苏教版学高中数学必修五数列等差数列的概念等差数列的通项公式等差数列的概念及通项公式讲义

学习目标核心素养１．理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．（重点）２．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．（重点）３．等差数列的证明及其应用．（难点）１．通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．２．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.１．等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．思考１：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？[提示] 第１项前面没有项，无法与前一项作差．思考２：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？[提示] 不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．２．等差数列的通项公式对于等差数列{a n}的第n项a n，有a n＝a１＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.思考３：已知等差数列{a n}的首项a１和公差d能表示出通项公式a n＝a１＋（n—１）d，如果已知第m项a m和公差d，又如何表示通项公式a n？[提示] 设等差数列的首项为a１，则a m＝a１＋（m—１）d，变形得a１＝a m—（m—１）d，则a n＝a１＋（n—１）d＝a m—（m—１）d＋（n—１）d＝a m＋（n—m）d.１．已知等差数列{a n}的首项a１＝４，公差d＝—２，则通项公式a n＝（）Ａ．４—２nＢ．２n—４Ｃ．6—２nＤ．２n—6C[a n＝a１＋（n—１）d＝４＋（n—１）×（—２）＝４—２n＋２＝6—２n.]２．等差数列—6，—３,0,３，…的公差d＝________.３[（—３）—（—6）＝３，故d＝３．]３．下列数列：１0,0,0,0；２0,１,２,３,４；３１,３,５,7,9；４0,１,２,３，….其中一定是等差数列的有________个．３[１２３是等差数列，４只能说明前４项成等差数列．]４．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．60°[因为三内角A、B、C成等差数列，所以２B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝１80°，所以３B＝１80°，所以B＝60°.]等差数列的判定与证明【例１】（１）在数列{a n}中，a n＝３n＋２；（２）在数列{a n}中，a n＝n２＋n.思路探究：错误!―→错误!―→错误![解] （１）a n＋１—a n＝３（n＋１）＋２—（３n＋２）＝３（n∈N*）．由n的任意性知，这个数列为等差数列．（２）a n＋１—a n＝（n＋１）２＋（n＋１）—（n２＋n）＝２n＋２，不是常数，所以这个数列不是等差数列．１．定义法是判定（或证明）数列{a n}是等差数列的基本方法，其步骤为：（１）作差a n＋１—a n；（２）对差式进行变形；（３）当a n＋１—a n是一个与n无关的常数时，数列{a n}是等差数列；当a n＋１—a n不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n}不是等差数列．２．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．提醒：当n≥２时，a n＋１—a n＝d（d为常数），无法说明数列{a n}是等差数列，因为a２—a１不一定等于d.１．已知函数f（x）＝错误!，数列{x n}的通项由x n＝f（x n—１）（n≥２且x∈N*）确定．（１）求证：数列错误!是等差数列；（２）当x１＝错误!时，求x２0１9.[解] （１）因为f（x）＝错误!，数列{x n}的通项x n＝f（x n—１），所以x n＝错误!，所以错误!＝错误!＋错误!，所以错误!—错误!＝错误!，所以错误!是等差数列．（２）x１＝错误!时，错误!＝２，所以错误!＝２＋错误!（n—１）＝错误!，所以x n＝错误!，所以x２0１9＝错误!.等差数列的通项公式【例２】已知数列{a n}是等差数列，且a５＝１0，a１２＝３１．（１）求{a n}的通项公式；（２）若a n＝１３，求n的值．思路探究：建立首项a１和d的方程组求a n；由a n＝１３解方程得n.[解] （１）设{a n}的首项为a１，公差为d，则由题意可知错误!解得错误!∴a n＝—２＋（n—１）×３＝３n—５．（２）由a n＝１３，得３n—５＝１３，解得n＝6．１．从方程的观点看等差数列的通项公式，a n＝a１＋（n—１）d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．２．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形a n＝a m＋（n—m）d.２．已知递减等差数列{a n}前三项的和为１8，前三项的积为66．求该数列的通项公式，并判断—３４是该数列的项吗？[解] 依题意得错误!∴错误!解得错误!或错误!∵数列{a n}是递减等差数列，∴d<0．故取a１＝１１，d＝—５．∴a n＝１１＋（n—１）·（—５）＝—５n＋１6，即等差数列{a n}的通项公式为a n＝—５n＋１6．令a n＝—３４，即—５n＋１6＝—３４，得n＝１0．∴—３４是数列{a n}的第１0项．等差数列的应用[探究问题]１．若数列{a n}满足错误!＝错误!＋１且a１＝１，则a５如何求解？[提示] 由错误!＝错误!＋１可知错误!—错误!＝１．∴{错误!}是首项错误!＝１，公差d＝１的等差数列．∴错误!＝１＋（n—１）×１＝n，∴a n＝n２，∴a５＝５２＝２５．２．某剧场有２0排座位，第一排有２0个座位，从第２排起，后一排都比前一排多２个座位，则第１５排有多少个座位？[提示] 设第n排有a n个座位，由题意可知a n—a n—１＝２（n≥２）．又a１＝２0，∴a n＝２0＋（n—１）×２＝２n＋１8．∴a１５＝２×１５＋１8＝４8．即第１５排有４8个座位．【例３】某公司经销一种数码产品，第１年可获利２00万元．从第２年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少２0万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．[解] 由题设可知第１年获利２00万元，第２年获利１80万元，第３年获利１60万元，…，每年获利构成等差数列{a n}，且当a n<0时，该公司会出现亏损．设从第１年起，第n年的利润为a n，则a n—a n—１＝—２0，n≥２，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{a n}，且首项a１＝２00，公差d＝—２0．所以a n＝a１＋（n—１）d＝２２0—２0n.若a n<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由a n＝２２0—２0n<0，得n>１１，即从第起，该公司经销此产品将亏损．１．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．２．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．３．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t（s）１２３...？ (60)距离s（cm）9．8１9．6２9．４…４9…？（２）利用建立的模型计算，甲虫１min能爬多远？它爬行４9 cm需要多长时间？[解] （１）由题目表中数据可知，该数列从第２项起，每一项与前一项的差都是常数9．8，所以是一个等差数列模型．因为a１＝9．8，d＝9．8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9．8t.（２）当t＝１min＝60 s时，s＝9．8t＝9．8×60＝５88 cm.当s＝４9 cm时，t＝错误!＝错误!＝５s.１．判断一个数列是否为等差数列的常用方法（１）a n＋１—a n＝d（d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（２）２a n＋１＝a n＋a n＋２（n∈N*）⇔{a n}是等差数列；（３）a n＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．２．由等差数列的通项公式a n＝a１＋（n—１）d可以看出，只要知道首项a１和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a１，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．１．判断正误（１）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（）（２）等差数列{a n}的单调性与公差d有关．（）（３）若三个数a，b，c满足２b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．（）[答案] （１）×（２）√（３）√[提示] （１）错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．（２）正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．（３）正确．若a，b，c满足２b＝a＋c，即b—a＝c—b，故a，b，c为等差数列．２．在等差数列{a n}中，若a１＝8４，a２＝80，则使a n≥0，且a n＋１<0的n为（）Ａ．２１Ｂ．２２Ｃ．２３Ｄ．２４B[公差d＝a２—a１＝—４，∴a n＝a１＋（n—１）d＝8４＋（n—１）（—４）＝88—４n，令错误!即错误!⇒２１<n≤２２．又∵n∈N*，∴n＝２２．]３．若数列{a n}满足a１＝１，a n＋１＝a n＋２，则a n＝________.２n—１[由a n＋１＝a n＋２，得a n＋１—a n＝２，∴{a n}是首项a１＝１，d＝２的等差数列，∴a n＝１＋（n—１）×２＝２n—１．]４．已知数列{a n}，a１＝a２＝１，a n＝a n—１＋２（n≥３），判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．[解] 因为a n＝a n—１＋２（n≥３），所以a n—a n—１＝２（常数）．又n≥３，所以从第３项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数２，而a２—a１＝0≠a３—a２，所以数列{a n}不是等差数列．。