复数、平面向量

第二讲复数、平面向量、程序框图与推理

研热点（聚焦突破）

类型一复数

(1)共轭复数

复数z＝a＋b i的共轭复数为z＝a－b i.

(2)复数的模

复数z＝a＋b i的模|z|

(3)复数相等的充要条件

a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋b i＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．

[例1](1)(2012年高考天津卷)i是虚数单位，复数＝()

A．1－i B．－1＋i

C．1＋i D．－1－i

(2)(2012年高考江西卷)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部

为()

A．0 B．－1

C．1 D．－2

[解析](1)利用复数的乘法、除法法则求解．

5＋3i 4－i ＝

（5＋3i）（4＋i）

42＋1

＝

17＋17i

17＝1＋i.

(2)利用复数运算法则求解．

∵z＝1＋i，∴z＝1－i，z2＋z2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0. [答案](1)C(2)A

跟踪训练

1．(2012年广州模拟)设复数z

1＝1－3i，z

2

＝3－2i，则在复平面内对应的点在()

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

解析：因为z1

z2＝

1－3i

3－2i

＝

（1－3i）（3＋2i）

（3－2i）（3＋2i）

＝

9－7i

13，

在复平面内对应的点为(9

13，－7

13)，在第四象限，选D.

答案：D

2．(2012年高考陕西卷)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b

i

为纯虚数”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件解析：直接法．

∵a＋b

i

＝a－b i为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，

而ab＝0时有a＝0或b＝0，

∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．

∴“ab＝0”是“复数a＋b

i

为纯虚数”的必要不充分条件．

答案：B

类型二平面向量

1．平面向量的线性运算法则

(1)三角形法则；

(2)平行四边形法则．

2．向量共线的条件

存在两非零向量a，b，则

(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.

(2)若a＝(x

1，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，则x

1

y

2

－x

2

y

1

＝0.

3．向量垂直的条件

(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.

(2)已知a＝(x

1，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，则x

1

x

2

＋y

1

y

2

＝0.

4．夹角与模

(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则

①cos θ＝a·b

|a||b|；

②若a＝(x

1，y

1

)，b＝(x

2

，y

2

)，

则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21 x 22＋y 22. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝

x 2＋y 2.

[例2] (1)(2012年高考课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝，则|b |＝________.

(2)(2012年高考江苏卷)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F

在边CD 上，若AB ·AF AE ·BF

的值是________．

[解析] (1)利用平面向量的数量积概念、模的概念求解． ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，

∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝2

2

|b |，

|2a －b |2＝4－4×

2

2

|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.

[答案] (1)32 (2)2

跟踪训练

已知A (－3，0)、B (0，2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝AOC ＝

4

π， 设OC ＝OA OB λ+

(λ∈R )，则λ的值为( )

A ．1 B.1

3

C. 12

D.23

解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝4

π

，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC ＝OE ＋OB ＝

OA OB λ+ ，即OE ＝λOA ，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23

.

答案：D

类型三 算法与程序框图

1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构． 2．循环结构一定包含条件结构．

[例3] (1)(2012年高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )

A ．8

B ．18

C ．26

D ．80