《函数的应用(二)》示范公开课教学设计

《函数的应用（二）》教学设计
◆教学目标
1．通过实例了解指数函数、对数函数、幂函数在复利计算、增长率等实际问题中的应用，进一步培养数学建模能力；
2．在解决相关问题的过程中，巩固指对幂运算，提升数学运算的核心素养；
3．通过实际问题的解决，逐步培养分析问题、解决问题的能力，渗透德育教育．
◆教学重难点
◆
教学重点：能够运用指数函数、对数函数、幂函数解决某些简单的实际应用问题.
教学难点：根据实际问题建立相应的数学模型.
◆课前准备
PPT课件．
◆教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本第42-44页，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：本节课要学的内容是函数的应用（二），主要讨论的是指数函数、对数函数和幂函数的应用，类似的内容能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力，在学习本节知识之前，可引导学生回顾一下有关内容，如指数函数、对数函数、幂函数的单调性等.
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、问题导入
引语：因为生活中很多量与量的关系都可以归结为指数关系，因此指数函数、对数函数和幂函数有着广泛的应用.下面举例说明.（板书：函数的应用（二））
【新知探究】
问题2：复利计息与“70原则”
复利计息，俗称“利滚利”，是把前一期的本金和利息加在一起，作为下一期的本金进行计息的一种方式．所谓“70原则”，是指在复利计息的情况下，本息和翻倍的一种简算方
思考与讨论：
①复利问题中涉及到哪些变量？这些变量之间有什么数量关系？
②“70原则”研究的问题中，所需满足的数量关系是什么？所需求解的变量是什么？
③如何说明“70原则”包含的数学道理？
师生活动：学生尝试自己得出问题的结果．并思考运用的是何种函数模型.
预设的答案：①本金、利率、存期、本息和，本息和＝本金×(1+利率)存期．②设本金为a元，每期利率为r，存期为x*
f x元，则
x∈N，到期的本息和为()
()
=+．
()(1)x
f x a r
设计意图：银行利率问题是我们身边最常见的一种经济指数模型，银行计息在存款与贷款中必不可少．通过这一例子，可以让学生初步认识到指数函数在利息计算中的应用，体现到用所学知识解决表面看起来很深奥的问题，为今后研究借贷计息作一铺垫．
例 1 有些银行存款是按复利的方式和计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息，假设最开始本金为a元，每期的利率为r，存x期后本息和为f(x)元.
（1）写出f(x)的解析式；
（2）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？
解：（1）不难看出，
f(1)=a+ar=a（1+r），
f(2)=a（1+r）+a（1+r）r=a(1+r)2
f(3)=a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3
......
因此
f (x )=a (1+r )x ，x ∈N*.
（2）由f (x )≥2a ,由此可解得 x ≥ln2ln 1r +（）
设不小于ln2
ln 1r +（）的最小整数为0x ,则至少要经过0x 期后,本息和才能不小于本金的2
倍.
由例1的(2)可以得到银行业中经常使用“70原则”：因为ln2≈0.69315，而且当r 比较小时，ln （1+r ）≈r ，所以
ln20.6931570ln 1100r r r
≈≈+（） 即利率为r 时，本息和大约要70100r
期才能“倍增”（即为原来的2倍）.例如，当年
利率为5%时，约要经过14年，本息和才能“倍增”
问题3： 年均下降率与节能减排问题
按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》（国发[2016]74号）的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%． 师生活动：①2015年二氧化硫排放总量的最大值是多少万吨？（精确到1万吨） ②年均下降率是指一定年限内，平均每年下降的速度．请问在“十三五”期间，全国每年二氧化硫排放的年均下降率是多少？（精确到0.001）
③如果2016~2019这四年的年均下降率均为3%，那么2020年的年均下降率应为多少？（精确到0.001）
④2019年全国二氧化硫排放总量应控制在多少万吨以内？（精确到1万吨）
预设的答案：
一般地，若记2015年之后的第x (0,1,2,3,4,5)x =年二氧化硫排放总量的最大值为()f x 万吨，则()(0)(1)x f x f r =⋅-．
设计意图：节能减排，节约能源，保护环境，这是当前国家一项重要的工作举措．随着现代社会物质生活条件的提高，各种能源消耗也增大不少，而我们往往忽视能源的减少还会带来环境的恶化，危害人们的生活乃至生命．本例意图是给学生渗透一种节能环保的意识． 例3 已知某地区第一年的经济增长率为a （a ∈[0,1]且a 为常数），第二年的经济增长率为x （x ≥0），这两年的平均经济增长率为y ，写出y 与x 的关系，并求y 的最小值.
师生活动：学生充分思考后，写出并有老师给出答案.
预设的答案：解：根据题意有 (1+a )(1+x )=(1+y )2,
从而有y =0,1)1)(1(≥-++x x a
显然，上述函数是增函数，因此x =0时，y 1.
设计意图：平均增长率是学生不太熟悉的，讲解时要重点解释为什么(1+a )(1+x )=(1+y )2, 问题4：声强等级与噪声污染
人们通常以分贝（符号是dB ）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB 是人能听到的等级最低的声音．一般地，声强级()f x 是指该处的声强x （单位：瓦/米2）与参考声强的比值的常用对数再乘以10，参考声强是12110-⨯瓦/米2，即：
师生活动：①人能听到的等级最低的声音的强度是多少？
②为了防止噪音，我国著名声学家马大猷教授曾总结和研究了国内外现有各类噪音的危害和标准，提出了三条建议：
（1）为了保护人们的听力和身体健康，噪音的允许值在 75~90 dB ．
（2）保障交谈和通讯联络，环境噪音的允许值在 45~60 dB ．
（3）对于睡眠时间建议在 35~50 dB ．
请你计算，90dB 、60dB 、50dB 的声音强度之比．
预设的答案强度：310-瓦/米2、610-瓦/米2、710-瓦/米2，它们的比值为10000:10:1．嘈杂的马路声音等级为90dB ，其声音强度至少是正常交谈的1000倍，是睡眠的10000倍．人不宜长时间呆在嘈杂的环境之中．
设计意图：噪声污染属于感觉公害，对人、动物、仪器仪表以及建筑物均构成危害，其危
害程度主要取决于噪声的频率、强度及暴露时间．防止噪音，不制造噪音，这需要大家共同行动．通过这个例子渗透另一种环保意识，甚至激发有志者投身研究如何防止和利用噪音．生活中类似的应用还有很多，如地震的级别．
练习：教科书第44页习题A1，2题．
师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈．
【课堂小结】
1．板书设计：
4.6函数的应用（二）
1．复利计息与“70原则”例1
2．年均下降率与节能减排问题例2
3．声强等级与噪声污染例3
练习与作业：教科书第44页习题A3,4题；
教科书第45页习题B 1，2题．
2．总结概括：
问题：（1）本节课我们学习了哪些常见的数学模型？
2. 应用函数解决实际问题的一般步骤有哪些？其关键环节是什么？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：（1）指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)；
对数函数模型：f(x)＝m log a x＋n(m、n、a为常数，a>0，a≠1)；
幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；
（2）第一步：阅读、理解；
第二步：建立数学模型，把应用问题转化为数学问题；
第三步：解答数学模型，求得结果；
第四步：把数学结果转译成具体问题的结论，做出解答．
而这四步中，最为关键的是把第二步处理好．只要把数学模型建立妥当，所有的问题即可在此基础上迎刃而解．但是，很多同学在建模过程中忽视了一些细节，导致“满盘皆输”． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确函数的应用，随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色． 布置作业：教科书第45页习题B 3,4题．
【目标检测】
1.有一个受到污染的湖泊，其湖水的体积为V 立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r 立方米．现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式
g (t )＝p r ＋[g (0)－p r ]e －r v
t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数． (1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；
(2)求证：当g (0)<p r
时，湖泊的污染程度将越来越严重； (3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?
(1)解 设0≤t 1<t 2，
∵g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，
即[g (0)－p r ]·[e －r v t 1－e －r v
t 2]＝0， ∴g (0)＝p r
. (2)证明 设0≤t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)
＝[g (0)－p r ]·[e －r v t 1－e －r v
t 2] ＝[g (0)－p r ]·2112r r e t e t v v r e t t v
-+， ∵g (0)－p r
<0，t 1<t 2， ∴g (t 1)－g (t 2)<0，∴g (t 1)<g (t 2)．
在湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．
(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r v
t . 设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.
即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r v
t . 由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r v
t . ∴t ＝v r ln 20(天)，即需要v r
ln 20天时间． 点评 高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．
设计意图：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握．解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．。