不定积分的性质
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
5.1-2不定积分的性质
x cos2
dx x
解 原式
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x dx
＝ sec2 x csc2 x dx
tan x cot x c.
例13 求积分 sin2 x dx.
2
解
原式
1 2
(1
cos
x)dx
1 (x sinx) c. 2
不定积分的性质
四、小结与思考题
sin xdx sec2 xdx dx
cos x tan x x c.
cos2x
例11 求积分
dx.
cos x sinx
解 原式＝ cos2 x－sin2 x dx
cos x sinx
＝ cos x sin xdx
sinx cos x c
例12 求积分
1
si n2
不定积分的性质
第五章 不定积分 第1节不定积分的概念和性质
不定积分的性质
一、两个性质
1. [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f
( x)dx
g( x)dx
f ( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（和、差的不定积分=不定积分的和、差）
1 x2
1 x2
求A,B.
解 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2
1 x2
A B 0
2 A
1
A B
1 2
1 2
谢谢
THANK YOU
不定积分的性质
二、应用举例（2）
高等数学第五章 不定积分
例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
不定积分的概念与性质
(sec x ) sec x tan x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C (csc x ) csc x cot x
10
( 12 )
( 13 )
dx 1 x
2
arcsin
xC
(arcsin
x )
x )
1 1 x
问题: (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
,则
结论：(1) 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 (C为任意常数).
(2) 若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) G ( x ) C , （C 为任意常数）
熟记基本积分公式 分项积分
常用恒等变形方法
加项减项 利用三角公式, 代数公式 ,
22
g ( x )] d x
2
f ( x )d x
g ( x )d x
( x )d x k f ( x )d x （ k 是 常 数 ， k 0 )
3 1 x
2
例 求积分 (
解
1 x )d x
2
)d x .
2
(1
3
3 x
2
2 1 x2Βιβλιοθήκη 1 1 xdx 2
1 1 x
2
dx
3 arctan x 2 arcsin x C
12
例 求积分
解
2
x x x
2 e 5 2 dx
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
不定积分的基本性质
不定积分的基本性质在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的过程。
它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
不定积分具有一些基本性质，本文将对这些性质进行探讨。
1. 可加性：若函数f(x)和g(x)都在区间[a, b]上可积，那么对于常数c，有∫(f(x)+g(x))dx=∫(f(x))dx+∫(g(x))dx和∫(c*f(x))dx=c∫(f(x))dx。
这一性质使得我们能够方便地对复杂函数进行分解和计算。
2. 线性性质：对于可积函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a∫(f(x))dx+b∫(g(x))dx。
这个性质使得我们能够将积分运算与常数的乘法和加法进行简化。
3. 等式：在区间[a, b]上，如果函数f(x)和g(x)除了有一个常数差别外是相等的，即f(x)=g(x)+C，其中C为常数，那么∫(f(x))dx=∫(g(x))dx+C。
这个性质使得我们能够在不知道函数的具体形式时，通过找到它的一个原函数来求解不定积分。
4. 替代法则：替代法则，也被称为链规则，是求解不定积分中常用的一种方法。
如果u=g(x)是函数f(x)的可导函数，那么∫(f(g(x))*g'(x))dx=∫(f(u))du。
这个法则可以帮助我们将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。
5. 分部积分法则：分部积分法则是求解不定积分中另一种常用的方法。
如果u=u(x)和v=v(x)都是可导函数，那么∫(u*v')dx=u*v-∫(u'*v)dx。
这个法则可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，通过反复应用该法则，可以逐步减小被积函数的难度。
6. 基本初等函数的不定积分：对于一些基本初等函数，我们知道它们的不定积分形式。
如常数函数的不定积分为Cx，幂函数的不定积分为x^(n+1)/(n+1)+C，其中n不等于-1，三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分也都有相应的形式。
05不定积分的概念与性质
于是有
(3x－1)2008dx
u
20081 3
du
=
1 3
u
2008du
1 3
1 2009
u
2009
C
1 (3x 1)2009 C. 6027
例3 求
1 dx. 3 2x
解 令u 3 2x,得du 2dx，得dx 1 du，于是有 2
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
[f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
性质2可以推广到有限多个函数的情形，即
[
f
(x)
1
f
(x)
2
f (x)]dx n
f
(x)dx
1
f
(x)dx
2
f
(x)dx
n
例6 求 (2x3 5 x2 4x 3)dx. 解 (2x3 5 x2 4x 3)dx
1
xdx x3 dx
1
1
1
x 13 1
C
3 4
x
4 3
C.
3
(2)
1 dx x
x1 2
dx
1 1
1
x11 2
C
2
x C.
2
1
(3)
dx
x2
x2dx
x 1
21 C 1 C.
2 1
x
例5 计算下列积分
(1) 2xdx.
(2)
(
1 2
)
x
d x.
(3) exdx.
解 (1) 2x d x 2x C
商务数学52__不定积分的性质及基本积分公式
第五章不定积分Indefinite Integral§2 不定积分的性质及基本积分公式2.1 不定积分的性质Properties 1（See p.109）不定积分的导数等于被积函数或不定积分的微分等于被积表达式，即()[]()x f dx x f dxd=⎰或()()dx x f dx x f d =⎰.证明 设()x F 是()x f 的一个原函数，则()()x f x F ='，所以()[]()[]()()x f x F C x F dx x f dxd ='='+=⎰，()()[]()()dx x f dx x F C x F d dx x f d ='=+=⎰（最后一个式子也可这样来证：()()[]()dx x f dx dx x f dx x f d ='=⎰⎰）.Properties 2（See p.109）一个函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加上任意常数，即()()C x f dx x f +='⎰或()()C x f x df +=⎰.证明 因为()x f 是()x f '的一个原函数，所以()()C x f dx x f +='⎰ 或()()()C x f dx x f x df +='=⎰⎰. 【Note 】 Properties 1＆2告诉我们，求导数或微分的运算（简称微分运算[differential operation ]，以记号“d ”表示）与求不定积分的运算（简称积分运算[integral operation ]，以记号“⎰”表示）是互逆的（即微分运算与积分运算互为逆运算[inverse operation ]）.当记号“⎰”与“d ”连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数.()x f⎰()dxx f ⎰d()x f积分运算微分运算()x fd()x f '⎰()C x f +微分运算积分运算()x df⎰()⎰x df d()x df积分运算微分运算()x fd()x df⎰()C x f +微分运算积分运算Properties 3（See p.110）被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=（k 为非零常数）.证明 因为()[]()[]()x kf dx x f k dx x f k ='='⎰⎰,由不定积分定义，得()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=.Properties 4（See p.110）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.证明 因为()()[]'±⎰⎰dx x g dx x f ()[]()[]()()x g x f dx x g dx x f ±='±'=⎰⎰.由不定积分定义，有()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.【Note 】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形，即()()()[]dx x f x f x f n21⎰±±±()()()dx x f dx x f dx x f n21⎰⎰⎰±±±=2.2 基本积分公式如前所述，由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算，所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出：⑴ ()0C =′ （C 为常数）C dx 0=⎰⑵ αααx x 111='⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （1-≠α）⑶ ()1x ='C x dx 1+=⎰⑷ ()x 1x ln =′⑸ x x a a ln a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛′ （a ＞0，1a ≠）⑹ ()xx e e =′C e dx e x x +=⎰⑺ ()x sin x cos =-′C x cos dx x sin +-=⎰⑻ ()x cos x sin =′C x sin dx x cos +=⎰⑼()x sec xcos 1x tan 22==′⑽ ()x csc x sin 1x cot 22==-′⑾ ()x tan x sec x sec ⋅=′C x sec dx x tan x sec +=⋅⎰⑿ ()x cot x csc x csc ⋅=-′C x csc dx x cot x csc +-=⋅⎰ ⒀()2x11x arcsin -=′（x ＜1） ()2x11x arccos -=-′（x ＜1）⒁()2x 11x arctan +=′()2x11x cot arc +=-′⒂ ()1x x 1x sec arc 2-=′（x ＞1） ()1x x 1x csc arc 2-=-′（x ＞1）【Note 】我们作如下说明：显然，当x ＞0时，有()()x1lnx x ln ='='；而当x ＜0时，有()()[]()x 11x 1x ln x ln =-⋅-='-='.总之，不论x ＞0或x ＜0，恒有()x1x ln =′，故C x ln dx x 1+=⎰. 我们知道，求导数的工具有二：基本导数公式和求导数的法则（四则运算求导法则、复合运算求导法则）.现在，也许有的同学会想，我们已经有了基本积分公式，要是再掌握了求积分的法则（四则运算求积分法则、复合运算求积分法则）不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗？真要是这样就好了，可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则（没有两函数之积[商]的求积分法则也没有复合运算的求积分法则）.第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”（can not be calculated ）是指函数()x f 的原函数()x F 存在（从而()()C x F dx x f +=⎰）但()x F 不能表为有限形式（can not form a limited form of ,即()x F 不是初等函数）.比如由于函数2x e-是初等函数，从而dx e 2x ⎰-存在，但数学上可以证明2x e -的原函数不是初等函数，所以dx e 2x ⎰-是“算不出来”的（还有很多形式上看并不复杂的积分，如dx x ln 1⎰，dx x x sin ⎰，dx x x cos ⎰，dx x sin 2⎰，dx x cos 2⎰等，也都是“算不出来”的）.这样看来，积分运算比微分运算要难得多（就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难）.原因就在于“⎰”是“d”的逆运算（就像“-”是“+”的逆运算、“÷”是“⨯”的逆运算、“n”()n”的逆运算，逆运算都比原是“运算难）.那么，为什么逆运算比原运算要难呢？其实，根本原因在于，加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的（constructive[不仅告诉“是什么”，而且告诉“怎样求”]），而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的（non constructive[仅仅告诉“是什么”，而未告诉“怎样求”]）.比如，“导数”的定义就是构造性的：()()()00x x 0x x x f x f lim x f 0--='→，定义不仅告诉我们什么是导数，同时还告诉我们如何求导数；而“不定积分”的定义则是非构造性的：如果()()x f x F ='，那么()()⎰+=C x F dx x f ，定义本身只是告诉我们什么是不定积分（所有原函数），而并未告诉我们如何求不定积分（即如何求原函数）.积分运算由于其定义的非构造性，先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多，复杂得多，对此我们要有足够的心理准备.当然，尽管难，我们也不必太“畏难”，我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中，我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家，在本课程中，我们不会遇到“算不出来”的不定积分.特别需要提醒大家的是，做为逆运算，积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度——就像25 就不可能会知道不知道322325=一样，不知道()x cos x sin ='也就不可能会知道C x sin xdx cos +=⎰.所以，即使我们现在已开始学习积分学的内容，大家还是要进一步熟悉微分学的内容.最后要强调一点，不仅孤立地看，“不定积分”是本课程的一个重点内容，而且它对后续内容（Chapter 6，即“定积分”）的学习也至关重要.。
不定积分的概念和性质
医用高等数学
三、基本积分表
1 x x 实例 C ( 1). x x d x 1 1
1
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
3
医用高等数学
解
( x 1) x 3x 3x 1 dx 2 x2 d x x 3 1 ( x 3 2 )d x x x 1 1 x d x 3 1 d x 3 d x 2 d x x x 2 x 1 3 x 3ln | x | C． 2 x
1 d x 2 x C． x
医用高等数学
1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
1 例 2 求 d x． x
医用高等数学
例3
设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点
横坐标的两倍，求曲线的方程．
dy 2 x， 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知： dx 2 f ( x) 2 x d x x C ． 则
而曲线过点(1, 2) 可知 C 1，
因此所求曲线方程为
分，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
由定义2，我们有
x x dx 3 C
5.3 不定积分的概念与性质
1 3 = x x + arctan x + C 3 1 + 2x2 dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
例9 求积分 ∫ 解
1 dx . 1 + cos 2 x
1 1 1 dx = 1 ∫ 1 + cos 2 x ∫ cos 2 x dx = 2 tan x + C . 2
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求
[(2e)x 5 2x )dx 解: 原式 = ∫
(2e)x 2x = +C 5 ln(2e) ln 2
ex 5 x =2 +C ln 2 +1 ln 2
3 2 )dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1 x
= sec x + csc x
2 2
6. 求不定积分 解：
(e2x ex +1)
7. 已知 求A,B.
∫
x2 1 x2
dx = Ax 1 x + B∫
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x2
= A 1 x
2
Ax2 1 x2
+
B 1 x2
1 x2 A+ B = 0 ∴ 2A =1
ex dx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = ln a
x
ex ex sh x = 2 ex + ex ch x = 2
(14)
(15)
∫sh xdx = ch x+ C
不定积分的性质
不定积分的性质不定积分是数学中的重要知识点，是微积分中的一项重要工具。
在数学和物理学等学科中，不定积分被广泛地应用。
对于一个函数，不定积分可以表示出其原函数的形式，同时，不定积分也具有一些特殊的性质。
一、不定积分的定义不定积分是对原函数的求解过程，即将一个函数进行“逆运算”，使其得到一个原函数。
通过对于函数的不定积分，可以得到一族与原函数只相差一个常数的函数。
二、不定积分的存在性在数学中，不定积分具有存在性，即对于一个函数，它的不定积分存在且唯一。
这主要是由于积分的线性与微积分基本定理的存在性可以保证的。
这保证了不定积分的正确性与实用性。
三、不定积分的特殊性质在不定积分的求解过程中，可以利用其特殊性质来计算。
下面简单介绍不定积分的特殊性质：1. 线性性质不定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)的不定积分分别为F(x)和G(x)，则f(x)+g(x)的不定积分为F(x)+G(x)。
对于k为任意常数，即kf(x)的不定积分为kF(x)。
2. 积分上下限的性质不定积分与定积分有不同的性质，其中，不定积分不存在积分上下限，即无法计算一个具体区间上的积分值。
这是因为不定积分表示的是一个函数的原函数，而原函数并没有积分上下限的概念。
3. 可加性质不定积分具有可加性质，即如下方程成立：∫(a,b) f(x)dx = ∫(a,c) f(x)dx + ∫(c,b) f(x)dx这里，c是a和b之间的任意常数。
简单来说，不定积分可以通过将函数f(x)分成多个区间来进行求解。
四、不定积分的应用不定积分在数学和物理学等学科中都有着广泛的应用。
其中，一个重要的应用就是求解定积分。
与不定积分不同的是，定积分存在积分上下限，并可以求解一个具体的积分值。
通过将一个函数求出它的不定积分，进而求出在一个区间上的定积分。
此外，不定积分还可用于求解变化率以及其他类型的微积分问题。
在计算中，可以利用泰勒级数展开等方法，将不定积分转换为更容易计算的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分的性质
不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不
定积分。
其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为
不定积分。
（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：
求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。
也就是说，每次求不定积
分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。
不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。
（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：
由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知
不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。
（四）不定积分存在正则函数：
正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。
而不定积分也可以
表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。
（五）不定积分有极限值：
不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不
定积分的时候能够给出一个合理的结果。
不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，
比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。
总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要
的一类积分的概念。