊥2x ,即2AB =.故选D .【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形,角平分线,解直角三角形,熟练掌握等腰直角三角形的性质,角平分线的性质,正弦的定义和45°的正弦值,是解决问题的关键.11.92或9或3 【分析】分⊥ABC =60、⊥ABC =30°两种情况,利用数形结合的方法,分别求解即可.【详解】解:当⊥ABC =60°时,则⊥BAC =30°⊥132BC AB ==⊥AC ==当点P 在线段AB 上时,如图⊥30PCB ∠=︒⊥⊥BPC =90°,即PC ⊥AB⊥9cos 2AP AC BAC =⋅∠==;当点P 在AB 的延长线上时⊥30PCB ∠=︒,⊥PBC =⊥PCB +⊥CPB⊥⊥CPB =30°⊥⊥CPB =⊥PCB⊥PB =BC =3⊥AP =AB +PB =9;当⊥ABC =30°时,则⊥BAC =60°,如图⊥132AC AB ==⊥30PCB ∠=︒⊥⊥APC =60°⊥⊥ACP =60°⊥⊥APC =⊥P AC =⊥ACP⊥⊥APC 为等边三角形⊥P A =AC =3.综上所述,AP 的长为92或9或3. 故答案为:92或9或3 【点睛】本题是解直角三角形综合题,主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形,等边三角形的判定和性质等,分类求解是本题解题的关键.12.3π【分析】设A O '与扇形AOB 交于点C ,连接OC ,解Rt OCO ',求得60O C COB '=∠=︒,根据阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S ''''--扇形扇形,即可求解.【详解】如图,设A O '与扇形AOB 交于点C ,连接OC ,如图O '是OB 的中点11122OO OB OA '∴===, OA =2 AOB ∠=90°,将扇形AOB 沿OB 方向平移90A O O ''∴∠=︒1cos 2OO COB OC '∴∠== 60COB ∴∠=︒sin 60O C OC '∴=︒=∴阴影部分的面积为()OCO A O B OCB S S S''''--扇形扇形 OCO AOB OCB S S S ''=-+扇形扇形22906012213603602ππ=⨯-⨯+⨯3π=故答案为:3π+【点睛】本题考查了解直角三角形,求扇形面积,平移的性质,求得60COB ∠=︒是解题的关键.13.(20m +【分析】过D 作DF ⊥BC 于F ,DH ⊥AB 于H ,设DF =x m ,CF m ,求出x =10,则BH =DF =,CF =,DH =BF ,再求出AH DH ,即可求解. 【详解】解:过D 作DF ⊥BC 于F ,DH ⊥AB 于H⊥DH =BF ,BH =DF⊥斜坡的斜面坡度i =1⊥:DF CF =设DF =x m ,CFm⊥CD 220x ==⊥x =10⊥BH =DF =10m ,CF =⊥DH =BF =(m )⊥⊥ADH =30°⊥AH 10=+m ) ⊥AB =AH +BH =20103(m )故答案为:(20m +【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡角坡度问题,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.14.y【分析】证明⊥ABO ⊥⊥ABC ,于是可知⊥CBA =⊥ABO =30°,得出OB =3即可求出直线AB 的函数表达式.【详解】解:⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ACB =⊥AOB =90°⊥点E 是AB 的中点⊥CE =BE =EA⊥⊥EAC =⊥ECA⊥⊥ECA +⊥ECF =90°,⊥ECF +⊥CFE =90°⊥⊥CFE =⊥BAC而点D ,E 分别为AO ,AB 的中点⊥DF ∥OB⊥⊥CFE =⊥CBO =2⊥CBA =2⊥ABO⊥⊥ABO 与⊥ABC 关于直线AB 对称⊥⊥ABO ⊥⊥ABC⊥⊥OAB =⊥CAB =2⊥ABO⊥⊥ABO =30°而点A 的坐标为(0,即OAAB ∴=⊥OB =3即点B 的坐标为(3,0)于是可设直线AB 的函数表达式为y =kx +b ,代入A 、B 两点坐标得30b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得kb故答案为y【点睛】本题考查的是三角形的全等,并考查了用待定系数法求函数解析式,找到两个已知点的坐标是解决本题的关键.15.3【分析】过点C 作CD ⊥OA 于D ,过点B 作BE ⊥x 轴于E ,先证四边形CDEB 为矩形,得出CD =BE ,再证Rt △COD ⊥Rt △BAE (HL ),根据S 平行四边形OCBA =4S △OCD =2,再求S △OBA =112OCBA S =平行四边形即可. 【详解】解:过点C 作CD ⊥OA 于D ,过点B 作BE ⊥x 轴于E⊥CD ⊥BE⊥四边形ABCO 为平行四边形⊥CB OA ∥ ,即CB DE ∥,OC =AB⊥四边形CDEB 为平行四边形⊥CD ⊥OA⊥四边形CDEB 为矩形⊥CD =BE⊥在Rt △COD 和Rt △BAE 中OC AB CD EB =⎧⎨=⎩⊥Rt △COD ⊥Rt △BAE (HL )⊥S △OCD =S △ABE⊥OC =AC ,CD ⊥OA⊥OD =AD⊥反比例函数1yx=的图象经过点C⊥S△OCD=S△CAD=12⊥S平行四边形OCBA=4S△OCD=2⊥S△OBA=11 2OCBAS=平行四边形⊥S△OBE=S△OBA+S△ABE=13 122 +=⊥3232k=⨯=.故答案为3.【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义,平行四边形的性质与判定,矩形的判定与性质,三角形全等判定与性质,掌握反比例函数k的几何意义,平行四边形的性质与判定,矩形的判定与性质,三角形全等判定与性质.16.3或3【分析】画出图形,分⊥ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可.【详解】解:情况一:当⊥ABC为锐角三角形时,如图1所示:过A点作AH⊥BC于H⊥⊥B=45°⊥⊥ABH为等腰直角三角形⊥363322ABAH BH在Rt⊥ACH中由勾股定理可知:2236273CH AC AH⊥333BC BH CH.情况二:当⊥ABC为钝角三角形时,如图2所示:由情况一知:363322ABAH BH2236273CH AC AH⊥333BC BH CH .故答案为:3或3.【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用,本题的关键是能将⊥ABC 分成锐角三角形或钝角三角形分类讨论.17.【分析】根据坡面AB 的坡比以及AC 的值,求出BC ,再利用勾股定理即可求出斜面AB 的长.【详解】解:⊥大坝横截面的迎水坡AB 的坡比为1:2,AC=12米⊥1212BC BC AC == ⊥BC=6⊥AB =故答案为:【点睛】本题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,能根据坡度求出BC 是解题关键. 18.55°,60°,65°.【分析】通过旋转AOB 至CDB △,可得BOD 是等边三角形,将,,OA OB OC 放在一个三角形中进而求出各角大小。
九年级数学下册专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练(50道)(举一反三)(人教版)
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专题28.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练(50道)【人教版】考卷信息:本套训练卷共50题,题型针对性较高,覆盖面广,选题有深度,涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型!一.解答题(共50题)1.(2022·辽宁阜新·中考真题)如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长CD=15m,斜坡的倾斜角为α,cosα= 4.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°,在D点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,5C,D在同一平面内).(1)求C,D两点的高度差;(2)求居民楼的高度AB.(结果精确到1m,参考数据:3≈1.7)使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂直于桥面BC于点B,其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°,两固定点D、C之间的距离约为33m,求主塔AB的高度(结果保留整数,参考数据:2≈1.41,3≈1.73)俯角为30°,位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°,试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度.(结果保留整数,参考数据:sin68°≈0.9,cos68°≈0.4,tan68°≈2.5,3≈1.7)【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米【分析】过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D,则AD即为潜艇C的下潜深度,分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD,从而利用二者之间的关系列出方程求解.根据题意得:∠ACD=30°,∠设AD=x,则BD=BA+AD=1000+在Rt三角形ACD中,CD=在Rt三角形BCD中,BD=CD ∴1000+x=3x⋅tan68°,解得:x=10003⋅tan68°―1=1.7×AB进行实地测量.如图所示,他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上,他沿西北方向前进1003米后到达点D,此时测得点A在他的东北方向上,端点B在他的北偏西60°方向上,(点A、B、C、D在同一平面内)(1)求点D与点A的距离;(2)求隧道AB的长度.(结果保留根号)杆底端有台阶).该小组在C处安置测角仪CD,测得旗杆顶端A的仰角为30°,前进8m 到达E处,安置测角仪EF,测得旗杆顶端A的仰角为45°(点B,E,C在同一直线上),测角仪支架高CD=EF=1.2m,求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度.(结果精确到1m.参考数据:3≈1.7)由题意得:DF=CE=8m,DC=EF=BG=1.2m设AG=x m,在Rt△AFG中,∠AFG=45°,=x(m),∴FG=AGtan45°念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士的而兴建的,某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度.无人机在点A 处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°,烈士塔底部点C 的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平距离AD 为10m ,求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据:sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)善.某市政府为了实现5G 网络全覆盖,2021~2025年拟建设5G 基站3000个,如图,在斜坡CB 上有一建成的5G 基站塔AB ,小明在坡脚C 处测得塔顶A 的仰角为45°,然后他沿坡面CB 行走了50米到达D 处,D 处离地平面的距离为30米且在D 处测得塔顶A 的仰角53°.(点A 、B 、C 、D 、E 均在同一平面内,CE 为地平线)(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈35,tan 53°≈43)(1)求坡面CB的坡度;(2)求基站塔AB的高.根据他沿坡面CB行走了50米到达D处,D处离地平面的距离为∴CD=50(米),DM=30(米),根据勾股定理得:CM=CD2―DM2=40(米)∴坡面CB的坡度为;DMCM =3040=34,即坡面CB的坡度比为3:4;船返回舱成功着陆.为弘扬航天精神,某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅(即GF=8m).小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离,他的测量过程如下:如图,首先他站在楼前点B处,在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°,然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处(楼底部点E与点B,D在一条直线上),在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°,若AB,CD均为1.65m(即四边形ABDC为矩形),请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度.(结果精确到0.1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan37°≈0.75)坡面的坡角由原来的37°减至30°,已知原电梯坡面AB的长为8米,更换后的电梯坡面为AD,点B延伸至点D,求BD的长.(结果精确到0.1米.参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0,75,3≈1.73)地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=31°,然后沿EB方向向前走3m到达点G 处,在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°.求凉亭AB的高度.(A,C,B三点共线,AB⊥BE,AC⊥CD,CD=BE,BC=DE.结果精确到0.1m)(参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90)【答案】6.9m【分析】根据题意可得BC=FG=DE=1.5,DF=GE=3,∠ACF=90°,然后设CF=x,则CD=(x+3),先在Rt△ACF中,利用锐角三角函数的定义求出AC的长,再在Rt△ACD中,利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程,进行计算即可解答.机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB、BC为机械臂,OA=1m,AB=5m,BC=2m,∠ABC=143°.机械臂端点C到工作台的距离CD=6m.(1)求A、C两点之间的距离;(2)求OD长.(结果精确到0.1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,5≈2.24)【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】(1)连接AC,过点A作AH⊥BC,交CB的延长线于H,根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题.∴OD=AG=4.5m.答:OD的长为4.5m.【点睛】求角的三角画数值或者求线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中(如果没有直角三角形,设法构造直角三角形),再利用锐角三角画数求解12.(2022·山东日照·中考真题)2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情.如图是某滑雪场的横截面示意图,雪道分为AB,BC两部分,小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1:2.4,在A点测得B点的俯角∠DAB=30°.若雪道AB长为270m,雪道BC 长为260m.(1)求该滑雪场的高度h;(2)据了解,该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求,其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3,且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等.求甲、乙两种设备每小时的造雪量.:根据题知坐索道车到达山项,索速车运行的速度是1米/秒,小明要测量莲花山山顶白塔的高度,他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为30°,测得白塔顶部C的仰角的为37°.索道车从A 处运行到B处所用时间的为5分钟.(1)索道车从A处运行到B处的距离约为________米;(2)请你利用小明测量的数据,求白塔BC的高度(结果取整数).(参考数据:sin37°≈0.60, cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73)的长.(1)如图1所示,将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处,测角仪高为b米,从C点测得A点的仰角为α,求灯杆AB的高度.(用含a,b,a的代数式表示)(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法,在至今仍有借鉴意义图2所示,现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前,测得其影长CH为1米,再将木杆沿着BC 方向移动1.8米至DE的位置,此时测得其影长DF为3米,求灯杆AB的高度由题意得BD=a,CD∠B=∠D=∠CEB=90°∴四边形CDBE为矩形,则BE=CD=b,BD=在Rt∆ACE中,tan得AE=CE=CE×tanα15.(2022·湖南郴州·中考真题)如图是某水库大坝的横截面,坝高CD=20m,背水坡BC 的坡度为i1=1:1.为了对水库大坝进行升级加固,降低背水坡的倾斜程度,设计人员准备把背水坡的坡度改为i2=1:3,求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73.结果精确到0.1m)离,他们借助皮尺、测角仅进行测量,测量结果如下:测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角αα=58°从D处测得路灯顶部P的仰角ββ=31°测角仪到地面的距离AB=DC=1.6m两次测量时测角仪之间的水平距离BC=2m计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米?(结果精确到0.1米.参考数据;cos31°≈0.86,tan31°≈0.60,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60)【答案】3.5米【分析】延长DA,交PE于点F,则DF⊥PE,先得到四边形ABCD、CDFE是矩形,然后由解直角三角形求出AF的长度,再求出PF的长度,即可求出答案.【详解】解:如图:延长DA,交PE于点F,则DF⊥PE,∵AB=DC=1.6,AB//DC∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,同理:四边形CDFE是矩形;∴AD=BC=2,EF=CD=1.6,在直角△PDF中,有PF=DF·tanβ=(AD+AF)·tanβ,在直角△PAF中,有PF=AF·tanα,∴(AD+AF)·tanβ=AF·tanα,即(2+AF)×tan31°=AF×tan58°,∴(2+AF)×0.6=AF×1.6,解得:AF=1.2;∴PF=1.2×1.6≈1.9;∴PE=PF+EF=1.9+1.6=3.5(米);∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用,解直角三角形,矩形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握题意,正确的作出辅助线,正确的求出PF的长度.17.(2022·辽宁盘锦·中考真题)如图,小欢从公共汽车站A出发,沿北偏东30°方向走2000米到达东湖公园B处,参观后又从B处沿正南方向行走一段距离,到达位于公共汽车东南方向的图书馆C处.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离;(2)若小欢以100米/分的速度从图书馆C沿CA回到公共汽车站A,那么她在15分钟内能否到达公共汽车站?【答案】(1)小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1000米(2)小欢15分钟内能到达公共汽车站【分析】(1)过点A作AD⊥C于点D,根据B位于A的北偏东30°方向和AB=2000米可得AD的长度;(2)根据45°角的余弦和AD的长可得AC的长度,再结合小欢的速度可得答案.,∵DC ⊥AM 于点E ,在A 处测得大树底端C 的仰角为15°,沿水平地面前进30米到达B 处,测得大树顶端D 的仰角为53°,测得山坡坡角∠CBM =30°(图中各点均在同一平面内).(1)求斜坡BC 的长;(2)求这棵大树CD 的高度(结果取整数).(参考数据:sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43,3≈1.73)【答案】(1)斜坡BC 的长为30米(2)这棵大树CD 的高度约为20米【分析】(1)根据题意可得:∠CAE =15°,AB =30米,根据三角形的外角性质可求出∠ACB =15°,从而得出AB =BC =30米,即可得出答案.(2)在Rt △CBE 中,利用锐角三角函数的定义求出CE ,BE 的长,然后在Rt △DEB 中,利轮航行到A处时,测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A,C之间的暗礁,这艘货轮调整航向,沿着北偏东30°方向继续航行,当它航行到B处后,又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离(结果精确到0.1海里.参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).【答案】货轮从A到B航行的距离约为30.6海里.【分析】过B作BD⊥AC于D,在Rt△BCD中,利用正弦函数求得BD=15.32海里,再在Rt△ABD中,利用含30度角的直角三角形的性质即可求解.【详解】解:过B作BD⊥AC于D,由题意可知∠ABE=30°,∠BAC=30°,则∠C=180°-30°-30°-70°=50°,在Rt△BCD中,∠C=50°,BC=20(海里),∴BD= BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里),在Rt△ABD中,∠BAD=30°,BD=15.32(海里),∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里),答:货轮从A到B航行的距离约为30.6海里.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.20.(2022·山东青岛·中考真题)如图,AB为东西走向的滨海大道,小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动.小宇在点A处时,某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处,观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时,观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处,此时,观光船恰好在小宇的正北方向,求观光船从C处航行到D处的距离.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan 40°≈0.84,sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48)【答案】观光船从C处航行到D处的距离为462.5米【分析】过点C作CF⊥DE于点F,根据题意利用正切函数可得AB=496,由矩形的判定和性质得出CF=BE=296,结合图形利用锐角三角函数解三角形即可.【详解】解:过点C作CF⊥DE于点F,由题意得,∠D=40°,∠ACB=68°,测速仪,如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m,测速仪C和E之间的距离CE=750m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶,在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为25°,在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°,小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为38s(图中所有点都在同一平面内).(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m);(2)若该隧道限速22m/s,判断小汽车从点A行驶到点B是否超速?通过计算说明理由.(参考数据:3≈1.7,sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈0.5,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4)天,他们先从基地门口A处向正北方向走了450米,到达菜园B处锄草,再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果,再向南偏东37°方向走了300米,到达手工坊D处进行手工制作,最后从D处回到门口A处,手工坊在基地门口北偏西65°方向上.求菜园与果园之间的距离.(结果保留整数)参考数据:sin65°≈ 0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin37°≈ 0.60,cos37°≈ 0.80,tan37°≈0.75的高度,如图,在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是58°,沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是22°,已知斜坡AB的坡度i=3:4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼MN的高度.(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内,N,A,C在同一水平线上,参考数据:tan22°≈0.4,tan58°≈1.6)【详解】分别作BE⊥AC,BF⊥MN,垂足分别为∴∠BEA=∠BFN四边形BENF为矩形,∴BEx,ABE中,分构成如图2,AB是灯杆,CD是灯管支架,灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度,他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°,在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°,测得AE=3m,EF=8m(A,E,F在同一条直线上).根据以上数据,解答下列问题:(1)求灯管支架底部距地面高度AD的长(结果保留根号);(2)求灯管支架CD的长度(结果精确到0.1m,参考数据:3≈1.73).到某厂房做验证实验.如图,老师在该厂房顶部安装一平面镜MN,MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°,厂房高AB= 8 m,房顶AM与水平地面平行,小强在点M的正下方C处从平面镜观察,能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?(结果精确到0.1 m,参考数据:sin34°≈0.56,tan34°≈0.68,tan56°≈1.48)【答案】11.8m【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点,证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8,∠NMC=180°-∠BNM=62°,利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC,且∠CME=90°-∠CMN=28°,进而求出∠CMD=56°,最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解.∵C点在M点正下方,∴CM⊥CD,即∠MCD=90°,∵房顶AM与水平地面平行,AB为墙面,∴四边形AMCB为矩形,∴MC=AB=8m,AB∥CM,于2022年3月19日完成首次全货运试飞,很多市民共同见证了这一历史时刻.如图,市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°,同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°,若斜坡CF的坡比=1:3,铅垂高度DG=30米(点E、G、C、B在同一水平线上).求:(1)两位市民甲、乙之间的距离CD;(2)此时飞机的高度AB,(结果保留根号)【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用,矩形的性质与判定,勾股定理,正确理解题意作出辅助线是解题的关键.27.(2022·山西·中考真题)随着科技的发展,无人机已广泛应用于生产和生活,如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB,CD两座楼之间的距离,他们借助无人机设计了如下测量方案:无人机在AB,CD两楼之间上方的点O处,点O距地面AC的高度为60m,此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E 处的俯角为30°,沿水平方向由点O飞行24m到达点F,测得点E处俯角为60°,其中点A,B,C,D,E,F,O均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC 的长(结果精确到1m.参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,3≈1.73).【答案】58m【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H,则∠AGO=∠EHO=90°,再根据图形应用三角函数即可求解.【详解】解:延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H,则∠AGO=∠EHO=90°.京举行,我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌,为祖国赢得了荣誉,激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图),它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图是其示意图,已知:助滑坡道AF=50米,弧形跳台的跨度FG=7米,顶端E到BD的距离为40米,HG∥BC,∠AFH=40°,∠EFG=25°,∠ECB=36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数).(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)【答案】70【分析】过点E作EN⊥BC,交GF于点M,则四边形HBNM是矩形,可得HB=MN,在Rt∵AF=50,∠AFH=40°,在Rt△AHF中,AH=AF⋅sin∠AFH≈50×0.64=32(米),∵HG∥BC,∴∠EGF=∠ECB∵∠EFG=25°,∠ECB=36°,FG=7米∵FM=EMtan∠EFG,MG=EMtan∠EGF∴EM+EM=7,村旅游的一张靓丽名片.某中学八年级数学兴趣小组参观后,进行了设计伞的实践活动.小文依据黄金分割的美学设计理念,设计了中截面如图所示的伞骨结构(其中DHAH≈0.618):伞柄AH始终平分∠BAC,AB=AC=20cm,当∠BAC=120°时,伞完全打开,此时∠BDC=90°.请问最少需要准备多长的伞柄?(结果保留整数,参考数据:3≈1.732)测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A 处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB 的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A、B、C、D、P在同一平面内).(1)填空:∠APD=___________度,∠ADC=___________度;(2)求楼CD的高度(结果保留根号);(3)求此时无人机距离地面BC的高度.则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)∵MN∥AE,∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°.∴∠ADP=∠APD.∴AP=AD.∴△APF≌△DAE(AAS).∴PF=AE=100.∴PG=PF+FG=100+10=110(米)∴无人机距离地面BC的高度为110米.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识.此题难度适中,注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键.31.(2022·四川自贡·中考真题)在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处;经过1h20min,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距83km的C处.(1)求该轮船航行的速度.(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.古洞古部落”享誉巴渠,被誉为“小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD,想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40∘,从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60∘,CB=5m,CD=2.7m.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m.于是,他们很快就算出了AB的长.你也算算?(结果精确到0.1m.参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84.2≈1.41,3≈1.73)【点睛】考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.33.(2022·广东广州·中考真题)如图,某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°,此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续水平飞行303m到达A′处.(1)求之间的距离(2)求从无人机A′上看目标的俯角的正切值.所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.(1)求∠CAO'的度数.(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.【详解】试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,∴sin∠CAO′=,∴∠CAO′=30°;(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,∠CAO′=30°,∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,∴∠EO′F=120°,∴∠FO′A=∠CAO′=30°,∵∠AO′B′=120°,∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.35.(2022·重庆·中考真题)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD,其中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N,观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°,观测渔船N在俯角β=45°,已知NM所在直线与PC所在直线垂直,垂足为点E,PE长为30米.(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度i=1:0.25.为提高大坝防洪能力,某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固,加固后坝定加宽3米,背水坡FH的坡度为i=1:1.5,施工12天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的1.5倍,结果比原计划提前20天完成加固任务,施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:tan31°≈0.60,sin31°≈0.52)m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)-,在=0.60,解得x=2.5,答:DM和BC的水平距离BM为2.5米.考点:解直角三角形.37.(2022·四川巴中·中考真题)2013年4月20日,四川雅安发生里氏7.0级地震,救援队救援时,利用生命探测仪在某建筑物废墟下方探测到点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A、B相距4米,探测线与地面的夹角分别为300和600,如图所示,试确定生命所在点C的深度(结果精确到0.1米,参考数据2≈1.41,3≈1.73)BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF 的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB和CD(均与水平面垂直),再将集热板安装在AD上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD与水平面夹角为θ1,且在水平线上的射影AF为1.4m.现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2,并已知tanθ1=1.082,tanθ2 =0.412.如果安装工人确定支架AB高为25cm,求支架CD的高(结果精确到1cm)?【答案】支架DC的高应为119cm.【分析】过A作AE∥BC,则∠EAF=∠CBG=θ2,EC=AB=25cm,再根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,再根据DC=DE+EC进行解答即可.【详解】解:如图所示,过A作AE∥BC,则∠EAF=∠CBG=θ2,EC=AB=25cm∵Rt△DAF中:∠DAF=θ1,DF=AFtanθ1,Rt△EAF中:∠EAF=θ2,EF=AFtanθ2,∴DE=DF-EF=AF(tanθ1-tanθ2)又∵AF=140cm,tanθ1=1.082,tanθ2=0.412,∴DE=140×(1.082-0.412)=93.8,∴DC=DE+EC=93.8+25=118.8 cm≈119cm.答:支架DC的高应为119cm.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形,利用锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键.40.(2022·四川泸州·中考真题)如图,海中有两小岛C,D,某渔船在海中的A处测得小岛C位于东北方向,小岛D位于南偏东30°方向,且A,D相距10 nmile.该渔船自西向东航行一段时间后到达点B,此时测得小岛C位于西北方向且与点B相距82nmile.求B,D间的距离(计算过程中的数据不取近似值).根据题意可得,∠BAC=∠在Rt△ABC中,AC=BC=8∴AB=2BC=16(nmile),在Rt△ADE中,AD=10 nmile=∴DE=AD•sin60°=10×32人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200米.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100米.点B在点A的北偏东30°,点D在点E的北偏东45°.(1)求步道DE的长度(精确到个位);(2)点D处有直饮水,小红从A出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】(1)过E作BC的垂线,垂足为H,可得四边形ACHE是矩形,从而得到,ACHE是矩形,∴EH=AC=200米,根据题意得:∴DH=EH=200米,∴DE=2EH=30°,在Rt△ABC中,∴AB=2AC∴BC=AB2―BC2=2003(米),+100―200=2003―100(米)B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客,再沿CA方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上,B在A的北偏东60°方向上,且B在C的正南方向900米处.(1)求湖岸A与码头C的距离(结果精确到1米,参考数据:3=1.732);(2)救援船的平均速度为150米/分,快艇的平均速度为400米/分,在接到通知后,快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船?请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计)由题意可得:。
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28-2解直角三角形及其应用》知识点分类训练(附答案)
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2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》知识点分类训练(附答案)一.解直角三角形1.如图,在平面直角坐标系中,AB=3,连接AB并延长至C,连接OC,若满足OC2=BC•AC,tanα=2,则点C的坐标为.二.解直角三角形的应用2.图1是挂墙式淋浴花洒的实物图,图2是抽象出来的几何图形.为使身高175cm的人能方便地淋浴,应当使旋转头固定在墙上的某个位置O,花洒的最高点B与人的头顶的铅垂距离为15cm,已知龙头手柄OA长为10cm,花洒直径AB是8cm,龙头手柄与墙面的较小夹角∠COA=26°,∠OAB=146°,则安装时,旋转头的固定点O与地面的距离应为多少?(计算结果精确到1cm,参考数据:sin26°≈0.44,cos26°≈0.90,tan26°≈0.49)3.图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图,图2是其侧面示意图,其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上,枪身BA与额头保持垂直.量得胳膊MN=28cm,MB=42cm,肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm(即MP的长度),枪身BA=8.5cm.(1)求∠ABC的度数;(2)测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3~5cm.在图2中,若测得∠BMN=68.6°,小红与测温员之间距离为50cm.问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内?并说明理由.(结果保留小数点后一位)(参考数据:sin66.4°≈0.92,cos66.4°≈0.40,sin23.6°≈0.40,≈1.414)4.如图1,是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片,图2是它的俯视图.汽车靠墙一侧OB 与墙MN平行且距离为0.8米,已知小汽车车门宽AO为1.2米.(参考数据:sin40°≈0.6428,cos40°≈0.7660,sin41°≈0.6561,cos41°≈0.7547,sin42°≈0.6691,cos42°≈0.7431)(1)当车门打开角度∠AOB为40°时,车门是否会碰到墙?请说明理由.(2)若车停在原地不动,靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少?5.图①是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图②是其侧面结构示意图,托板长AB=115mm,支撑板长CD=70mm,板AB固定在支撑板顶点C处,且CB=35mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(1)当∠CDE=60°时,①求点C到直线DE的距离(计算结果保留根号);②若∠DCB=70°时,求点A到直线DE的距离(计算结果精确到个位);(2)为了观看舒适,把(1)中∠DCB=70°调整为90°,再将CD绕点D逆时针旋转,使点B落在直线DE上即可,则CD旋转的角度为.(直接写出结果)(参考数据:sin50°≈0.8,cos50°≈0.6,tan50°≈1.2,sin26.6°≈0.4,cos26.6°≈0.9,tan26.6°≈0.5,≈1.7)三.解直角三角形的应用-坡度坡角问题6.如图,某超市的自动扶梯高为h(m),坡角为θ,那么扶梯长l(m)为()A.h cosθB.C.h tanθD.7.如图,AB是斜靠在墙上的长梯,AB与地面夹角为α,当梯顶A下滑1m到A′时,梯脚B滑到B′,A'B'与地面的夹角为β,若tanα=,BB'=1m,则cosβ=()A.B.C.D.8.如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为1:,坝高BC=3m,则AB的长度为()A.6m B.3m C.9m D.6m9.一架5米长的梯子斜靠在墙上,测得它与地面的夹角为40°,则梯子底端到墙角的距离为()A.5cos40°米B.5sin40°米C.米D.米10.如图所示,建筑物AB坐落在一斜坡的坡顶的平地上,当太阳光线与水平线夹角成60°时,测得建筑物AB在坡顶平地上的一部分影子BC=15米,在斜坡CE上的另一部分影子CD=5米,且斜坡CE的坡度为i(即tanα)=1:,求建筑物AB的高度.(结果保留根号)四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题11.许昌市旅游服务中心由广场和“一门四阙”主题建筑组成,如图1.广场为迎宾广场一门”为“许昌之门”,“四闕”为广场四角的汉阙,是许昌的标志性建筑.某数学兴趣小组在迎宾广场测量旅游服务中心的高度,图2为测量示意图,MN为服务中心的对称轴,在地面的AB处架设测角仪,测得旅游服务中心的最高点D的仰角45°,利用无人机在点B的正上方57.8米处的点C处测得点D的俯角为32°,测角仪的高度AB=1.6米,FH=17.2米,DE=19.8米.(1)求旅游服务中心的高度为多少米?(结果精确到0.1m.参考数据:sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625,≈1.414)(2)兴趣小组测量后到旅游服务中心参观,发现讲解员讲解的高度为36.8m,请用物理知识解释测量值与实际值出现差距的原因,如何避免或者减小差距?12.大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰,是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建,某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度,如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°,沿山坡上行10米到达点D,测得雕塑顶端B的仰角为45°,已知山坡的坡度i=1:3,且A,C在同一水平地面上,求塑像AB的高度.(测倾器高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:sin58.5°≈0.85,cos58.5°≈0.52,tan58.5°≈1.63,≈1.4,≈1.7,≈3.2.)13.九年级数学兴趣小组的实践课题是“测量物体高度”.小组成员小明与小红分别采用不同的方案测量同一个底座为正方体的旗杆的高度.以下是他们研究报告的部分记录内容:课题:测量旗杆高度小明的研究报告小红的研究报告测量示意图测量方案与测量数据在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=55°,再用皮尺测得测角仪底部所在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出旗杆顶端A的仰角α=29°,然后沿DF方向走20m到达点F处,在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离为10m.测出旗杆顶端A的仰角β=60°.参考数据sin55°≈0.82,cos55°=0.57,tan55°≈1.43,sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan29°≈0.55,≈1.73计算旗杆高度10×tan55°+1.6≈15.9(m)(1)写出小红研究报告中“计算旗杆高度”的解答过程(结果精确到0.1m);(2)数学老师说小明的测量结果与旗杆实际高度偏差较大,超出了误差允许范围,请你针对小明的测量方案分析测量偏差较大的原因.14.某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后,来到“孔子圣像”的雕像前,如图,想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度,他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°,底端B的俯角为45°;又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°,已知DE=6m,求雕像AB的高度.(结果保留根号)15.2020年6月23日,北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功.运载火箭从地面A处(忽略发射塔高度)竖直向上发射,当运载火箭到达点B处时,地面D处的雷达站测得B处仰角为37°,BD=50km.10秒后,运载火箭直线上升到达点C处,此时地面E处一观测点测得C处的仰角为56°,已知点A,D,E在同一条直线上,并且D,E两处相距15km,求运载火箭从B处到C处时的平均速度(单位:km/s).(参考数值:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,sin56°≈,cos56°≈,tan56°≈)五.解直角三角形的应用-仰角俯角问题16.中原福塔,又名“河南广播电视塔”,是郑州市著名地标之一.小明和小亮利用卷尺和自制的测角仪测量福塔的高度.如图,小明站在点A处测得福塔顶端D的仰角为60°,小亮站在点B处测得福塔顶端D的仰角为72.3°.已知测角仪高度为1m,两人相距100m (点A,B,C在一条直线上).(1)求中原福塔CD的高度;(结果精确到0.1m.参考数据:sin72.3≈0.95,cos72.3≈0.30,tan72.3≈3.13,)(2)“景点简介”显示,中原福塔总高388m.请计算本次测量结果的误差,并提出一条减小误差的合理化建议.六.解直角三角形的应用-方向角问题17.如图,一艘渔船以40海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在A处测得小岛C在渔船的北偏东60°方向;半小时后,渔船到达B处,此时测得小岛C在渔船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心,周围18海里以内为军事演习着弹危险区.如果这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有着弹危险?18.如图,一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向,与灯塔距离为80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处,求此时轮船所在B 处与灯塔P的距离.(参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75,≈1.7,结果取整数)19.为了丰富学生的文化生活,学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习.如图,学校在点B处,A位于学校的东北方向,C位于学校南偏东30°方向,C在A的南偏西15°方向(30+30)km处.学生分成两组,第一组前往A地,第二组前往C地,两组同学同时从学校出发,第一组乘客车,速度是40km/h,第二组乘公交车,速度是35km/h.(1)求学校到红色文化基地A的距离?(2)哪组同学先到达目的地?请说明理由(结果保留根号).参考答案一.解直角三角形1.解:∵∠C=∠C,∵OC2=BC•AC,即,∴△OBC∽△OAC,∴∠A=∠COB,∵α+∠COB=90°,∠A+∠ABO=90°,∴∠ABO=α,∵tanα=2,∴tan∠ABO=,∴OA=2OB,∵AB=3,由勾股定理可得:OA2+OB2=AB2,即,解得:OB=3,∴OA=6.∴tan A=.如图,过点C作CD⊥x轴于点D,∵tanα=2,∴设C(﹣m,2m),m>0,∴AD=6+m,∵tan∠A=,∴,∴,解得:m=2,经检验,m=2是原方程的解.∴点C坐标为:(﹣2,4).故答案为:(﹣2,4).二.解直角三角形的应用2.解:如图,过点B作地面的垂线,垂足为D,过点A作地面GD的平行线,交OC于点E,交BD于点F,在Rt△AOE中,∠AOE=26°,OA=10cm,则OE=OA•cos∠AOE≈10×0.90=9cm,在Rt△ABF中,∠BAF=146°﹣90°﹣26°=30°,AB=8cm,则BF=AB•sin∠BAF=8×=4cm,∴OG=BD﹣BF﹣OE=(175+15)﹣4﹣9=177cm,答:旋转头的固定点O与地面的距离约为177cm.3.解:(1)过点B作BH⊥MP,垂足为H,过点M作MI⊥FG,垂足为I,过点P作PK ⊥DE,垂足为K,∵MP=25.3cm,BA=HP=8.5cm,∴MH=MP﹣HP=25.3﹣8.5=16.8(cm),在Rt△BMH中,cos∠BMH===0.4,∴∠BMH=66.4°,∵AB∥MP,∴∠BMH+∠ABC=180°,∴∠ABC=180°﹣66.4°=113.6°;(2)∵∠BMN=68.6°,∠BMH=66.4°,∴∠NMI=180°﹣∠BMN﹣∠BMH=180°﹣68.6°﹣66.4°=45°,∵MN=28cm,∴cos45°==,∴MI≈19.80cm,∵KI=50cm,∴PK=KI﹣MI﹣MP=50﹣19.80﹣25.3=4.90≈4.9(cm),∴此时枪身端点A与小红额头的距离是在规定范围内.4.解:(1)过点A作AC⊥OB,垂足为点C,在Rt△ACO中,∵∠AOC=40°,AO=1.2米,∴AC=sin∠AOC•AO≈0.6428×1.2≈0.77米,∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米,∴车门不会碰到墙.(2)当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时,AC=0.8米,∵sin∠AOC==≈0.67,∴∠AOC≈42°.答:靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为42°.5.解:(1)①过点C作CG∥DE,过点A作AH⊥CG于H,过点C作CF⊥DE于点F,则点C到直线DE的距离为CF,在Rt△CDF中,∵sin∠CDE=,∴CF=CD•sin60°=70×=35(mm).②由图可知,点A到直线DE的距离为:AH+CF.∵∠DCB=70°,∴∠ACD=180°﹣∠DCB=110°,∵CG∥DE,∴∠GCD=∠CDE=60°.∴∠ACH=∠ACD﹣∠DCG=50°.在Rt△ACH中,∵sin∠ACH=,∴AH=AC•sin∠ACH=(115﹣35)×sin50°≈80×0.8=64(mm),∴点A到直线DE的距离为AH+CF=35+64=123.5≈124(mm).(2)如下图所示,虚线部分为旋转后的位置,B的对应点为B′,C的对应点为C′,则B′C′=BC=35mm,DC′=DC=70mm.在Rt△B′C′D中,∵tan∠B′DC′===0.5,tan26.6°≈0.5,∴∠B′DC′=26.6°.∴CD旋转的角度为∠CDC′=∠CDE﹣∠B′DC′=60°﹣26.6°=33.4°.故答案为:33.4°.三.解直角三角形的应用-坡度坡角问题6.解:因为sinθ=,所以l=.故选:B.7.解:如图.∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,tanα=,∴可设AC=4xm,那么BC=3xm,∴AB==5xm,∴A′B′=AB=5x(m).∵在Rt△A′B′C中,∠A′CB′=90°,A′C=(4x﹣1)m,B′C=(3x+1)m,∴(4x﹣1)2+(3x+1)2=(5x)2,解得x=1,∴A′C=3m,B′C=4m,A′B′=5m,∴cosβ=.故选:A.8.解:∵迎水坡AB的坡比为1:,∴=,即=,解得,AC=3,由勾股定理得,AB==6(m),故选:A.9.解:在Rt△ABC中,cos A=,则梯子底端到墙角的距离AC=AB•cos A=5cos40°,故选:A.10.解:如图,延长BC交AD于F,过F作FG⊥CD于G,∵斜坡CE的坡度为i(即tanα)=1:,∴α=30°.∵BF∥EM,∴∠FCD=∠E=30°.∵∠AFB=60°.∴∠CDF=∠AFB﹣∠FCD=30°.∴∠ECD=∠FDC=30°.∴FC=FD.∴CG=CD=.∴CF===5(米).∴BF=BC+CF=15+5=20(米).∴AB=BF•tan60°=20(米).答:建筑物AB的高度是20米.四.解直角三角形的应用-仰角俯角问题11.解:(1)作DG⊥AC于点G,由题意可得,∠1=32°,∠2=45°,∴∠CDG=32°,∠ADG=45°,∴∠ADG=∠DAG=45°,∴GD=GA,设CG=x米,则AG=BC﹣BA﹣CG=57.8﹣1.6﹣x=(56.2﹣x)米,则GD=(56.2﹣x)米,∵tan∠CGD=,∴tan32°=,解得x≈21.6,∴BG=BC﹣GC≈57.8﹣21.6=36.2(米),∴MN=BG=36.2米,答:旅游服务中心的高度约为36.2米;(2)造成误差的主要原因有系统误差和随机误差,比如误读、误算、视差、刻度误差等,避免或者减小差距可以通过多次测量,求平均值.12.解:过点PD作DE⊥AC交AC于点E,DF⊥AB交AB于点F,∵i=1:3,CD=10,设DE=xm,则CE=3xm,在Rt△CED中,x2+(3x)2=102,解得:x=或x=﹣(舍),∴DE=m,则CE=3m,∵∠BDF=∠DBF=45°,∴BF=DF,设BF=DF=m米,则AB=(m+)米,AC=(m﹣3)米,在Rt△CAB中,,解得:m≈29.9,∴AB=29.9+≈33.1(米),答:塑像的高度约为33.1米.13.解:(1)如图,延长CE交AB于点G,则四边形CDFE和四边形EFBG是矩形,根据题意可知:α=29°,β=60°.CD=EF=GB=1.6m,DF=20m,设FG=x,在Rt△AEG中,∵∠AEG=β=60°,∴∠EAG=30°,∴AG=x,在Rt△ACG中,∵tanα=,∴≈0.55,∴x≈9.3,∴AG≈9.3(m),∴AB=AG+GB=9.3+1.6=10.9(m),答:旗杆高度为10.9m;(2)原因:小明测量的只是测角器所在位置与旗杆底座正方体边缘的最短距离,不是测量测角器所在位置与底座中心的最短距离.14.解:设CD=xm,∵∠ACD=60°,∠BCD=45°,∴AD=x•tan60=x(m),DB=x•tan45°=x(m),∵∠AED=30°,DE=6m,∴AD=DE•tan30°=6×=2(m),∴x=2,解得x=2(m),∴AB=AD+DB=x+x=(2+2)m.答:雕像AB的高度为(2+2)m.15.解:由题意得,BD=50km,∠ADB=37°,DE=15km,∠AEC=56°,在Rt△ABD中,∵BD=50km,∠ADB=37°,∴AB=sin37°×BD≈×50=30(km),AD=cos37°×BD≈×50=40(km),∴AE=AD﹣DE=40﹣15=25(km),在Rt△AEC中,∠AEC=56°,∴AC=tan56°×AE≈×25=37(km),∴BC=AC﹣AB=37﹣20≈17(km),∴火箭的速度为17÷10≈1.7(km/s),答:运载火箭从B处到C处时的平均速度约为1.7km/s.五.解直角三角形的应用-仰角俯角问题16.解:(1)如图,延长EF交CD于点G.由题意知,四边形ABFE和四边形BCGF均为矩形.∴EF=AB=100m,BC=FG,AE=BF=CG=1m,设BC=FG=xm,则EG=(100+x)m.在Rt△DEG中,∵∠DEG=60°,∴DG=EG•tan60°=(100+x)≈1.73(100+x)m.在Rt△DFG中,∵∠DFG=72.3°,∴DG=FG•tan72.3°≈3.13x(m),∴1.73(100+x)=3.13x,解得x=123.57.∴CD=DG+CG≈3.13×123.57+1≈387.8(m).答:中原福塔CD的高度约为387.8m.(注:解法不同,答案会有误差,合理即可).(2)误差为388﹣387.8=0.2(m).减小误差可多次测量,去测量数据的平均值(答案不唯一,合理即可).六.解直角三角形的应用-方向角问题17.解:过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D,由题意得,AB=40×=20,∠CAB=30°,∠CBD=60°,∴∠ACB=∠CBD﹣∠CAB=30°,∴∠ACB=∠CAB,∴CB=AB=20,在Rt△CBD中,sin∠CBD=,∴CD=BC•sin∠CBD=20×=10,∵10<18,∴这艘渔船继续向东追赶鱼群,有着弹危险.18.解:过点P作PD⊥AB于D点,由题意知,AB∥EF,∠ADP=∠BDP=90°,AP=80nmile,∴∠A=∠EP A=60°,∠B=∠BPF=37°,Rt△ADP中,∵sin A=,∴PD=AP•sin A=AP•sin60°=(nmile),Rt△BDP中,∵sin B=,∴(nmile),答:轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile.19.解:(1)作BD⊥AC于D.依题意得,∠BAE=45°,∠ABC=105°,∠CAE=15°,∴∠BAC=30°,∴∠ACB=45°.在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠ACB=45°,∴∠CBD=45°,∴∠CBD=∠DCB,∴BD=CD,设BD=xkm,则CD=xkm,在Rt△ABD中,∠BAC=30°,∴AB=2BD=2xkm,tan30°=,∴=,∴AD=x,在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=45°,∴sin∠DCB==,∴BC=x,∵CD+AD=30+30,∴x+x=30+30,∴x=30,∴AB=2x=60(km);(2)第二组先到达目的地,理由:∵BD=30km,∴BC=x=30km,第一组用时:60÷40=1.5(h);第二组用时:30÷35=(h),∵<1.5,∴第二组先到达目的地,答:第二组先到达目的地.。
人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形同步测试及答案(新审)
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∴ BD=CD= 3. 由勾股定理得: AD= AC2-CD2= 3, ∴ AB=AD+ BD= 3+ 3.
17.某学校的校门是伸缩门 ( 如图① ) ,伸缩门中的每一行菱形有 20 个,每个菱形边长为 30 厘米.校
门关闭时,每个菱形的锐角度数为 60° ( 如图② ) ;校门打开时,每个菱形的锐角度数从
3
1
A. AD= 2 AB B . AD=2AB
2 C. AD= BD D . AD= 2 BD
6.在 Rt △ ABC中,∠ C=90°, a=6, b= 2 3,则∠ B= __30° __.
【解析】 本题是已知两直角边解直角三角形,由
b 23 3 tan B= a= 6 = 3 ,得∠ B= 30° .
解:∵∠ C= 90°, AC= 2, AB=2 2, AC 1
∴ sin B= AB= 2, ∴∠ B= 30°, ∴∠ A= 60° . BC= AB2- AC2= 8- 2= 6.
2, AB=
1 13.如图 28-2- 4,已知△ ABC中,∠ C= 90°, tan A=2, D 是 AC 上一点,∠ CBD=∠ A,则 sin ∠ ABD= ( A )
根据题意,得∠ B1A1D1= 10°, A1B1 = 0. 3 米. ∵在菱形 A1B1C1D1 中, A1C1⊥ B1D1, ∠ B1A1O1= 5°, ∴在 Rt△ A1B1O1 中, B1O1= sin ∠B1A1O1· A1B1= sin5 °× 0.3 = 0. 02616( 米 ) , ∴ B1D1= 2B1O1=0.05232 米, ∴伸缩门的宽是: 0.05232 ×20= 1.0464 米; ∴校门打开的宽度为: 6- 1.0464 =4.9536 ≈5( 米 ) . 故校门打开了 5 米.
人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案
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人教版九年级数学下册《28.2.1解直角三角形》同步练习题带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.解直角三角形的概念:在直角三角形中,由元素求元素的过程,就是解直角三角形.注意:(1)直角三角形中共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,其余的五个元素中,只要已知其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素;(2)解直角三角形时,要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图,在Rt ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系:三边关系:.两锐角关系:.边角关系:sin A=,sin B=;cos A=,cos B=;tan A=,tan B=.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,sin B等于()A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=√3,AB=√6,则∠A=,∠B =,AC=.3.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=4,c=8,解这个直角三角形.知识点2已知一边一锐角(或锐角三角函数值)解直角三角形4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=35,BC=6,则AB=()A.4B.6C.8D.105.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=12,AC=8,则△ABC的面积为()A.12B.16C.32D.486.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,b=10,解这个直角三角形.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan 25°≈0.47)中档提分训练7.如图,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tan C=2,则边AB的长为()A.3√2B.3√5C.6√2D.3√78.(2024·武威校级二模)如图,△ABC是周长为36的等腰三角形,AB=AC,BC=10,则tan B的值为()A.512B.513C.125D.12139.【分类讨论思想】(易错题)在△ABC中,∠B=30°,AB=8,AC=2√7,则BC的长为.10.(2024·武威校级一模)如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD .=35(1)求BC的长;(2)求∠ACB的正切值.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料:题目:如图1,在△ABC中,已知∠A(∠A<45°),∠C=90°,AB=1,请用sin A,cos A表示sin 2A.解:如图2,作AB 边上的中线CE ,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则CE =12AB =12,∠CED =2∠A ,CD =AC ·sin A ,AC =AB ·cos A =cos A .在Rt △CED 中,sin 2A =sin ∠CED =CD CE=AC·sinA12=2AC ·sin A =2cos Asin A .图1图2根据以上阅读材料,请解决以下问题:如图3,在△ABC 中,∠C =90°,BC =1,AB =3,求sin A ,sin 2A 的值.图3参考答案1.解直角三角形的概念:在直角三角形中,由 已知 元素求 未知 元素的过程,就是解直角三角形.注意:(1)直角三角形中共有六个元素,即三条边和三个角,除直角外,其余的五个元素中,只要已知其中的两个元素(至少有一个是边),就可以求出其余三个未知元素;(2)解直角三角形时,要求出这个直角三角形的所有未知元素. 2.如图,在Rt ABC 中,∠C 为直角,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c ,那么除直角∠C 外的五个元素之间有如下关系:三边关系:a2+b2=c2.两锐角关系:∠A+∠B=90°.边角关系:sin A=ac ,sin B=bc;cos A=bc ,cos B=ac;tan A=ab ,tan B=ba.基础分点训练知识点1已知两边解直角三角形1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,sin B等于(D)A.35B.34C.53D.452.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=√3,AB=√6,则∠A=45°,∠B=45°,AC=√3.3.如图,在Rt△ABC中,已知∠C=90°,a=4,c=8,解这个直角三角形.解:在Rt △ABC 中,∠C =90°,a =4,c =8 根据勾股定理,得b =√c 2-a 2=√82-42=4√3. ∴sin A =ac=48=12∴∠A =30°∴∠B =90°-∠A =60°.知识点2 已知一边一锐角(或锐角三角函数值)解直角三角形 4.在Rt △ABC 中,∠C =90°,sin A =35,BC =6,则AB =( D ) A .4B .6C .8D .105.在Rt △ABC 中,∠C =90°,tan A =12,AC =8,则△ABC 的面积为 ( B ) A .12B .16C .32D .486.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠B =25°,b =10,解这个直角三角形.(结果保留小数点后一位.参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan 25°≈0.47)解:∵∠C =90°,∠B =25°∴∠A =90°-∠B =90°-25°=65°. ∵b =10,sin 25°=bc,tan 25°=ba∴c =bsin25°≈100.42≈23.8a =btan25°≈100.47≈21.3.中档提分训练7.如图,AD 是△ABC 的高.若BD =2CD =6,tan C =2,则边AB 的长为( C )A .3√2B .3√5C .6√2D .3√78.(2024·武威校级二模)如图,△ABC 是周长为36的等腰三角形,AB =AC ,BC =10,则tan B 的值为( C )A .512B .513C .125D .12139.【分类讨论思想】(易错题)在△ABC 中,∠B =30°,AB =8,AC =2√7,则BC 的长为 2√3或6√3 .10.(2024·武威校级一模)如图,在△ABC 中,∠B =45°,CD 是AB 边上的中线,过点D 作DE ⊥BC ,垂足为点E ,若CD =5,sin ∠BCD =35.(1)求BC 的长;解:(1)∵DE ⊥BC ,∴∠DEC =∠DEB =90° 在Rt △ECD 中,sin ∠DCE =sin ∠BCD =35,CD =5∴DE =CD ·sin ∠BCD =5×35=3∴CE =√CD 2-DE 2=√52-32=4. ∵∠B =45°,∠DEB =90° ∴BE =DE =3∴BC =BE +CE =3+4=7. (2)求∠ACB 的正切值.(2)如图,过点A 作AF ⊥BC 于点F . ∵DE ⊥BC ,AF ⊥BC ,∴DE ∥AF ∴△DEB ∽△AFB ,∴DEAF =BD BA=BE BF.∵CD 是AB 边上的中线,即点D 为AB 的中点 ∴BA =2BD ,∴AF =2DE =6,BF =2BE =6. ∴CF =BC -BF =7-6=1∴tan ∠ACB =tan ∠ACF =AFCF=61=6.拓展素养训练11.【阅读理解】阅读下列材料:题目:如图1,在△ABC 中,已知∠A (∠A <45°),∠C =90°,AB =1,请用sin A ,cos A 表示sin 2A .解:如图2,作AB 边上的中线CE ,过点C 作CD ⊥AB 于点D ,则CE =12AB =12,∠CED =2∠A ,CD =AC ·sin A ,AC =AB ·cos A =cos A .在Rt △CED 中,sin 2A =sin ∠CED =CD CE=AC·sinA12=2AC ·sin A =2cos Asin A .图1 图2根据以上阅读材料,请解决以下问题:如图3,在△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=3,求sin A,sin 2A 的值.图3解:如图3,作AB边上的中线CE,过点C作CD⊥AB于点D.sin A=13,sin 2A=4√29.。
人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)
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人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析) 1 / 14解直角三角形的应用 测试题时间:100分钟 总分: 100一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)1. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等 小明将PB 拉到 的位置,测得 为水平线 ,测角仪 的高度为1米,则旗杆PA 的高度为A.B.C. D.2. 如图,长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角 为 ,则调整后的楼梯AC 的长为 A. B.C. D. 3. 一座楼梯的示意图如图所示,BC 是铅垂线,CA 是水平线,BA 与CA 的夹角为 现要在楼梯上铺一条地毯,已知 米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要A. 米B.米 C.米D. 米4. 上午9时,一条船从A 处出发,以每小时40海里的速度向正东方向航行,9时30分到达B 处 如图 从A 、B 两处分别测得小岛M 在北偏东 和北偏东 方向,那么在B 处船与小岛M 的距离为A. 20海里B. 海里C. 海里D. 海里 5. 如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h ,滑梯的坡角为a ,那么滑梯长m 为A. B. C. D.6.如图所示,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为,再向电视塔方向前进120米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为,则这个电视塔的高度单位:米为A. B. 61 C. D. 1217.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察,他们从同一码头出发,第一艘快艇沿北偏西方向航行50千米,第二艘快艇沿南偏西方向航行50千米,如果此时第一艘快艇不动,第二艘快艇向第一艘快艇靠拢,那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是A. 南偏东,千米B. 北偏西,千米C. 南偏东,100千米D. 北偏西,100千米8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向,距离灯塔60nmile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为A. nmileB. nmileC. nmileD. nmile9.如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB的坡度:,则坝底AD的长度为A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米10.如图是某水库大坝的横截面示意图,已知,且AD、BC之间的距离为15米,背水坡CD的坡度:,为提高大坝的防洪能力,需对大坝进行加固,加固后大坝顶端AE比原来的顶端AD加宽了2米,背水坡EF的坡度:4,则大坝底端增加的长度CF是米.A. 7B. 11C. 13D. 20二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析) 3 / 1411. 为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯形已知迎水坡面 米,背水坡面 米, ,加固后拦水坝的横断面为梯形ABED ,,则CE 的长为______ 米12. 如图,航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为 ,测得底部C 的俯角为 ,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90米,那么该建筑物的高度BC 约为______ 米 精确到1米,参考数据:13. 小明沿着坡度i 为1: 的直路向上走了50m ,则小明沿垂直方向升高了______ 14. 如图,长4m 的楼梯AB 的倾斜角 为 ,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角 为 ,则调整后楼梯AC 长为______ 米15. 如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为 的斜坡,从A 滑行至B ,已知 米,则这名滑雪运动员的高度下降了______米 参考数据: , ,16. 如图,为测量某栋楼房AB 的高度,在C 点测得A 点的仰角为 ,朝楼房AB 方向前进10米到达点D ,再次测得A 点的仰角为 ,则此楼房的高度为______ 米 结果保留根号 .17. 如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 ,如果此时热气球C 处的高度为200米,点A 、B 、C 在同一直线上,则AB 两点间的距离是______米 结果保留根号 .18.如图,水库堤坝的横断面是梯形,测得BC长为30m,CD长为,斜坡AB的坡比为1:3,斜坡CD的坡比为1:2,则坝底的宽AD为______19.如图,某堤坝的斜坡AB的斜角是,坡度是:,则______.20.某兴趣小组借助无人飞机航拍,如图,无人飞机从A处飞行至B处需12秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为,B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为3米秒,则这架无人飞机的飞行高度为结果保留根号______ 米三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)21.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度该楼底层为车库,高米;上面五层居住,每层高度相等测角仪支架离地米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为,在B处测得四楼顶部点E的仰角为,米求居民楼的高度精确到米,参考数据:22.某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图,无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为,B处的仰角为已知无人飞机的飞行速度为4米秒,求这架无人飞机的飞行高度结果保留根号人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)23.如图,学校的实验楼对面是一幢教学楼,小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为,教学楼底部B的俯角为,量得实验楼与教学楼之间的距离.求的度数.求教学楼的高结果精确到,参考数据:,24.如图,在大楼AB的正前方有一斜坡CD,米,坡角,小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为,在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为,其中点A、C、E在同一直线上.求斜坡CD的高度DE;求大楼AB的高度结果保留根号5 / 14四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)25.如图,大楼AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为,测得大楼顶端A的仰角为点B,C,E在同一水平直线上,已知,,求障碍物B,C两点间的距离结果精确到参考数据:,26.如图,某湖中有一孤立的小岛,湖边有一条笔直的观光小道AB,现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PQ通往小岛,某同学在观光道AB上测得如下数据:米,,请求出小桥PQ的长,结果精确到米人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析)7 / 14答案和解析【答案】 1. A 2. B 3. D 4. B5. A6. C7. B8. B 9. D 10. C11. 8 12. 208 13. 2514. 15. 280 16.17. 18. 130 19.20.21. 解:设每层楼高为x 米,由题意得: 米, , ,在 中, ,,在 中, ,, ,,解得: ,则居民楼高为 米. 22. 解:如图,作 , 水平线,由题意得: , , ,, , ,, , ,则 .23. 解: 过点C 作 ,则有 , ,;由题意得: ,在 中, , 在 中, ,教学楼的高 , 则教学楼的高约为 .24. 解:在 中, 米, , ,米;过D作,交AB于点F,,,,即为等腰直角三角形,设米,四边形DEAF为矩形,米,即米,在中,,米,米,米,,,,在中,根据勾股定理得:,解得:,则米.25. 解:如图,过点D作于点F,过点C作于点H.则,在直角中,,,.在直角中,,,,.答:障碍物B,C两点间的距离约为.26. 解:设米,在直角中,,,在直角中,,,米,,解得:米.答:小桥PQ的长度约是米.【解析】1. 解:设,在中,,,人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析) 9 / 14, ,.故选:A .设 ,在 中,根据,列出方程即可解决问题.本题考查解直角三角形、三角函数等知识,解题的关键是设未知数列方程,属于中考常考题型.2. 解:在 中,,, 在 中,,.故选B .先在 中利用正弦的定义计算出AD ,然后在 中利用正弦的定义计算AC 即可.本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角:坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比,又叫做坡比,它是一个比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i 表示,常写成 :m 的形式 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角,坡度i 与坡角 之间的关系为: . 3. 解:在 中, 米 , 米 ,地毯的面积至少需要 米 ; 故选:D .由三角函数表示出BC ,得出 的长度,由矩形的面积即可得出结果.本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算;由三角函数表示出BC 是解决问题的关键.4. 解:如图,过点B 作 于点N .由题意得,海里, .作 于点N .在直角三角形ABN 中, . 在直角 中, ,则 , 所以 海里 . 故选B .过点B 作 于点 根据三角函数求BN 的长,从而求BM 的长.解一般三角形,求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.5. 解:,. 故选A .根据三角函数的定义即可求解.本题考查了三角函数的定义,理解定义是关键. 6. 【分析】根据题意求出CE 的长,根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长,根据正弦的定义计算即可.本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题,理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.【解答】解:由题意得,,,,,,.故选:C.7. 解:第一艘快艇沿北偏西方向,第二艘快艇沿南偏西方向,,,,,第二艘快艇沿南偏西方向,,,第二艘快艇航行的方向和距离分别是:北偏西,千米.故选:B.根据题意得出以及,进而得出第二艘快艇航行的方向和距离.此题主要考查了方向角以及勾股定理,正确把握方向角的定义是解题关键.8. 解:如图作于E.在中,,,,在中,,,故选:B.如图作于在中,求出PE,在中,根据即可解决问题.本题考查方向角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.9. 解:坝高12米,斜坡AB的坡度:,米,米,米,故选:D.先根据坡比求得AE的长,已知,即可求得AD.此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况,将相关的知识点相结合更利于解题.10. 解:过D作于G,于H,,,背水坡CD的坡度:,背水坡EF的坡度:4,,,米,人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析) 11 / 14 故选C .过D 作 于G , 于H ,解直角三角形即可得到结论.本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义,构造直角三角形,利用三角函数表示相关线段的长度,难度一般.11. 解:分别过A 、D 作 , ,垂点分别为F 、G ,如图所示.在 中, 米, ,,, .在 中, , 米,.在 中, ,,,.即CE 的长为8米.故答案为8.分别过A 、D 作下底的垂线,设垂足为F 、 在 中,已知坡面长和坡角的度数,可求得铅直高度AF 的值,也就得到了DG 的长;在 中,由勾股定理求CG 的长,在 中,根据正切函数定义得到GE 的长;根据 即可求解. 本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题,锐角三角函数的定义,勾股定理 作辅助线构造直角三角形是解答此类题的一般思路.12. 解:由题意可得:, 解得: ,,解得: ,故该建筑物的高度为: ,故答案为:208.分别利用锐角三角函数关系得出BD ,DC 的长,进而求出该建筑物的高度. 此题主要考查了解直角三角形的应用,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键. 13. 解:如图,过点B 作 于点E ,坡度: : ,:, ,,.他升高了25m .故答案为:25.首先根据题意画出图形,由坡度为1: ,可求得坡角,又由小明沿着坡度为1:的山坡向上走了50m,根据直角三角形中,所对的直角边是斜边的一半,即可求得答案.此题考查了坡度坡角问题此题比较简单,注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.14. 解:在中,,,在中,,.故答案是:.先在中利用正弦的定义计算出AD,然后在中利用正弦的定义计算AC即可.本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题,难度不大,注意细心运算即可.15. 解:如图在中,,这名滑雪运动员的高度下降了280m.故答案为280如图在中,,可知这名滑雪运动员的高度下降了280m.本题考查解直角三角形、坡度坡角问题、锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义,属于中考常考题型.16. 解:在直角三角形ADB中,,,,在直角三角形ABC中,,,,,解得:.故答案为:.首先根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边AB及构造方程关系式,进而可解,即可求出答案.本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.17. 解:从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为、,,,,,是等腰直角三角形,,人教版数学九年级下28.2《解直角三角形的应用》测试题(含答案及解析) 13 / 14在 中, , ,,.故答案为: .先根据从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为 、 可求出 与 的度数,再由直角三角形的性质求出AD 与BD 的长,根据 即可得出结论.本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键.18. 解:作 于E , 于F ,斜坡CD 的坡比为1:2,即 ,,又 ,, ,由题意得,四边形BEFC 是矩形,, ,斜坡AB 的坡比为1:3,,即 , ,故答案为:130m .作 于E , 于F ,根据坡度的概念分别求出AE 、DF ,结合图形计算即可.本题考查的是解直角三角形的应用 坡度坡角问题,掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键,掌握矩形的判定和性质的应用.19. 解: : ,则 .故答案是: .根据坡度就是坡角的正切值即可求解.本题主要考查了坡度的定义,理解坡度和坡角的关系是解题的关键.20. 解:如图,作 , 水平线,由题意得: , , ,, ,,, ,,.故答案为: .作 , 水平线,根据题意确定出 与 的度数,利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长,由 求出BC 的长,即可求出BH 的长.此题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.21. 设每层楼高为x 米,由 求出 的长,进而表示出 与 的长,在直角三角形 中,利用锐角三角函数定义表示出 ,同理表示出 ,由 求出AB 的长即可.此题属于解直角三角形的应用 仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.22. 如图,作 , 水平线,根据题意确定出 与 的度数,利用锐角三角函数定义求出AD 与BD 的长,由 求出BC 的长,即可求出BH 的长.此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.23. 过点C作CE与BD垂直,根据题意确定出所求角度数即可;在直角三角形CBE中,利用锐角三角函数定义求出BE的长,在直角三角形CDE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长,由求出BD的长,即为教学楼的高.此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.24. 在直角三角形DCE中,利用锐角三角函数定义求出DE的长即可;过D作DF垂直于AB,交AB于点F,可得出三角形BDF为等腰直角三角形,设,表示出BC,BD,DC,由题意得到三角形BCD为直角三角形,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出AB的长.此题考查了解直角三角形仰角俯角问题,坡度坡角问题,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.25. 如图,过点D作于点F,过点C作于点通过解直角得到DF的长度;通过解直角得到CE的长度,则.本题考查了解直角三角形仰角俯角问题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.26. 设米,在直角和直角中分别利用x表示出AQ和BQ的长,根据,即可列方程求得x的值.本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是构造直角三角形,利用三角函数表示出相关线段的长度,难度一般.。
【最新人教版初中数学精选】第3套 28.2 解直角三角形及其应用课件2.ppt
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1.如图1,已知楼房AB高为50m,铁塔塔基距楼房地
基间的水平距离BD为100m,塔高CD(为100 3 50) m
,则下面结论中正确的是(C )
3
A.由楼顶望塔顶仰角为60°
B.由楼顶望塔基俯角为60°
C.由楼顶望塔顶仰角为30°
D.由楼顶望塔基俯角为30°
图1
2.如图2,在离铁塔BE 120m的A处, 用测角仪测量塔顶的仰角为30°, 已知测角仪高AD=1.5m,则塔高 BE=(_4_0__3__1_._5)_m(根号保留).
cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350
a 18
∴ PQ的长为
F
P Q
α O·
18 6400 3.14 640 2009.6
180
当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
在进行测量时,从下向上看,视线与水平线 的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.
小刘想测量学校操场旗杆顶端到 地面的距离,但旗杆底部不能直 接到达,请你应用今天所学知识, 帮助他设计一个测量方案,画出 示意图,相关数据用字母表示, 并与同学交流。
思想与方法
1.数形结合思想. 2.方程思想. 3.转化(化归)思想. 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题, 如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅 助线,构造出直角三角形.
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
C
160 3 277 .1
人教版九年级数学下册第28章28.2解直角三角形及其应用.docx
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初中数学试卷桑水出品新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形及其应用课时作业一、选择题1.如图是教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC的长为()A.303cmB.203cmC.103cmD.53cm知识点:解直角三角形解析:解答:在直角三角形ABC中,根据三角函数定义可知:tan∠BAC=BCAC,又AC=30cm,tan∠BAC=33,则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm.故选C.分析:此题考查学生掌握三角函数正弦、余弦及正切的定义,是一道基础题.要求注意观察生活中的数学问题,培养学生利用数学知识解决实际问题的能力,体现了数学来自于生活且服务于生活.因为教学用的直角三角板为直角三角形,所以利用三角函数定义,一个角的正切值等于这个角的对边比邻边可知∠BAC的对边为BC,邻边为AC,根据∠BAC的正切值,即可求出BC的长度.2. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为()A.24米 B. 20米 C. 16米 D. 12米答案:D知识点:解直角三角形的应用解析:解答:∵AB⊥BC,BC=24米,∠ACB=27°,∴AB=BC·tan27°,把BC=24米,tan27°≈0.51代入得,AB≈24×0.51≈12米.故选D.分析:本题考查的是解直角三角形的应用,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.直接根据锐角三角函数的定义可知,AB=BC·tan27°,把BC=24米,tan27°≈0.51代入进行计算即可.3.如图,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为()A.503米B. 1003米C 10031+米 D.10031-米知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析:解答:在Rt△ABD中,∵∠ADB=45,°∴BD=AB.在Rt△ABC中, ∵∠ACB=30°,∴ABBC=tan30°=33.∴BC=3AB. 设AB=x(米), ∵CD=100,∴BC=x+100. ∴x+100=3x,∴x=10031米.故选D.分析:本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.首先根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形,设AB=x(米),再利用CD=BC-BD=100的关系,进而可解即可求出答案.4.某水坝的坡度i=1:3,坡长AB=20米,则坝的高度为()答案:A.知识点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析:解答:如图:∵坡度i=1:3,∴设AC=x,BC=3x.根据勾股定理得AC2+BC2=AB2,则x2+(3x)2=202,解得x=10.故选A .分析:此题考查了坡比的概念,不仅要熟悉解直角三角形的知识,还要熟悉勾股定理.画出图形,根据坡度的定义__-直角三角形中,坡角的正切值,然后利用解直角三角形的知识解答. 5. 如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为( )A .103米B .10米C .203米D .2033米 答案:A知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题 解析:解答:∵在直角三角形ADB 中,∠D=30°, ∴ABBD=tan30°, ∴BD=tan 30ABo=3AB . ∴在直角三角形ABC 中,∠ACB=60°. ∴BC=tan 60ABo =33AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=3AB-33AB=20. 解得:AB=103. 故选A .分析:本题考查仰角的定义,要求学生能借助仰角构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.首先根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形,应利用其公共边AB 及CD=DC-BC=20构造方程关系式,进而可解,即可求出答案.6. 如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3,堤坝高BC=50m ,则迎水坡面AB 的长度是( )A .100mB .1003mC .150mD .503 m 答案:A知识点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析:解答:∵堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:3, ∴BC AC =33.∵BC=50m, ∴AC=503m. ∴AB=22AC BC =100m.故选:A .分析:此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题,关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比. 根据题意可得BCAC =33,把BC=50m ,代入即可算出AC 的长,再利用勾股定理算出AB 的长即可.7. 如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( )A .200米B .2003米C .2203米D .100(3+1)米 答案:D知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析:解答:由已知,得∠A=30°,∠B=45°,CD=100,∵CD⊥AB于点D,∴在Rt△ACD中,∠CDA=90°,tanA=CDAD.∴AD=tanCDA=10033=1003.在Rt△BCD中,∠CDB=90°,∠B=45°,∴DB=CD=100米.∴AB=AD+DB=1003+100=100(3+1)米.故选D.分析:本题考查了解直角三角形的应用,解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高,将三角形分成两个三角形,然后求解.分别在两三角形中求出AD与BD的长.图中两个直角三角形中,都是知道已知角和对边,根据正切函数求出邻边后,相加求和即可.8.为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出如图图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有()A.1组B.2组C.3组D.4组知识点:解直角三角形的应用解析:解答:此题比较综合,要多方面考虑,①因为知道∠ACB和BC的长,所以可利用∠ACB的正切来求AB的长;②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB;③,因为△ABD∽△EFD可利用EF FDAB BD,求出AB;④无法求出A,B间距离.故共有3组可以求出A,B间距离.故选C .分析:本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用,解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题,本题只要把实际问题抽象到相似三角形,解直角三角形即可求出.根据三角形相似可知,要求出AB ,只需求出EF 即可.所以借助于相似三角形的性质,根据EF FDAB BD=即可解答. 9. 如图,△ABC 中,cosB=22,sinC=35,AC=5,则△ABC 的面积是( )A.212B. 12C.14D.21 知识点:解直角三角形的应用 解析:解答:过点A 作AD ⊥BC , ∵△ABC 中,cosB=22,sinC=35,AC=5,∴cosB=22=BDAB .∴∠B=45°. ∵sinC=35=AD AC =5AD ,∴AD=3.∴CD=2253-=4. ∴BD=3.则△ABC的面积是:12×AD×BC=12×3×(3+4)=212.故选A.分析:此题主要考查了解直角三角形的知识,作出AD⊥BC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长,即可得出三角形的面积.10.(2011 荆州)在△ABC中,∠A=120°,AB=4,AC=2,则sinB的值是()A. 5714B.35C.217D.2114知识点:解直角三角形的应用解析:解答:延长BA作CD⊥BD,∵∠A=120°,AB=4,AC=2,∴∠DAC=60°,∠ACD=30°.∴2AD=AC=2,∴AD=1,CD=3,∴BD=5,∴BC=27,∴sinB=327=2114.故选:D.分析:此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用,根据题意得出∠DAC=60°,∠ACD=30°是解决问题的关键.根据∠A=120°,得出∠DAC=60°,∠ACD=30°,得出AD=1,CD=3,再根据BC=27,利用解直角三角形求出.11.如图所示,渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船正向东方向航行了12海里到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.123海里B.63海里C. 6海里D. 43海里 知识点:解直角三角形的应用-方向角问题 解析:解答:由已知得:∠BAC=90°-60°=30°, 在直角三角形ABC 中, BC=ABtan30°=12×33=43(海里). 故选:D .分析:此题考查的知识点是解直角三角形的应用,关键是先得∠BAC=30°,再解直角三角形ABC 即可.此题易得∠BAC=30°,再由直角三角形ABC 运用三角函数求得渔船与灯塔C 的距离BC . 12. 如图,小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离,沿着与AB 垂直的方向走了m 米,到达点C ,测得∠ACB=α,那么AB 等于( )A. msin α米B.mtan α米C.mcos α米D. tan mα米 知识点:解直角三角形的应用解析:解答:在直角△ABC 中,tan α=AB m,∴AB=mtan α. 故选B .分析:此题考查了三角函数的基本概念,主要是正切概念及运算.在直角△ABC 中,已知∠α及其邻边,求∠α的对边,根据三角函数定义即可求解.13. 如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE 为5m ,AB 为1.5m (即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是( )A. (533+32)m B. (53+32)m C.533m D.4m知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析:解答:∵AD=BE=5米,∠CAD=30°,∴CD=ADtan30°=5×33=533(米).∴CE=CD+DE=CD+AB=533+32(米).故选A.分析:此题主要考查学生对坡度坡角的理解及解直角三角形的综合运用能力.应先根据相应的三角函数值算出CD长,再加上AB长即为树高.14.一艘轮船从港口O出发,以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处,此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B.若以港口O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向,正北方向为y轴的正方向,1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系(如图),则小岛B所在位置的坐标是()A. (303-50,30)B. (30, 303-50)C. (303,30)D.(30, 303)知识点:解直角三角形的应用-方向角问题解析:解答:过点A作AC⊥x轴于C.在直角△OAC中,∠AOC=30°,OA=4×15=60海里,则AC=12OA=30海里,OC=303海里.因而A所在位置的坐标是(303,30).小岛B在A的正西50海里处,因而小岛B所在位置的坐标是(303-50,30).故选A.分析:本题主要考查了方向角含义,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键.过点A作AC⊥x轴于C,根据已知可求得点A的坐标,从而根据已知求点B的坐标.15.在一次夏令营活动中,小亮从位于A点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km到达B地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地,测得A地在C地南偏西30°方向,则A、C两地的距离为()A. 1033km B.533km C.52km D.53km知识点:解直角三角形的应用-方向角问题解析:解答:如图.由题意可知,AB=5km,∠2=30°,∠EAB=60°,∠3=30°.∵EF∥PQ,∴∠1=∠EAB=60°又∵∠2=30°,∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-60°-30°=90°.∴△ABC是直角三角形.又∵MN∥PQ,∴∠4=∠2=30°.∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°.∴AC=sinABACB=532=1033(km).故选A.分析:本题是方向角问题在实际生活中的运用,解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答.根据已知作图,由已知可得到△ABC是直角三角形,从而根据三角函数即可求得AC的长.1.数学实践探究课中,老师布置同学们测量学校旗杆的高度.小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方,用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°,则旗杆的高度是____答案:3知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析:解答:如图,根据题意得:AC=10米,∠ACB=60°,∵∠A=90°,∴在Rt△ABC中,AB=ACtan∠ACB=10×tan60°=10×3=103(米).故答案为:103.分析:本题考查仰角的定义.注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想的应用.由根据题意得:AC=10米,∠ACB=60°,然后再在Rt△ABC中,利用正切函数,即可求得旗杆的高度.2.如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1:5,则AC 的长度是____答案:210cm.知识点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题解析:解答:过点B作BD⊥AC于D,根据题意得:AD=2×30=60(cm),BD=18×3=54(cm),∵斜坡BC的坡度i=1:5,∴BD:CD=1:5,∴CD=5BD=5×54=270(cm),∴AC=CD-AD=270-60=210(cm).∴AC的长度是210cm.故答案为:210.分析:此题考查了解直角三角形的应用:坡度问题.此题难度适中,注意掌握坡度的定义,注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.首先过点B作BD⊥AC于D,根据题意即可求得AD与BD的长,然后由斜坡BC的坡度i=1:5,求得CD的长,继而求得答案.3.如图,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB=AC,若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=____答案:2-3.解析:解答:由已知设AB=AC=2x,∵∠A=30°,CD⊥AB,∴CD=12AC=x,则AD2=AC2-CD2=(2x)2-x2=3x2,∴AD=3x,∴BD=AB-AD=2x-3x=(2-3)x,∴tan15°=BDCD=(23)xx=2-3.故答案为:2-3.分析:此题考查的知识点是解直角三角形,关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD,再求出BD.此题可设AB=AC=x,由已知可求出CD和AD,那么也能求出BD=AB-AD,从而求出tan15°.4.如图,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°,那么旗杆的高度约是____米(结果保留整数).(参考数据:sin56°≈0.829,cos56°≈0.559,tan56°≈1.483)答案:12解析:解答:由题意知BC=8,∠C=56°,故AB=BCtan56°≈8×1.483≈12米,故答案为12.分析:本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解.在直角三角形ABC中,根据BC=8,∠ACB=56°即可求得AB的长.5.如图,为了测量电线杆AB的高度,小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m的D处.若测角仪CD的高度为1.5m,在C处测得电线杆顶端A的仰角为36°,则电线杆AB的高度约为____(精确到0.1m).(参考数据sin36°≈0.59.cos36°≈0.81,tan36°≈0.73).答案:8.1 m.知识点:解直角三角形的应用解析:解答:如图,在Rt△ACE中,∴AE=CEtan36°=BDtan36°=9×tan36°≈6.57米,∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1(米).故答案为:8.1.分析:本题考查了三角函数在直角三角形中的运用,本题中正确计算AE的值是解题的关键.根据CE和tan36°可以求得AE的长度,根据AB=AE+EB即可求得AB的长度,即可解题.三、解答题1.为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长.(参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,t an54°≈1.38,3≈1.73,精确到个位)知识点:解直角三角形解析:解答:过点C 作CD ⊥AB 于D , ∵BC=200m ,∠CBA=30°, ∴在Rt △BCD 中,CD=12BC=100m ,BD=BCcos30°=200×32=1003≈173(m ), ∵∠CAB=54°, 在Rt △ACD 中,AD=tan 45oCD ≈1001.38≈72(m ), ∴AB=AD+BD=173+72=245(m ). 答:隧道AB 的长为245m .分析:此题考查了解直角三角形的应用.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意把实际问题转化为数学问题求解.首先过点C 作CD ⊥AB 于D ,然后在Rt △BCD 中,利用三角函数的知识,求得BD ,CD 的长,继而在Rt △ACD 中,利用∠CAB 的正切求得AD 的长,继而求得答案.2. 如图所示,两个建筑物AB 和CD 的水平距离为30m ,张明同学住在建筑物AB 内10楼P 室,他观测建筑物CD 楼的顶部D 处的仰角为30°,测得底部C 处的俯角为45°,求建筑物CD 的高度.(3取1.73,结果保留整数.)知识点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题解析:解答:过点P作PE⊥CD于E,则四边形BCEP是矩形.∴PE=BC=30.在Rt△PDE中,∵∠DPE=30°,PE=30,∴DE=PE×tan30°=30×33=103.在Rt△PEC中,∵∠EPC=45°,PE=30,∴CE=PE×tan45°=30×1=30.∴CD=DE﹢CE=30﹢103=30﹢17.3≈47(m)答:建筑物CD的高约为47 m.分析:本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.过点P作PE⊥CD于E,则四边形BCEP是矩形,得到PE=BC=30,在Rt△PDE中,利用∠DPE=30°,PE=30,求得DE的长;在Rt△PEC中,利用∠EPC=45°,PE=30求得CE的长,利用CD=DE﹢CE即可求得结果.3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,已知CD⊥AB,BC=1(1)如果∠BCD=30°,求AC;10知识点:解直角三角形解析:解答:(1)∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,答案:A、C之间的距离为10.3海里.知识点:解直角三角形的应用-方向角问题解析:解答:作AD⊥BC,垂足为D,由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°,设CD=x,在Rt△ACD中,可得AD=x,在Rt△ABD中,可得BD=3x,又∵BC=20,即x+3x=20,解得:x=10(3-1)∴AC=2x≈10.3(海里).答:A、C之间的距离为10.3海里.分析:此题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据题意构造直角三角形,将实际问题转化为数学模型进行求解,难度一般.作AD⊥BC,垂足为D,设CD=x,利用解直角三角形的知识,可得出AD,继而可得出BD,结合题意BC=CD+BD=20海里可得出方程,解出x的值后即可得出答案.5.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5米,斜坡AB的坡度i=1:3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1:1.5,已知该拦水坝的高为6米.(1)求斜坡AB 的长;(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 答案:(1)斜坡AB 的长为610m ;(2)拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为(37+610 +313)m .知识点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题 解析:解答:(1)∵AE BE =i =13,AE=6, ∴BE=3AE=18,在Rt △ABE 中,根据勾股定理得: AB=22AE BE +=610,答:斜坡AB 的长为610m ; (2)过点D 作DF ⊥BC 于F , 可得四边形AEFD 是矩形, 故EF=AD ,∵AD=5,∴EF=5, ∵DF CF =i=23, DF=AE=6, ∴CF=32DF=9, ∴BC=BE+EF+CF=18+5+9=32, 在Rt △DCF 中,根据勾股定理得: DC=22DF CF + =313,∴梯形ABCD 的周长为:AB+BC+CD+DA=610+32+313+5=37+610+313,——————————新学期新成绩新目标新方向——————————桑水。
人教版九年级数学下册 第二十八章 28.2.3 解直角三角形的五种常见类型 习题课件【名校课件】
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解:如图,作 DH⊥AC 于点 H. ∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE= 2, ∴EH=DE·cos 45°= 2× 22=1. ∴DH=1.
习题链接
又∵∠DCE=30°,∴HC=taDnH30°= 3,CD=sinDH30°=2.
习题链接 6.如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 是∠BAC 的平
分线,与 BC 相交于点 D,且 AB=4 3,求 AD 的长.
解:∵∠C=90°,∠B=30°,AB=4 3, ∴∠CAB=60°,AC=AB·sin 30°=4 3×12=2 3. 又∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠CAD=30°. ∵cos∠CAD=AADC=2AD3= 23,∴AD=4.
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求 sin∠BAC 的值和点 B 到直线 MC 的距离.
解:∵AB=13,AC=12,∠ACB=90°, ∴BC= AB2-AC2= 169-144= 25=5. ∴sin∠BAC=BACB=153.
习题链接
设点 B 到直线 MC 的距离为 d. ∵∠BCM=∠BAC,∴sin∠BAC=sin∠BCM. ∴sin∠BCM=BdC=153,即d5=153,∴d=2153. 即点 B 到直线 MC 的距离为2153.
∠C 的对边,a=2 3,b=6,解这个直角三角形. 解:∵a=2 3,b=6,∠C=90°, ∴c= a2+b2= 12+36= 48=4 3. ∵tan A=ab=263= 33,∴∠A=30°. ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
人教版-数学-九年级下册--28.2解直角三角形 本站原创 完整版
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解直角三角形一、选择题1.(2009年甘肃兰州)如图,在平地上种植树木时,要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树,也要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为A.5m B.6m C.7m D.8m【关键词】解直角三角形.坡度【答案】A2.(2009年吉林长春).菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC∠==°,B的坐标为()A.2,B.2),C.211),D.(121),【关键词】菱形的性质与判定.直角三角形的有关计算.平面内点的坐标的意义【答案】C3.(2009年河北)图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB.CD分别表示一楼.二楼地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是()A833m B.4 m C.43m D.8 m【关键词】解直角三角形【答案】B4.(2009年山东潍坊)如图,小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离,在A点测得30BAD∠=°,在C点测得60BCD∠=°,又测得50AC=米,则小岛B到公路l的距离为()米.C D150°hxyOC BAA.25 B.253C.1003D.25253+【关键词】解直角三角形【答案】B5.(2009年湖北恩施)如图5,在ABC△中,C∠9060B D=∠=°,°,是AC上一点,DE AB⊥于E,且21CD DE==,,则BC的长为()A.2 B.433C.23D.43【关键词】解直角三角形.【答案】B6.(200 9年浙江丽水)如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2 , l2,l3之间的距离为3 ,则AC的长是()A.172B.52C.24D.7【关键词】直线与直线的距离.勾股定理,解直角三角形【答案】A7.(2009年山东泰安)在一次夏令营活动中,小亮从位于A点的营地出发,沿北偏东60°方向走了5km到达B地,然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地,测得A地在C 地南偏西30°方向,则A.C两地的距离为l1l2l3ACBBCA D lA .km 3310 B.km 335 C.km 25 D.km 35 【关键词】解直角三角形【答案】A8.(2009年甘肃白银)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )A .8米B .83米C .833米D .433米 【关键词】倾斜角.直角三角形的有关计算【答案】C9.(2009年湖南益阳)如图3,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为A. αcos 5B. αcos 5C. αsin 5D. αsin 5【关键词】解直角三角形【答案】B10..(2009年甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于60°,否则就有危险,那么梯子的长至少为( )A .8米B .83米C .833米D .433米 【关键词】解直角三角形【答案】C11.(2009年青海)一根电线杆的接线柱部分AB 在阳光下的投影CD 的长为1米,太阳光线与地面的夹角60ACD ∠=°,则AB 的长为( )A .12米B .3米α5米AB图3 第9题图C.32米D.33米【关键词】解直角三角形【答案】B二、填空题1.(2009年湖北仙桃)如图所示,小华同学在距离某建筑物6米的点A处测得广告牌B点.C 点的仰角分别为52°和35°,则广告牌的高度BC为_____________米(精确到0.1米).(sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70;sin52°≈0.79,cos52°≈0.62,tan52°≈1.28)【关键词】解直角三角形.【答案】3.52. (2009年广西桂林)如图,在一次数学课外活动中,测得电线杆底部B与钢缆固定点C 的距离为4米,钢缆与地面的夹角为60º,则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是米.(结果保留根号).【关键词】直角三角形【答案】33.(2009年黑龙江齐齐哈尔)(用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形,所得的四边形的周长是____________.【关键词】直角三角形性质【答案】14或16或184.(2009年浙江宁波)如图,在坡屋顶的设计图中,AB AC=,屋顶的宽度l为10米,坡角α为35°,则坡屋顶高度h为米.(结果精确到0.1米)【关键词】直角三角形的有关计算【答案】3.55.(2009浙江丽水)将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MDAB Chlα第15题图AB C重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是▲cm2 (结果精确到0.1,73.13≈).【关键词】特殊三角形【答案】20.36.(2009年湖南怀化)如图8,小明从A地沿北偏东ο30方向走1003m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时小明离A地m.【关键词】直角三角形的有关计算【答案】1007.(2009年湖北鄂州) 小明同学在东西方向的沿江大道A处,测得江中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处正东400米的B处,测得江中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到沿江大道的距离为____________米.【关键词】方位角【答案】32008.(2009年广西南宁)如图,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔2A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则海轮行驶的路程AB为_____________海里(结果保留根号).图2图1A(M)EDCBDCB A(M)【关键词】直角三角形的有关计算【答案】()40340+9.(2009年甘肃白银)如图7,在△ABC 中,5cm AB AC ==,cos B 35=.如果⊙O 的半径为10cm ,且经过点B .C ,那么线段AO = cm .【关键词】直角三角形的有关计算【答案】510.(2009年湖南衡阳)某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个破面的坡度为_________.【关键词】三角函数.坡度【答案】1:211.(2009年广西梧州)在△ABC 中,∠C =90°, BC =6 cm ,53sin =A ,则AB 的长是 cm . 【关键词】解直角三角形【答案】1012.(2009年内蒙古包头)如图,已知ACB △与DFE △是两个全等的直角三角形,量得它们的斜边长为10cm ,较小锐角为30°,将这两个三角形摆成如图(1)所示的形状,使点B C F D 、、、在同一条直线上,且点C 与点F 重合,将图(1)中的ACB △绕点C 顺时针方向旋转到图(2)的位置,点E 在AB 边上,AC 交DE 于点G ,则线段FG 的长为 cm (保留根号).【关键词】旋转.直角三角形答案:213.(2009年山东青岛)如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ,高为6cm .如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ,那么所用细线最短需要 cm ;如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ,那么所用细线最短需要 cm .【关键词】直角三角形的有关计算.勾股定理【答案】10,14.(2009年安徽)长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 m .【关键词】直角三角形的有关计算【答案】三、解答题1.(2009年辽宁朝阳)一艘小船从码头A 出发,沿北偏东53°方向航行,航行一段时间到达小岛B 处后,又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C 处,这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上,求此时小船与码头之间的距离1.4 1.7,结果保留整数).第13题图 BA 6cm 3cm1cm第4题图 AEC (F )B 图(1) E A G BC (F )D 图(2)【关键词】解直角三角形 【答案】解:由题意知:532330BAC ∠=-︒=︒°(1分)232245C ∠=+︒=︒°过点B 作BD AC ⊥,垂足为D ,则CD BD =10BC =Q 2cos 4510527.0CD BC ∴=︒=⨯=·≈ 352525235 1.4 1.711.9tan3033BC AD ==÷=⨯=⨯⨯⨯≈≈° 11.97.018.919AC AD CD ∴=+=+=≈答:小船到码头的距离约为19海里.2.(2009四川眉山)海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向,2小时后船行驶到C 处,发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向,求此时灯塔B 到C 处的距离.【关键词】解直角三角形【答案】解:如图,过B 点作BD ⊥AC 于D∴∠DAB =90°-60°=30°,∠DCB =90°-45°=45°设BD =x在Rt △ABD 中,AD =x ⋅tan30°=33x 在Rt △BDC 中BD =DC =x BC 2x 又AD =5×2=10 310x x +=得5(31)x = ∴25(31)62)BC ==(海里)答:灯塔B 距C 处5(62)海里3.(2009年广东中山)如图所示,A .B 两城市相距100km ,现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB ),经测量,森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上,已知森林保护区的范围在以P 点为圆心,50km 为半径的圆形区域内,请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区,为什么?(参考数据:3 1.732,2 1.414)【关键词】方位角问题【答案】过点P 作PC AB ⊥,C 是垂足,则30APC ∠=°,45BPC ∠=°,tan30AC PC =g °,tan 45BC PC =g °,AC BC AB +=Q ,tan30tan 45100PC PC ∴+=g g °°, 31100PC ⎫∴+=⎪⎪⎝⎭,50(33)50(3 1.732)63.450PC ∴=⨯->≈≈,答:森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径,所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.4.(2009年黑龙江哈尔滨)如图,一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行,在A 处测得灯塔C 在北偏西30°方向,轮船航行2小时后到达B 处,在B 处测得灯塔C 在北偏西60°方向.当轮船到达灯塔C 的正东方向的D 处时,求此时轮船与灯塔C 的距离.(结果保留根号)【关键词】方位角问题【答案】先把此题转化为数学问题,本题即是求CD 的长,再利用速度与时间的乘积计算出线段AB 的长,再利用直角三角形的性质,结合方程即可求解.由题意得306030CAB CBD ACB ∠=∠=∴∠=°,°,°,BCA CAB ∴∠=∠,20240BC AB ∴==⨯=.C DBA北60°30° A B FE PC90sin CD CDB CBD BC ∠=∴∠=Q °,.sin 60CD BC ∴==°40CD BC ∴===. ∴此时轮船与灯塔C的距离为5.(2009年四川凉山州)如图,要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ,已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区,在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上,从A 向东走600米到达B 处,测得C 在点B 的北偏西60°方向上.(1)MN1.732)(2)若修路工程顺利进行,要使修路工程比原计划提前5天完成,需将原定的工作效率提高25%,则原计划完成这项工程需要多少天?【关键词】三角函数.列方程解应用题【答案】(1)理由如下:如图,过C 作CH AB ⊥于H ,设CH x =,由已知有4560EAC FBC ∠=∠=°,°则4530CAH CBA ∠=∠=°,°,在Rt ACH △中,AH CH x ==,在Rt HBC △中,tan CH HBC HB∠=tan 30CH HB ∴===°,AH HB AB +=Q600x ∴=解得220x =(米)>200(米).MN ∴不会穿过森林保护区. (2)解:设原计划完成这项工程需要y 天,则实际完成工程需要(5)y -天. CHF B N M A E60° 45°(第21题答图) CB N M A(第21题)根据题意得:11(125%)5y y=+⨯-,解得:25y=,经检验知:25y=是原方程的根.答:原计划完成这项工程需要25天.6.(2009年吉林长春)如图,两条笔直的公路AB CD、相交于点O,AOC∠为36°,指挥中心M设在OA路段上,与O地的距离为18千米.一次行动中,王警官带队从O地出发,沿OC方向行进,王警官与指挥中心均配有对讲机,两部对讲机只能在10千米之内进行通话,通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据:sin360.59cos360.81tan360.73===°,°,°.】【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解:过点M作MH⊥OC于点H.在Rt△MOH中,sin∠MOH=OMMH.(3分)∵OM=18,∠MOH=36°,∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10.即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话.(6分)7. (2009年辽宁锦州)为了加快城市经济发展,某市准备修建一座横跨南北的大桥.如图10所示,测量队在点A处观测河对岸水边有一点C,测得C在北偏东60°的方向上,沿河岸向东前行30米到达B处,测得C在北偏东45°的方向上,请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度.(结果保留根号)【关键词】直角三角形的有关计算.分式方程【答案】C解:过点C作CD⊥AB于D.设CD=x米.在Rt△BCD中,∠CBD=45°,OAMB36°∴BD=CD=x米.在Rt△ACD中,∠DAC=30°,AD=AB+BD=(30+x)米.∵tan∠DAC=,∴.∴x=.答:这条河的宽度为()米.8.(2009年湖南郴州)如图7,数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度,测角仪AB的高度为1.5米,测得仰角α为30°,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米,求路灯的高度MN2=1.4143,结果保留两位小数)【关键词】直角三角形【答案】解:在直角三角形MPA中,30α∠=°,10AP=米310tan3010 5.773MP=窗=椿米因为 1.5AB=米所以 1.5 5.87.27MN=+=米答:路灯的高度为7.27米9.(2009年湖南常德)如图5,某人在D处测得山顶C的仰角为30o,向前走200米来到山脚A处,测得山坡AC的坡度为i=1∶0.5,求山的高度(不计测角仪的高度,3 1.73,结果保留整数).αN BAPM图7【关键词】直角三角形【答案】设山高BC =x ,则AB =12x , 由tan 3012002BC x BDx ==+o ,得 (231)400x -=,解得400(231)162231x +==-≈米 10. (2009年四川达州) 阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度,他们带了以下测量工具:皮具.三角尺.标杆.小平面镜等.首先,小明说:“我们用皮尺和三角尺(含30︒角)来测量”.于是大家一起动手,测得小明与旗杆的距离AC 为15㎝,小明的眼睛与地面的距离为1.6㎝,如图9(甲)所示.然后,小红和小强提出了自己的想法.小红说:“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度.”小强说:“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度!”根据以上情景,解答下列问题:(1)利用图9(甲),请你帮助小明求出旗杆AB 的高度(结果保留整数.参考数据:5.030sin =︒,87.030cos ≈︒,58.030tan ≈︒,73.130cot ≈︒);(2)你认为小红和小强提出的方案可行吗?如果可行,请选择一中..方案在图9(乙)中画出测量示意图,并简述..测量步骤. 图5【关键词】解直角三角形【答案】20.解:(1)过点D 作DE ⊥AB 于点E ,在Rt △BDE 中,DE=AC=15m ,∠BDE=30°∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m)∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m(2)小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案:利用皮尺和标杆:(1)测量旗杆的影长AG(2)测量标杆EF 的长度(3)测量同一时刻标杆影长FH小强的方案:把小平面镜放在适当的位置(如图点P 处),使得小强可以在镜中看到旗杆AB 的顶端 步骤:(1)测出AP 的长度(2)测出NP 的长度(3)测出小强眼睛离地面的高度MN11.(2009年福建宁德) 某大学计划为新生配备如图(1)所示的折叠椅.图(2)是折叠椅撑开后的侧面示意图,其中椅腿AB 和CD 的长相等,O 是它们的中点.为使折叠椅既舒适又牢固,厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ,∠DOB =100°,那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ?(结果精确到0.1cm )【关键词】解直角三角形解法1:连接AC ,BD∵OA=OB=OC=OB∴四边形ACBD 为矩形∵∠DOB=100º, ∴∠ABC=50º A O D100º 32 cm图(2)由已知得AC=32在Rt △ABC 中,sin ∠ABC=ABAC ∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8(cm ) tan ∠ABC=BC AC ,∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9 (cm ) ∴AD=BC =26.9 (cm )答:椅腿AB 的长为41.8cm ,篷布面的宽AD 为26.9cm .解法2:作OE ⊥AD 于E.∵OA=OB=OC=OD, ∠AOD=∠BOC∴△AOD ≌△BOC∵∠DOB =100º, ∴∠OAD =50º∴OE =3221⨯=16在Rt △AOE 中,sin ∠OAE =AOOE ∴AO =OAEOE ∠sin = ︒50sin 16≈20.89 ∴AB =2AO ≈41.8(cm )tan ∠OAE =AE OE ,AE=OAE OE ∠tan =︒50tan 16≈13.43 ∴AD =2 AE ≈26.9(cm )答:椅腿AB 的长为41.8cm ,篷布面的宽AD 为26.9cm .12.(2009年河北) 图10是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线,CD ∥AB ,且CD = 24 m ,OE ⊥CD 于点E .已测得sin ∠DOE = 1213.(1)求半径OD ;(2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?【关键词】解直角三角形,勾股定理,O图10图(2)解:(1)∵OE ⊥CD 于点E ,CD =24,∴ED =12CD =12. 在Rt △DOE 中,∵sin ∠DOE =ED OD =1213, ∴OD =13(m ).(2)OE =22OD ED - =2213125-=.∴将水排干需:5÷0.5=10(小时).13.(2009年湖北黄冈) 如图,在海面上生产了一股强台风,台风中心(记为点M )位于海滨城市(记作点A )的南偏西15°,距离为612千米,且位于临海市(记作点B )正西方向603千米处.台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动(假设台风在移动过程中的风力保持不变),距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭.(1)滨海市.临海市是否会受到此次台风的侵袭?请说明理由.(2)若受到此次台风侵袭,该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时?【关键词】解直角三角形的应用【答案】(1)过点A 作AC ⊥MN 于C,过点B 作BD ⊥MN 于D.在Rt △AMC 中, ∠AMC=60°-15°=45°∴AC=612=AM>60∴滨海市不会受到此次台风的侵袭在Rt △MBD 中, ∠BMD=90°-60°=30°∴BD=3302=BM <60 ∴临海市会受到此次台风的侵袭(2)设台风中心在EF 段移动时临海市受侵袭.则EB=FB=60NC DEF由勾股定理知ED=()303306022=-∴EF=60受影响的时间是7260÷=65(时) 14.(2009年四川成都)某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一幢教学楼的高度.如图,他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向教学楼前进60米到达点D ,又测得点A 的仰角为45°.请你根据这些数据,求出这幢教学楼的高度.(计算过程和结果均不取近似值) AB C D 【关键词】仰角,俯角【答案】如图,由已知可得∠ACB=30°,∠ADB=45°∴在Rt △ABD 中,BD=AB又在Rt △ABC 中,∵ tan30°=BCAB ∴33=BC AB ,即BC=3AB ∵BC=CD+BD ,∴3AB=CD+AB 即(3-1)AB=60∴AB=1360-=30(3+1)米∴教学楼高度为30(3+1)米15.(2009四川綦江)如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE=BC ,DF ⊥AE ,垂足为F ,连接DE . (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值.【关键词】全等三角形,矩形,三角函数 DA B C E F【答案】(1)证明:在矩形ABCD中,90BC AD AD BC B=∠=,∥,°DAF AEB∴∠=∠DF AE AE BC⊥=Q,90AFD B∴∠=∠°=AE AD=ABE DFA∴△≌△.(2)解:由(1)知ABE DFA△≌△6AB DF∴==在直角ADF△中,8 AF===2EF AE AF AD AF∴=-=-=在直角DFE△中,DE==sinEFEDFDE∴∠===16.(2009山东威海)如图,一巡逻艇航行至海面B处时,得知其正北方向上C处一渔船发生故障.已知港口A处在B处的北偏西37°方向上,距B处20海里;C处在A处的北偏东65°方向上.求B,C之间的距离(结果精确到0.1海里).参考数据:sin370.60cos370.80tan370.75≈≈≈o o o,,,sin650.91cos650.42tan65 2.14.≈≈≈o o o,,【关键词】方位角问题【答案】过点A作AD BC⊥,垂足为D在Rt ABD△中,20AB=,37B∠=°,∴sin3720sin3712AD AB==·°°≈.cos3720cos3716BD AB==·°°≈.在Rt ADC△中,65ACD∠=°,∴12 5.61tan 65 2.14AD CD =≈≈° 5.611621.6121.6BC BD CD ∴=++=≈≈(海里)答:B C ,之间的距离约为21.6海里.17.(2009年湖南长沙)某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动.如图,他们在河东岸边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向,然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C 处,测得B 在点C 的南偏西60°方向上,他们测得的湘江宽1.4141.732)【答案】解:由题意得:ABC △中,9060550BAC ACB AC ∠=∠==°,°,, tan AB AC ACB =∠g≈952.6≈953≈(米). 答:他们测得湘江宽度为953米.18.(2009年内蒙古包头)如图,线段AB DC 、分别表示甲.乙两建筑物的高,AB BC DC BC ⊥,⊥,从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为30°,已知甲建筑物高36AB =米.(1)求乙建筑物的高DC ;(2)求甲.乙两建筑物之间的距离BC (结果精确到0.01米).1.414 1.732)【答案】本题考查三角函数在实际生活中测物高的应用,涉及到仰角有关概念.解方程及近似计算等.(1)过点A 作AE ⊥CD 于E ,根据题意,得60,30,DBC DAE αβ∠=∠=︒∠=∠=︒AE=BC ,EC=AB=36米,设DE=x ,则DC=DE+EC=X+36, αβ D乙 C B A甲北东西在RT AED ∆,tan tan 30DE DAE AE ∠=︒=,∴AE =,∴BC AE ==在RT DCB ∆中,tan tan 60DC DBC BC ∠=︒= ,= ∴336,18,x x x =+= ∴DC=54(米)(2).∵,18BC AE x ===,∴1818 1.73231.18BC ==⨯≈(米)19. (2009年山西太原)如图,从热气球C 上测得两建筑物A .B 底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD 为90米.且点A .D .B 在同一直线上,求建筑物A .B 间的距离.【关键词】解直角三角形【答案】解:由已知,得306090ECA FCB CD ∠=∠==°,°,,EF AB CD AB ⊥∥,于点D .3060A ECA B FCB ∴∠=∠=∠=∠=°,°.在Rt ACD △中,90tan CD CDA A AD∠=°,=,90tan CD AD A ∴==== 在Rt BCD △中,90tan CD CDB B BD∠=°,=,tan CD DB B ∴===AB AD BD ∴=+==(米).答:建筑物A B 、间的距离为米.20.(2009湖北襄樊)为打击索马里海盗,保护各国商船的顺利通行,我海军某部奉命前往该海域执行护航任务.某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命.位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击,船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰(如图9所示),便发出紧急求救信号.我护航舰接警后,立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援.问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C 处?(结果精确到个位.参考数据:2 1.43 1.7≈,≈)【关键词】解直角三角形【答案】解:由图可知,3045ACB BAC =︒=︒∠,∠作BD AC ⊥于D (如图),在Rt ADB △中,20AB = ∴2sin 4520102BD AB ==⨯=g ° 在Rt BDC △中,30ACB =︒∠∴210220228BC =⨯=≈∴280.4760≈ ∴0.476028.228⨯=≈(分钟) 答:我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置C .21.(2009年贵州黔东南州)如图7,在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ,A .B 是地面上相距90米的两点,它们分别在汽球的正西和正东,测得仰角∠PAB=45o ,仰角∠PBA=30o ,求汽球P 的高度(精确到0.1米,3=1.732)C AB60°45° 北北D C A B60°45° 北北图9【关键词】仰角,俯角【答案】解:过点P 作PC ⊥AB 于C 点,设PC=x 米.在Rt △PAC 中,tan ∠PAB=ACPC ,∴︒=45tan PC AC =PC=x (米) 在Rt △PBC 中,tan ∠PBA=BCPC ∴BC=︒30tan PC =x 3(米) 又∵AB=90∴AB=AC+BC=903=+x x∴)13(453190-=+=x (米) ∴PC=45(1.732-1)=32.9(米)答:略22.(2009年江苏)如图,在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ,点A 到航线l 的距离为2km ,点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处.现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处,正沿该航线自西向东航行,5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处.(1)求观测点B 到航线l 的距离;(2)求该轮船航行的速度(结果精确到0.1km/h ).(参考数据:3 1.73≈,sin760.97°≈, cos760.24°≈,tan76 4.01°≈)【关键词】方位角问题【答案】(1)设AB 与l 交于点O .在Rt AOD △中,6024cos60AD OAD AD OA ∠====°,,°. 又106AB OB AB OA =∴=-=,.在Rt BOE △中,60cos603OBE OAD BE OB ∠=∠=∴==g °,°(km ).∴观测点B 到航线l 的距离为3km .(2)在Rt AOD △中,tan 60OD AD ==g °在Rt BOE △中,tan 60OE BE ==g °DE OD OE ∴=+=.在Rt CBE △中,763tan 3tan76CBE BE CE BE CBE ∠==∴=∠=g °,,°.3tan 76 3.38CD CE DE ∴=-=-°.15min h 12=,1212 3.3840.6112CD CD ∴==⨯≈(km/h ). 答:该轮船航行的速度约为40.6km/h .23.(2009年吉林)小鹏学完解直角三角形知识后,给同桌小艳出了一道题:“如图所示,把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中,恰好四个顶点都在横格线上,已知α=36°,求长方形卡片的周长.”请你帮小艳解答这道题.(精确到1mm )(参考数据:sin36°≈0.60,cos36°≈0.80,tan36°≈0.75)【关键词】解直角三角形【答案】解:作BE l ⊥于点E ,DF l ⊥于点F .18018090909036.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=-∠=-=∠+∠=︒∴∠==︒Q °°°°,,根据题意,得BE =24mm ,DF =48mm.在Rt ABE △中,sin BE ABα=, 2440sin 360.60BE AB ∴===°mm ClC在Rt ADF △中,cos DF ADF AD∠=, 4860cos360.80DF AD ∴===°mm . ∴矩形ABCD 的周长=2(40+60)=200mm .24.(2009年浙江台州)如图,有一段斜坡BC 长为10米,坡角12CBD ︒∠=,为方便残疾人的轮椅车通行,现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD ;(2)求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米).【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解:(1)在BCD Rt ∆中,︒=12sin BC CD1.221.010=⨯≈(米).(2)在BCD Rt ∆中,︒=12cos BC BD8.998.010=⨯≈(米);在ACD Rt ∆中,︒=5tan CD AD 2.123.330.09≈≈(米), 23.339.813.5313.5AB AD BD =-≈-=≈(米). 答:坡高2.1米,斜坡新起点与原起点的距离为13.5米25.(2009年浙江宁波)已知,如图,O ⊙的直径AB 与弦CD 相交于E ,»»BCBD =,O ⊙的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F .(1)求证:CD BF ∥;(2)连结BC ,若O ⊙的半径为4,3cos 4BCD ∠=,求线段AD .CD 的长. 【关键词】直角三角形的有关计算 【答案】解:(1)Q 直径AB 平分»CD, ∴AB CD ⊥.BF Q 与O ⊙相切,AB 是O ⊙的直径,AB BF ∴⊥.CD BF ∴∥.(2)连结BD ,D CBA 5°12°Q AB 是O ⊙的直径,90ADB ∴∠=°,在Rt ADB △中, 3cos cos 4A C ∠=∠=Q ,428AB =⨯=. 3cos 864AD AB A ∴=∠=⨯=g . AB CD Q ⊥于E ,在Rt AED △3cos cos 4A C ∠=∠=Q ,7sin 4A ∠=. 73sin 672DE AD A ∴=∠=⨯=g . Q 直径AB 平分»CD, 237CD DE ∴==.26.(2009年广西河池)如图8,为测量某塔AB 的高度,在离该塔底部20米处目测其顶A ,仰角为60o ,目高1.5米,试求该塔的高度(3 1.7)≈.【关键词】解直角三角形【答案】解:如图,CD =20,∠ACD =60°,1.5 图8 C o A1.5AD B COECD ∴ 3=20AD ∴ AD =203≈34又∵ BD =1.5∴ 塔高AB =34 1.535.5+=(米)27.(2009年广西柳州) 如图8,热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60,看这栋高楼底部的俯角为︒30,热气球与高楼的水平距离为66 m ,这栋高楼有多高?(结果精确到0.1 m ,参考数据:73.13≈)【关键词】解直角三角形【答案】解:如图8,过点A 作BC AD ⊥,垂足为D根据题意,可得 ︒=∠60BAD ,︒=∠30CAD ,66=AD在Rt △ADB 中,由ADBD BAD =∠tan 得36636660tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=BAD AD BD .DCAB图8CAB图8AD得322336630tan 66tan =⨯=︒⨯=∠⋅=CAD AD CD . ∴663223883152.2BC BD CD =+=+=≈.答:这栋楼高约为152.2 m .(其它解法参照给分)28.(2009年湖南娄底)在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ,张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°,测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量?(精确到整数米)(参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.20,sin30°=0.50,cos30°≈0.87,tan30°≈0.58)【关键词】解直角三角形.三角函数【答案】解:方法一:过D 点作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中,设EF =x ,则DF =3x在Rt △ADF 中,tan 50°=303x x+≈1.204分30+x=3x×1.20x≈27.8∴DF =3x≈48答:张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的方法二:过点D 作DF ⊥AB 于F 点在Rt △DEF 中,EF =FD·tan 30°在Rt △AFD 中,AF =FD·tan 30°∵AE +EF =AF∴30+FDtan 30°=FD·tan 50°∴FD ≈48答:张明同学站在离办公楼约48米处进行测量的29.(2009年山东烟台) 腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C ,利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°,底部B 点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D ,利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图②).若已知CD 为10米,请求出雕塑AB 的高度.(结果精确到0.1米,参考数据3173.=).【关键词】特殊三角形【答案】解:过点C 作CE AB ⊥于E .906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=Q °°,°°°,90CAD ∴∠=°.11052CD AC CD =∴==Q ,. 在Rt ACE △中,5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==g g °, 5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==g g °, 在Rt BCE △中,545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==Q g °,°, 5553(31) 6.8222AB AE BE ∴=+=+=+≈(米). 所以,雕塑AB 的高度约为6.8米.30.(2009年湖南邵阳)如图(十一),家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班,路线为A →B →C →D .因西湖桥维修封桥,他只能改道经临津门渡口乘船上班,路线为A →F →E →D .已知BC EF ∥,BF CE ∥,AB BF ⊥,CD DE ⊥,200AB =米,100BC =米,37AFB ∠=°,53DCE ∠=°.请你计算小李上班的路程因改道增加了多少?(结果保留整数)温馨提示:sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈,≈,°≈.DCB A ② ①【关键词】直角三角形的有关计算【答案】在Rt ABF△中,37200333sin37ABAFB AB AF∠===°,,≈,°267tan37ABBF=≈°,BC EF BF CE∴Q∥,∥,四边形BCEF为平行四边形.267CE BF∴==,100BC EF==.在Rt CDE△中,53DCE∠=°,CD DE⊥,37CED∴∠=°,cos37214DE CE=≈·°,sin37160CD CE=︒≈·,∴增加的路程=()()AF EF DE AB BC DC++-++(333100214)++≈-(200100160)187++=(米).31.(2009年湖北鄂州) 如图所示,某居民楼Ⅰ高20米,窗户朝南.该楼内一楼住户的窗台离地面距离CM为2米,窗户CD高1.8米.现计划在I楼的正南方距I楼30米处新建一居民楼Ⅱ.当正午时刻太阳光线与地面成30°角时,要使Ⅱ楼的影子不影响I楼所有住户的采光,新建Ⅱ楼最高只能盖多少米?【关键词】三角函数在实际中的应用【答案】设正午时,太阳光线正好照在I楼的窗台处,此时新建居民楼II高x米,过C作CF⊥l于F,在Rt△ECF中,EF=x-2,FC=30,∠ECF=30°∴30230tan-==︒xFCEF∴2310+=x答:新建居民楼II最高只能建)(2310+米.DCB FEA 江北广场渡口渡口教育局西湖桥资江53°图十一37°32.(2009年河南)如图所示,电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成,每个矩形面的长都被六条踏板七等分,使用时梯脚的固定跨度为1m.矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m,当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20m时,安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上,请你通过计算判断他安装是否比较方便?(参考数据:sin78°≈0.98,cos78°≈0.21,tan78°≈4.70.)【关键词】三角函数在实际中的应用【答案】过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F.∵AB=AC,∴CE=12BC=0.5.在Rt△ABC和Rt△DFC中,∵tan780=AE EC,∴AE=EC×tan780≈0.5×4.70=2.35.又∵sinα=AEAC=DFDC,DF=DCAC·AE=37×AE≈1.007.李师傅站在第三级踏板上时,头顶距地面高度约为:1.007+1.78=2.787.头顶与天花板的距离约为:2.90-2.787≈0.11.∵0.05<0.11<0.20,∴它安装比较方便.33.(2009年山东烟台)腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①).为了测量雕塑的高度,小明在二楼找到一点C ,利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°,底部B 点的俯角为45°,小华在五楼找到一点D ,利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图②).若已知CD 为10米,请求出雕塑AB 的高度.(结果精确到0.1米,参考数据3173.=).【关键词】直角三角形的有关计算【答案】解:过点C 作CE AB ⊥于E .906030903060D ACD ∠=-︒=∠=-=Q °°,°°°,90CAD ∴∠=°.11052CD AC CD =∴==Q ,. 在Rt ACE △中,5sin 5sin 302AE AC ACE =∠==g g °, 5cos 5cos3032CE AC ACE =∠==g g °, 在Rt BCE △中,545tan 4532BCE BE CE ∠=∴==Q g °,°, 5553(31) 6.8222AB AE BE ∴=+=+=+≈(米). 所以,雕塑AB 的高度约为6.8米.34. ( 2009年浙江嘉兴)如图,已知一次函数b kx y +=的图象经过)1,2(--A ,)3,1(B 两点,并且交x 轴于点C ,交y 轴于点D ,(1)求该一次函数的解析式;(2)求OCD ∠tan 的值;DCB A② ①。
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解直角三角形一.选择题1.(2018·某某市B卷)5.坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45)()【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M,⊥DM于N.首先解直角三角形Rt△CDN,求出,DN,再根据tan24°=,构建方程即可解决问题;【解答】解:作BM⊥ED交ED的延长线于M,⊥DM于N.在Rt△CDN中,∵==,设=4k,DN=3k,∴CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM==8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=,∴0.45=,∴AB=21.7(米),故选:A.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.2.(2018·某某某某·3分)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A.B在同一水平面上).为了测量A.B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为α,则A.B两地之间的距离为()A.800sinα米B.800tanα米C.米D.米【分析】在Rt△ABC中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,根据tanα=,即可解决问题;【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠CAB=90°,∠B=α,AC=800米,∴tanα=,∴AB==.故选:D.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.3.(2018·某某某某·2分)某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O旋转.从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是()A.B.C.D.【分析】如图,连接AD.只要证明∠AOB=∠ADO,可得sin∠AOB=sin∠ADO==;【解答】解:如图,连接AD.∵OD是直径,∴∠OAD=90°,∵∠AOB+∠AOD=90°,∠AOD+∠ADO=90°,∴∠AOB=∠ADO,∴sin∠AOB=sin∠ADO==,故选:D.【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考创新题目.二.填空题1. (2018·某某江汉·3分)我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船B在海岛A,C附近捕鱼作业,已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上.在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上,此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18(1+)n mile 处,则海岛A,C之间的距离为18n mile.【分析】作AD⊥BC于D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD,根据题意列式计算即可.【解答】解:作AD⊥BC于D,设AC=x海里,在Rt△ACD中,AD=AC×sin∠ACD=x,则CD=x,在Rt△ABD中,BD=x,则x+x=18(1+),解得,x=18,答:A,C之间的距离为18海里.故答案为:182. (2018·某某荆州·3分)荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间,周边风景秀丽.现在塔底低于地面约7米,某校学生测得古塔的整体高度约为40米.其测量塔顶相对地面高度的过程如下:先在地面A处测得塔顶的仰角为30°,再向古塔方向行进a米后到达B处,在B处测得塔顶的仰角为45°(如图所示),那么a的值约为米(≈1.73,结果精确到0.1).【解答】解:如图,设CD为塔身的高,延长AB交CD于E,则CD=40,DE=7,∴CE=33,∵∠CBE=45°=∠BCE,∠CAE=30°,∴BE=CE=33,∴AE=a+33,∵tanA=,∴tan30°=,即33=a+33,解得a=33(﹣1)≈24.1,∴a的值约为24.1米,故答案为:24.1.3.(2018·某某省某某市) 如图,某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业,MN与AB在同一铅直平面内,当无人机飞行至C 处时、测得景点A的俯角为45°,景点B的俯角为知30°,此时C到地面的距离CD为100米,则两景点A.B间的距离为100+100米(结果保留根号).【解答】解:∵∠MCA=45°,∠NCB=30°,∴∠ACD=45°,∠DCB=60°,∠B=30°.∵CD=100米,∴AD=CD=100米,D B=米,∴AB=AD+DB=100+100(米).故答案为:100+100.4. (2018·某某某某·3分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m,那么该建筑物的高度BC约为_____m(结果保留整数,≈1.73).【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中,根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD,在Rt△ACD中,求得CD=AD•tan∠CAD,再根据BC=BD+CD,代入数据计算即可.【详解】如图,∵在Rt△ABD中,AD=110,∠BAD=45°,∴BD= AD•tan45° =110(m),∵在Rt△ACD中,∠CAD=60°,∴CD=AD•tan60°=110×≈190(m),∴BC=BD+CD=110+190=300(m),即该建筑物的高度BC约为300米,故答案为:300.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练应用锐角三角函数关系是解题关键.5.(2018·某某某某·3分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)解:过D作DE⊥AB,∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,∴∠ADE=53°.∵BC=DE=6m,∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m.故答案为:9.5.三.解答题1. (2018·某某贺州·8分)如图,一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B.游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处,此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上,求A处与灯塔B相距多少海里?(结果精确到1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73)【解答】解:过点C作CM⊥AB,垂足为M,在Rt△ACM中,∠MAC=90°﹣45°=45°,则∠MCA=45°,∴AM=MC,由勾股定理得:AM2+MC2=AC2=(20×2)2,解得:AM=CM=40,∵∠ECB=15°,∴∠BCF=90°﹣15°=75°,∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°,在Rt△BCM中,tanB=tan30°=,即=,∴BM=40,∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109(海里),答:A处与灯塔B相距109海里.2. (2018·某某某某·8分)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布.为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°,测得瀑布底端B点的俯角是10°,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27m,GF=17.6m(注:C.G、F三点在同一直线上,CF⊥AB于点F).斜坡CD=20m,坡角∠ECD=40°.求瀑布AB的高度.(参考数据:≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)【分析】过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,在Rt△CMD中,通过解直角三角形可求出CM的长度,进而可得出MF、DN的长度,再在Rt△BDN、Rt△ADN中,利用解直角三角形求出BN、AN的长度,结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度.【解答】解:过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N,如图所示.在Rt△CMD中,CD=20m,∠DCM=40°,∠CMD=90°,∴CM=CD•cos40°≈15.4m,DM=CD•sin40°≈12.8m,∴DN=MF=CM+CG+GF=60m.在Rt△BDN中,∠BDN=10°,∠BND=90°,DN=60m,∴BN=DN•tan10°≈10.8m.在Rt△ADN中,∠ADN=30°,∠AND=90°,DN=60m,∴AN=DN•tan30°≈34.6m.∴AB=AN+BN=45.4m.答:瀑布AB的高度约为45.4米.【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题,通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键.3. (2018·某某某某·7分)如图,一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向,距离灯塔100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处,求此时船距灯塔的距离(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果取整数).【分析】过C作CD垂直于AB,根据题意求出AD与BD的长,由AD+DB求出AB的长即可.【解答】解:过C作CD⊥AB,在Rt△ACD中,∠A=45°,∴△ACD为等腰直角三角形,∴AD=CD=AC=50海里,在Rt△BCD中,∠B=30°,∴BC=2CD=100海里,根据勾股定理得:BD=50海里,则AB=AD+BD=50+50≈193海里,则此时船锯灯塔的距离为193海里.【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题,熟练掌握各自的性质是解本题的关键.4.(2018·某某省某某·7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)【分析】如图作AE⊥BD于E.分别求出BE.DE,可得BD的长,再根据CD=BD﹣BC计算即可;【解答】解:如图作AE⊥BD于E.在Rt△AEB中,∵∠EAB=30°,AB=10m,∴BE=AB=5(m),AE=5(m),在Rt△ADE中,DE=AE•tan42°=7.79(m),∴BD=DE+BE=12.79(m),∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3(m),答:标语牌CD的长为6.3m.【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题.5.(2018·某某省某某·8分)图1是一辆吊车的实物图,图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂,其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,X角∠HAC 为118°时,求操作平台C离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)【分析】作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,则EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,再计算出∠CAF=28°,则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF,然后计算CF+EF 即可.【解答】解:作CE⊥BD于F,AF⊥CE于F,如图2,易得四边形AHEF为矩形,∴EF=AH=3.4m,∠HAF=90°,∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°,在Rt△ACF中,∵sin∠CAF=,∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23,∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6(m),答:操作平台C离地面的高度为7.6m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用:先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,构造出直角三角形转化为解直角三角形问题),然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算.6.(2018·某某省某某市)两栋居民楼之间的距离CD=30米,楼AC和B D均为10层,每层楼高3米.(1)上午某时刻,太阳光线GB与水平面的夹角为30°,此刻B楼的影子落在A楼的第几层?(2)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.【解答】解:(1)延长BG,交AC于点F,过F作FH⊥BD于H,由图可知,FH=CD=30m.∵∠BFH=∠α=30°.在Rt△BFH中,BH=,,答:此刻B楼的影子落在A楼的第5层;(2)连接BC\1BD=3×10=30=CD,∴∠BCD=45°,答:当太阳光线与水平面的夹角为45度时,B楼的影子刚好落在A楼的底部.7.(2018·某某省某某市)(12.00分)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内,CM∥AN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)【分析】(1)延长DC交AN于H.只要证明BC=CD即可;(2)在Rt△BCH中,求出BH、CH,在Rt△ADH中求出AH即可解决问题;【解答】解:(1)延长DC交AN于H.∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,∴∠BDH=30°,∵∠CBH=30°,∴∠CBD=∠BDC=30°,∴BC=CD=10(米).(2)在Rt△BCH中,CH=BC=5,BH=5≈8.65,∴DH=15,在Rt△ADH中,AH===20,∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4(米).【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.8. (2018•呼和浩特•8分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米?(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)解:作DH⊥BC于H.设AE=x.∵DH:BH=1:3,在Rt△BDH中,DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60,BH=180,在Rt△ADE中,∵∠ADE=45°,∴DE=AE=x,∵又HC=ED,EC=DH,∴HC=x,EC=60,在Rt△ABC中,tan33°=,∴x=,∴AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度AC是米9. (2018•某某•8分)据调查,超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,如图所示,观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上,终点B位于点C的南偏东45°方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶,测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度?(观测点C离地面的距离忽略不计,参考数据:≈1.41,≈1.73)【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB,DA,进而解答即可.【解答】解:由题意得:∠DCA=60°,∠DCB=45°,在Rt△CDB中,tan∠DCB=,解得:DB=200,在Rt△CDA中,tan∠DCA=,解得:DA=200,∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米,轿车速度,答:此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度,难度一般.10. (2018•莱芜•9分)在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8m,A端到地面的距离AC是4m,支架AB与灯柱AC的夹角为65°.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°,在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°(点C.E.D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1m)(sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan50°≈1.2)【分析】过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,根据三角函数和直角三角形的性质解答即可.【解答】解:过点B作BF⊥AC于F,BG⊥CD于G,在Rt△BAF中,∠BAF=65°,BF=AB•sin∠×0.9=0.72,AF=AB•cos∠×0.4=0.32,∴FC=AF+AC=4.32,∵四边形FCGB是矩形,∴BG=FC=4.32,CG=BF=0.72,∵∠BDG=45°,∴∠BDG=∠GBD,∴GD=GB=4.32,∴CD=CG+GD=5.04,在Rt△ACE中,∠AEC=50°,CE=,∴≈1.7,答:小水池的宽DE为1.7米.【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形,并结合图形利用三角函数解直角三角形.11.(2018·某某某某·6分)如图,校园内有两幢高度相同的教学楼AB,CD,大楼的底部B,D在同一平面上,两幢楼之间的距离BD长为24米,小明在点E(B,E,D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°,然后沿EB方向前进8米到达点G处,测得教学楼CD 顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F,H距离地面的高度均为1.6米,求教学楼AB 的高度AB长.(精确到0.1米)参考值:≈1.41,≈1.73.【解答】解:延长HF交CD于点N,延长FH交AB于点M,如右图所示,由题意可得,MB=HG=FE=ND=1.6m,HF=GE=8m,MF=BE,HN=GD,MN=BD=24m,设AM=xm,则=xm,在Rt△AFM中,MF=,在Rt△H中,HN=,∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24,即8=x+x﹣24,解得,x≈11.7,∴AB=11.7+1.6=13.3m,答:教学楼AB的高度AB长13.3m.12.(2018·某某某某·8分)京杭大运河是世界文化遗产.综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的),如图,在岸边分别选定了点A.B和点C.D,先用卷尺量得AB=160m,CD=40m,再用测角仪测得∠CAB=30°,∠DBA=60°,求该段运河的河宽(即CH 的长).【分析】过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,由矩形的对边相等得到两对对边相等,分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中,设CH=DE=xm,利用锐角三角函数定义表示出AH与BE,由AH+HE+EB=AB列出方程,求出方程的解即可得到结果.【解答】解:过D作DE⊥AB,可得四边形CHED为矩形,∴HE=CD=40m,设CH=DE=xm,在Rt△BDE中,∠DBA=60°,∴BE=xm,在Rt△ACH中,∠BAC=30°,∴AH=xm,由AH+HE+EB=AB=160m,得到x+40+x=160,解得:x=30,即CH=30m,则该段运河的河宽为30m.【点评】此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.。