随机误差的统计规律
时间测量中随机误差的分布规律~
时间测量中随即误差的分布规律
生命科学院 PB05207009 王一莘
实验内容：
1． 时间间隔测量：用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期
2． 统计规律的研究
实验步骤：
将电子节拍器的声节拍频率设定为3个周期，旋紧发条。
实验组两位成员：一为手持秒表，从上一周期结束开始计时直至节拍器鸣响结束计时，将实验数据报告另一成员，由另一成员记录数据。
重复上述实验步骤200次。
数据处理：
做统计直方图，并对此图做高斯拟合。
5
注：区间长度经计算应取0.023s ，此直方图取0.025s
=)(σP 0.677
=)2(σP 0.940
=)3(σP 0.989
实验结论： 统计直方图与概率密度分布曲线拟合较好，测量值基本符合正态分布。
误差分析及思考题：
实验中，秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异都将引入误差特别是人为误差因人而已。
1． 答：主要误差为秒表：s p 2.0=∆ s T 01.0=∆，以及人为听觉敏锐度的差异
2． 答：基本符合正态分布规律。
误差的统计概率
误差的统计概念一.随机误差的正态分布1. 正态分布随机误差的规律服从正态分布规律，可用正态分布曲线（高斯分布的正态概率密度函数）表示：(13)式中：y—概率密度；μ—总体平均值；σ—总体标准偏差。
正态分布曲线依赖于μ和σ两个基本参数，曲线随μ和σ的不同而不同。
为简便起见，使用一个新变数（u）来表达误差分布函数式：(14)u的涵义是：偏差值（x-μ）以标准偏差为单位来表示。
变换后的函数式为：(15)由此绘制的曲线称为“标准正态分布曲线”。
因为标准正态分布曲线横坐标是以σ为单位，所以对于不同的测定值μ及σ，都是适用的。
图1：两组精密度不同的测定值图2：标准正态分布曲线的正态分布曲线“标准正态分布曲线”清楚地反映了随机误差的分布性质：（1）集中趋势当x=μ时（u=0），，y此时最大，说明测定值x集中在μ附近，或者说，μ是最可信赖值。
（2）对称趋势曲线以x=μ这一直线为对称轴，表明：正负误差出现的概率相等。
大误差出现的概率小，小误差出现的概率大；很大误差出现的概率极小。
在无限多次测定时，误差的算术平均值极限为0 。
（3）总概率曲线与横坐标从-∝到+∝在之间所包围的面积代表具有各种大小误差的测定值出现的概率的总和，其值为1（100%）(16)用数理统计方法可以证明并求出测定值x出现在不同u区间的概率(不同u值时所占的面积)即x落在μ±uσ区间的概率：置信区间置信概率u= ± 1.00 x= μ± 1.00σ68.3%u= ± 1.96 x= μ± 1.96σ95.0%u= ± 3.00 x= μ± 3.00σ99.7%二. 有限数据随机误差的t分布在实际测定中，测定次数是有限的，只有和S，此时则用能合理地处理少量实验数据的方法—t分布1. t分布曲线（实际测定中，用、S代替μ、σ）t分布曲线与标准正态分布曲线相似，纵坐标仍为概率密度，纵坐标则是新的统计量t（17）无限次测定，u一定→P 就一定；有限次测定：t一定→P 随ν(自由度)不同而不同。
随机误差的正态分布
1.3
0.3
0.1179
1.4
0.4
0.1554
1.5
0.5
0.1915
1.6
0.6
0.2258
1.7
0.7
0.2580
1.8
0.8
0.2881
1.9
0.9
0.3159
1.96
1.0
0.3413
2.0
1
u u2
e 2 du
2 0
面积
u
0.3643
2.1
0.3849
2.2
0.4032
2.3
0.4192
频率分布图
规律
1. 测量过程中随机误差的存在，使分析结 果高低不齐，即测量数据具有分散的特性。
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律 实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识(2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法(3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o )保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=d l L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ix T s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x x x S i i s )01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L Tg T ==π 222/5594.94s m L T g T ='='π 20/80891.9s m g =%28.5%10000=⨯-=g g g E T T %54.2%10000=⨯-='g g g E T T思考 1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
随机误差统计规律分布特点
随机误差统计规律分布特点
随机误差（也称为观测误差）是指在测量过程中出现的偶然性误差，它是由于测量条件难以完全控制而引起的不可避免的误差。
随机误差的分布规律通常符合“正态分布”（也称为高斯分布）的特点，即在概率密度函数上表现为一条钟形曲线，其峰值位于均值处，标准差越小，曲线越陡峭，反之曲线越平缓。
正态分布具有以下特点：
1.对称性：分布函数两侧的曲线相对称。
2.峰度（尖峰度）：高峰陡峭，翼部较平缓。
3.均值与中位数相等。
4.标准差越小，分布曲线越陡峭。
5.曲线下方的面积为1。
正态分布是自然界和社会现象中广泛存在的一种分布形式，它的出现是由于众多随机变量的叠加作用所导致的。
在测量界中，正态分布被广泛应用于误差分析、可靠性评价、质量管理等方面。
时间测量中随机误差的分布规律
核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24时间测量中的随机误差分布规律PB10214023 张浩然一、实验题目：时间测量中的随机误差分布规律二、实验目的：同常规仪器测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
三、实验仪器：电子秒表、机械节拍器四、实验原理：1、仪器原理机械节拍器能按一定频率发出有规律的声响，前者利用齿轮带动摆作周期运动，后者利用石英晶体的振荡完成周期运动；电子秒表用石英晶体振荡器作时标测时，精度可达0.01s ； 2、统计分布规律原理在近似消除了系统误差的前提下，对时间t 进行N 次等精度测量，当N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示：222)(21)(σπσx x ex f --=其中n x x ni i∑==1，为测量的算术平均值，1)(12--=∑n x xniσ，为测量列的标准差，有 ⎰-=aa dxx f a P )()(，σσσ3,2,=a利用统计直方图表示测量列的分布规律，简便易行、直观明了。
在本实验中利用f(x)得到概率密度分布曲线，并将其与统计直方图进行比较，在一定误差范围内认为是拟合的，可认为概率密度分布基本符合正态分布，其中的误差是由于环境、仪器、人的判断误差、N 的非无穷大等所决定的。
五、实验步骤：1、检查实验仪器是否能正常工作，秒表归零；2、将机械节拍器上好发条使其摆动，用秒表测量节拍器四个周期所用时间，在核科学技术学院2010 级学号PB10214023 姓名张浩然日期2011-3-24等精度条件下重复测量约200次（本实验中实际测量224次），记录每次的测量结果；3、对数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）；六、数据处理：1.实验数据如下：（单位：s）初步分析得2.由公式（2）（3）计算得: （单位：s）x=平均值 2.415σ=标准差0.1198473.机械节拍器的频数和频率密度分布：令K=16核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-24有 0max min ()/0.04625x x x K ∆=-= （单位：s ） 取max min ()/0.05x x x K ∆=-=（单位：s ）有测量数据的频数和频率密度分布表如下： 小区域/s 小区域中点值/s 频数i n /s 相对频数(/)/%i n N累计频数(/)/%i n N ∑1.95-2.20 1.975 1 0.446428571 0.446428571 2.20-2.05 2.025 1 0.446428571 0.892857143 2.05-2.10 2.075 1 0.446428571 1.339285714 2.10-2.15 2.125 3 1.339285714 2.678571429 2.15-2.20 2.175 2 0.8928571433.571428571 2.20-2.25 2.225 7 3.1256.696428571 2.25-2.30 2.275 177.589285714 14.28571429 2.30-2.35 2.325 31 13.83928571 28.125 2.35-2.40 2.375 28 12.540.6252.40-2.45 2.425 44 19.64285714 60.26785714 2.45-2.50 2.475 26 11.60714286 71.875 2.50-2.55 2.525 35 15.625 87.5 2.55-2.60 2.575 14 6.2593.752.60-2.65 2.625 10 4.464285714 98.21428571 2.65-2.70 2.675 3 1.339285714 99.55357143 2.70-2.752.72510.4464285711004.统计直方图和概率密度分布曲线图像：核科学技术学院 2010 级 学号 PB10214023 姓名 张浩然 日期 2011-3-245.不确定度分析：0.950.015694973s A U t n==对于电子秒表，人的反应时间为0.2s ，远大于0.01s ，则取B ∆=∆估；对于秒表，取C=3。
随机误差统计规律
随机误差统计规律
小朋友可能不太理解“随机误差统计规律”这么复杂的词呢！不过没关系，让我这个小学生来跟您讲讲我对它的理解。
咱就先说，啥叫随机误差呀？就好比我和小伙伴们一起扔沙包，每次扔出去的距离都不太一样，有时候远，有时候近，这中间的差别就是随机误差。
那统计规律又是啥呢？就好像我们把扔沙包的距离都记下来，然后发现扔得远的次数和近的次数好像有个什么规律似的。
比如说，我第一次扔了5 米，第二次4 米，第三次6 米，这中间的1 米、2 米的差别不就是随机误差嘛。
然后我和小伙伴们都扔了好多次，发现大多数时候扔的距离都在4 米到6 米之间，这难道不是一种规律吗？
再举个例子，老师让我们做数学题，有时候我会不小心算错一个数，这就算是随机误差。
可要是全班同学都做这道题，老师把大家做错的地方都统计起来，说不定就能发现我们容易犯错的规律呢！
您说，这随机误差统计规律是不是挺有意思的？就像在黑暗中找宝藏，每次找到的宝贝都不太一样，但找得多了，就能发现一些线索，知道宝藏大概藏在哪些地方啦！
我觉得呀，搞懂随机误差统计规律能让我们更好地理解生活中的很多事情。
比如说，为啥天气预报有时候不太准？可能就是因为有很多随机误差在里面，但是科学家们通过统计规律，就能让预报越来越准啦！
反正我觉得，虽然这东西一开始挺难理解的，但只要我们多观察、多思考，就一定能搞明白！您觉得呢？。
随机误差
（1）贝塞尔公式
s ( xk )
1 2 xi x n 1 i 1
lim
2 n
n
( xi ) 2
i 1
n
n 式中 x ——n次测量的算术平均值 vi xi x ——残差 n 1 ——自由度 s ( xk ) ——(测量值x 的)实验标准偏差 k
测 1 2 序 li/mm 75.01 75.04 vi/mm -0.035 -0.005 vi2/mm2 0.001225 0.000025
3
4 5 6 7 8 9 10
75.07
75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08
+0.025
-0.045 -0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术平 均值是该测量总体期望的一个最佳的估计 量 ，即满足
无偏性 有效性
一致性
E ( x ) Ex
D( x ) D( x )
P(| x Ex | ) 0
满足最小二乘原理
单次测值的实验标准差在数据处理中的意义： 1）可比较不同测量组的测量可靠性： 例：对同一被测量进行了两组测量（如由两人），其数据是：
第1组： 1.1 1.2 0.6 0.7 0.6 1.2 第2组： 1.0 1.2 0.6 0.7 0.8 1.1 x 0.9 1 0.30 x 0.9 2 0.24
随机误差统计规律及单摆设计
实 验 报 告5－实验一：实验题目：单摆的设计与研究——测量重力加速度。
实验目的：利用经典单摆公式，给出的器材和对重力加速度的精度要求设计实验，学习应用误差均分原理，选用适当仪器，学习累积放大法的原理运用。
实验原理：1．由一级单摆近似周期公式：gLT π2=得224T L g π=，通过测量单摆周期T,摆长L ，求出重力加速度g 的大小。
2．根据224T L g π=，根据最大不确定度计算，有T T L L g g ∆+∆=∆2 所以：%5.0≤∆L L ，即%5.05.05.0≤+∆+∆dl dl ，有 Δl ≤%×l =0.35cm Δd ≤%×2×d=0.002mm所以：%25.0≤∆TT，有ΔT ≤%×T= 由此可知：l 应用米尺测量，d 用游标卡尺测量即可，5000425.02.0T≈=∆∆人，所以单摆周期应该一组测量50个。
实验器材：米尺，电子秒表，游标卡尺，支架、细线（尼龙绳）、钢球、摆幅测量标尺。
实验步骤：1．用米尺测量摆线长6次；2．用游标卡尺测量小球直径6次；3．利用电子秒表测量单摆50个周期的时间，共6组； 4．记录并分析处理数据，计算重力加速度g 。
数据处理：由L=l+,T=t/50,根据公式224T L g π=，得到合肥地区重力加速度为：2/801.9s m g = 1．对摆线长l （6组数据）的处理：米尺误差分布为正态分布95.0t = 仪∆=0.1cmc=3005.0))1(/()(61=--=∑=-i iAl n n l lu由不确定度合成公式得0.0112()2295095.0=∆+=）（仪。
cku t U Al l则 cm )011.0(65.608l ±= P=2．对摆球半径（6组数据）的处理：游标卡尺误差分布为均匀分布95.0t =仪∆=0.002cm c =30001.0))1(/()(61=--=∑=-i i Ar n n r r u由不确定度合成公式得0.0001()2295095.0=∆+=）（仪。
02-实验二 随机误差的统计分布规律.
3. 分析本实验的测量结果和误差来源。
数据表格略（见实验报告）观察思考1. 统计规律需要大量实验数据作为基础，而且必须是在近似无系统误差或系统误差系统误差基本为一恒定值的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量才能的处正确的结论。
由本次实验，你对这一论述有何体会？ 2. 你能用计算机编程计算“测量列的算术平均值”和“平均值的标准偏差”吗？不妨试一试？附录 8-1 操作功能进入统计计算模式清除内存输入数据计算器计算平均值和标准偏差的操作方法CASIO fx-3600 型计算器按键操作 MODE 3 INV 数据x 1 AC DATA 数据x 2 SHARP EL 型计算器按键操作STAT DATA…数据x n DATA x1 , x 2 , x3 , … xn 显示算术平均值显示标准偏差显示测量次数如果 m 个数据相同，可输入 x i 后键入乘 m，再按 DATA。
x （即 INV 1 ） x （即） S （即 RM ）） n（即））（即 INV 3 ） n （即 Kout 3 附录 8-2 6 个硬币的统计分布如果把玻璃杯中的 6 个硬币摇晃并倒在桌子上，进行一次或多次，我们并不能准确的预言任一次倾倒的硬币有多少个正面。
然而对于掷出的硬币从出现概率方面研究，我们可以正确的推断出那些可能出现的可能值并估计这些可能值出现有多大的可能。
6如果摇晃 6 个质量相同的硬币，则理论上 0、1、2、3、4、5 个正面的最可能出现的概率如下表 8-3 所示：表 8-3 出现正面的数目 0 1 2 3 4 5 6 在 64 次抛掷中预期的出现频率 1 6 15 20 15 6 1 在许多次抛掷中出现的相对频率 1 / 64 = .56% 6 / 64 = 9.38% 15 / 64 = 23.44% 20 / 64 = 31.25% 15 / 64 = 23.44% 6 / 64 = 9.38% 1 / 64 = 1.56% 表 8-3 中的那些“抛掷中预期的出现频率”是基于理论上出现的几率，是“先验的” ，因此不一定在每作 64 次抛掷都肯定达到。
时间测量中随机误差的分布规律
实验报告实验名称 时间测量中随机误差的分布规律实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。
实验仪器 机械节拍器，电子秒表。
实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理（1）机械节拍器（2）电子节拍器 （3）电子秒表（4）VAFN 多用数字测试仪用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。
2.统计分布规律的研究假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，]2)x -(x ex p[-21)(22σπσ=x f （1）其中nxx n1i i∑==（2）1-n )x -(xn1i 2i∑==σ（3）⎰=aa-f(x)dx P(a)（4）式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。
（1）统计直方图方法用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。
在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小区域的间隔（△x ）的大小就等于Kx -x K R minmax =。
统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，Nni 为频率，Nni∑为累计频率，称为频率密度。
以测量值x 值为横坐标，以xN n i∆⋅为纵坐标，便可得到统计直方图。
（2）概率密度分布曲线利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。
随机误差项
随机误差项
随机误差项是指在实验或调查中，由于不可避免的偶然因素导致的测量误差。
这些误差可能来自于仪器的精度、实验操作的不稳定性、被测量对象的不确定性等因素。
由于随机误差的存在，同一实验在不同时间或不同人员进行时，测量结果可能存在一定程度的差异。
随机误差通常是在大量重复实验中出现的，它们的分布是随机的，符合正态分布或类似正态分布的分布。
在统计学中，我们通常采用均值和标准差来描述随机误差的规律性。
当均值接近0时，说明随机误差的平均值为0，而标准差越小，说明随机误差越小，即实验结果越稳定。
为了减小随机误差的影响，我们可以采取多种方法，如增加数据量、提高实验设备的精度、改善实验操作等。
当然，我们也可以通过数据分析的方法来探究随机误差的影响，比如采用方差分析等方法，以便更好地理解实验结果的可靠性和精度。
- 1 -。
系统误差和随机误差
系统误差和随机误差测量误差包括系统误差和随机误差两类不同性质的误差系统误差是指“在重复性条件下，对同一被测量进行无限次测量所得结果的平均值与被测量真值之差”。
它是在重复测量中保持恒定不变或可按预见方式变化的测量误差的分量。
由于只能进行有限次数的重复测量，真值也只能是用约定真值代替，因此可能确定的系统误差也只是估计值。
系统误差的来源可以是已知或未知的，那么怎样发现系统误差呢？1、在规定的测量条件下多次测量同一个被测对量，从所得测量结果与计量标准所复现的量值之差可以发现并得到恒定的系统误差的估计值2、在测量条件改变时，例如随时间、温度等街道条件改变时按某一确定的规律变化，可能是线性的或非线性地增长可减小，就可以发现测量结果中存在的可变的系统误差。
通常消除或减小系统误差的方法有以下几种：（1）采用修正的方法：对系统误差的已知部分，用对测量结果进行修正的方法来减小系统误差。
修正系统误差的方法包括在测量结果上加修正值；对测量结果乘修正因子；画修正曲线；以及制定修正值表等。
例如：测量结果为20℃，用计量标准测量的结果是20.1℃，则已知系统误差的估计值为-0.1℃，也就是说修正值是+0.1℃，已修正测量结果等于未修正测量结果加修正值。
即已修正测量结果为20℃+0.1℃=20.1℃。
（2）在实验过程中尽可能减少或消除一切产生系统误差的因素。
例如在使用仪器时，应该对中的未能对中，应该调整到水平、垂直或平行理想状态的未能调好等等，都会带来系统误差，操作者要仔细调整，以便减小误差等。
（3）选择适当的测量方法，使系统误差抵消而不致带入测量结果中。
例如：对恒定系统误差消除法，可采用异号法，即改变测量中的某些条件，例如测量方向、电压极性等，使两种条件下的测量结果中的误差符号相反，取其平均值以消除系统误差。
交换法，即将测量中的某些条件适当交换，例如被测物的位置相互交换，设法使两次测量中的误差源对测量结果的作用相反，从而抵消了系统误差。
随机误差
随机误差随机误差（Random error）目录[隐藏]∙ 1 什么是随机误差[1]∙ 2 随机误差的原因[1]∙ 3 随机误差的规律性∙ 4 随机误差的注意点[1]∙ 5 相关条目∙ 6 参考文献[编辑]什么是随机误差[1]随机误差也称为偶然误差和不定误差，是由于在测定过程中一系列有关因素微小的随机波动而形成的具有相互抵偿性的误差。
它的特点：大小和方向都不固定，也无法测量或校正。
随机误差的性质是：随着测定次数的增加，正负误差可以相互低偿，误差的平均值将逐渐趋向于零。
[编辑]随机误差的原因[1]产生随机误差的原因有许多。
例如，在测量过程中由于温度、湿度以及灰尘等的影响都可能引起数据的波动。
再比如在读取滴定管数据时，估计的小数点后第二位的数值，几次读数不一致。
这类误差在操作中不能完全避免。
随机误差的大小、正负在同一个实验室中不是恒定的，并很难找到产生的确切原因，所以又称不定误差。
[编辑]随机误差的规律性从表面上看，它的出现似乎没有规律，即在单次测定过程中，其大小及符号无法预言，没有任何规律性，具有非单向性的特点。
但是，如果进行反复多次测定，就会发现随机误差的出现还是有一定的规律的，即具有统计规律性。
总的来说，大小相等的正、负误差出现的几率相等，小误差出现的机会多，大误差出现的机会少，特大的正、负误差出现的机会更小。
这一规律可以用正态分布曲线（图1）表示。
[1]图中横轴代表误差的大小，以总体标准差σ为单位,纵轴代表误差发生的频率。
随机误差是由随机因素引起的，可大可小，可正可负，粗看起来，无规律可循，但经过大量实验可以发现，随机误差的分布也有一定规律性：1、大小相近的正误差和负误差出现的机率相等，即绝对值相近( 或相等) 而符号相反的误差以同等的机率出现。
2、小误差出现的频率高，而大误差出现的频数较低，很大误差出现的机率近于零或极少。
即：偶然误差的规律符合正态分布。
在消除系统误差的情况下，增加测定次数，取其平均值，可减少偶然误差。
简述随机误差的特点
简述随机误差的特点
随机误差，也称作随机偏差，是一种无法预计但遵循一定统计规律的误差。
这种误差与实验次数的多少、时间的长短和实验条件的改变等因素有关，并且在多次测量中，它的精确值是不断变化的。
一、随机误差的产生主要源于无法控制或无法完全控制的因素。
比如观测者的主观感觉、工具材料的微小不合适、环境条件的微小变化等，都可能导致随机误差的产生。
虽然不可能完全消除，但可以通过多次测量和统计分析的方法，使其对最终结果的影响降到最低。
二、随机误差具有独立性。
同一组实验条件下，个别测量值的偏差是独立的，互不影响。
每一次测量产生的误差与其它任何一次测量产生的误差无关。
三、随机误差服从一定的概率分布。
在多次实验中，随机误差呈现出一定的规律性，按照概率工具可以预计随机误差会怎样分布。
四、随机误差具有可复现性。
如果以足够多次的实验，那么随机误差的平均值总是趋近于零。
正因为如此，人们在处理数据的时候，往往以平均值作为最佳估计。
五、随机误差无法完全消除。
因为随机误差的来源主要是随机性的因素，所以无法像系统误差一样被消除或校正。
综上所述，理解随机误差的特性，对于实验的精度和准确度有着极其重要的意义。
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随机误差的统计规律
实验目的
(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识
(2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法
(3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程
实验方法原理
对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100), 得到n 个结果x1, x2,⋯, x n, 先找出它的最小值和最
大值，然后确定一个区间[x′, x′] ，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[x′, x′] 分成若干个小区间，比如K
x′ − x′
个，则每个小区间的间隔∆为∆ = K，统计测量结果出现在各个小区间的次数M(称为频数)。
以测量数
据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一
组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的
分布规律。
实验步骤
(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计
算测量结果的平均值T和算术平均值的标准差S (x) 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理
2.07 2.12 2.12 2.00 2.22 2.11 2.43 2.12 2.22
1.91
2.18 2.03
2.06 2.28 2.16 2.10 2.03 2.09
1.94 1.90 1.99
2.00 1.98 2.00 2.06 2.25 2.16 1.99 2.04 2.13 2.16
2.01
2.22
2.19
2.12
1.94
1.91
2.04
2.10
2.22
2.16 2.03 2.06 2.03
2.31 1.94 2.12 2.19
2.13 1.81 1.99 2.03
2.28 2.06 2.06 2.16
2.00 2.09 2.12 1.97
1.93
2.06 2.11 2.13
2.12 2.16 2.13 2.13
2.12 2.05 2.06 2.12
2.11 2.07 2.04 2.09
2.09 2.07 2.10 2.00
2.23 1.84
2.06 2.13
2.12 2.17
2.00 2.00
2.11 2.22
2.09 2.06
2.18 1.91
2.03 2.23
2.19 2.35
2.12 2.07
小区间
1.811 ～1.872 1.872 ～1.934 小区间中点值
1.841
1.093
频数M
2
5
相对频数M/n
0.02
0.05
1.934 ～1.996
1.996 ～
2.058 2.058 ～2.120 2.120 ～2.182 2.182 ～2.244 2.244 ～2.306 2.306 ～2.368
2.368 ～ 2.430
1.965
2.027 2.089 2.151 2.213 2.275 2.337 2.399
8 18 34 19 8 3
2
1
d
0.08 0.18 0.34 0.19 0.08 0.03 0.02 0.01
l = 0.990 m d = 0.03364 m
20 T ′ = 40.44 s
100 ∑ x i
=
L = l + = 2 1.00682 m
T =i
1=
100
100
2.051s
2
S x ( )
= ∑ ( x i
− x i =1
n (n −
)
= .
0 006724
s 1)
T = T ± 2S (x ) = (2.05 ± 0.01) s
T ′ =40
.44=2.022 s 20 2
1.841 1.903 1.965
2.027 2.089 2.151 2.213 2.275 2.337 2.399
单摆周期统计直方图
x
g T
4 = π
2
L = m s 9.2910 / 2
g
T ′
= T 4π T ′
2 2
L =
m s 9.5594 /
2
2
g 0
= 9.80891m / s
g − g
E T =
T
g 0
×100% = 5.28%
g − g
E T
=T ′
×100% =
2.54%
g 0
1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?
答：对某一物理量在相同条件下做 n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，
使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数 M ，以测量数据为横坐标，以频 数 M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
如果测量次数愈多，区间愈分愈小，则统计直方图将逐渐接近一条光滑的曲线，当 n 趋向于无穷大时的分布称为正 态分布，分布曲线为正态分布曲线。
2. 如果所测得的一组数据，其离散程度比表中数据大，也就是即 S(x)比较大，则所得到的周期平均值是否也会差异很 大?
答：（不会有很大差距，根据随机误差的统计规律的特点规律，我们知道当测量次数比较大时，对测量数据取和求平均，正负误差几乎相互抵消，各误差的代数和趋于零。
3. 测量凹透镜焦距f和实验室给出的f0，比较后计算出的E值（相对误差）一般比较大，试分析E 大的原因?
答：E较大的原因可能是因为放入凹透镜后所成像的清晰度很难确定，即像的聚焦情况不好，从
而导致很难测出清晰成像的位置。
4. 在测量凸透镜的焦距时，可以利用测得的多组u、v值，然后以u+v作纵轴，以u·v作横轴，画出实验曲线。
根据式(3-15-1)事先推断一下实验曲线将属于什么类型，怎样根据这条曲线求出透镜的焦距
f?
uυ
f=
+
答：曲线是直线，可根据直线的斜率求出f，f=1/k，因为1/f=1/u+1/v，即uυ，故可有f=1/k。
5. 测量凸透镜的焦距时，可以测得多组u、v值，以v/u(即像的放大率)作纵轴，以v作横轴，画出实验曲线。
试问这条实验曲线具有什么形状?怎样由这条曲线求出透镜的焦距f?
答：曲线是直线，在横轴上的截距就是f。