判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法

一、定义法

设$x_1.x_2$是函数$f(x)$定义域上任意的两个数，且

$x_1f(x_2)$，则此函数为减函数。

例如，证明：当$x>0$时，$x>\ln(1+x)$。

f'(x)=\frac{1}{1+x}>0$，所以$f(x)$为严格递增的。

因为$f(x)>\lim\limits_{x\to 0}-\ln(1+x)=-\ln(1+0)=0$，所以$x>\ln(1+x)$。

二、性质法

除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题。若函数$f(x)。g(x)$在区间$B$上具有单调性，则在区间$B$上有：

⑴$f(x)$与$f(x)+C$（$C$为常数）具有相同的单调性；

⑵$f(x)$与$c\cdot f(x)$当$c>0$时具有相同的单调性，当

$c<0$时具有相反的单调性；

⑷当$f(x)。g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)+g(x)$都是增（减）函数；

⑸当$f(x)。g(x)$都是增（减）函数，则$f(x)\cdot g(x)$当

两者都恒大于时也是增（减）函数，当两者都恒小于时也是减（增）函数。

三、同增异减法

是处理复合函数的单调性问题的常用方法。对于复合函数$y=f[g(x)]$满足“同增异减”法（应注意内层函数的值域），可

令$t=g(x)$，则三个函数$y=f(t)。t=g(x)。y=f[g(x)]$中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数。

注：（1）奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；

2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；

3）如果$f(x)$在区间$D$上是增（减）函数，那么

$f(x)$在$D$的任一子区间上也是增（减）函数。

设单调函数$y=f(x)$为外层函数，$y=g(x)$为内层函数。

1)若$y=f(x)$增，$y=g(x)$增，则$y=f(g(x))$增。

2)若$y=f(x)$增，$y=g(x)$减，则$y=f(g(x))$减。

3)若$y=f(x)$减，$y=g(x)$减，则$y=f(g(x))$增。

4)若$y=f(x)$减，$y=g(x)$增，则$y=f(g(x))$减。

例如，求函数$f(x)=2x^2+x-2$的单调区间。

教学意图：让学生学会找出复合函数的外层函数和内层函数，同时掌握复合函数单调区间的求法。此题当中定义域是一切实数，在此处我还没有让学生认识到定义域的重要性，先让学生初步掌握复合函数单调区间的求法。

解题过程：

给定函数 $y=2^{x+x-2}$，可以将其拆分为外层函数

$y=2^t$ 和内层函数 $t=x+x-2$。

内层函数的单调性可以通过求导来得到。对 $t=x+x-2$ 求导得到 $t'=2$，因此 $t$ 在定义域上单调递增。

当 $x\in(-\infty,-1]$ 时，$t=x+x-2<0$，因此 $2^t$ 单调递减。

当 $x\in[-1,\infty)$ 时，$t=x+x-2\geq-2$，因此 $2^t$ 单调递增。

综上所述，$y=2^{x+x-2}$ 的增区间为 $x\in[-1,\infty)$，减区间为 $x\in(-\infty,-1]$。

除此之外，还有其他求函数值域的方法，如观察法、配方法、换元法、不等式法、最值法、反函数法和单调性法等。其中，单调性法可以用于求复合函数的单调性，其他方法则更适用于简单的解析式或特定类型的函数。

范围是_______．

7．函数

在

上是单调函数,则的取值范围是_______．

答案：

若f(x)在定义域[a。b]上是增函数，则值域为[f(a)。f(b)]。减函数则值域为[f(b)。f(a)]。

例1：已知函数f(x)=4x+ax^2-x^3(x∈R)在区间[-1,1]上是

增函数，求实数a的取值范围。

解：由题意得，f(x)在[-1,1]上是增函数，即f(-1)≤f(x)≤f(1)，即4a-2≤4x+ax^2-x^3≤4a+2.又因为f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，所以f(0)=0.代入上式得2a≤0，即a≤0.故实数a的取值范围为

a≤0.

类型题1：设函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c（a,b,c为实数），

当a-3b<0时，f(x)是（）A、增函数B、减函数C、常数D、

既不是增函数也不是减函数。

解：由题意得，f'(x)=3x^2+2ax+b，f''(x)=6x+2a。因为a-

3b-a/3时，f''(x)>0，即f(x)在(-a/3,+∞)上是上凸函数。又因为

f(x)是奇函数，所以只需考虑x>0的情况。当x>0时，f'(x)>0，即f(x)在(0,+∞)上是增函数。故选项A正确。

类型题2：设函数f(x)=kx+b。

1）讨论f(x)的单调性。

解：当k>0时，f(x)在(-∞,+∞)上是增函数；当k<0时，f(x)在(-∞,+∞)上是减函数。

2）当f(x)在[1,2]上是增函数，且f(1)=2，f(2)=3时，求k 和b的值。

解：由题意得，k>0，且k+b=2，2k+b=3.解得k=1，b=1.故函数为f(x)=x+1.

填空题：

1．在[a,b]上，若f(x)为增函数，则值域为[f(a),f(b)]。

2．函数f(x)=x^2+1是增函数。

3．已知f(x)和g(x)均为增函数，则f(x)g(x)在R上是增函数。