初中数学构造平行四边形解题例举学法指导

初中数学构造平行四边形解题例举学法指导

雷祥红

平行四边形是初中几何中非常重要的内容，它的性质在几何计算和证明中应用十分广泛，在解题中若能根据题目的特征，巧妙添加辅助线，构造平行四边形，能使问题得到快速解答，同时有利于培养同学们良好的思维品质和习惯。

一、证明线段相等

例1. 如图1，在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是AE中点，FC与BE交于点G。

求证：GF＝GC

证明：连结DF，并延长交AB于H，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵∠DFE＝∠HFA，AF＝FE，∠DEF＝∠FAH，∴△AFH≌△EFD（ASA）∴DE＝AH，∵HB∥DE，∴四边形DHBE为平行四边形，即EG∥DF，又E为CD中点，∴FG＝GC。

例2. 如图2，在△ABC中，AE、BD、CF为中线，FM∥BD，DM∥AB。

求证：MC∥AE

证明：连结AM、FD。

∵FM∥BD，DM∥AB，∴四边形FBDM为平行四边形

∴BF∥DM ∵AF＝BF ∴AF∥DM

∴四边形AFDM为平行四边形

∴AM∥FD

又∵F、D、E分别为AB、AC、BC边中点

∴FD∥EC

∴AM∥EC，

∴四边形AECM为平行四边形

∴MC∥AE。

三、证明线段的和差关系

例3. 如图3，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＋∠B＝90°，M、N分别为AB、DC的中点。

求证：).DC AB (2

1MN -= 证明：过N 分别作NE ∥AD ，NF ∥BC 交AB 于E 、F ，得平行四边形ADNE 和平行四边形NFBC ，∴DN ＝AE ，＝BF ，∠NFE ＝∠B ，∵DN ＝，∠A ＋∠B ＝90°，∴AE ＝BF ，∠NEF ＋∠NFE ＝90°∵AM ＝BM ，∴EM ＝FM ，∴在Rt △NEF 中，

21EF 21MN ==)DC AB (2

1)CN DN AB (21)BF AE AB (-=--=-- 想一想：本题还有别的证法吗？请与同伴交流。

四、求证面积

例4. 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，对角线AC ⊥BD ，DC ＝3cm ，AB ＝8cm 。 求梯形ABCD 的面积。

解：过C 作CF ⊥AB 于F ，作CE ∥BD 交AB 延长线于E ，得平行四边形DBEC ，∴BE ＝DC ，BD ∥CE 。

∵AC ⊥BD ，∴∠ACE ＝Rt ∠，AC ＝CE ，

∴△ACE 为等腰直角三角形。AE ＝AB ＋BE ＝3＋8＝11cm 。cm 211AE 21CF ==

， ∴2ABCD cm 4

1212111121CF )AB DC (21S =⨯⨯=⨯+=梯形

五、求线段比

例5. 如图5-1是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形上底长与下底长之比是______________。

解：过点A 作AE ∥CD 交BC 于E 。如图5-2，则AE ＝DC ，AD ＝EC ，∵AB ＝CD ，∴AB ＝AE ，易知∠B ＝60°。∴△ABE 为等边三角形 ∴AB ＝BE ，再由图案可知：AD ＝

AB，则AD＝AB＝BE＝EC，∴AD：BC＝1：2。