高考数学真题：不等式选讲含答案

专题十六 不等式选讲 第四十二讲 不等式选讲

2019年

1.（2019全国I 理23）[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++； （2）333

()()()24a b b c c a +++≥++．

2. （2019全国II 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.

3.（2019全国III 理23）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.

（1）求222

(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；

（2）若2

2

2

1

(2)(1)()3

x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-.

2010-2018年

解答题

1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知()|1||1|f x x ax =+--．

(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）

设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；

(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．

3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）

设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像；

(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)

若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求2

2

2

x y z ++的最小值． 5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2

()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．

(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围． 6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33

2a b +=，证明：

(1)5

5

()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤．

7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．

(1)求不等式()1f x ≥的解集；

(2)若不等式2

()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，22

16c d +=，

证明8ac bd +≤．

9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．

（I ）在图中画出()y f x =的图像； （II ）求不等式|()|1f x >的解集．

10．（2016年全国II ）已知函数()11

22

f x x x =-

++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；

（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+． 11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+

（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；

（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围． 12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >．

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：

（Ⅰ）若ab >cd a b c d >

a b c d >

||||a b c d -<- 的充要条件．

14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且

11

a b

+=． (Ⅰ) 求3

3

a b +的最小值；

（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． 15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a

++->

（Ⅰ）证明：()f x ≥2；

（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．

16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.

（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -

，1

2

)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：

（Ⅰ）1

3

ab bc ca ++≤

（Ⅱ）222

1a b c b c a

++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．

（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x 的解集；

（Ⅱ）若()

|4|f x x -的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．

19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．

专题十六 不等式选讲

第四十二讲 不等式选讲

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